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第十九章　二次根式
培优点1　二次根式的概念与性质
1．(2025汕尾一模)要使＝，则x的取值范围是(　　)
A.x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
2．已知△ABC的三边长a，b，c满足(a－5)2＋＋|－2|＝0，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．(2025齐齐哈尔)若代数式＋(x－2 025)0有意义，则实数x的取值范围是________．
4．(2025北京期末)已知2，3，y是一个三角形的三条边长，则化简|y－1|＋的结果为________．
5．(2025浙江模拟)已知＋＝5，求x的值．
6．【中考新考法·解题过程类阅读理解】(2025上海期中)在解决数学问题的过程中，我们经常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程．
【提出问题】若代数式＋的值是2，求a的取值范围．
【解决问题】解：原式＝|a－1|＋|a－3|.
当a＜1时，原式＝(1－a)＋(3－a)＝4－2a＝2，解得a＝1(舍去)．
当1≤a≤3时，原式＝(a－1)＋(3－a)＝2，符合条件．
当a＞3时，原式＝(a－1)＋(a－3)＝2a－4＝2，解得a＝3(舍去).
综上所述，a的取值范围是1≤a≤3.
【知识迁移】请根据上面的解题思路解答下列问题：
(1)当2≤a≤5时，化简＋＝________；
(2)若等式＋＝4成立，则a的取值范围是________；
(3)若＋＝8，求a的值．
培优点2　二次根式的运算
7．下列二次根式中，与(a>0，b>0)可以合并的是(　　)
A. B． C． D．－
8．【中考新考法·新定义】(2025福州期末)对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：a b＝－，如3 4＝－＝－，则7 9的结果为(　　)
A． B．3 C．2 D．－2
9．(2025汕头期中)已知x＋y＝2，xy＝1，则代数式＋的值是(　　)
A．2 B．0 C．4 D．1
10．对于实数a，b，定义min{a，b}表示a，b两个数中的较小数，例如：min{3，－5}＝－5.已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则2× 的值为(　　)
A.2 B．4 C．2 D．8
11．(2025德阳模拟)已知m是的小数部分，则的值为________．
12．已知m为正整数，若是整数，则根据＝＝3，可知m有最小值3×7＝21.若已知n为正整数，是大于1的整数，则n的最小值为________，最大值为________.
13．如图1所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中a，b，c三个实数的积为________．
图1
14．先化简，再求值：÷，其中a＝－1，b＝＋1.
15．(人教八下新教材P20改编)已知x＝－2，求(9＋4)x2－(＋2)x＋4的值．
16．计算：(＋－)(－＋).
培优点3　二次根式的应用
17．(2025平凉期末)某小区有一块长方形的草地，已知这块草地的宽为(－) m，为美化小区环境，给这块长方形草地围上白色的低矮栅栏，所需的栅栏的长度为(10－2)m，那么这块草地的面积为(　　)
A．24 m2 B．(24－8) m2
C．48 m2 D．(48－16 )m2
18．(2025深圳期中)如图2，从一个大正方形中裁去面积为8 cm2和50 cm2的两个小正方形，则阴影部分的面积为__________cm2.
图2
本章重难压轴题专练
19．【规律探索】(2025珠海期中)观察下列各式：
＝1＋－＝1；
＝1＋－＝1；
＝1＋－＝1；
……
请根据以上等式所提供的信息解答下列问题：
(1)猜想：＝1＋－＝________；
(2)归纳：用含n(n为正整数)的式子表示上述规律；
(3)应用：化简：；
(4)拓展：化简下面的式子：
＋＋＋…＋.
20.【中考新考法·阅读理解·新定义】(2025淄博期中)数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算：如果a2±2ab＋b2＝(a±b)2，那么＝|a±b|.
如何化简双重二次根式 ？我们可以把5±2转化为()2±2＋()2＝(±)2的形式，由此可化简双重二次根式，即＝＝±.
材料二：在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y′＝则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(－2，5)的“横负纵变点”为(－2，－5).
根据上述材料，解决下列问题：
(1)点(，－)的“横负纵变点”为________ ，点(－3，－2)的“横负纵变点”为________；
(2)化简：；
(3)已知实数a的范围为1≤a＜2，点M的坐标为(－，m)，且m＝(＋)，求点M的“横负纵变点”．
21.【阅读理解·代数探究】(2025北京期中)阅读下列材料：
我们在化简二次根式时，经常用到分母有理化，有一个类似的方法叫作“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
例如：－＝＝.
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如：比较－和－的大小．
解：－＝，－＝.
∵＋＞＋，∴－＜－.
也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：求y＝－的最大值．
解：根据题意，得解得x≥2.
∴y＝－＝＝.
当x＝2时，分母＋有最小值为2，则y的最大值为2.
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：3－4＝＝________；
(2)比较3－4和2－的大小；
(3)求y＝＋－的最大值和最小值．
第十九章　二次根式
1．B　2.B　3.x＞3且x≠2 025　4.4　
5．解：由题意，得
解得－3≤x≤3.
整理＋＝5，
得＝5－.
∴16－x2＝（5－）2＝25－10＋9－x2.
解得x＝±.
6．解：（1）3.
（2）3≤a≤7.
（3）原方程可化为|a＋1|＋|a－5|＝8.
当a<－1时，原等式化为－（a＋1）＋（5－a）＝8，
解得a＝－2.符合题意．
当－1≤a≤5时，原等式化为（a＋1）＋（5－a）＝8，
此等式不成立，故－1≤a≤5不符合题意．
当a>5时，原等式化为（a＋1）＋（a－5）＝8，
解得a＝6.符合题意．
综上所述，a的值为－2或6.
7．A　8.D　9.A　10.B　11.4　12.3　75　13.18　
14．解：原式＝·
＝·
＝.
当a＝－1，b＝＋1时，
原式＝＝＝－.
15．解：∵x＝－2，
∴x2＝（－2）2＝5－4＋4＝9－4.
∴原式＝（9＋4）（9－4）－（＋2）·（－2）＋4
＝81－80－（5－4）＋4
＝1－1＋4
＝4.
16．解：原式＝[＋（－）][－（－）]
＝（）2－（－）2
＝3－（5－10＋10）
＝10－12.
17．B　18.40　
19．解：（1）1.　
（2）＝1＋－＝1＋.
（3）由（2），得原式＝ ＝＝1＋＝1.
（4）原式＝＋＋＋…＋＝1×2 025＋＋…＋
＝2 025＋
＝2 025＋＝2 025＋＝2 025.
20．解：（1）（，－）　（－3，2）.
（2）由题意，得原式＝ ＝ ＝＋.
（3）∵1≤a＜2，∴0≤a－1＜1.
∴0≤＜1.∴－1＜0.
∴m＝（＋）＝（|＋1|＋|－1|）＝（＋1＋1－）＝×2 ＝.
∴M（－，）.
∵－＜0，
∴点M的“横负纵变点”为（－，－）.
21．解：（1）.
（2）2－＝＝ .
由（1），得3－4＝.
∵3＞2，4＞，∴3＋4＞2＋.
∴<，即3－4＜2－.
（3）根据题意，得解得0≤x≤1.
∴y＝＋－＝＋.
当x＝0时，＋有最小值为1，则 有最大值为1，此时有最大值为1，
∴y的最大值为1＋1＝2.
当x＝1时，＋有最大值为1＋，则 有最小值为－1，此时有最小值为0，
∴y的最小值为0＋－1＝－1.

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