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第二十一章　四边形
培优点1　多边形
1．(2025南充)如图1是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是(　　)
A.12 B．8 C．16 D．12
　　　
图1 图2
2．如图2，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝(　　)
A．90° B．120° C．180° D．360°
3．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2 026°，则n的值为(　　)
A．11 B．12 C．13 D．14
4．(2025长春)图3①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图3②是其表面展开图，则∠α为________ 度．
图3
培优点2　平行四边形
5．【尺规作图】如图4，在 ABCD中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，BC于点F, G，分别以点F，G为圆心，大于 FG的长为半径作弧，两弧交于点H，连接BH并延长，交AD于点E，连接CE.若AB＝10，DE＝6，CE＝8，则BE的长为(　　)
图4
A．10 B．8 C．16 D．8
6．【平行四边形存在性】(2025白银期末)如图5，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是(－1，2)，(2，1)，(3，3).D是平面内一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是(　　)
图5
A．(0，4) B．(－1，0) C．(6，2) D．(－2，0)
7．(2025安徽)在如图6所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是(　　)
图6
A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长
8．【最值问题】如图7，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P为边AB上一动点，以PA，PC为边作 PAQC，则对角线PQ的最小值为________．
图7
9．【折叠问题】(2025深圳期末)如图8，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠C，边BC上一点E满足BE＝AD，连接DE.现将△CDE 沿DE折叠，点C恰好落在边AB上的点C′处．若CE＝2，DE＝3，则点E到AB的距离为________．
图8
10．如图9，有一块形状不规则的空地由 ABCD和 CDEF组成，王叔叔计划修建一条小路(记为直线l，不考虑其宽度)，在被小路分成的两部分空地上分别种上月季和郁金香两种花，若想要这两种花的种植面积相等，这条小路该如何修建？请你帮王叔叔画出该小路的位置．(只需画出图形，不写过程)
图9
11．【网格作图】(2025广州期中)利用已有的格点与无刻度直尺作图．(保留作图痕迹)
(1)在图10①中，作出面积最大的 ABCD；
(2)在图10②中，D是AC中点，在边AB上找一点E，连接DE，使得DE∥BC.
①　　　　　②
图10
培优点3　三角形的中位线
12．(2025湛江月考)如图11，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点．若∠FEG＝50°，则∠EGF＝________°.
图11
13．【构造中位线】如图12，E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF的长为________．
图12
14．【构造中位线】(2025龙东地区)如图13，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长度为(　　)
图13
A． B． C．2 D．　　　
培优点4　矩形
15．(2025广州期中)如图14，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于点E，F.若AC＝6，∠AEO＝120°，则OE的长为________.
图14
16．(2025广州期中)如图15，在矩形ABCD中，E为边CD的中点，F为边BC上一点，且∠FAE＝∠EAD.若BF＝8，FC＝2，则AF的长为________．
　　
图15 图16
17．【最值问题】(2025汕头三模)如图16，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在射线OM，ON上，当点B在射线ON上运动时，点A随之在射线OM上运动，且矩形ABCD的形状、大小均保持不变，其中AB＝6，BC＝3，则在运动过程中，点D到点O的最大距离是________．
18．【对称变换】(广东中考改编)(2025东莞期中)如图17，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为点A′，连接AA′交BD于点E，连接A′C，则A′C的长为________.
