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(共31张PPT)
第6节　一元二次不等式恒(能)成立问题
课标解读　 掌握解决不等式恒(能)成立问题的常用方法：判别式法、数形结合法、分离参数法、
主参换位法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体的条件选择合适的方法求解.
内
容
索
引
关键能力提升
考点一 形如f(x)≥0(f(x)≤0)的不等式
在R上恒成立求参数
考点二 形如f(x)≥0的不等式在区间[a，
b]上恒成立求参数
考点三 给定参数范围的恒成立问题
考点四 一元二次不等式能成立问题
考点一　形如f(x)≥0(f(x)≤0)的不等式在R上恒成立求参数
(多选)对任意实数x，不等式2kx2＋kx－3＜0恒成立，则实数k可以是(　 　)
A. 0 B. －24
C. －20 D. －2
【解析】 当k=0时，不等式即为－3＜0，不等式恒成立；当k≠0时，若不等式恒成立，则 －24＜k＜0，于是－24＜k≤0.
例 1
ACD
一元二次不等式恒成立的条件：
不等式类型 恒成立条件
ax2＋bx＋c＞0 a＞0，Δ＜0
ax2＋bx＋c≥0 a＞0，Δ≤0
ax2＋bx＋c＜0 a＜0，Δ＜0
ax2＋bx＋c≤0 a＜0，Δ≤0
(1)若关于x的一元二次不等式2x2－kx＋＞0对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围是(　 　)
A. {k|k＜}
B. {k|k＜－}
C. {k|－＜k＜}
D. {k|k＞－}
【解析】 由题意Δ=(－k)2－4×2×＜0，整理可得k2－3＜0，解得－＜k＜.
(2)已知关于x的不等式mx2＋mx＋1＞0恒成立，则m的取值范围是　 　.
【解析】 当m=0时，不等式1＞0恒成立，∴m=0符合题意；当m≠0时，若关于x的不等式mx2＋mx＋1＞0恒成立，则解得0＜m＜4.综上，m的取值范围是[0，4).
跟踪训练1
C
[0，4)
考点二　形如f(x)≥0的不等式在区间[a，b]上恒成立求参数
(2025·辽宁大连模拟)已知 x∈[1，2]， y∈[2，3]，y2－xy－mx2≤0，则实数m的取值范围是(　 　)
A. [4，＋∞) B. [0，＋∞)
C. [6，＋∞) D. [8，＋∞)
【解析】 ∵x∈[1，2]，y∈[2，3]，则∈，∴∈[1，3]，又y2－xy－mx2≤0，可得m≥，令t=∈[1，3]，则 t∈[1，3]，m≥t2－t，即只需m≥(t2－t)max，t2－t=，当t=3时，t2－t取到最大值，(t2－t)max=9－3=6，∴实数m的取值范围是[6，＋∞).
例 2
C
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法：
(1)最值转化法：若f(x)＞0在集合A中恒成立，则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0；若f(x)＜0在集合A中恒成立，则函数y=f(x)在集合A中的最大值小于0.
(2)分离参数法：把不等式化为a＞f(x)，或a＜f(x)的形式，只需求解a＞f(x)max，或a＜f(x)min.
(3)数形结合法：根据图象列出约束条件求解.
已知函数f(x)=x2－mx＋2m－4(m∈R). 当x＞2时，不等式f(x)≥－1恒成立，则实数m的取值范围是　 　.
【解析】 f(x)≥－1，即x2－mx＋2m－3≥0在x＞2时恒成立，令g(x)=x2－mx＋2m－3，
①若≤2，即m≤4，只需g(2)≥0，即4－2m＋2m－3≥0，1≥0恒成立，∴m≤4满足题意；②若＞2，即m＞4，只需Δ=m2－4(2m－3)≤0，则(m－2)(m－6)≤0，∴4＜m≤6.综上，m的取值范围是{m|m≤6}.
跟踪训练2
{m|m≤6}
考点三　给定参数范围的恒成立问题
若mx2－mx－1＜0对于m∈[1，2]恒成立，则实数x的取值范围是 　.
【解析】 设g(m)=mx2－mx－1=(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1，2]时，图象为一条线段，则即解得＜x＜，故x的取值范围是.
例 3
解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，对于给定参数范围的恒成立问题，一般是把自变量看作参数，把不等式看作关于参数的函数解决问题.
若不等式x2－ax≥16－3x－4a对任意a∈[－2，4]恒成立，则x的取值范围是(　 　)
A. (－∞，－8]∪[3，＋∞)
B. (－∞，0)∪[1，＋∞)
C. [－8，6]
D. (0，3]
【解析】 由题得不等式(x－4)a－x2－3x＋16≤0对任意a∈[－2，4]恒成立，∴即解得x≥3，或x≤－8.
跟踪训练3
A
若关于x的不等式x2－ax＋7＞0在(2，7)上有实数解，则a的取值范围是(　 　)
A. (－∞，8) B. (－∞，8]
C. (－∞，2) D.
【解析】 方法一(分离参数法)　不等式x2－ax＋7＞0在(2，7)上有实数解，等价于不等式a＜x＋在(2，7)上有实数解，∵函数f(x)=x＋在(2，)上单调递减，在(，7)上单调递增，且f(2)=2＋，f(7)=7＋=8，∴f(x)max＜f(7)=8，∴a＜8，即实数a的取值范围是(－∞，8).
方法二(最值转化法)　原不等式在(2，7)上有实数解，它的否定是不等式x2－ax＋7＞0在(2，7)上无实数解，则解得a≥8，∴不等式x2－ax＋7＞0在区间(2，7)上有实数解时，a＜8.
例 4
考点四　一元二次不等式能成立问题
A
一元二次不等式在给定区间上有解问题的解题策略：
(1)分离参数法：把不等式化为a＞f(x)或a＜f(x)的形式，只需a＞f(x)min或a＜f(x)max(注意不等号方向是否改变).
(2)最值转化法：若f(x)＞0在集合A中有解，则函数y=f(x)在集合A中的最大值大于0；若f(x)＜0在集合A中有解，则函数y=f(x)在集合A中的最小值小于0.
(3)数形结合法：根据图象列出约束条件求解.
注意：最后一定要注意检验区间的开闭.
(2025·北京朝阳期末)若存在实数x使得kx2－2x＋1＜0成立，则实数k的取值范围是(　 　)
A. (－∞，1) B. (－∞，0]
C. (0， 1) D. [0， 1)
【解析】 当k=0时，此时当x＞时，即满足kx2－2x＋1＜0，故k=0符合题意；当k＜0时，此时y=kx2－2x＋1为开口向下的二次函数，一定存在实数x使得kx2－2x＋1＜0成立，故k＜0符合题意；当k＞0时，此时y=kx2－2x＋1为开口向上的二次函数，要使存在实数x使得kx2－2x＋1＜0成立，则Δ=4－4k＞0，解得0＜k＜1，综上，k＜1.
跟踪训练4
A
课时作业
答案速对
第一章 对点练6 一元二次不等式恒(能)成立问题 题号 1 2 3 4 5
答案 B A D D C
题号 6 7 13 14 答案 ACD CD C BCD 1.若关于x的一元二次不等式ax2＋2ax＋1＞0的解集为R，则a的取值范围是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. a＞0
B. 0＜a＜1
C. 0≤a＜1
D. a＜1
B
2.(2025·湖北黄冈模拟)若“ x∈R，x2－mx＋2＞0”是真命题，则实数m的取值范围是
(　 　)
A. (－2， 2)
B. [－2， 2]
C. (－2，2)
D. [－2，2]
A
3.(2025·山东临沂模拟)已知不等式x2－mx＋4＜0的解集为空集，则m的取值范围是
(　 　)
A. (－4，4)
B. (－∞， －4)∪(4，＋∞)
C. (－∞， －4]∪[4，＋∞)
D. [－4， 4]
D
4.若不等式x2＋ax－1≤0对于一切x∈[1， 4]恒成立，则实数a的取值范围是(　 　)
A.
B.
C. {a|a＞0}
D.
D
5.若4x－m·2x＋3＞0在x∈(0， 1)上恒成立，则实数m的取值范围是(　 　)
A. (2，＋∞)
B. (4，＋∞)
C. (－∞，2)
D. (－∞，4)
C
6.(多选)在R上定义运算：=ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的可能取值为(　 　)
A. － B. －
C. D.
【解析】 由题得，(x－1)x－(a＋1)(a－2)≥1，即x2－x－a2＋a＋1≥0在R上恒成立，∴Δ=1＋4a2－4a－4=(2a－3)·(2a＋1)≤0，解得－≤a≤.
ACD
7.(多选)已知函数f(x)=x2－ax－1，当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的值可以是
(　 　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 3
【解析】 ∵|f(x)|≤5 －5≤x2－ax－1≤5，①当x=0时，a∈R；②当x≠0时，得x－≤a≤x，当x∈(0，3]时，=4，=1，∴1≤a≤4.综上，1≤a≤4.
CD
8.(2025·甘肃兰州模拟)若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x∈R都成立，则实数m的取值范围是　 　.
【解析】 原不等式等价于(m－2)x2＋2(m－2)x－4＜0，当m=2时，对x∈R，不等式恒成立；当m≠2时，则有解得－2＜m＜2. 综上，实数m的取值范围是(－2，2].
(－2，2]
9.若函数f(x)=ax2＋20x＋14(a＞0)对任意实数t，在闭区间[t－1，
t＋1]上总存在两个实数x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则
实数a的最小值为　 　.
【解析】 ∵a＞0，∴二次函数f(x)=ax2＋20x＋14在闭区间[t－1，
t＋1]上总存在两个实数x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，只需
t=－时，f(t＋1)－f(t)≥8，整理得2at＋a＋20≥8，将t=－代入解得a≥8， ∴a的最小值为8.
8
10.设命题p：已知a＞0，b＞0，且a＋b=ab，不等式a＋b≥m2－5m－2恒成立，命题q：存在x∈[－1，1]，使得不等式x2－2x＋m－1≤0成立，若命题p，q中有一个为真命题，一个为假命题，则实数m的取值范围是　 　.
【解析】 对于p：∵a＋b=ab≤，∴a＋b≥4，当且仅当a=b=2时取等号，又m2－5m－2≤a＋b恒成立，则m2－5m－2≤4，即－1≤m≤6.对于q：存在x∈[－1，1]，使得不等式x2－2x＋m－1≤0成立，只需(x2－2x＋m－1)min≤0，∴－2＋m≤0，∴m≤2.∵p，q有一真一假，∴若q为假命题，p为真命题，则∴2＜m≤6；若p为假命题，q为真命题，则∴m＜－1.综上，m＜－1，或2＜m≤6.
