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期末复习（五）—— 一次函数　 　　　　　　 　　　　 　
知识点1　一次函数的概念、图象与性质
1．下列函数中，是一次函数的是（　　）
A．y＝3 B．y＝ C．y＝x2＋2x D．y＝x＋5
2．若关于x的一次函数y＝（k－3）x＋8的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．k＜0 C．k＞3 D．k＜3
3．在关于x的一次函数y＝ax＋b中，a＜0，b＞0，则它的图象可能是（　　）
4．（2025惠州期末）对于一次函数y＝2x－1，下列结论正确的是（　　）
A．图象与y轴交于点（0，2） B．y随x的增大而减小
C．图象经过第一、二、三象限 D．当x＞时，y＞0
5．（2025湛江期末）把直线y＝x向下平移4个单位长度，所得直线的函数解析式为____________．
6．已知关于x的函数y＝（m－1）x＋m2－1是正比例函数，则m＝__________．
7．已知点（－1，y1），（3，y2）均在一次函数y＝－x－1的图象上，则y1________y2.（填“＞”“＜”或“＝”）
知识点2　待定系数法求一次函数解析式
8．对于正比例函数y＝kx，当x＝－3时，y＝4，则k的值为（　　）
A． B．－ C．12 D．－12
9．如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y＝mx－2恰好过正方形OABC的对角线的交点D，则m＝__________．
图1
10．已知一次函数的图象经过点（0，3）与点（－4，7），求该一次函数的解析式．
知识点3　一次函数与方程、不等式
11．已知一次函数y＝ax＋b的图象如图2所示，则关于x的方程ax＋b＝0的解为（　　）
A.x＝－2 B．x＝－1 C．x＝1 D．x＝2
图2 图3 　　图4
12．如图3，函数y＝kx＋b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx＋b＞3的解集为__________．
13．如图4，一次函数y＝kx＋b的图象与y＝－x＋4的图象相交于点P（m，1），则关于x，y的二元一次方程组的解是__________．
知识点4　一次函数的应用
14．某种皮球的弹跳高度（单位：cm）与下落高度（单位：cm）之间存在一次函数关系，某小组通过试验得到下列几组对应数据：
下落高度/cm 40 50 80 100 150
弹跳高度/cm 20 25 40 50 75
如果这种皮球的下落高度为180 cm，那么它的弹跳高度为（　　）
A．90 cm B．85 cm C．80 cm D．100 cm
15．某种水果的付款金额y（单位：元）与购买量x（单位：kg）之间的函数关系如图5所示，则购买16 kg这种水果的付款金额为（　　）
图5
A．70元 B．72元 C．74元 D．76元
16．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下：
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按成人价的六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按成人价的八折优惠．
设学生暑期健身次数为x，方案一所需费用为y1（单位：元），y1＝k1x＋b；方案二所需费用为y2（单位：元），y2＝k2x.y1与y2的函数图象如图6所示．
（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
（2）求打折前每次健身的费用和k2的值；
（3）八年级学生小明计划暑期前往该俱乐部健身m次，请结合图象说明他选择哪种方案所需费用更少．
图6
基础题
1．将直线y＝3x＋1向下平移2个单位长度后，所得直线的解析式是（　　）
A．y＝3x＋3 B．y＝3x－2 C．y＝3x＋2 D．y＝3x－1
2．已知关于x的函数y＝（m＋3）xm2－8－5是一次函数，则m的值是（　　）
A．3 B．－3 C．±3 D．无法确定
3．若点M（3，－2）在关于x的函数y＝3x＋b的图象上，则b的值为（　　）
A．－11 B．－8 C．－7 D．8
4．对于函数y＝－2x＋4的图象，下列说法不正确的是（　　）
A．y随x的增大而减小 B．经过第一、二、四象限
C．与两坐标轴围成的三角形的面积为4 D．与x轴的交点坐标是（4，0）
5．某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度y（单位：cm）与观察时间x（单位：天）之间的函数关系如图7所示．若该植物的高度不低于12 cm，则至少需要观察（　　）
A．16天 B．32天 C．48天 D．56天
图7 　　图8
6．（2025深圳期末）如图8，一次函数y＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点A，B（0，1），则关于x的不等式ax＋b≥0的解集为__________．
7．请你写出一个一次函数，满足条件：①图象经过第一、二、三象限；②图象与y轴的交点坐标为（0，2）．此一次函数的解析式可以是__________．
8．若点A（－2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝－3x＋m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_______________．（用“＞”连接）