图17
19．【夹半角】(2025广州二模)如图18，在矩形ABCD中，AC为对角线，AF平分∠CAB交BC于点F，E是CD上一点，连接AE，EF.若∠EAF＝45°，AB＝4，BC＝3，则 的值为________．
图18
20．【动点路径】(2025汕头期末)如图19，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝4，∠ACB＝30°，点E在线段AO上从点A至点O运动，连接BE，以BE为边作等边三角形BEF，点F和点A分别位于BE两侧，则点F运动路径的长是________．
图19
培优点5　菱形
21．(2025深圳期中)如图20，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB于点E，F是边AD的中点，连接OF.若OA＝4，OF＝，则DE的长为________．
图20
22．【规律探究】如图21，顺次连接矩形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，……按此规律得到四边形AnBnCnDn，若矩形A1B1C1D1的面积为15，则四边形AnBnCnDn的面积为________．
图21
23．(2025武汉期中)如图22，从一个含60°内角的大菱形中截去两个面积分别为S1和S2的两个平行四边形．若阴影部分的周长和面积分别是4＋8和6，则S1＋S2的值是________．
图22
培优点6　正方形
24．(2025徐州期中)如图23，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定边AB，把正方形向左推，使点C落在y轴正半轴上的点C′处，则点D的对应点D′的坐标为________．
图23
25．(2025深圳期末)如图24，正方形ABCD的边长为2，E为边BC上的一点，以AE为边作矩形AEFG，使GF经过点D，则矩形AEFG的面积为________．
　　　
图24
26．(2025金华期末)如图25，E为正方形ABCD的边CD延长线上一点，以CE为边向右作正方形CEFG，连接AE，AG，EG.若CG＝5，则△AEG的面积为________．
　　
图25 图26
27．【一线三垂直模型】(2025江苏月考)如图26，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A(－3，0)，B(2，b)，则正方形ABCD的面积是________.
28．【折叠问题】(2025温州二模)如图27，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(－2，0)，点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为(0，6)，则点E的坐标为________．
图27 图28
29．【对角互补模型】(2025珠海期中)如图28，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF分别交AB，BC于点E，F，AE＝6，CF＝2，则EF的长为________．
30．【半角模型】(2025广州期末)如图29，在边长为6的正方形ABCD中，△AMN的顶点M，N分别在边BC，CD上，且 MN＝BM＋DN，连接BD分别交AM，AN于点E，F.其中DF＝2，则EF＝__________.
图29
31．【正方形中的a＝b型】初步感知：(1)如图30①，E为正方形ABCD的边AD上一点，点F在DC的延长线上，且AE＝CF，求证：EF＝BE；
变式探究：(2)如图30②，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，PE⊥PB交CD于点E，求证：DE＝AP.
　
①　　　　　　　　　　②
图30
本章重难压轴题专练
32．【含60°角的菱形】(2025阳江期中)综合实践课上，创新小组的同学对含60°角的菱形进行了探究．
问题情境：在菱形ABCD中，∠A＝60°，E，F分别是直线AB，BC上的点．
初步感知：(1)如图31①，若E，F分别在边AB，BC上，且∠EDF＝60°，探究DE与DF之间的数量关系；
深入探究：(2)如图31②，若点E，F分别在AB，BC的延长线上，且∠EDF＝60°，探究DE与DF之间的数量关系；
问题解决：(3)在(1)的条件下，连接EF，若AB＝4，求△DEF周长的最小值；
拓展探究：(4)如图31③，G，H分别是边CD，AD上的点，连接EG与FH相交于点O，且∠EOF＝60°，探究EG与FH之间的数量关系．
　　　　
① ② ③
图31
33.(人教八下新教材P67改编)【探索发现】在探究矩形的性质时，创新小组发现了一个有趣的结论：矩形两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和．如图32①，在矩形ABCD中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，BD2＝AB2＋AD2.因为DC＝AB，所以AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋AD2.
创新小组又对菱形进行了探究，也得到了同样的结论，于是他们猜想：任意平行四边形两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和．创新小组对此猜想进行了推理论证．
【推理论证】如图32②，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD是它的两条对角线，求证：平行四边形两对角线长的平方和等于四条边长的平方和．
证明：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥CD.∴∠ABE＝∠DCF.
∴△ABE≌△DCF(AAS).
∴AE＝DF，BE＝CF.
