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第二十章 勾股定理　限时检测卷
时间：120分钟　满分：120分　得分：__________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若一个直角三角形的两条直角边的长分别是5和12，则斜边的长为（　　）
A．13 B． C．7或17 D．13或
2．在平面直角坐标系中，点P（1，）到原点的距离是（　　）
A． B．2 C．3 D．4
3．如图1，点O在数轴上表示的数为0，在数轴上取一点A，使OA＝5，过点A作直线l⊥OA，在直线l上取点B，使AB＝2.以点O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数是（　　）
A． B． C．7 D．29
图1 　　图2 　　图3
4．以下列各数为边长，能构造成直角三角形的是（　　）
A．0.1，0.2，0.3 B．，2
C．6，7，8 D．9，40，41
5．（2025广州期末）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，则△ABD的周长为（　　）
A．3 B．3 C．3＋ D．3
6．图3是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面20 cm的点C处连接着出水口D所在的水管，水管AB上的点E处安装有红外线感应装置．已知出水口D到点C的距离CD为15 cm，出水口D到点E的距离为17 cm，并且CD⊥AB，则红外线感应装置距离洗手台面的高度BE为（　　）
A．8 cm B．12 cm C．15 cm D．17 cm
7．如图4，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，A，B，C，D四个点中能与点M，N构成一个直角三角形的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
图4 　　图5
8．意大利著名画家达·芬奇用如图5所示的方法证明了勾股定理．设空白部分的面积为S，则下列表示S的等式成立的是（　　）
A．S＝a2＋b2＋2ab B．S＝a2＋b2＋ab
C．S＝c2 D．S＝c2＋0.5ab
9．如图6，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，点C落在点C′处，BC′交边AD于点E.若AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　）
图6
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以两条直角边为直径向外作两个半圆，以斜边为直径向内作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AC＝4，BC＝2时，阴影部分的面积为（　　）
图7
A．4 B．4π C．8π D．8
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．如图8，点A（3，0），C（－2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴的正半轴于点B，则点B的坐标为__________．
图8 　　图9
12．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后测得桌面的长为3 m，宽为1.6 m，对角线为3.4 m，则这个桌面__________．（填“合格”或“不合格”）
13．如图9，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，点M，N在边AB上，且AN＝AC，BM＝BC，则MN的长为__________．
14．如图10，一圆柱形玻璃杯的高为5 cm，底面周长为12 cm，在杯内壁底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁距杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从杯外壁A处到杯内壁B处的最短距离是______________cm.（杯壁厚度忽略不计）
图10 　　　图11
15．我国古代数学家赵爽运用“弦图”证明了勾股定理（图11①），后人称其为“赵爽弦图”．图11②由图11①变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若S2＝6，则S1＋S3的值为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．（7分）如图12，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.4，BC＝1.8.
（1）求AB的长；
（2）求边AB上的高h.
图12
17．（10分）如图13，张大叔修建了一个蔬菜大棚，大棚的横截面是直角三角形，已知棚宽a＝12 m，棚高b＝5 m，棚长d＝30 m，现要在长方形棚顶（即图中阴影部分）覆盖塑料布．
（1）求长方形棚顶的面积．
（2）如果塑料布的价格为3元/ m2，那么张大叔购买塑料布需要花费多少元？
图13
18．（10分）某“综合与实践”小组开展了测量篮球架篮板AB的长度的实践活动，测量方案如下：
课题 测量篮板AB的长度
成员 组长：×××　组员：×××　　×××
工具 竹竿、皮尺、计算器等
测量示意图 如图14，篮板AB垂直地面于点C，线段AD，BE表示同一根竹竿，第一次将竹竿的一个端点与点A重合，另一端点落在地面的点D处，第二次将竹竿的一个端点与点B重合，另一端点落在地面的点E处． 图14
测量数据 竹竿的长度 5 m
CD的长度 3 m
CE的长度 4 m
根据表格中的方案和测量数据，请你帮助该“综合与实践”小组求出篮板AB的长度．
19．（14分）如图15，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2－AE2＝AC2.