9．古秤是华夏文明的瑰宝之一．如图9，通过秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离可以得出秤钩上所挂物体的重量．设称重时，秤钩所挂物体的重量为x（单位：kg），秤砣到秤纽的水平距离为y（单位：cm），已知y与x满足某种函数关系．下表为若干次称重时所记录的数据：
x（kg） 1 2 3 4 5 6
y（cm） 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
图9
（1）求y与x之间的关系式；
（2）当x＝9时，求对应的水平距离y的值．
10．一年一度的校园艺术节即将到来，学校准备采购一批道具，现有甲、乙两个商场可供采购．据了解，乙商场按40元每件的价格出售，甲商场出售价格根据购买数量给予优惠，图10是在甲商场购买道具所需总费用y（单位：元）与购买数量x（单位：件）的函数图象．
（1）求在甲商场购买道具时y与x之间的函数关系式；
（2）当学校购买道具超过多少件时选择甲商场更划算？
图10
提升题
11．（2025汕头模拟）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与y＝－k的图象大致是（　　）
12．（2025佛山期末）如图11，已知直线y＝kx＋b经过点P（1，－1），则关于x的不等式kx＋b≥－x的解集是（　　）
A．x≥－1 B．x≥1 C．x≤1 D．x≤－1
图11 　　图12 图13
13．（2025东莞模拟）如图12，入射光线MN遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线NP交x轴于点P（－2，0），若光线MN满足的一次函数关系式为y＝kx＋1，则k的值是（　　）
A．－ B．－ C．－ D．－
14．（2025江门期末）如图13，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为矩形，点B的坐标为（－2，4），点D的坐标为（－4，0），点C在x轴上．直线l经过点M（0，3），且平分矩形ABCD的周长，则直线l的解析式为____________．
15．数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸如图14①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图14②，3辆购物车叠放所形成的购物车列的长度为1.6 m．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为2.6 m的购物车列．
　
①　　　　　　　　②
图14
如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题：
（1）当n辆购物车按图14②的方式叠放时，形成购物车列的长度为L m，则L与n的关系式是_________；
（2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量；
（3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种使用电梯的运输方案？
16．如图15①，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B.
（1）求△AOB的面积．
（2）如图15②，直线AC交y轴负半轴于点C，AB＝BC，P为射线AB（不与点A重合）上一点，过点P作y轴的平行线交射线AC于点Q.设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式．
图15
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点N，使△PQN是等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
期末复习（五）—— 一次函数
对点训练
1．D　2.D　3.C　4.D　5.y＝x－4　6.－1　7.＞
8．B　9.2
10．解：设该一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
将（0，3），（－4，7）代入，
得解得
∴该一次函数的解析式为y＝－x＋3.
11．B　12.x＜－1　13.　14.A　15.C
16．解：（1）把点（0，30），（10，180）代入y1＝k1x＋b，
得解得
k1＝15表示的实际意义：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元；b＝30表示的实际意义：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元．
（2）由题意，得打折前每次健身的费用为15÷0.6＝25（元）．
∴k2＝25×0.8＝20.
（3）由（1）（2）可知，y1＝15x＋30，y2＝20x.
令y1＝y2，即15x＋30＝20x，解得x＝6.
由图象，得当x＞6时，y2＞y1；
当0＜x＜6时，y2＜y1.
∴当m＝6，即健身次数为6时，选择两种方案所需费用相等；
当m＞6，即健身次数大于6时，选择方案一所需费用更少；
当0＜m＜6，即健身次数大于0且小于6时，选择方案二所需费用更少．
综合训练
1．D　2.A　3.A　4.D　5.D　6.x≥－
7．y＝x＋2（答案不唯一）　8.y1＞y3＞y2
9．解：（1）由表格中的数据，得x每增加1，y增加0.25.