(－∞，－1)∪(2，6]
11.(2025·温州期中)若关于x的不等式x2＋|x－a|＜3在(－∞， 0)上有解，则实数a的取值
范围是 　.
【解析】 关于x的不等式x2＋|x－a|＜3在(－∞， 0)上有解，
即关于x的不等式|x－a|＜3－x2在(－∞， 0)上有解，作出函
数y=|x－a|与y=3－x2的图象，如图所示：
当y=x－a与y=3－x2相切时，则x－a=3－x2，即x2＋x－a－3=0，由Δ=0，解得a=－；当y=－x＋a过点(0， 3)时，得a=3. 由图可知，－＜a＜3，∴实数a的取值范围是.
12.已知关于x的不等式ax2－3x＋2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}.
(1)求a，b的值；
解：(1)由题可知a＞0，且x=1和x=b是方程ax2－3x＋2=0的两个根，∴解得a=1，b=2，此时原不等式为x2－3x＋2＞0，该不等式的解集为{x|x＜1，或x＞2}，符合题意.
(2)当x＞0，y＞0且满足=1时，有2x＋y≥k2－k＋2恒成立，求实数k的取值范围.
(2)由(1)得=1，∴2x＋y=(2x＋y)=4≥4＋2=8，当且仅当，即2x=y=4时，等号成立，∴2x＋y有最小值8.∵2x＋y≥k2－k＋2恒成立，即k2－k－6≤0，解得－2≤k≤3，即实数k的取值范围是[－2， 3].
13.已知x∈(－1，5]时，＞0恒成立，则实数a的取值范围是(　 　)
A. (－1，＋∞) B. [－1，＋∞)
C. (5，＋∞) D. [5，＋∞)
【解析】 设＞0的解集为A，∵x∈(－1，5]时，＞0恒成立，∴(－1，5] A，由＞0得(1＋x)(x－a)＜0，当a＞－1时，解得－1＜x＜a，即A=(－1，a)，可得a＞5；当a＜－1时，解得a＜x＜－1，即A=(a，－1)，不符合题意；当a=－1时，解集为 ，不符合题意. 综上，实数a的取值范围是(5，＋∞).
C
14.(多选)(2025·山东济南期中)我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数x，y的二元函数f(x， y)=x(1＋y)，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. f(2，4)=f(4，2)
B. 对任意的x＞0，f≥2
C. 若对任意实数x，f(x－a， 2x)≥－a－2，则实数a的取值范围是
D. 若存在x≥2，使不等式f(x－a， 2x)≤－a－2成立，则实数a的取值范围是[3，＋∞)
【解析】 对于A，f(2，4)=2×5=10≠4×3=f(4，2)，A错误；对于B，f(1＋x2)=x，∵x＞0，∴x ≥2，当且仅当x=1时，等号成立，B正确；对于C，由于f(x－a， 2x)=(x－a)(2x＋1)=2x2＋(1－2a)x－a，∴2x2＋(1－2a)x－a≥－a－2，∴2x2＋(1－2a)x＋2≥0对任意实数x恒成立，∴Δ=(1－2a)2－16≤0，∴－≤a≤，C正确；对于D，存在x≥2，使2x2＋(1－2a)x＋2≤0，∴2x≤2a－1，∵y=2x在[2，＋∞)上单调递增，∴5≤2x，∴5≤2a－1，∴3≤a，D正确.
BCD
15.若对于任意m∈[－1，1]，任意y∈R，使得不等式x2＋(3－m)x－6＜成立，则实数x的取值范围是　 　.
【解析】 ∵对于任意m∈[－1，1]，任意y∈R，使得不等式x2＋(3－m)x－6＜|y－1|＋|y－3|成立，设t(y)=|y－1|＋|y－3|，则x2＋(3－m)x－6＜t(y)min，又t(y)=|y－1|＋|y－3|≥|(y－1)－(y－3)|=2，∴t(y)min=2，∴x2＋(3－m)x－6＜2，即x2＋(3－m)x－8＜0，设g(m)=x2＋(3－m)x－8=－mx＋x2＋3x－8，对于任意m∈[－1，1]，g(m)=－mx＋x2＋3x－8＜0，∴
解得则实数x的取值范围是(－4，2－2).
(－4，2－2)
16.(2025·天津卷)若a，b∈R，对 x∈[－2，2]，均有(2a＋b)x2＋bx－a－1≤0恒成立，则2a＋b的最小值为　 　.
【解析】 设t=2a＋b，原题转化为求t的最小值，原不等式可化为对任意的－2≤x≤2，tx2＋(t－2a)x－a－1≤0，不妨代入x=－，得t－(t－2a)－a－1≤0，得t≥－4，当t=－4时，原不等式可化为－4x2＋(－4－2a)x－a－1≤0，即－a2≤0，观察可知，当a=0时，－(2x＋1)2≤0对－2≤x≤2一定成立，当且仅当x=－时取等号，此时，a=0，b=－4，说明t=－4时，a，b均可取到，满足题意，故t=2a＋b的最小值为－4.
－4(共40张PPT)
第3节　不等式及其性质
课标解读　　1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.
2.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 比较数(式)的大小
考点二 不等式的基本性质
考点三 不等式性质的综合应用
1.[教材改编]设t=a＋2b，s=a＋b2＋1，则s与t的大小关系是　 　.
【解析】 ∵s－t=a＋b2＋1－(a＋2b)=b2－2b＋1=(b－1)2≥0，∴s≥t.
2.[教材改编]已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则2a＋b的取值范围是　 　.
【解析】 ∵2＜a＜3，∴4＜2a＜6，又－2＜b＜－1，∴2＜2a＋b＜5，即2a＋b的取值范围是(2，5).
s≥t
(2，5)
3.[教材改编]下列命题中，为真命题的是　 　(填写序号).
①若a＞b＞0，则ac2＞bc2；②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；③若a＞b＞0，且c＜0，则；④若a＞b，且，则ab＜0.
【解析】 对于①，当c=0时，ac2＞bc2不成立，①为假命题；对于②，∵a＜b＜0，∴两边同乘a，得a2＞ab，两边同乘b，得ab＞b2，∴a2＞ab＞b2，②为真命题；对于③，∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0，∴，又c＜0，∴，③为真命题；对于④，∵，∴＞0，又a＞b，∴b－a＜0，∴ab＜0，④为真命题.
②③④
4. (谨防多次运用不等式性质扩大范围)已知1＜a＋2b＜2，－2＜2a－b＜1，则8a＋b的取值范围是(　 　)
A. B.
C. (－4，7) D.
【解析】 ∵8a＋b=2(a＋2b)＋3(2a－b)，1＜a＋2b＜2，－2＜2a－b＜1，∴2＜2(a＋2b)＜4，－6＜3(2a－b)＜3，∴－4＜8a＋b＜7，故8a＋b的取值范围是(－4，7).
易错题
C
5. (乘法运算忽视符号)已知实数a∈(－3，1)，b∈，则的取值范围是
(　 　)
A. (－12，8) B. (－24，8)
C. (－24，4) D. (－12，4)
【解析】 当－3＜a≤0时，∈(－24，0]；当0＜a＜1时，∈(0，8).综上，∈(－24，8).
易错题
B
1.两个实数比较大小的方法
(2)作商法
(1)作差法
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b b　 　a.
(2)传递性：a＞b，b＞c a　 　c.
(3)同向可加性：a＞b a＋c　 　b＋c.a＞b，c＞d a＋c　 　b＋d.
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac　 　bc；a＞b，c＜0 ac　 　bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac
　 　bd.
(5)可乘方性：a＞b＞0 an　 　bn(n∈N，n≥1).
(6)可开方性：a＞b＞0 　 (n∈N ，n≥2).
＜
＞
＞
＞
＞
＜
＞
＞
＞
[优化拓展]
1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.有关分式的性质：
(1)若a＞b＞0，m＞0，则(b－m＞0)；(2)若ab＞0，则a＞b .
考点一　比较数(式)的大小
(1)若a=，b=，c=，则(　 　)
A. a＜b＜c B. c＜b＜a
C. c＜a＜b D. b＜a＜c
【解析】 方法一　易知a，b，c都是正数，=log8164＜1，∴a＞b；=log6251 024＞1，∴b＞c. 即c＜b＜a.
方法二　构造函数f(x)=，则f'(x)=，由f'(x)＞0，得0＜x＜e；由f'(x)＜0，得x＞e，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(3)＞f(4)＞f(5)，即a＞b＞c.
例 1
B
(2)(多选)下列不等式中，正确的有(　 　)
A. x2－2x＞－3(x∈R)
B. a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)
C. a2＋b2＞2(a－b－1)
D. (b＞a＞0)
【解析】 对于A，∵x2－2x＋3=(x－1)2＋2≥2＞0，∴x2－2x＞－3，A正确；对于B，a3＋b3－a2b－ab2=a2(a－b)＋b2(b－a)=(a－b)(a2－b2)=(a－b)2(a＋b). ∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，B错误；对于C，∵a2＋b2－2a＋2b＋2=(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，C错误；对于D，用作差法比较，∵b＞a＞0，∴＞0，∴，D正确.
AD
比较大小的常用方法：
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
(1)已知P=a2＋b2＋＋c2，Q=2a＋2b，则(　 　)
A. P≤Q B. P=Q
C. P≥Q D. P，Q的大小无法确定
【解析】 P－Q=－(2a＋2b)=(a－1)2＋(b－1)2＋≥0，∴P－Q≥0，即P≥Q.
跟踪训练1
C
(2)(2025·上海调研)若x＜0，0＜y＜1，那么的大小关系是 　.
【解析】 方法一　∵三个式子的值很明显都是负数，且=y∈(0，1)，∴；同理=y∈(0，1)，∴. 综上，.
方法二　∵＞0，∴；∵＞0，∴，∴.
考点二　不等式的基本性质
(1)已知a＞b＞c＞d＞0，且a＋d=b＋c，则下列不等式中，不成立的是(　 　)
A. a＋c＞b＋d B. ac＞bd
C. ad＜bc D.
【解析】 ∵a＞b＞c＞d＞0，∴a＋c＞b＋d，ac＞bd，A，B中不等式成立；∵a＞b＞c＞d＞0，∴a－d＞b－c＞0，∴(a－d)2＞(b－c)2，即(a＋d)2－4ad＞(b＋c)2－4bc，又a＋d=b＋c，∴ad＜bc，C中不等式成立；∵a＞b＞c＞d＞0，ad＜bc，∴，D中不等式不成立.