……
(1)请继续完成创新小组的证明过程．
【初步应用】(2)如图32③，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝4，AD＝6，BD＝8，求OA的长．
【拓展应用】(3)如图32④，在△ABC中，AC，AB，BC的长分别为2，3，4，AD是边BC上的中线，则AD的长为________．
　　　
①　　　　　　　　　② ③　　　　　　　　　④
图33
34.(2025肇庆一模、2025佛山期中)【问题背景】如图33①，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，且C(0，4)，将矩形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，CD交x轴于点E，∠OAC＝30°.
【问题思考】(1)求点D的坐标．
(2)如图33②，N为OC的中点，在直线AC上是否存在点M，使得△EMN的周长最小？如果存在，求出△EMN周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
【问题拓展】(3)P为y轴上一动点，作直线AP交直线CD于点Q，存在点P使得△CPQ为等腰三角形，请直接写出∠OAP的度数．
①　　　　 　　　 　　②
图33
第二十一章　四边形
1．B　
2．C　【提示】连接BC.利用三角形内角和定理，将∠D＋∠E转化为∠EBC＋∠DCB.
3．C　4.36　5.D　6.B　7.C　8.　
9.　【提示】过点D作DH⊥CE于点H.
由题可知四边形ABED为平行四边形，△CDE为等腰三角形．
易得△CDE的面积．由折叠可得S△CDE＝S△C′DE.
再由S ABED＝2S△C′DE即可求解．
10．解：如答图1，直线l即为小路的位置．
答图1
11．解：（1）如答图2， ABCD即为所求．
答图2　　　　　　答图3
（2）如答图3，线段DE即为所求．
12．65　13.3　
14．A　【提示】连接CD，取CD的中点为H，连接HN，HM.易得HN⊥HM.根据中位线的性质和勾股定理计算求解即可．
15.　
16．12　【提示】延长BC，AE交于点H.易得△ADE≌△HCE，△AFH为等腰三角形．
17．3＋3　【提示】取AB的中点E，连接OD，OE，DE.由三角形的三边关系求得最值．
18．1.4　
19.　【提示】过点E作EH⊥AC于点H.由题意得，AE平分∠DAC.∴DE＝EH.对于△AEC，由等面积法，可得DE＝1.5.再由勾股定理求得AE即可．
20.　21.　22.　23.　24.（－2，）　25.4
26.　27.34　28.（3，10）　29.2　30.　
31．证明：（1）如答图4，连接BF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA＝BC，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°.
∴∠BCF＝90°.
又AE＝CF，∴△ABE≌△CBF（SAS）.
∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF.
∴∠EBF＝∠EBC＋∠CBF＝∠EBC＋∠ABE＝∠ABC＝90°.
∴△BEF是等腰直角三角形．
∴EF＝BE.
答图4
　　
答图5
（2）如答图5，过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N.
易得四边形AMND，四边形BMNC都是矩形．
∴∠AMP＝∠PMB＝∠PNC＝90°.
又∠BAC＝∠ACD＝45°，
∴△APM和△CPN都是等腰直角三角形．
∴AM＝MP＝DN，PN＝CN＝BM.
∵PE⊥PB，∴∠BPE＝90°，∠MPB＋∠NPE＝90°.
又∠MPB＋∠MBP＝90°，∴∠NPE＝∠MBP.
∴△BPM≌△PEN（ASA）.
∴MP＝NE＝AM＝DN.∴DE＝2AM.
又AM＝AP，∴DE＝AP.
32．解：（1）如答图6，连接BD.
在菱形ABCD中，∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝CD＝AD.
∴△ABD和△BCD都是等边三角形．
∴AD＝BD，∠ADB＝∠DBF＝60°＝∠A.
∵∠EDF＝60°＝∠ADB，
∴∠ADE＋EDB＝∠BDF＋∠EDB.
∴∠ADE＝∠BDF.∴△ADE≌△BDF（ASA）.∴DE＝DF.
