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第二十章　勾股定理
培优点1　勾股定理及其逆定理
1．【空间观念】图1①是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图1②所示的正方体，则图1①中正方形顶点A，B在围成的正方体中的距离是________ .
　 　
①　　 　　　②
图1
2．【数学文化】图2是某届国际数学家大会的会标，它由4个全等的直角三角形拼合而成．若图中大正方形的面积为169，直角三角形较长的直角边长为12，则小正方形的面积为________ .
图2
3．(2025深圳模拟)如图3，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A对应的数是－3，AC＝BC＝BD＝1.若以点A为圆心，AD的长为半径画弧，与数轴交于点E，则点E表示的数为________．
图3
4．如图4，在正方形网格中，点A，B，P均是网格线的交点，则∠PAB＋∠PBA＝______°.
图4
5．【规律探究】如图5①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，分别以其三边为边向外作正方形．执行下面的操作：由其中两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得直角三角形的两直角边为边向外作正方形．图5②是经过1次操作后的图形．图5③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图5①中的直角三角形斜边长为2，则经过10次操作后图形中所有正方形的面积和为________．
图5
6．如图6，在3×2的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点M，N均在格点上，则能与点M，N构成一个直角三角形的格点有________个．
　　
图6 图7
7．【数形结合】(2025广州期中)在解决“当0＜x＜5时，求代数式＋(5－x)的最小值”这个问题时，如图7，我们可以将看作是一个分别以x和3为直角边的Rt△ABP的斜边AP的长，其中BP＝x，AB＝3，再将BP延长至点C，使得BC＝5，以PC为斜边构造∠C＝45°的Rt△PCD，则 (5－x)为PD的长．于是将问题转化为求AP＋PD的最小值．
(1)利用上述方法，则代数式＋(5－x)的最小值是________；
(2)请运用此方法解决问题：当0＜x＜20时，－x＋10的最小值是________．
培优点2　勾股定理在几何图形中的应用
8．如图8，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，三个半圆的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系为　(　　)
图8
A．S3＋S2>S1 B．S1＋S29．【尺规作图】如图9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F.若CF＝3，AF＝5，则BC的长为(　　)
A．3 B．5 C．6 D．8
　　
图9 图10
10．【折叠问题】如图10，在三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，BC＝，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合．若折痕与AC的交点为E，则AE的长是(　　)
A． B． C． D．
11．【最值问题】如图11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是(　　)
图11
A．3 B．2.4 C．4 D．7
12．【网格作图】如图12，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点．按以下要求作图．
(1)在图12①中，作一个面积为10的正方形ABCD，要求顶点均在格点上；
(2)在图12②中，作△DEF，使△DEF的三边长分别为，，，要求顶点均在格点上．
①　　　　 　②
图12
13．【数学文化】(2025湛江期中)勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》(由其孙子梅彀成编纂)的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图13的基础上，运用“出入相补”原理完成的，即把一个几何图形分割成若干部分后，面积的总和保持不变．在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE，ACFG，BCHI均为正方形，HI与AE相交于点J，点D在直线HI上．若△AHJ，△DEJ的面积分别为2和6，求直角边AC的长．
图13
培优点3　勾股定理在分类讨论问题中的应用
14．(2025汕头期末)已知直角三角形的两边长分别为5和4，则第三边的长为________．
15．【分类讨论】如图14，在△ABC中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P是射线CO上的动点，∠AOC＝60°，当△PAB是直角三角形时，AP的长为________．
图14
16．【动点问题】如图15，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t s(t＞0).
　
图15 备用图
(1)当点P在AC的延长线上运动时，CP的长为________ ；(用含t的式子表示)
(2)在点P的运动过程中，当△ABP是等腰三角形时，求t的值．
培优点4　勾股定理的实际应用
17．图16是可调节躺椅的示意图，AE与BD交于点C，测得AC＝80 cm，BC＝60 cm.
(1)若∠ACB＝90°，求AB的长；
(2)为躺着更加舒服，准备将躺椅高度进行调节，调整后测得∠CAB＝30°，与(1)中AB的长度相比，此时AB的长度有何变化？并说明理由．(参考数据：≈1.732，≈2.236)
图16
本章重难压轴题专练
18．(2025深圳期末)如图17，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，将△ABC绕边BC的中点O逆时针旋转得到△DEF，顶点E落在边AC上，DF交AC于点G，连接CF，求△CFG的面积．
图17
19.(2025广东)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．
3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181
4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29
5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35
6，8，10 10，________，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122
(1)请补全上表中的勾股数．
(2)根据上表中数据规律，用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．
(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图18所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1 m．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
图18
第二十章　勾股定理
1.　2.49　3.－3－或－3＋　4.45　5.48　6.5　
7．（1）4；（2）16　8.C　9.C　10.C　11.B　
12．解：（1）作正方形ABCD如答图1所示．（答案不唯一）
答图1　　 　答图2
（2）作△DEF如答图2所示．（答案不唯一）
13．解：由题意，得BA＝BD，BC＝BI，∠ACB＝∠DIB＝90°.
∴Rt△ABC≌Rt△DBI（HL）.∴S△ABC＝S△DBI.
设AC＝b，BC＝a，AB＝c.
由勾股定理，得a2＋b2＝c2，即S正方形BCHI＋S正方形ACFG＝S正方形ABDE.　
∴S△ABC＋S△AHJ＋S四边形AJIB＋S正方形ACFG＝S△BID＋S△DEJ＋S四边形AJIB.　