例 2
D
(2)(多选)已知实数a，b，c，d，则下列命题中，错误的有(　 　)
A. 若a＞b，则ac＞bc
B. 若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
C. 若b＜a＜0，则
D. 若a＞b，c＞d，则ac＜bd
【解析】 对于A，当c=0时，ac=bc，A错误；对于B，不妨取a=2，b=1，c=－1，d=－2，满足a＞b，c＞d，但a－c=b－d，B错误；对于C，若b＜a＜0，则－b＞－a＞0，∴，则，C正确；对于D，取a=3，b=－5，c=1，d=－，此时ac＞bd，D错误.
ABD
判断不等式的常用方法：
(1)利用不等式的性质逐个验证.
(2)利用特殊值法排除错误选项.
(3)作差法.
(4)构造函数，利用函数的单调性来判断.
(多选)若＜0，则下列不等式中，正确的有(　 　)
A. B. |a|＋b＞0
C. a－＞b－ D. ln a2＞ln b2
【解析】 由＜0，可知b＜a＜0. 对于A，∵a＋b＜0，ab＞0，∴＜0，＞0，则，A正确；对于B，∵b＜a＜0，∴－b＞－a＞0，故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，B错误；对于C，∵b＜a＜0，又＜0，则－＞－＞0，∴a－＞b－，C正确；对于D，∵b＜a＜0，根据y=x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2＞a2＞0，而y=ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，∴ln b2＞ln a2，D错误.
跟踪训练2
AC
考点三　不等式性质的综合应用
(1)(2025·辽宁沈阳模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2，绿化面积为b m2(0＜b＜a)，现对该公园再扩建2x m2，其中绿化面积为x m2，则扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率相比(　 　)
A. 变大 B. 变小
C. 不变 D. 不确定
【解析】 原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为，则，∴与的大小与a，2b的大小有关，故扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率的变化情况不确定.
例 3
D
(2)(多选)若3＜a＜6，1＜b＜5，则(　 　)
A. ∈ B. ∈
C. a－2b∈(－4，1) D. a－2b∈(－7，4)
【解析】 ∵1＜b＜5，∴－10＜－2b＜－2，＜1，又3＜a＜6，∴－7＜a－2b＜4，＜6，即∈，a－2b∈(－7，4)，∴B，D正确.
BD
利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，应注意两点：
(1)必须严格运用不等式的性质.
(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的方法是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
(1)已知2＜x＜4，－3＜y＜－1，则的取值范围是(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 原式分子和分母同时除以x，得，由条件得2＜－2y＜6，，∴＜－＜3，∴＜1－＜4，∴.
跟踪训练3
B
(2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在(0，1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比(　 　)
A. 不变 B. 变小
C. 变大 D. 变化不确定
【解析】 设原来手机屏幕面积为b，整机面积为a，则屏占比为(a＞b＞0)，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m＞0)，升级后屏占比为，∵a＞b＞0，∴＞0，即该手机“屏占比”和升级前比变大了.
C
课时作业
答案速对
第一章 对点练3 不等式及其性质 题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A B B B D
题号 7 8 9 10 11 15
答案 C A B BCD AC D
1.已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M=a1a2，N=a1＋a2－1，M与N的大小关系是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. M＜N B. M＞N
C. M=N D. 不确定
B
2.已知a，b∈R，若a＞b，同时成立，则(　 　)
A. ab＞0 B. ab＜0
C. a＋b＞0 D. a＋b＜0
A
3.(2025·北京西城模拟)已知a＞b，则下列不等式一定成立的是(　 　)
A. B. 2a＞2b
C. a2＞b2 D. |a|＞|b|
B
4.若a＞1，m=loga(a2＋1)，n=loga(a＋1)，p=loga(2a)，则m，n，p的大小关系是(　 　)
A. n＞m＞p B. m＞p＞n
C. m＞n＞p D. p＞m＞n
B
5.若α，β满足－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是(　 　)
A. －π＜α－β＜π B. －π＜α－β＜0
C. －＜α－β＜ D. －＜α－β＜0
B
6.已知A，B，C，D四名同学的年龄关系：A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是(　 　)
A. B＞C＞A＞D B. B＞C＞D＞A
C. C＞B＞A＞D D. C＞B＞D＞A
【解析】 用A，B，C，D表示A，B，C，D四名同学的年龄，则A＞0，B＞0，C＞0，D＞0.则A＋C=B＋D ①，C＋D＞A＋B ②，B＞A＋D ③. ①＋②得C＞B，①＋③得C＞2D，②＋③得C＞2A，由于A＞0，D＞0，故由③得B＞A，B＞D， 由①得C－B=D－A，∵C＞B，∴C－B＞0，∴D－A＞0，∴D＞A， 综上，C＞B＞D＞A.
D
7.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围是(　 　)
A. (1，＋∞) B. (1， 3)
C. (0， 2) D. (0， 3)
【解析】 由已知及三角形三边关系得
∴则两式相加得0＜＜4，∴0＜＜2.
C
8.(2025·云南玉溪二模)已知x＞0，x2－2xy＋z2=0，x2＜yz，则(　 　)
A. y＞z＞x B. x＞y＞z
C. y＞x＞z D. z＞x＞y
【解析】 由x＞0，且x2－2xy＋z2=0可得2xy=x2＋z2，即y=，则y－x=－x=，又x2＜yz，即x2＜·z，化简可得2x3－x2z－z3＜0，即(x－z)(2x2＋xz＋z2)＜0，其中2x2＋xz＋z2=2z2＞0，∴x－z＜0，即0＜x＜z，∴x2＜z2，∴y－x=＞0，∴y＞x，又y－z=－z=＞0，∴y＞z，综上，y＞z＞x.
A
9.已知a＞b＞0，且ab=1，若把按从小到大的顺序排列，则排在中间的数(　 　)
A. 一定是
B. 一定是
C. 一定是
D. 不能确定，与a，b的值有关
【解析】 ∵a＞b＞0，且ab=1，∴a＞1，0＜b＜1，故＞0，2－(a＋b)＞0，＞0，2－(a＋b)÷=2－(a＋b)·a·4a=2a－b·a，∵a－b＞0，a＞1，∴2a－b·a＞1，∴2－(a＋b)÷＞1，故2－(a＋b)＞，2－(a＋b)÷=2－(a＋b)·b·4b=2b－a·b，∵b－a＜0，0＜b＜1，∴0＜2b－a·b＜1，∴0＜2－(a＋b)÷＜1，故2－(a＋b)＜，综上，＜2－(a＋b)＜.
B
10.(多选)已知a，b，c∈R，且a＞b，abc≠0，则下列不等式中，一定成立的有(　 　)
A. B. ac2＞bc2
C. c－a＜c－b D. 2a＞2b
【解析】 对于A，当a＞0，c＞0，b＜0时，，A错误；对于B，∵a＞b，abc≠0，则c2＞0，∴ac2＞bc2，B正确；对于C，∵a＞b，∴－a＜－b，∴c－a＜c－b，C正确；对于D，∵f(x)=2x在R上为增函数，∴由a＞b，得f(a)＞f(b)，即2a＞2b，D正确.
BCD
11.(多选)设a，b为正实数，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 若a2－b2=1，则a－b＜1
B. 若=1，则a－b＜1
C. 若a＞b＋1，则a2＞b2＋1
D. 若a≤1，b≤1，则|a－b|≥|1－ab|
【解析】 对于A，由a2－b2=1及a，b为正实数，可知a2=b2＋1＞1，则a＞1，由a＞1，b＞0，可得a＋b＞1，∴a－b=＜1，A正确；对于B，若a=3，则b=，此时a－b＞1，B错误；对于C，若a＞b＋1，则a2＞(b＋1)2＞b2＋1，C正确；对于D，若a=b≤1，则|a－b|=0≤|1－ab|，D错误.
AC
12.能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＜b＜c，则ac＜bc”是假命题的一组整数a，b，c的值可以依次为　 　.
【解析】 若a＜b，则当c＞0时，ac＜bc；当c=0时，ac=bc；当c＜0时，ac＞bc.则能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＜b＜c，则ac＜bc”是假命题的一组整数a，b，c的值可以依次为－2，－1，0(答案不唯一).
－2，－1，0(答案不唯一)
13.已知M=，N=，则M，N的大小关系为　 　.
【解析】 M－N=＞0，∴M＞N.
M＞N
14.设x，y为实数，满足2≤xy2≤3，3≤≤4，则的最大值为　 　.
【解析】 ·，∵3≤≤4，∴27≤≤64，∵2≤xy2≤3，∴≤≤，根据不等式的性质得9≤·≤32，即的最大值为32，当且仅当即时取到.
32
15.(2025·湖南衡阳模拟)新高考改革后，生物，化学，政治，地理采取赋分制度：原始分排名前5%~3%的同学赋分95分~97分.若原始分的最大值为a，最小值为b，令f(x)为满足f(a)=97，f(b)=95的一次函数.对于原始分为x(b≤x≤a)的学生，将f(x)的值四舍五入得到该学生的赋分.已知小赵原始分96，赋分97；小叶原始分81，赋分95；小林原始分89，他的赋分是(　 　)
A. 95 B. 96 C. 97 D. 96或97
【解析】 设f(x)=mx＋n，96.5≤f(96)≤97.4，94.5≤f(81)≤95.4，f(89)=89m＋n=(96m＋n)(81m＋n)，∴×96.5×94.5≤f(89)≤×97.4×95.4，∴95.6≤f(89)≤96.5，∴赋分是96或97.
D
16.给出三个不等式：①a2＞b2；②2a＞2b－1；③. 能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是　 　.
【解析】 使三个不等式同时成立的一个条件是a＞b＞0(答案不唯一).当a＞b＞0时，①②显然成立.对于③，()2－()2=2－2b=2()，∵a＞b＞0，∴2()＞0，∴()2－()2＞0，即.
a＞b＞0(答案不唯一)(共47张PPT)
第2节　常用逻辑用语
课标解读　 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.
2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.
3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 充分条件、必要条件的判定
考点二 充分条件、必要条件的应用
考点三 全称量词与存在量词
1.[教材改编]已知p：a∈P∪Q，q：a∈P，则p是q的　 　条件.
