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第二十一章四边形　限时检测卷
时间：120分钟　分值：120分　得分：__________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在 ABCD中，∠A＋∠C＝120°，则∠D的度数是（　　）
A．120° B．100° C．60° D．50°
2．（2025汕头期中）如图1，公路AC，BC互相垂直，公路AB段的中点M与点C被湖隔开．若测得公路AB段的长为2.4 km，则M，C两点间的距离为（　　）
A．4.8 km B．2.4 km C．1.2 km D．0.6 km
图1 　　图2 　　图3
3．（2025东莞期中）如图2，在 ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，BE＝7，EC＝3，则 ABCD的周长为（　　）
A．17 B．20 C．28 D．34
4．如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠AED＝（　　）
A．95° B．100° C．110° D．120°
5．（2025广州二模）已知一个n边形的内角和是它的外角和的2倍，则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2025东莞期末）如图4，已知E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH一定是（　　）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
图4 　图5 　图6
7．如图5，已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论中，不正确的是（　　）
A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形 D．当AB＝AC时，四边形ABCD是菱形
8．如图6，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（，2）．将边OA固定，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B′的位置，则点C的对应点C′的坐标为（　　）
A．（－，3） B．（3，－） C．（2，－） D．（－，－2）
9．（2025东莞期中）如图7，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，动点P从点B出发，沿BD向点D移动，过点P作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E，F，连接EF，则EF的长最小为（　　）
图7
A． B． C．5 D．7
10．（2025广州期中）如图8，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG.则下列结论：①OG＝AB；②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④四边形ABDE是菱形．其中正确的有（　　）
图8
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025云南）如图9，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是____________________．
图9 　 　图10 　　图11
12．（2025中山一模）如图10，为了测量某零件的内槽宽，由点O伸入两根钢条OA，OB，点C，D分别是OA，OB的中点．经测量得CD＝5.5 cm，则该零件内槽宽AB的长为__________cm.
13．（2025惠州期末）如图11，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，添加一个条件使得矩形ABCD成为正方形，这个条件是____________．（写出一个即可）
14．在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝5，P是边AD上异于点A，D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，垂足分别是E，F，那么PE＋PF的值为__________．
图12 　　　　图13
15．（2025深圳期中）如图13，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位长度的速度向点D运动．设点P的运动时间为t s．在点P的运动过程中，当△APO是等腰三角形时，t的值为________________．
三、解答题（本大题共7小题，共75分）
16．（7分）（2025中山期中）如图14，AD⊥AC，BC⊥AC，且AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．
图14
17．（9分）（2025北京开学考）如图15，在矩形ABCD中，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E，连接BE，CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F.求证：EF＝ED.
图15
18．（10分）（2025惠州期中）如图16，在 ABCD中，E是AD的中点，连接BE，BD，BE与CD的延长线相交于点F，连接AF.
（1）求证：△BEA≌△FED；
（2）若∠BEA＋2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形．
图16
19．（10分）（2025广东）如图17，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点A，C分别作AE∥DC，CE∥AB，AE与CE相交于点E.现有以下命题：
命题1：若连接BE交CA于点F，则S△CFB＝2S△CEF.
命题2：若连接ED，则ED⊥AC.
命题3：若连接ED，则ED＝BC.
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
图17
20．（10分）（2025广州期中）如图18，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别是边BC，CD上一点，若CE＝DF.
（1）求证：AE＝AF；
（2）若菱形边长为4，CE＝1，求△AEF的周长．
图18
21．（14分）定义：对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形．
【概念理解】（1）给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中一定是“垂美四边形”的是__________．（填序号）
【性质探究】（2）如图19①，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD.求证：AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
【解决问题】（3）如图19②，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC＝，AB＝3.
①四边形CGEB是垂美四边形吗？请说明理由．
②求GE的长．
图19
22．（15分）（2025深圳期末）小明用正方形纸片ABCD玩折纸游戏．
【探究发现】（1）如图20①，小明将△ABE沿AE翻折得到△AB′E，点B的对应点为B′，连接BB′并延长交边CD于点F，则AE与BF之间的数量关系为__________．
【类比探究】（2）如图20②，小明继续折纸，将四边形ABEG沿GE翻折得到四边形A′B′EG，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，连接BB′交边CD于点F，请猜想线段AG，CE，DF之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】（3）如图20③，在（2）的翻折过程中，若线段A′B′恰好经过点D，CF＝3，正方形ABCD的边长为9，求CE的长．
图20
第二十一章　限时检测卷
1．A　2.C　3.D　4.C　5.B　6.C　7.D　8.A　9.B　10.D
11．15　12.11　13.AB＝BC（答案不唯一）
14.　15.或 或
16．证明：∵AD⊥AC，BC⊥AC，∴∠CAD＝∠BCA＝90°.
在Rt△CAD与Rt△ACB中，
∴Rt△CAD≌Rt△ACB（HL）.∴AD＝BC.
又AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
17．证明：由题意，得BE＝BC.∴∠BCE＝∠CEF.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠D＝90°.
∴∠BCE＝∠CED.∴∠CED＝∠CEF.