∴y与x满足一次函数关系．
设y与x之间的关系式为y＝kx＋b（k≠0）.
把x1＝2，y1＝1，x2＝6，y2＝2代入，
得解得
∴y与x之间的关系式为y＝x＋.
（2）把x＝9代入y＝x＋，
得y＝×9＋＝＝2.75.
∴对应的水平距离y的值为2.75.
10．解：（1）由图象可得，当0≤x≤60时，y与x成正比例函数关系；当x>60时，y与x成一次函数关系．
设当0≤x≤60时，y与x之间的函数关系式为y＝kx（k≠0）．
把（60，2 640）代入，得2 640＝60k.解得k＝44.
∴当0≤x≤60时，y与x之间的函数关系式为y＝44x.
设当x＞60时，y与x之间的函数关系式为y＝ax＋b（a≠0）．
把（60，2 640），（80，3 400）代入，
得解得
∴当x＞60时，y与x之间的函数关系式为y＝38x＋360.
∴y＝
（2）由题意可得，在乙商场购买道具时，所需总费用y与购买数量x之间的函数关系式为y＝40x.
由（1）得在甲商场购买道具时，y与x之间的函数关系式为y＝
∴令38x＋360＜40x，解得x＞180.
答：当学校购买道具超过180件时选择甲商场更划算．
11．B　12.B　13.B　14.y＝ x＋3
15．解：（1）L＝0.2n＋1.
（2）当L＝2.6时，0.2n＋1＝2.6.
解得n＝8.∴2×8＝16.
答：该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量是16.
（3）设用扶手电梯转运m次，则用直立电梯转运（5－m）次．
根据题意，得24m＋16（5－m）≥100.
解得m≥.
∵m为正整数，且m≤5，∴m＝3，4，5.
∴共有3种运输方案，即用扶手电梯转运3次，直立电梯转运2次；用扶手电梯转运4次，直立电梯转运1次；用扶手电梯转运5次，直立电梯转运0次．
16．解：（1）把A（4，0）代入y＝－x＋m，
得0＝－×4＋m.解得m＝3.
∴y＝－x＋3.
令x＝0，得y＝3.∴B（0，3）.∴OB＝3.
∵A（4，0），∴OA＝4.
∴△AOB的面积为OB·OA＝×3×4＝6.
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝＝5．
∴BC＝AB＝5，OC＝BC－OB＝2.∴C（0，－2）.
∵点P的横坐标为t，且点P在射线AB上，
∴P（t＜4）.
设直线AC的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
把点A（4，0），C（0，－2）代入，
得解得
∴直线AC的解析式为y＝x－2.
又点Q在射线AC上，PQ∥y轴，∴Q.
∴PQ＝－t＋3－＝－t＋5.
∴d与t之间的函数关系式为d＝－t＋5.
答图1
（3）存在．当△PQN是等腰直角三角形时，分以下三种情况：
①当点N为直角顶点时，∠PNQ＝90°，PN＝QN.如答图1，过点N作NM⊥PQ于点M.
易得MN＝|t|，M为PQ的中点．
∴PQ＝2MN＝2PM＝2|t|.
由（2），得PQ＝－t＋5.
∴－t＋5＝2|t|.解得t＝或t＝－.
t＝时，yM＝＝＝＝×＝.
∴yN＝yM＝.∴N.
同理，t＝－时，yN＝yM＝.∴N.
②当点P为直角顶点时，∠NPQ＝90°，PN＝PQ.
易得PN＝|t|.
∴|t|＝－t＋5.解得t＝或t＝20（舍去）．
t＝时，yN＝yP＝－t＋3＝.∴N.
③当点Q为直角顶点时，∠NQP＝90°，QN＝PQ.
易得QN＝|t|.
∴|t|＝－t＋5.解得t＝或t＝20（舍去）．
t＝时yN＝yQ＝t－2＝－.∴N.
综上，点N的坐标为或或.

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