【解析】 ∵a∈P，∴a∈P∪Q，即q p，但当a∈P∪Q时，a不一定是P的元素，即p q，∴p是q的必要不充分条件.
2.[教材改编]命题“任意两个等边三角形都相似”是　 　量词命题.它的否定是_________________
　 　，并且是　 　(填“真”或“假”)命题.
【解析】 “任意两个等边三角形都相似”是全称量词命题，其否定是“存在两个等边三角形，它们不相似”.∵任意两个等边三角形的三边成比例，∴任意两个等边三角形都相似.因此原命题的否定是假命题.
必要不充分
全称
存在两个等边三
角形，它们不相似
假
3.[教材改编]已知△ABC的三边的长分别为a，b，c，且a≤b≤c，那么“a2＋b2=c2”是“△ABC为直角三角形”的　 　条件.
【解析】 当a2＋b2=c2时，△ABC为直角三角形，充分性成立；当△ABC为直角三角形时，∵a≤b≤c，∴a2＋b2=c2，必要性也成立.故“a2＋b2=c2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件.
充要
4 (不对命题完全否定致误)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 任意一个无理数，它的平方不是有理数
B. 任意一个无理数，它的平方是有理数
C. 存在一个无理数，它的平方是有理数
D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数
易错题
A
5. (混淆条件与结论致误)“ln(x＋1)＜0”的一个必要不充分条件可以是(　 　)
A. －1＜x＜－ B. x＞0
C. －1＜x＜0 D. x＜0
【解析】 ln(x＋1)＜0等价于0＜x＋1＜1，即－1＜x＜0，这是结论，∵－1＜x＜0可以推出x＜0，而x＜0不能推出－1＜x＜0，∴x＜0是－1＜x＜0的必要不充分条件，∴“ln(x＋1)＜0”的一个必要不充分条件可以是“x＜0”.
易错题
D
6. (不能正确转化逻辑条件与集合之间的关系)若不等式1＜x＜3的必要不充分条件是m－2＜x＜m＋2，则实数m的取值范围是(　 　)
A. [1，2] B. [1，3]
C. (－1，2) D. (1，3)
【解析】 设A={x|1＜x＜3}，B={x|m－2＜x＜m＋2}，∵不等式1＜x＜3的必要不充分条件是m－2＜x＜m＋2，可得A B，∴或解得1≤m≤3，∴实数m的取值范围是[1，3].
易错题
B
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的　 　条件，q是p的　 　条件 p是q的　 　条件 p q，且q p
p是q的　 　条件 p q，且q p
p是q的　 　条件 p q
p是q的　 　条件 p q，且q p
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分也不必要
2.全称量词与存在量词
量词名称 常见量词 符号表示
全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给等 　 　
存在量词 存在一个、至少有一个、有些、有一个、对某些、有的等 　 　


3.全称量词命题和存在量词命题及其否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 　 　，p(x) 　 　，p(x)
否定 　 　，┐p(x) 　 　，┐p(x)
x∈M
x∈M
x∈M
x∈M
[优化拓展]
1.谨记两个常用结论：
(1)p是q的充分不必要条件，等价于┐q是┐p的充分不必要条件.
(2)命题p和┐p的真假性相反，若判断一个命题的真假较复杂时，可先判断此命题的否定的真假.
2.理清一个关系：
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A，要注意区分上述两种说法的不同.
考点一　充分条件、必要条件的判定
(1)(2025·天津卷)设x∈R，则“x=0”是“sin 2x=0”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】 由x=0 sin 2x=sin 0=0，则“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件；又当x=π时，sin 2x
=sin 2π=0，可知sin 2x=0可能推出x=π，故“x=0”不是“sin 2x=0”的必要条件，综上，“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件.
例 1
A
(2)(2025·绍兴模拟)对于方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)，“方程有两个不等实根”是“＜0”的(　 　)
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】 一方面，若＜0，即ac＜0，则Δ=b2－4ac＞0，此时ax2＋bx＋c=0(a≠0)有两个不等实根.另一方面，不妨取a=1，b=5，c=6，则ax2＋bx＋c=0(a≠0)为x2＋5x＋6=0，此时方程有两个不等实根x1=－2，x2=－3，但＞0.故“方程有两个不等实根”是“＜0”的必要不充分条件.
C
(3)(多选)(2025·山东威海期中)≤1成立的一个充分不必要条件是(　 　)
A. －2＜x＜2 B. －2＜x≤2
C. －2≤x＜2 D. －1＜x＜2
【解析】 由≤1 2x(x－2)≤(x－2)2(x≠2) (x－2)(x＋2)≤0(x≠2) －2≤x＜2，∴≤1成立的一个充分不必要条件为[－2，2)的真子集即可，A，D正确.
AD
充分、必要条件的两种判定方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
(1)(2025·山东泰安一模)已知a，b为空间中的两条直线，α为空间中的一个平面，a α，b α，则“a⊥b”是“a⊥α”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 即不充分也不必要条件
【解析】 由线面垂直的判定定理可得，直线a要垂直于平面α内相交的两条直线才能得到a⊥α，∴“a⊥b”是“a⊥α”的必要不充分条件.
跟踪训练1
B
(2)(多选)下列命题中，为真命题的有(　 　)
A. “a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件
B. “a＞b”是“”的充要条件
C. “a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件
D. “x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件
【解析】 对于A，由a＞b /ac2＞bc2(c=0时不成立)，由ac2＞bc2 a＞b，则“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要不充分条件，A中命题是真命题；对于B，若a＞0，b＜0，则由a＞b得不到，B中命题是假命题；易知C，D中命题是真命题.
ACD
考点二　充分条件、必要条件的应用
已知集合A是函数f(x)=＋2的定义域，非空集合B={x|1－m≤x≤1＋2m}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是　 　.
【解析】 由题意，A={x|1≤x≤5}，由于集合B={x|1－m≤x≤1＋2m}非空，∴1－m≤1＋2m，即m≥0.∵“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，∴B是A的真子集，则有m≥0且或解得m=0，故实数m的取值范围是{0}.
例 2
{0}
本例中，其他条件不变，若改为“‘x∈A’是‘x∈B’的充分不必要条件”，则实数m的取值范围是
　 　.
【解析】 ∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A是B的真子集，∴或解得m≥2，即实数m的取值范围是[2，＋∞).
变式拓展1
[2，＋∞)
本例中，其他条件不变，试探究是否存在实数m，使得“x∈A”是“x∈B”的充要条件.
解：若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则有m≥0且A=B，即此方程组无解，故不存在实数m，使得“x∈”A是“x∈B”的充要条件.
变式拓展2
根据角色定位求参数的步骤：
(1)明确命题角色：区分条件p与结论q(如“x∈A是条件”即p：x∈A)；
(2)集合化转换：将条件或结论转化为集合A，B，用包含关系判定条件类型；
(3)参数范围求解：子集关系→不等式组(注意真子集需严格不等号).非空性优先验证(如本例中B非空要求 m≥0).
(多选)(2025·贵州安顺模拟预测)已知集合A=，B=，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值可以是(　 　)
A. 1 B.
C. 2 D. 4
【解析】 由题意得解得1＜a≤2，则B，C符合题意.
跟踪训练2
BC
考点三　全称量词与存在量词
(1)(2025·黑龙江哈尔滨三模)命题“ x∈R，x2－3x＋4≤0”的否定是(　 　)
A. x∈R，x2－3x＋4≥0
B. x∈R，x2－3x＋4＞0
C. x∈R，x2－3x＋4≤0
D. x∈R，x2－3x＋4＞0
【解析】 根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：命题“ x∈R，x2－3x＋4≤0”的否定是“ x∈R，x2－3x＋4＞0”.
例 3
考向1 含量词命题的否定
D
(2)(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|＞1；命题q： x＞0，x3=x，则(　 　)
A. p和q都是真命题
B. ┐p和q都是真命题
C. p和┐q都是真命题
D. ┐p和┐q都是真命题
【解析】 命题p，当x=－1时，|x＋1|=0，∴命题p为假命题， ┐p为真命题.命题q，∵立方根等于本身的实数有－1，0，1，∴ x＞0，使得x3=x，∴命题q为真命题， ┐q为假命题， ∴┐p和q都是真命题.
B
1.含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.
2.判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可.
(2025·陕西西安模拟预测)若p： x＞0，ln x＋x2＋2＞0，则(　 　)
A. p是真命题，且┐p： x＞0，ln x＋x2＋2≤0
B. p是真命题，且┐p： x≤0，ln x＋x2＋2≤0
C. p是假命题，且┐p： x＞0，ln x＋x2＋2≤0
D. p是假命题，且┐p： x≤0，ln x＋x2＋2≤0
【解析】 ∵当x=时，ln x＋x2＋2=－3＋＋2=－1＜0，∴p是假命题，∵全称量词命题的否定是存在量词命题，∴┐p： x＞0，ln x＋x2＋2≤0.
跟踪训练3
C
(1)若“ x∈[－1，2]，－x2＋2≥a”是假命题，则实数a的取值范围是(　 　)
A. a＞2 B. a≥2
C. a＞－2 D. a≤－2
【解析】 若“ x∈[－1，2]，－x2＋2≥a”是假命题，则“ x∈[－1，2]，－x2＋2＜a”是真命题，当x=0时，－x2＋2取得最大值2，∴a＞2.
例 4
考向2 含量词命题的应用
A
(2)已知函数f(x)=x＋，g(x)=2x＋a，若 x1∈， x2∈[2，3]，f(x1)≤g(x2)，则实数a
的取值范围是 　.
【解析】 依题意知f(x)max≤g(x)max.∵f(x)=x＋在上单调递减，∴f(x)max=f，∵g(x)=2x＋a在[2，3]上单调递增，∴g(x)max=8＋a，∴≤8＋a，解得a≥，故实数a的取值范围是.
根据命题的真假求参数的一般步骤：
(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
(多选)(2025·四川达州开学考试)已知命题“ x∈[1，＋∞)，ln x－－a≥0”为真命题，则实数a的值可以是(　 　)
A. 2 B. 0 C. －1 D. －2
【解析】 ∵命题“ x∈[1，＋∞)，ln x－－a≥0”为真命题，∴ x∈[1，＋∞)，a≤ln x－.令f(x)=ln x－，x∈[1，＋∞)，根据增函数减去减函数知，f(x)为增函数，当x=1时，f(x)有最小值f(1)=－，故实数a的取值范围是，C，D正确.