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长．
图15
20．（16分）【问题背景】能够作为直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数．在一次数学活动课上，王老师设计了下表：
n 2 3 4 5 …
a 3 8 15 24 …
b 4 6 8 10 …
c 5 10 17 26 …
【知识技能】（1）请你观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝________，b＝________，c＝________．
【数学理解】（2）猜想：以a，b，c为三边长的三角形是否为直角三角形？并说明理由．
【拓展探索】（3）观察下列四组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41.分析其中的规律，可得出第五组勾股数为__________．　
21．（18分）【问题探究】
（1）如图16①，BD为四边形ABCD的对角线，BD⊥CD，若AB＝8，AD＝6，BC＝5，CD＝5，则四边形ABCD的面积为__________．
【问题解决】
（2）如图16②，四边形ABCD是某县一座全民健身中心的平面示意图，AC，AE，EF为中心内部三条走廊（点E，F分别在边BC，AB上），AD＝60 m，CD＝AE＝40 m，CE＝20 m，BE＝30 m，AC⊥CD，EF⊥AB.求EF的长．
（3）为满足民众不断增长的健身需求，该县计划在全民健身中心划分一块功能训练区．根据设计要求，功能训练区△BEH为等腰三角形，且点H位于边AB上．请你帮助设计人员计算出所有符合条件的AH的长．
图16
第二十章　限时检测卷
1．A　2.B　3.B　4.D　5.A　6.B　7.D　8.B　9.C　10.A
11．（0，4）　12.合格　13.4　14.10　15.12
16．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝＝＝3.
（2）∵S△ABC＝AC·BC＝AB·h，
∴×2.4×1.8＝×3h.
解得h＝1.44.∴边AB上的高h为1.44.
17．解：（1）根据题意，由勾股定理，得棚顶的宽为＝＝13（m）.
13×30＝390（m2）.
答：长方形棚顶的面积为390 m2.
（2）390×3＝1 170（元）.
答：张大叔购买塑料布需要花费1 170元．
18．解：在Rt△ADC中，由勾股定理，
得AC＝＝＝4（m）.
在Rt△BEC中，由勾股定理，
得BC＝＝＝3（m）.
∴AB＝AC－BC＝4－3＝1（m）.
答：篮板AB的长度为1 m.
答图1
19．（1）证明：如答图1，连接CE.
∵D是边BC的中点，DE⊥BC，
∴DE垂直平分BC.
∴CE＝BE.
∵BE2－AE2＝AC2，
∴CE2－AE2＝AC2，即AC2＋AE2＝CE2．
∴△ACE是直角三角形，∠A＝90°.
（2）解：∵D是边BC的中点，BD＝5，∴BC＝2BD＝10.
由（1），得∠A＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝8.
∴CE＝BE＝AB－AE＝8－AE.
在Rt△AEC中，由勾股定理，得AC2＋AE2＝CE2，
即62＋AE2＝（8－AE）2.解得AE＝.∴AE的长为 .
20．解：（1）n2－1　2n　n2＋1.
（2）以a，b，c为三边长的三角形是直角三角形．理由如下：
∵a2＋b2＝（n2－1）2＋（2n）2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1，c2＝（n2＋1）2＝n4＋2n2＋1，
∴a2＋b2＝c2.
∴以a，b，c为三边长的三角形是直角三角形．
（3）11，60，61.
21．解：（1）49.
（2）∵AC⊥CB，∴∠ACD＝90°.
在Rt△ACD中，AC＝＝＝20.
∵AE＝40，CE＝20，
∴AE2＋CE2＝402＋202＝（20）2＝AC2.
∴△AEC是直角三角形，∠AEC＝90°.
∴∠AEB＝180°－∠AEC＝90°.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝＝50.
∵EF⊥AB，∴S△ABE＝BE·AE＝AB·EF.
∴EF＝＝＝24（m）.∴EF的长为24 m.
（3）由（2）知∠AEB＝90°，BE＝30 m，AE＝40 m，AB＝50 m.
△BEH为等腰三角形，可以分为以下3种情况：
①若BE＝BH＝30 m，则AH＝AB－BH＝20 m.
②若HB＝HE，则∠HBE＝∠HEB.
∵∠B＋∠BAE＝90°＝∠HEB＋∠HEA，
∴∠BAE＝∠HEA.∴AH＝HE＝BH.∴AH＝AB＝25 m.
③若BE＝HE，
∵EF⊥AB，∴EF垂直平分BH.∴BH＝2BF.
在Rt△BFE中，由勾股定理，得BF＝＝18（m）．
∴AH＝AB－BH＝AB－2BF＝14（m）.
综上所述，AH的长为14 m或20 m或25 m.

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