答图6
答图7
答图8
（2）如答图7，连接BD.
同（1）可得△ABD和△BCD都是等边三角形．
∴AD＝BD，∠ADB＝∠DBF＝60°＝∠A.
∵∠EDF＝60°，
∴∠ADB＋∠BDE＝∠EDF＋∠BDE，即∠ADE＝∠BDF.
∴△ADE≌△BDF（ASA）.∴DE＝DF.
（3）由（1）可知，DE＝DF.
∵∠EDF＝60°，∴△DEF 为等边三角形．
要求等边三角形DEF 周长的最小值，即求出边长的最小值即可．
∵E为边AB上的一点，∴当DE⊥AB时，DE取得最小值．
在Rt△DEA中，∠DEA＝90°，∠A＝60°，∴∠ADE＝30°.∴AE＝AD＝AB＝2.
由勾股定理，得DE＝＝＝2.
∴此时，△DEF周长为3×2＝6.
∴△DEF周长的最小值为 6.
（4）如答图8，连接BD，过点D作DP∥EG交AB于点P，DQ∥FH交BC于点Q.
∴∠PDQ＝∠EOF＝60°，四边形DPEG和四边形DHFQ都是平行四边形．∴DP＝EG，DQ＝FH.
由（1）同理可得DP＝DQ.∴EG＝FH.
33．解：（1）在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC2＝AE2＋EC2＝AE2＋（BC－BE）2，
BD2＝DF2＋BF2＝DF2＋（BC＋CF）2＝AE2＋（BC＋BE）2.
∴AC2＋BD2＝2AE2＋2BC2＋2BE2＝2（AE2＋BE2）＋2BC2＝2（AB2＋BC2）.
∵AB＝CD，AD＝BC，
∴AC2＋BD2＝AB2＋BC2＋CD2＋AD2.
（2）由（1）可知，AC2＋BD2＝2（AB2＋AD2）.
∵AB＝4，AD＝6，BD＝8，
∴AC2＝2（AB2＋AD2）－BD2＝2×（42＋62）－82＝40.
∴AC＝2（负值已舍）．∴OA＝OC＝AC＝.
∴OA的长为.
（3）.
34．解：（1）如答图9，过点D作DF⊥x轴于点F.
∵C（0，4），∴OC＝4.
∵四边形OABC为矩形，
∴AB＝OC＝4，BC∥OA，∠OAB＝90°.
∴∠BCA＝∠OAC＝30°，∠BAC＝60°.∴AC＝2OC＝8.
在Rt△OAC中，由勾股定理，得OA＝＝4.
∵将矩形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，AD＝AB＝4.∴∠OAD＝30°.
∵DF⊥OA，∴DF＝AD＝2，AF＝＝2.
∴OF＝OA－AF＝2.∴点D的坐标为（2，－2）.
答图9
　　　　
答图10
（2）在直线AC上存在点M，使得△EMN的周长最小．
如答图10，过点E作EG⊥AC并延长交BC于点H，连接NH，交AC于点M.
由折叠易得点E与点H关于AC对称．
∴ME＝MH，CE＝CH.
∴NM＋ME＝NM＋MH＝NH，此时△EMN的周长最小，最小值为NH＋NE.
∵N为OC的中点，∴ON＝CN＝OC＝2.
由（1）可知∠OCE＝30°.∴CE＝2OE.
∴42＋OE2＝（2OE）2.
解得OE＝∴CE＝2OE＝.
∴NE＝＝.
∵CH＝CE＝，∴NH＝＝.
∴△EMN周长的最小值为.
（3）当△CPQ为等腰三角形时，∠OAP的度数为15°或60°.
【提示】有以下三种情况：
①如答图11，当CP＝CQ时，∠OAP＝15°.
答图11
　　　　
答图12
②如答图12，当CQ＝PQ时，∠OAP＝60°.
③不存在PC＝PQ的情形．

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