跟踪训练4
CD
课时作业
答案速对
第一章 对点练2 常用逻辑用语 题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B C B C C
题号 7 8 9 10 11 14
答案 D B BC AB BCD A
1.(2025·福建漳州模拟)命题“ x＞0，x＋1≤ex”的否定是(　 　)
A. x≤0，x＋1≤ex
B. x≤0，x＋1＞ex
C. x＞0，x＋1≤ex
D. x＞0，x＋1＞ex
D
2.已知命题：“ x∈R，方程x2＋4x＋a=0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. (－∞，4) B. (－∞，4]
C. (4，＋∞) D. [4，＋∞)
B
3.(2024·天津卷)已知a，b∈R，则“a3=b3”是“3a=3b”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
C
4.(2025·宁波期末)已知a，b为实数，条件p：a＞|b|，条件q：a＞b，则p是q的(　 　)
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
B
5.(2025·山东济宁二模)已知{an}为等比数列，且a1=1，则“a5=2”是“a9=4”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
C
6.(2025·四川攀枝花一模)命题“ x∈R，x2＋(a＋1)x＋1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是(　 　)
A. (－∞，－3]∪[1，＋∞)
B. (－∞，－3)∪(1，＋∞)
C. [－3，1]
D. (－3，1)
【解析】 由已知可得命题“ x∈R，x2＋(a＋1)x＋1＜0”的否定即命题“ x∈R，x2＋(a＋1)x＋1≥0”是真命题，根据二次函数的性质，应有Δ=(a＋1)2－4=a2＋2a－3≤0，解得－3≤a≤1.
C
7.(2025·杭州模拟)定义新运算：a b=ln (ea＋eb)，设f(x)=(x 1)＋(x 2)，命题p： x0∈R，f(x0)≤3，则(　 　)
A. ┐p： x∈R，f(x)≤3，且┐p为假命题
B. ┐p： x∈R，f(x)＞3，且┐p为假命题
C. ┐p： x∈R，f(x)≤3，且┐p为真命题
D. ┐p： x∈R，f(x)＞3，且┐p为真命题
【解析】 ∵a b=ln (ea＋eb)，且ex＞0，则x 1=ln (ex＋e)＞ln e=1，x 2=ln (ex＋e2)＞ln e2=2，可得f(x)=(x 1)＋(x 2)＞3，即命题p： x0∈R，f(x0)≤3为假命题，∴┐p： x∈R，f(x)＞3，且┐p为真命题.
D
8.(2025·湖北模拟预测)“3＜r＜6”是“圆C：(x＋1)2＋(y－2)2=r2(r＞0)上恰有2个点到直线l：3x＋4y＋15=0的距离为1”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
B
【解析】 如图所示：
设与直线l平行且与直线l之间的距离为1的直线方程为
3x＋4y＋c=0，则=1，解得c=10，或c=20，圆
心C1(－1，2)到直线3x＋4y＋10=0的距离为d1==3，圆C1(－1，2)到直线3x＋4y＋20=0的距离为d2==5，由图可知，圆C与直线3x＋4y＋10=0相交，与直线3x＋4y＋20=0相离，∴d1＜r＜d2，即3＜r＜5，∴“3＜r＜6”是“圆C：(x＋1)2＋(y－2)2=r2(r＞0)上恰有2个点到直线l：3x＋4y＋15=0的距离为1”的必要不充分条件.
9.(多选)(2025·温州模拟)下列选项中，与“＞1”互为充要条件的有(　 　)
A. x＜1
B. log0.5x2＞log0.5x
C. ＜3x
D. |x(x－1)|=x(1－x)
【解析】 由＞1，得－1＞0，即＞0，x(x－1)＜0，解得0＜x＜1. 对于A，“x＜1”是“＞1”的必要不充分条件，A错误； 对于B，由log0.5x2＞log0.5x，得0＜x2＜x，故x(x－1)＜0，解得0＜x＜1，B正确；对于C，由＜3x，得x2＜x，解得0＜x＜1，C正确； 对于D，|x(x－1)|=x(1－x)，则x(1－x)≥0，解得0≤x≤1，D错误.
BC
10.(多选)若“ x∈M，|x|＞x”为真命题，“ x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是
(　 　)
A. (－∞，－5) B. (－3，－1]
C. (3，＋∞) D. [0，3]
【解析】 ∵“ x∈M，x＞3”为假命题，∴“ x∈M，x≤3”为真命题，可得M是{x|x≤3}的子集，又“ x∈M，|x|＞x”为真命题，∴M是{x|x＜0}的子集.
AB
11.(多选)(2025·内蒙古呼伦贝尔期末)命题“ x∈[1，3]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　 　)
A. a≥9 B. a≥11
C. a≥10 D. a≥12
【解析】 ∵“1≤x≤3，x2－a≤0”为真命题，则a≥x2对 x∈[1，3]都成立，又x2≤9，∴a≥9，观察选项可得命题“1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是B，C，D.
BCD
12.已知命题“对于 x∈(0，＋∞)，ex＞ax＋1”为真命题，写出符合条件的a的一个值：
　 　.
【解析】 易知对于 x∈(0，＋∞)，ex＞1.当a＜0时，对于 x∈(0，＋∞)，ax＋1＜1，则a可取任意负数，如－1(答案不唯一).
－1 (答案不唯一)
13.(2025·广东东莞期末)已知向量a=(1，2)，b=(－2，1)，则使(λa＋b)·(λa－b)＜0成立的一个充分不必要条件是　 　.
【解析】 ∵a=(1，2)，b=(－2，1)，∴λa＋b=(λ－2，2λ＋1)，λa－b=(λ＋2，2λ－1)，
∴(λa＋b)·(λa－b)=(λ2－4)＋(4λ2－1)=5λ2－5＜0，解得－1＜λ＜1，∴使(λa＋b)·(λa－b)＜0成立的一个充分不必要条件是λ=0(只需满足λ的取值集合是(－1，1)的真子集即可).
λ=0 (答案不唯一)
14.对于任意实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，例如：[ π]=3，[0.1]=0，[－2.1]=－3，则“[x]＞[y]”是“x＞y”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】 若[x]＞[y]，则必有[x]＞y≥[y]，结合x≥[x]可得x＞y，∴由[x]＞[y]可推出x＞y；若x＞y，取x=1.2，y=1.1，可得[x]=[y]，即[x]＞[y]不成立，∴由x＞y推不出[x]＞[y]，∴“[x]＞[y]”是“x＞y”的充分不必要条件.
A
15.已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是┐ q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　 　.
【解析】 ∵|x－1|≤2，∴－1≤x≤3，即p：－1≤x≤3.∵x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，∴x≤1－a，或x≥1＋a，∴┐ q：1－a＜x＜1＋a.又p是┐ q的必要不充分条件，∴解得0＜a≤2，∴实数a的取值范围是(0，2].
(0，2]
16.若“ x∈(0，m)，使得x＞”为假命题，则m的最大值为　 　.
【解析】 ∵“ x∈(0，m)，使得x＞”为假命题，∴“ x∈(0，m)，x≤”为真命题，∵=5×5lg 3×3lg 2，设5lg 3=t＞0，∴log5t==lg 3，∴=lg 5，∴log3t=lg 5，∴t=3lg 5，∴5lg 3=3lg 5，∴=5×3lg 5×3lg 2=5×3lg 5＋lg 2=15，即 x∈(0，m)，x≤15，∴0＜m≤15，∴m的最大值为15.
15(共38张PPT)
第5节　一元二次函数、方程和不等式
课标解读　1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解
函数的零点与方程根的关系.
2.了解一元二次不等式的实际应用.
3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 不含参一元二次不等式的解法
考点二 解含参一元二次不等式
考点三 三个“二次”之间的关系
1.[教材改编]不等式x2－5x－6≥0的解集为　 　.
【解析】 由x2－5x－6=(x－6)·(x＋1)≥0，解得x≤－1，或x≥6，即原不等式的解集为(－∞，－1]∪[6，＋∞).
2.[教材改编]若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对于一切x∈R恒成立，则k的取值范围是　 　.
【解析】 依题意可得k≠0，∵不等式2kx2＋kx－＜0对于一切x∈R恒成立，∴k＜0，且Δ=k2－4×2k×＜0，解得－3＜k＜0，故k的取值范围是(－3，0).
(－∞，－1]∪[6，＋∞)
(－3，0)
3.[教材改编]若关于x的不等式－x2＋bx＋c＜0的解集是{x|x＜－3，或x＞4}，则关于x的
不等式cx2－bx－1＞0的解集为 　.　
【解析】 ∵关于x的不等式－x2＋bx＋c＜0的解集为{x|x＜－3，或x＞4}，∴解得∴不等式cx2－bx－1＞0即12x2－x－1＞0，即(3x－1)(4x＋1)＞0，解得x＜－，或x＞，故所求解集为∪.
∪
4. (忽视二次项的符号)不等式(x－2)·(3－2x)≥0的解集为(　 　)
A. B.
C. [2，＋∞) D.
【解析】 由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为.
易错题
B
5. (忽视对含参二次项系数的讨论)若关于x的不等式ax2＋2x＋1＜0有实数解，则a的取值范围是　 　.
【解析】 当a=0时，不等式为2x＋1＜0，有实数解，满足题意；当a＜0时，不等式对应的二次函数的图象开口向下，Δ=4－4a＞0，∴不等式有实数解，满足题意；当a＞0时，若不等式有实数解，则Δ=4－4a＞0，解得a＜1，∴0＜a＜1.综上，a的取值范围是(－∞，1).
易错题
(－∞，1)
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式 Δ=b2－4ac Δ＞0 Δ=0 Δ＜0
一元二次函数 y=ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c=0 (a＞0)的根 有两个相异 实根 x1，x2 (x1＜x2) 有两个相等 实根 x1=x2= － 没有实
数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 　 　 　 　
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 　 　 　 　 　
{x|x＞x2，或x＜x1}
R
{x|x1＜x＜x2}


3.(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解集
不等式 解集 a＜b a=b a＞b
(x－a)(x－b)＞0 　 　 　 　 　 　
(x－a)(x－b)＜0 　 　 　 　 　 　
{x|x＜a，或x＞b}
{x|x≠a}
{x|x＜b，或x＞a}
{x|a＜x＜b}

{x|b＜x＜a}
4.分式不等式与整式不等式
(1)＞0(＜0) f(x)·g(x)＞0(＜0).