∵CF⊥BE，∴∠CFE＝∠D＝90°.
在△CEF和△CED中，
∴△CEF≌△CED（AAS）.∴EF＝ED.
18．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.
∴∠BAE＝∠FDE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
在△BEA和△FED中，
∴△BEA≌△FED（ASA）.
（2）由（1）可知，△BEA≌△FED，∴BE＝FE，AE＝DE.
∴四边形ABDF是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠C.
∵∠BEA＋∠BAE＋∠ABE＝180°，∠BEA＋2∠C＝180°，
∴∠BAE＝∠ABE.∴BE＝AE.
∴BF＝AD.∴四边形ABDF是矩形．
19.
答图1
解：命题1是真命题．证明如下：
如答图1，连接BE交CA于点F，连接DE交AC于点O.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝DA＝DB＝AB.
∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形．
又DA＝DC，∴平行四边形ADCE是菱形．
∴AC⊥DE，OA＝OC，OE＝OD.
∵O，D分别为AC，AB的中点，∴DO是△ABC的中位线．
∴OD＝BC.∴OE＝BC.
∵S△CFB＝CF·BC，S△CEF＝CF·OE，
∴S△CFB＝2S△CEF.
答图2
命题2是真命题．证明如下：
如答图2，连接DE交AC于点O.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝DA＝DB＝AB.
∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形．
∵DA＝DC，∴平行四边形ADCE是菱形．∴AC⊥DE.
答图3
命题3是真命题．证明如下：
如答图3，连接DE交AC于点O.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD＝DA＝DB＝AB.
∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形．
∴CE＝AD.∴CE＝DB.
∵CE∥AB，∴四边形BCED是平行四边形．∴ED＝BC.
（任选两个命题即可）
20．（1）证明：如答图4，连接AC.在菱形ABCD中，∠B＝60°，
答图4
∴∠D＝∠B＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°，AB＝AD＝BC＝CD.
∴△ABC与△ADC是等边三角形．
∴AC＝AD，∠D＝∠ACB＝60°.
又CE＝DF，∴△CAE≌△DAF（SAS）．
∴AE＝AF.
（2）解：∵△CAE≌△DAF，∴∠CAE＝∠DAF.
∴∠EAF＝∠CAD＝60°.
∵AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．
如答图4，过点A作AM⊥BC于点M.
∵∠B＝60°，∴BM＝CM＝2，AM＝2.
∵CE＝1，∴ME＝1.
∴AE＝＝.∴△AEF的周长为3.
21．（1）解：③④.
（2）证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°．
由勾股定理，得AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，
AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2.
∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2.
（3）解：①四边形CGEB是垂美四边形．理由如下：
如答图5，连接CG，BE，AB与CE相交于点O，BG与CE相交于点N.
∵四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形，
答图5
∴∠CAG＝∠BAE＝90°，AG＝AC，AB＝AE.
∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，
即∠GAB＝∠CAE.
∴△GAB≌△CAE（SAS）.
∴∠ABG＝∠AEC.
又∠AEC＋∠AOE＝90°，∠AOE＝∠BON，
∴∠ABG＋∠BON＝90°.
∴∠BNO＝180°－（∠ABG＋∠BON）＝90°.∴CE⊥BG.
∴四边形CGEB是垂美四边形．
②由（2），得CG2＋BE2＝CB2＋GE2.
∵AC＝，AB＝3，
∴CB＝＝＝2，CG＝AC＝，BE＝AB＝3.
∴GE2＝CG2＋BE2－CB2＝（）2＋（3）2－22＝24.∴GE＝2.
22．解：（1）AE＝BF.
（2）AG＋CE＝DF.证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD.
由翻折的性质，得GE⊥BF.∴∠CBF＋∠GEN＝90°.
如答图6，过点G作GN⊥BC，垂足为N.
答图6
∴∠GNB＝∠GNE＝90°.
∴∠NGE＋∠GEN＝90°.
∴∠NGE＝∠CBF.
∵∠A＝∠ABC＝∠GNB＝90°，
∴四边形ABNG是矩形．
∴AG＝BN，AB＝GN.∴BC＝GN.
又∠C＝∠GNE＝90°，
∴△BCF≌△GNE（ASA）.∴NE＝CF.
∴BC－NE＝CD－CF，即BN＋CE＝DF.
∴AG＋CE＝DF.
（3）设CE＝x.
∵正方形ABCD的边长为9，CF＝3，
∴CD＝9，DF＝CD－FC＝6，BE＝BC－CE＝9－x.
如答图7，过点D作DP⊥GE，垂足为H，交线段AB于点P，连接PE，DE.
由折叠可知，点D，P关于直线GE对称，∠PHE＝90°.
答图7
∴GE垂直平分DP.∴PE＝DE.
由（2）得GE⊥BF.∴PD∥BF.
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD.
∴四边形PBFD是平行四边形．
∴PB＝DF＝6.∴AP＝3.
在Rt△PBE中，PB2＋BE2＝PE2；
在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2.
又PE＝DE，∴62＋（9－x）2＝x2＋92.解得x＝2.
∴CE＝2.

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