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期末复习（一）—— 二次根式　　 　　　　 　　　　　　 　
知识点1　二次根式的概念
1．下列式子是二次根式的是（　　）
A． B．π C． D．
2．（2025东莞期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞－2 B．x≥－2 C．x≥2 D．x＞2
3．使式子在实数范围内有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≥3 D．x≤3
4．（2025江门一模）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________________.　
知识点2　二次根式的性质
5．下列计算错误的是（　　）
A．＝2 B．＝2 C．（）2＝2 D．（－）2＝－2
6．（2025绍兴期中）若a＜7，则计算－7的结果是（　　）
A．a B．－a C．a－14 D．14－a
7．若＝3－a，则a的取值范围是（　　）
A．a≥3 B．a≤3 C．a≤0 D．a＜3
8．若实数a在数轴上对应点的位置如图1所示，则化简－|a－2|的结果是__________．
图1
知识点3　二次根式的运算
9．（2025珠海期末）下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
10．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
11．下列计算正确的是（　　）
A．＝ B．4－3＝ C．＝2 D．÷＝
12．计算：
（1）＝__________；
（2）÷＝__________；
（3）＝__________；
（4）＝__________．
13．计算：
（1）（）（）＝______________；
（2）（）2＝__________．
14．计算：
（1）（）×；
（2）＋2÷；
（3）（1＋）（2－）；
（4）÷.
知识点4　二次根式的应用
15．如图2，团扇是中国传统工艺品，现某课外小组手工制作了一个长为 cm，宽为 cm的长方形扇面，则这个长方形扇面的面积为__________．
图2 　　图3
16．如图3，将一根铁丝首尾相接可以围成 ABCD，其中AB＝π cm，BC＝π cm.若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆，则该圆的半径是__________．
17．【跨学科】（2025珠海期中）电流通过导线时会产生热量．电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足：Q＝I2Rt.已知导线的电阻为10Ω，1 s的时间导线产生了60 J的热量，则电流I为__________A．（结果用二次根式表示）
18．（2025东莞期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝.现已知△ABC的三边长分别为a＝，b＝2，c＝，则△ABC的面积为__________．
基础题
1．下列计算正确的是（　　）
A．＝－3 B．＝7 C．＝3 D．＝
2．（2025舟山期末）若在实数范围内有意义，则a的值可以是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．－2
3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知与是同类二次根式，则a的值可能为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2025湛江期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知y＝1＋，则4x＋y的平方根为（　　）
A． B．± C．2 D．±2
7．已知38．当x＝1＋时，代数式x2－2x＋2 025的值是__________．
9．据研究，物体从高空下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（g取 10 m/s2）．若一物体从高度为60 m处开始下落，则下落的时间为__________s．
10．计算：
（1）（）÷；
（2）－4÷.
11．（2025湛江期中）剪纸是一门古老的传统民间艺术，具有明显的地域特色和极高的艺术价值．为传承这一艺术，某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在20 dm2以上．如图4，这是小玲同学的参赛作品，其形状为长方形．
（1）通过计算，判断小玲的作品是否符合参赛标准；
（2）若在参赛作品周围贴上金色彩条，使参赛作品更漂亮，求所需彩条的长度．（结果保留根号）
图4
12．已知实数a，b，c满足（a－）2＋＋|c－3|＝0.
（1）求a，b，c的值．
（2）请判断以a，b，c为边长能否构成三角形．若能，求出该三角形的周长；若不能，请说明理由．
13．已知x＝，y＝.
（1）计算x＋y，xy的值；
（2）求代数式x2－xy＋y2的值．
提升题
14．若6－的整数部分为x，小数部分为y，则（2x＋）y的值是__________．
15．已知a＜0，b＞0，则化简二次根式的结果是__________．
16．计算：（－3）5（＋3）6＝____________.
17．方程x＝x－1的解是______________．
18．已知＝，且x是偶数，则（x＋2）的值为__________．
19．若x满足（x＋2 025）（2 026＋x）＝4，则代数式的值为__________．
20．定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a，b互为因子二次根式，c为因子．
（1）请判断－5＋3和10＋6是否互为因子二次根式．如果是，求出因子；如果不是，请说明理由．
（2）若－1与n－互为因子二次根式，3为因子，求n的值．
21．阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
小华在学习分式运算时，通过具体运算：＝1－＝＝，…，发现规律：＝（n为正整数），并证明了此规律．
材料二：根式化简
例1：＝＝＝；
例2：＝＝＝.
（1）发现：
＝__________________（n为正整数）；
（2）计算：＋＋…＋＝____________________；
（3）已知x＝，y＝＋＋…＋，比较x和y的大小，并说明理由．
期末复习（一）—— 二次根式
对点训练
1．D　2.C　3.A　4.x≥－3且x≠5　5.D　6.B　7.B
8．2a－3　9.C　10.D　11.B
12．（1）4；（2）2；（3）3；（4）
13．（1）8；（2）8－4
14．解：（1）原式＝×－×
＝－
＝6－6.
（2）原式＝2＋2＝2＋2×4＝2＋8.
（3）原式＝2－＋2－3＝－1.
（4）原式＝－＋4
＝2－＋4
＝5.
15．40cm2　16.3 cm　17.　18.
综合训练
1．D　2.A　3.A　4.B　5.C　6.B　7.1　8.2 027　9.2
10．解：（1）原式＝（3＋2）÷2＝5÷2＝.
（2）原式＝4－4×＋
＝4－2＋3
＝2＋3.
11．解：（1）由题意，得小玲的作品的面积为×＝3×4＝24（dm2）.
∵24﹥20，
∴小玲的作品符合参赛标准．
（2）由题意可得2×（＋）＝2×（3＋4）＝14（dm）.
∴所需彩条的长度为14 dm.
12．解：（1）∵（a－）2＋＋|c－3|＝0，
且（a－）2≥0，≥0，|c－3|≥0，
∴（a－）2＝0，＝0，|c－3|＝0，
即a－＝0，b－5＝0，c－3＝0.
∴a＝2，b＝5，c＝3.
（2）以a，b，c为边长能构成三角形．
该三角形的周长为2＋5＋3＝5＋5.
13．解：（1）x＝＝＝＋1，
y＝＝＝－1.
∴x＋y＝＋1＋－1＝2，
xy＝（＋1）（－1）＝4.
（2）x2－xy＋y2＝（x＋y）2－3xy＝（2）2－3×4＝20－12＝8．
14．3　15.－2a　16.＋3　17.x＝＋1
18．2　19.3
20．解：（1）∵（－5＋3）（10＋6）＝（－5＋3）×2（5＋3）＝2×（99－250）＝－302，－302是有理数，
∴－5＋3和10＋6互为因子二次根式，因子是－302.
（2）根据题意，得（－1）（n－）＝3.
∴n－＝＝.∴n＝.
21．解：（1）.
（2）.
（3）x>y.理由如下：
y＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝－.
∴x－y＝＞0.∴x＞y.

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