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)，且g(x)≠0.
[优化拓展]
1.绝对值不等式|x|＞a(a＞0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|＜a(a＞0)的解集为(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.(1)对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记讨论a=0时的情况.
(2)注意区分Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R还是 .
考点一　不含参一元二次不等式的解法
(多选)下列选项中，正确的有(　 　)
A. 不等式x2＋x－2＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞1}
B. 不等式≤1的解集为{x|－3≤x＜2}
C. 不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D. 设x∈R，则“|x－1|＜1”是“＜0”的充分不必要条件
例 1
ABD
【解析】 ∵方程x2＋x－2=0的解为x1=1，x2=－2，∴不等式x2＋x－2＞0的解集为{x|x＜－2，或x＞1}，A正确；∵－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x＜2，∴不等式的解集为{x|－3≤x＜2}，B正确；由|x－2|≥1，可得x－2≤－1，或x－2≥1，解得x≤1，或x≥3，∴不等式的解集为{x|x≤1，或x≥3}，C错误；由|x－1|＜1，可得－1＜x－1＜1，解得0＜x＜2，由＜0，可得－4＜x＜5，∴“|x－1|＜1”是“＜0”的充分不必要条件，D正确.
解一元二次不等式的4个步骤：
(1)不等式|x|(1－2x)＞0的解集为(　 　)
A.
B.
C. (－∞，0)∪
D. (－∞，0)∪
【解析】 原不等式等价于即x＜，且x≠0.
(2)高斯是德国著名的数学家、近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：y=[x](x∈R)，[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.6]=－2，[1.6]=1，[2]=2，则关于x的不等式[x]2＋[x]－12＜0的解集为　 　.
【解析】 ∵[x]2＋[x]－12＜0，∴－4＜[x]＜3，∴－3≤x＜3.
跟踪训练1
D
[－3，3)
考点二　解含参一元二次不等式
解关于x的不等式x2－ax＋1＜0，a∈R.
解：当Δ=a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为 ，当Δ=a2－4＞0，即a＞2，或a＜－2时，方程x2－ax＋1=0的两根为x1=，x2=，原不等式的解集为.
综上，当－2≤a≤2时，原不等式的解集为 ；当a＞2，或a＜－2时，原不等式的解集为.
例 2
解含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
(1)若a∈R，则关于x的不等式4x2－4ax＋a2－1＜0的解集为 　.
【解析】 原不等式可转化为[2x－(a＋1)][2x－(a－1)]＜0，∵，∴不等式的解集为＜x＜.
跟踪训练2
(2)解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4＜0.
解：若a=0，则－2(x－2)＜0，解得x＞2.
若a≠0，则不等式可化为(ax－2)(x－2)=a·(x－2)＜0.
①若a＜0，则＜2，解不等式得x＜，或x＞2；
②若a∈(0，1)，则＞2，解不等式得2＜x＜；
③若a=1，则(x－2)2＜0，无解；
④若a＞1，则＜2，解不等式得＜x＜2.
综上，当a=0时，不等式的解集为(2，＋∞)；当a＜0时，不等式的解集为∪(2，＋∞)；当a∈(0，1)时，不等式的解集为；当a=1时，不等式的解集为 ；当a＞1时，不等式的解集为.
考点三　三个“二次”之间的关系
(1)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，3)，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. a＞0
B. bx－c＞0的解集为
C. cx2＋ax－b＞0的解集为
D. a＋b＜c
【解析】 不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，3)，则即bx－c＞0，即－2ax＋3a＞0，∴x＞.cx2＋ax－b＞0，即－3ax2＋ax＋2a＞0，即3x2－x－2＞0，解集为.∵x=－1∈，∴c－a－b＞0，即a＋b＜c.
例 3
BCD
(2)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，则a的取值范围是(　 　)
A. －＜a＜ B. a＞
C. a＜－ D. －＜a＜0
【解析】 方法一　显然a≠0；令f(x)=ax2＋(a＋2)x＋9a，当a＞0时，f(1)=11a＋2＞0，不符合x1＜1＜x2；当a＜0时，f(1)＞0，故af(1)＜0，即a(11a＋2)＜0，解得－＜a＜0.
方法二　∵方程ax2＋(a＋2)x＋9a=0有两个不相等的实数根x1，x2，∴∵x1＜1＜x2，∴(x1－1)(x2－1)＜0，即x1x2－(x1＋x2)＋1＜0，则9＋＋1＜0，解得－＜a＜0.
D
“三个二次”之间的关系及其应用：
(1)一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次不等式解集的端点值.
(2)对于不等式ax2＋bx＋c＞0，若其解集为(－∞，m)∪(n，＋∞)，则a＞0，且方程ax2＋bx＋c=0的两根为m，n，m＜n；若其解集为(m， n)，则a＜0，且方程ax2＋bx＋c=0的两根为m，n，m＜n.
若不等式ax2＋2x＋c＜0的解集为∪，则不等式cx2－2x＋a≤0的解集为
(　 　)
A. B.
C. [－2，3] D. [－3，2]
【解析】 ∵不等式ax2＋2x＋c＜0的解集为∪，∴－和是方程ax2＋2x＋c=0的两个实数根，由解得故不等式cx2－2x＋a≤0，即2x2－2x－12≤0，解不等式x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，∴所求不等式的解集为[－2， 3].
跟踪训练3
C
课时作业
答案速对
第一章 对点练5 一元二次函数、方程和不等式 题号 1 2 3 4 5
答案 C A A C D
题号 6 7 8 14 答案 B ABC AD D 1.下列不等式中，解集为R的是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. －x2＋2x＋1≥0
B. x2－2x＞0
C. x2＋6x＋10＞0
D. 2x2－3x＋4＜0
C
2.(2025·安徽黄山模拟)设实数m，n满足m＋n＞0，则关于x的不等式(x－m)(x＋n)＞0的解集为(　 　)
A. {x|x＜－n，或x＞m}
B. {x|x＜－m，或x＞n}
C. {x|－n＜x＜m}
D. {x|－m＜x＜n}
A
3.已知不等式组的解集是关于x的不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集，则实数a的取值范围是(　 　)
A. (－∞，0]
B. (－∞，0)
C. (－∞，－1]
D. (－∞，－2)
A
4.(2025·湖北黄冈三模)已知集合A={x|≤1}，B={x|x2－3x＋2≥0}，则A∩B=(　 　)
A. (－∞， 1)∪(2，＋∞)
B. (1，2)
C. (－∞， 1)∪[2，＋∞)
D. (－∞， 1]∪[2，＋∞)
C
5.若关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则二次函数f(x)=2bx2＋4x＋a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为(　 　)
A. －1，－7 B. 0，－8
C. 1，－1 D. 1，－7
D
6.(2025·山东泰安模拟)关于x的不等式x2－x＋1＜0 (其中实数a＞0)恰有一个整数解，则实数a的取值范围是(　 　)
A. ＜a＜1，或1＜a＜2
B. ≤a＜1，或1＜a≤2
C. ≤a≤2
D. 0＜a＜1，或1＜a＜2
【解析】 ∵x2－x＋1＜0，即为(x－a)＜0，令(x－a)=0，解得x=a，或x=，且a＞0，若a＞1＞＞0，不等式的解集为，由题意可得1＜a≤2；若a=1，不等式的解集为 ，不合题意；若0＜a＜1＜，不等式的解集为，由题意可得1＜≤2，解得≤a＜1.综上，实数a的取值范围是≤a＜1，或1＜a≤2.
B
7.(多选)对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)＞0的解集可能为
(　 　)
A. B. (－1，a)
C. (a，－1) D. (a，＋∞)
【解析】 根据题意，易知a≠0.当a＞0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪(a，＋∞).当a＜0时，若a=－1不等式的解集为 ；若－1＜a＜0，则不等式的解集为(－1，a)；若a＜－1，则不等式的解集为(a，－1).
ABC
8.(多选)解关于x的不等式ax2＋(2－4a)x－8＞0，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 当a=0时，不等式的解集为{x|x＞4}
B. 当a＜0时，不等式的解集为　
C. 当a＜0时，不等式的解集为
D. 当a=－时，不等式的解集为
【解析】 当a=0时，不等式为2x－8＞0，解得x＞4，A正确；由ax2＋(2－4a)x－8＞0可得(ax＋2)·(x－4)＞0，当即a＜－时，不等式的解集为；当即－＜a＜0时，不等式的解集为；当a=－时，－=4，此时不等式的解集为 ，B，C错误，D正确.
AD
9.不等式＞2的解集为　 　.
【解析】 原不等式可化为－2＞0，即＞0，解得1＜x＜4，∴原不等式的解集为{x|1＜x＜4}.
{x|1＜x＜4}
10.已知二次函数y=x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋3≤0的解集为_______
　 　.　
【解析】 根据二次函数y=x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c=0的两根，则b=－1，c=－2，则bx2－cx＋3≤0，即－x2＋2x＋3≤0，解得x≥3，或x≤－1.故不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞).
(－∞，
－1]∪[3，＋∞)
11.若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1=15，则a的
值为 　.
【解析】 由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2=0(a＞0)的实数根，∴Δ=4a2＋32a2=36a2＞0，且x1＋x2=2a，x1x2=－8a2.又x2－x1=15，∴152=(x1＋x2)2－4x1x2=4a2＋32a2=36a2，又a＞0，解得a=.
12.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B=，则A∩B的非空子集个数为　 　.
【解析】 x∈N*，当x=1时，=－7＜1，则1∈B，当x＞2时，不等式＜1化为x2－4x－5＞0，解得x＞5，∴B={x|x＞5，x∈N*，或x=1}，又A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴A∩B={1，6，7，8，9}，它的子集有32个，非空子集有31个.
31
13.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a＜0).
解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0，即(ax－2)(x＋1)≥0.由a＜0，原不等式可化为(x＋1)≤0.当0＞＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；当=－1，即a=－2时，解得x=－1；当＜－1，即－2＜a＜0时，解得≤x≤－1.综上，当－2＜a＜0时，不等式的解集为；当a=－2时，不等式的解集为{－1}；当a＜－2时，不等式的解集为.