∴S正方形ACFG＋S△AHJ＝S△DEJ.
∴S正方形ACFG＝S△DEJ－S△AHJ＝6－2＝4，
即b2＝4.∴b＝2，即AC＝2.
14．3或　15.或1或　
16．解：（1）2t－4.
（2）当AB为底边，此时AP＝BP，点P在线段AC上，则2t≤4，t≤2.
如答图3，过点P作PM⊥AB于点M.
∴AM＝AB＝.
由题意，得AP＝BP＝2t，则PC＝AC－AP＝4－2t.
在Rt△PCB中，由勾股定理，得BP2＝PC2＋BC2，
即（2t）2＝（4－2t）2＋32.解得t＝.
答图3
　　
答图4
当AB为腰，此时点P在AC的延长线上，如答图4.
当AP1＝AB＝5时，2t＝5，解得t＝.
当AB＝BP2时，
∵BC⊥AP2，∴AP2＝2AC＝8，即2t＝8.解得t＝4.
综上，当△ABP是等腰三角形时，t的值为 或 或4.
17．解：（1）在Rt△ACB中，由勾股定理，
得AB＝＝＝100（cm）.
答：AB的长为100 cm.
（2）AB的长度变长了．理由如下：
答图5
如答图5，过点C作CG⊥AB于点G，
则∠CGA＝∠CGB＝90°.
∵∠A＝30°，AC＝80，
∴CG＝AC＝40.
在Rt△CGA中，AG＝＝＝40.
在Rt△CGB中，BG＝＝＝20.
∴AB＝AG＋BG＝40＋20≈40×1.732＋20×2.236＝114（cm）.
∵114＞100，∴AB的长度变长了．
答图6
18．解：如答图6，连接BE.
∵AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∴AB2＋BC2＝25＝AC2.
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°.
由旋转得∠DEF＝∠ABC＝90°，DF＝AC＝5.
∵O是BC的中点，∴OB＝OC＝OE＝OF.
∴∠OEB＝∠OBE，∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF.
∴∠BEC＝∠OEB＋∠OEC＝∠OBE＋∠OCE＝×180°＝90°.
同理∠ECF＝90°.
∵BE⊥AC，AB⊥BC，
∴S△ABC＝AC·BE＝AB·BC，
即×5·BE＝×3×4.∴BE＝.
∴CE＝＝＝.
∵∠GFE＝∠OCE，∠OEC＝∠OCE，
∴∠GFE＝∠OEC.∴FG＝GE.
∵∠GFE＋∠D＝90°，∠OEC＋∠GED＝90°，
∴∠D＝∠GED.∴GE＝GD.
∴FG＝GD＝DF＝.
∴CG＝CE－GE＝－＝.
又∠COF＝∠BOE，∴△COF≌△BOE（SAS）.
∴CF＝BE＝，∠OCF＝∠OBE.
∴∠FCG＝∠OCF＋∠BCE＝∠OBE＋∠BCE＝90°.
∴S△CFG＝CF·CG＝××＝.
19．解：（1）24.
（2）①根据表中数据（3，4，5），（4，3，5），（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17），（11，60，61），（12，35，37），（13，84，85），（15，112，113），（16，63，65），（17，144，145），（19，180，181），（20，21，29）的规律能用含字母m，n（m>n，且m，n均为正整数）的代数式表示三角形的三边．
设为a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2.
证明：∵a2＋b2＝（m2－n2）2＋（2mn）2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4，c2＝（m2＋n2）2＝m4＋2m2n2＋n4，∴a2＋b2＝c2.
根据勾股定理的逆定理，得a＝m2－n2，b＝2mn，c＝ m2＋n2能够成为直角三角形的三边长．
②根据表中数据可知（6，8，10），（9，12，15），（21，28，35）分别是（3，4，5）的2倍，3倍，7倍；（10，24，26），（14，48，50），（18，80，82），（22，120，122）分别是（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61）的2倍，经验算（9，40，41）满足m2－n2, 2mn, m2＋n2.
因此，表中数据能用含字母m，n，k（m>n，且m，n，k均为正整数）的代数式表示三角形的三边．
设a＝（m2－n2）k，b＝2mnk，c＝（m2＋n2）k.
证明：∵a2＋b2＝k2（m2－n2）2＋（2mnk）2＝m4k2＋2m2n2k2＋n4k2，c2＝[（m2＋n2）k]2＝m4k2＋2m2n2k2＋n4k2，∴a2＋b2＝c2.
根据勾股定理的逆定理，得（m2－n2）k，2mnk，（m2＋n2）k能够成为直角三角形的三边长．
综上，利用a＝（m2－n2）k，b＝2mnk，c＝（m2＋n2）k能够表示出表中所有勾股数组．
（3）设每个三角形的最短边为a，另一条直角边为b，斜边为c.
由题意，得a＝20，且直角三角形三边长均为正整数．
由勾股定理可得a2＋b2＝c2，则有c2－b2＝202，
即（c＋b）（c－b）＝400.
分以下4种情况讨论：
①解得
∵a②解得
∴所需种植花的数量为4×（20＋48＋52）＝480（株）.
③解得
∴所需种植花的数量为4×（20＋99＋10）＝880（株）.
④解得
∴所需种植花的数量为4×（20＋21＋29）＝280（株）.
∵280＜480＜880，∴这块绿地最少需要种植 280 株花．

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