14.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(a，b，c∈R)的解集为(－4， 1)，则的取值范围是　
(　 　)
A. [－6，＋∞) B. (－∞，6)
C. (－6，＋∞) D. (－∞，－6]
【解析】 由不等式ax2＋bx＋c＞0(a，b，c∈R)的解集为(－4， 1)，可知1和－4是方程ax2＋bx＋c=0的两个实数根，且a＜0，由根与系数的关系可得得b=3a，c=－4a，∴=4a=－≤－2=－6.当且仅当－4a=时，即a=－时等号成立，∴∈(－∞，－6].
D
15.一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”.已知关于x的不等式x2－kx＋2k＜0有实数解，且解集区间的“长度”不超过3个单位长度，则实数k的取值范围是　 　.
【解析】 不等式x2－kx＋2k＜0有实数解等价于x2－kx＋2k=0有两个不相等的实数根，则Δ=(－k)2－8k＞0，解得k＞8，或k＜0.设x2－kx＋2k=0的两个根为x1，x2，令x1＜x2，则x1＋x2=k，x1x2=2k.由题意得x2－x1=≤3，解得－1≤k≤9，又k＞8，或k＜0，∴－1≤k＜0，或8＜k≤9，∴实数k的取值范围是[－1，0)∪(8，9].
[－1，0)∪(8，9]
16.已知函数y=[x]被称为高斯函数，该函数表示不超过x的最大整数，如[3.4]=3，[－1.6]=－2，则不等式＜0的解集为　 　；当x＞0时，的最大值为 　.
【解析】 由＜0，解得0＜[x]＜6，又[x]表示不超过x的最大整数，故1≤x＜6；当x∈(0，1)时，[x]=0，则=0，当x≥1时，≤，当且仅当[x]=，即[x]=3时，等号成立，即当x＞0时，的最大值为.
[1，6)(共13张PPT)
第一章 单元小卷
1. (2025·新课标Ⅱ卷T3)已知集合A={－4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. {0，1，2} B. {1，2，8}
C. {2，8} D. {0，1}
【解析】 由x3=x，即x3－x=0，x(x＋1)(x－1)=0，解得x=0，－1或1，即B={0，－1，1}，∴A∩B={0，1}.
D
2. (2025·湖北十堰模拟)已知集合A={x|x≤1，或x＞4}，B={x|x＞2}，则( RA)∩B=(　 　)
A. {x|2＜x≤4}
B. {x|2＜x＜4}
C. {x|1＜x≤4}
D. {x|1＜x＜4}
【解析】 由题设 RA={x|1＜x≤4}，则( RA)∩B={x|1＜x≤4}∩{x|x＞2}={x|2＜x≤4}.
A
3. (2025·湖南邵阳三模)若集合A={(x， y)|x2＋y2=1}，B={(x， y)|y=x}，则A∩B的元素的个数是(　 　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】 ∵集合A={(x， y)|x2＋y2=1}，B={(x， y)|y=x}，∴A∩B={(x，y)|y=x，且x2＋y2=1}=，∴A∩B的元素的个数是2.
C
4. (2025·江苏南通二模)已知函数f(x)=lg(x2－ax＋2)，则“a≥2”是“函数f(x)在(－∞，1]上单调递减”的(　 　)
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】 令u=x2－ax＋2，函数y=lg u在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，得函数u=x2－ax＋2在(－∞，1]上单调递减，且当x=1时，u＞0，因此解得2≤a＜3，∴“a≥2”是“函数f(x)在(－∞，1]上单调递减”的必要不充分条件.
C
5. (2025·重庆模拟预测)设 a，b，c 均为不等于零的实数，且 |a－c|＜|b|，则下列选项中，正确的是(　 　)
A. a－c＜b
B. a＋b＞c
C. |a|＜|b|＋|c|
D. |a|＋|c|＜|b|
【解析】 ∵a，b，c均为不等于零的实数，且|a－c|＜|b|，∴－|b|＜a－c＜|b|，对于A，由－|b|＜a－c＜|b|，当b＜0时，得a－c＞b，A错误；对于B，由－|b|＜a－c＜|b|，当b＜0时，得a＋b＜c，B错误；对于C，∵|a－c|≥|a|－|c|，∴|b|＞|a|－|c|，即|a|＜|b|＋|c|，C正确；对于D，若a=c=2，b=1，满足条件，但|2|＋|2|＞|1|，D错误.
C
6. (2025·江苏常州模拟)已知x＞－1，y＞－1，xy＋x＋y＋1=1，则x＋y的最小值是
(　 　)
A. 0 B. －1
C. － D. 1
【解析】 由题设(x＋1)(y＋1)=1，且x＞－1，y＞－1，则y＋1=，∴x＋y=x＋1－2≥2－2=0，当且仅当x=y=0时取等号，∴x＋y的最小值是0.
A
7. (多选)设集合A={x|x2－x－6＜0}，B={x|x2＋bx＋c≤0}，若A∩B=(－2，2]，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. b≥0 B. b＜0
C. c≤－4 D. 2b＋c=－4
【解析】 由题可得集合A=(－2，3)，且A∩B=(－2，2]，∴方程x2＋bx＋c=0的两根x1，x2满足x1≤－2，x2=2.由韦达定理可知，－b=x1＋x2=2＋x1≤2＋(－2)=0，即b≥0，A正确，B错误；c=x1x2=2x1≤2×(－2)=－4，C正确；从而22＋2b＋c=0，即2b＋c=－4，D正确.
ACD
8. (多选)(2025·山东济南二模)已知实数a，b满足a＞|b＋1|，则下列不等关系中，一定成立的有(　 　)
A. 2a＞2b＋1 B. a2＞4b
C. a2＞b2＋1 D. a2＞b|b＋1|
【解析】 ∵a＞|b＋1|≥b＋1，∴a＞b＋1，∴2a＞2b＋1，A正确；∵(b＋1)2－4b=(b－1)2≥0，∴(b＋1)2≥4b，由a＞|b＋1|≥0，∴a2＞(b＋1)2≥4b，B正确；若a=2，b=－2，满足a＞|b＋1|，显然a2＞b2＋1不成立，C错误；当b＋1≤1，则b≤0，必有a2＞0≥b|b＋1|，当b＋1＞1，则b＞0，故a＞b＋1＞b＞0，必有a2＞b|b＋1|，D正确.
ABD
9. 若命题“ x∈(0，＋∞)，x2＋ax＋1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是__________
　 　.
【解析】 ∵“ x∈(0，＋∞)，x2＋ax＋1＜0”为假命题，∴“ x∈(0，＋∞)，x2＋ax＋1≥0”为真命题，即a≥－x－在(0，＋∞)上恒成立，∵x≥2，当且仅当x=1时，等号成立，此时－x－≤－2，故a≥－2.
[－2，
＋∞)
10. (2025·福建泉州模拟预测)已知正实数a，b满足=m，若的最小值为4，则实数m的取值范围是　 　.
【解析】 ∵a，b为正实数，∴=ab2≥22=4，因此的最小值为4，故存在ab=，即ab=1时，等号成立，此时b=，又=m，∴a=m在a∈(0，＋∞)上有解，∴由基本不等式可知a≥2，当且仅当a=1时，等号成立，∴m≥2，故实数m的取值范围是[2，＋∞).
[2，＋∞)
11. 设集合A为含有n个元素的有限集.若集合A的m个子集A1，A2，…，Am满足以下3个条件：
① A1，A2，…，Am均非空；② A1，A2，…，Am中任意两个集合的交集为空集；③ A1∪A2∪…∪Am=A.则称A1，A2，…，Am为集合A的一个m阶分拆.
若A={1，2，3，…，2 024}，A1，A2为A的2阶分拆，集合A1所有元素的平均值为P，集合A2所有元素的平均值为Q，求|P－Q|的最大值与最小值.
解：由题意，取A1={1，4，5，8，9，12，…，2 021，2 024}，A2={2，3，6，7，…，2 022，2 023}，∵1＋4=2＋3，5＋8=6＋7，…，2 021＋2 024=2 022＋2 023，∴P=Q，则|P－Q|min=0；取A1={2，3，4，5，…，2 023，2 024}，A2={1}，|P－Q|max=－1=－1=1 012.
12. 记max M表示数集M中最大的数，设x，y，z为正数，M=，求max M的最小值.
解：由题意，2x＋y≤max M，x＋z≤max M，y≤max M，则3max M≥≥222=12，当且仅当x=y=z=1时，全部取得等号，∴max M≥4，故max M的最小值为4.(共12张PPT)
拓展视野　三元基本不等式与柯西不等式
能力训练
知识拓展
课时作业
内
容
索
引
1.三元基本不等式
如果a，b，c∈R＋，那么≥.
2.柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式
若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad=bc时，等号成立.
(2)三维形式的柯西不等式
若a1，a2，a3，b1，b2，b3都是实数，则()()≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当时，等号成立.
若x＞0，则4x＋的最小值为(　 　)
A. 9 B. 3
C. 13 D. 不存在
【解析】 4x＋=2x＋2x＋≥3=3，当且仅当2x=，即x=时，等号成立.
例 1
B
若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c=1，则(1－a)(1－b)(1－c)的最大值为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 由于a，b，c∈R＋，且a＋b＋c=1，∴0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1，∴(1－a)(1－b)(1－c)≤，当且仅当1－a=1－b=1－c，即a=b=c=时，等号成立.
跟踪训练1
C
(1)设x，y∈R，且2x＋3y=13，则x2＋y2的最小值为　 　.
【解析】 (2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，∴x2＋y2≥13，当且仅当，即x=2，y=3时取等号.
(2)若a，b，c为正实数，且a＋b＋c=1，则的最大值为 　.
【解析】 由柯西不等式，得()2≤(a＋b＋c)(1＋1＋1)=3，∴当且仅当a=b=c=时，的最大值为.
例 2
13
已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2=1，正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2=9，则ax＋by＋cz的最大值为　 　.
【解析】 (ax＋by＋cz)2≤(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)=9，∴ax＋by＋cz≤3，当且仅当a=3x，b=3y，c=3z时，等号成立，∴ax＋by＋cz的最大值为3.
跟踪训练2
3
课时作业
答案速对
第一章 对点练8 三元基本不等式与柯西不等式 题号 1 2 3
答案 B D A
1.基本不等式是均值不等式“链”≥(a1，a2，…，an≥0)中的一环(n=2时) ，而利用该不等式链我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求y=x(x＞0)的最小值，我们可以这样处理：y=x=≥3=3，即ymin=3，当且仅当时，等号成立.那么函数f(x)=x21(x∈[1，3])的最小值为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. 18 B. 13
C. D. 31
B
2.由柯西不等式，当x＋2y＋z=4时，的最大值为(　 　)
A. 10 B. 4 C. 2 D.
【解析】 由柯西不等式，得(x＋2y＋z)(4＋2＋4)≥(222)2，当且仅当，x＋2y＋z=4，即x=z=，y=时，等号成立.∵x＋2y＋z=4，∴()2≤10，则≤.
D
3.柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用，现给出一个二维柯西不等式：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad=bc时，即时，等号成立.根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3的最大值为(　 　)
A. 2 B. 2 C. D.
【解析】 由f(x)的解析式可得该函数的定义域为，由柯西不等式可得f(x)=3≤=2，当且仅当，即x=时取等号.
A
4.已知a＞b＞0，且m=a.
(1)试利用基本不等式求m的最小值t；
解：∵a＞b＞0，∴a－b＞0，m=a=(a－b)＋b≥3=3，当且仅当a－b=b=，即b=1， a=2时取等号，∴m的最小值t=3.
(2)若实数x，y，z满足x＋y＋z=3，且x2＋4y2＋z2=t，证明：|x＋2y＋z|≤3.
(2)证明： ∵x＋y＋z=3，且x2＋4y2＋z2=t，由柯西不等式得
[x2＋ (2y)2＋z2]·(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2，当且仅当，即 x=z=，y=时取等号，整理得9=3t≥(x＋2y＋z)2，∴|x＋2y＋z|≤3.(共19张PPT)
拓展视野 集合中的创新问题
能力训练
知识拓展
课时作业
内
容
索
引
以集合为背景的新定义问题
(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.
(2)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解.
(3)用好集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.
(多选)(2025·福建福州模拟)若非空集合A，B满足条件：①A∪B=U；②若α∈A，β∈B，则α＜β.则称L(A， B)为集合U的划分.下列命题中，正确的有(　 　 )
A. 若L(M， N)为集合U的划分，则M∩N=
B. 若L(M， N)为集合U的划分，则M∩N≠
C. 若M={x|x＜2}，N={y|y=2x＋2}，则L(M， N)为R的划分
D. 若U={a，a2，a3，…，}存在L(A， B)划分，n∈N*，则a {0，1}
【解析】 对于A，B，在集合划分定义中并未要求M∩N= ，但若存在α∈M∩N，则α＜α矛盾，故M∩N= 必然成立，A正确，B错误；对于C，集合M为(－∞， 2)，而集合N为(2，＋∞)，此时M∪N≠R，不符合集合划分的定义，C错误；对于D，若a=1，则U={1}，无法划分；若a=0，则U={0}，无法划分，D正确.
例 1
AD
解决集合新定义问题的关键：
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.
已知集合U是非空数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称(A1，A2)为集合U的一种真分拆，并规定(A1，A2)与(A2，A1)为集合U的同一种真分拆.
①A1∩A2= ；②A1∪A2=U；③Ai(i=1，2)的元素个数不是Ai中的元素.
则集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是(　 　)
A. 5 B. 6
C. 10 D. 15
【解析】 由题意，集合U={1，2，3，4，5，6}的真分拆有A1={5}，A2={1，2，3，4，6}；A1={1，4}，A2={2，3，5，6}；A1={3，4}，A2={1，2，5，6}；A1={4，5}，A2={1，2，3，6}；A1={4，6}，A2={1，2，3，5}，共5种.
跟踪训练1
A
(多选)(2025·江苏泰州模拟)对任意A，B R，记A B={x|x∈A∪B，x A∩B}，并称A B为集合A，B的对称差.例如：若A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A B={1，4}.下列命题中，为真命题的有(　 　)
A. 若A， B R，且A B=B，则A=
B. 若A， B R，且A B= ，则A=B
C. 若A， B R，且A B A，则A B
D. 存在A，B R，使得A B≠ RA RB
【解析】 对于A，∵A B=B，∴B={x|x∈A∪B，x A∩B}，∴A B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A= ，A正确；对于B，∵A B= ，∴ ={x|x∈A∪B，x A∩B}，即A∪B与A∩B是相同的，∴A=B，B正确；对于C，∵A B A，∴{x|x∈A∪B，x A∩B} A，∴B A，当A≠B时，A B不成立，C错误；对于D，由于( RA) ( RB)={x|x∈( RA)∪( RB)，x ( RA)∩( RB)}={x|x∈ R(A∩B)，x R(A∪B)}={x|x∈A∪B，x A∩B}，而A B={x|x∈A∪B，x A∩B}，故A B=( RA) ( RB)，D错误.
例 2
AB
新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则.按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等进行解答.
(2025·江苏盐城模拟)设P，Q为两个实数集，定义集合P＋Q={a＋b|a∈P，b∈Q}，若P={0，1，2}，Q={1，2}，则P＋Q的子集个数为(　 　)
A. 15 B. 16 C. 31 D. 32
【解析】 由题意P＋Q=，∴P＋Q的子集个数为24=16.
跟踪训练2
B
(多选)定义：若集合A是非空集合，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集.下列集合中，是集合B={1， 2， 3}的孙子集的有(　BC　)
A. B. {1}
C. {1，2} D. {1，2，3}
【解析】 对于A， 为集合B的真子集，而不是非空集合，A错误；对于B，{1}为集合B的真子集，且为非空集合，B正确；对于C， {1，2}为集合B的真子集，且为非空集合，B正确；对于D，{1， 2， 3}为集合B的子集，但不是真子集，C正确，D错误.
例3
在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象.数字黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值， 再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数字黑洞有“123 黑洞”“卡普雷卡尔黑洞”“自恋性数字黑洞”等.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B={x|－3＜x＜4， x∈Z}，则A∩B的子集个数为
(　 　)
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【解析】 依题意，A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}， B={－2，－1，0，1，2，3}，故A∩B={1，2，3}，故A∩B的子集个数为8.
跟踪训练3
D
课时作业
答案速对
第一章 对点练7 集合中的创新问题 题号 1 2 3 4
答案 A B D B
1.(2025·重庆阶段练习)若把含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如{4，6，9}的“交替和”是9－6＋4=7；而{5}的交替和是5，则集合M=的所有非空子集的“交替和”的总和为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. 2 048 B. 2 024 C. 1 024 D. 512
A
2.给定集合S={1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8}，对于x∈S，如果x＋1 S， x－1 S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有
(　 　)
A. 5个 B. 6个 C. 9个 D. 12个
B
3.在大数据时代，人们通常需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合A和B，用A中元素为第一元素， B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积，又称直积，记为A×B，即A×B={(x，y)|x∈A，且y∈B}.对于任意非空集合M， N， T，下列说法中，一定正确的是(　 　)
A. M×N=N×M
B. (M×N)×T=M×(N×T)
C. M×(N∪T)≠(M×N)∪(M×T)
D. M×(N∩T)=(M×N)∩(M×T)
D
4.定义集合M，N的新运算如下：M☉N={x|x∈M，或x∈N，但x M∩N}，若集合M={0，2，4，6，8，10}，N={0，3，6，9，12，15}，则(M☉N)☉M等于(　 　)
A. M
B. N
C. {2，3，4，8，9，10，15}
D. {0，6，12}
B
5.设集合P={－1，0，1}， Q={0，1}，给出一个新定义： P*Q={(x，y)|x∈P∩Q，y∈P∪Q}，则P*Q的非空真子集的个数为　 　.
【解析】 P∩Q={0，1}， P∪Q={－1，0，1}，∴P*Q={(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)}，∴P*Q的非空真子集的个数为26－2=62.
62
6.定义一种新的集合运算Δ： AΔB={x|x∈A， 且x B}.若集合A={x|4x2＋9x＋2＜0}， B=，M=BΔA.
(1)求集合M；
解：(1)由题得，A=，B={x|－1＜x＜2}，∵集合运算Δ： AΔB={x|x∈A，且x B}，∴M=BΔA={x|x∈B，且x A}=.
(2)设不等式(x－2a) (x＋a－2)＜0的解集为P，若x∈P是x∈M的必要条件，求实数a的取值范围.
(2)x∈P是x∈M的必要条件，即M P，∵不等式(x－2a)·(x＋a－2)＜0的解集为P，∴当2a=2－a，即a=时， P为 ，不符合题意，故舍去；当2a＞2－a，即a＞时， P={x|2－a＜x＜2a} ，则解得a＞；当2a＜2－a，即a＜时，P={x|2a＜x＜2－a} ，则解得a＜－.综上，实数a的取值范围是.(共47张PPT)
第4节　基本不等式
课标解读　1.掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0)，结合具体实例，能用基本不等式解决简单
的最大值或最小值问题.
2.掌握基本不等式在实际生活中的应用.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 利用基本不等式求最值
考点二 利用基本不等式求参数的值或
范围
考点三 基本不等式的实际应用
微点突破
1.[教材改编]当x=　 　时，x2＋取得最小值　 　.
【解析】 x2＋≥2=2，当且仅当x2=，即x=±1时，等号成立，则x2＋的最小值为2.
2.[教材改编]已知x＞1，则x＋的最小值为　 　.
【解析】 ∵x＞1，∴x－1＞0，∴x＋=x－1＋＋1≥2＋1=3，当且仅当x－1=1，即x=2时，等号成立.
±1
2
3
3.[教材改编]用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，则当所用篱笆最短时，所用篱笆的长度是　 　m；若矩形菜园一边靠墙，墙的长度为9 m，则当矩形与墙平行的边长为
　 　m时，所用篱笆最短.
【解析】 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，则篱笆的长度为2(x＋y)m.由题知xy=100，由≥，可得x＋y≥2=20，∴2(x＋y)≥40，当且仅当x=y=10时，等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，此时所用篱笆的长度是40 m；若矩形菜园与墙平行的边长为x m(0＜x≤9)，与墙不平行的边长为y m，则篱笆的长度为(x＋2y)m，又xy=100，∴x＋2y=x＋，∵f(x)=x＋在(0，9]上单调递减，∴当x=9时所用篱笆最短.
40
9
4. (应用基本不等式时忽略“正”)函数y=1－2x－(x＜0)的最小值为
　 　.
【解析】 ∵x＜0，∴y=1－2x－=1＋(－2x)＋≥1＋2=1＋2，当且仅当x=－时取等号，故y的最小值为1＋2.
易错题
1＋2
5. (连续使用基本不等式时忽略等号成立的一致性)设x＞0，y＞0，x＋2y=5，则的最小值为　 　.
【解析】 ∵x＞0，y＞0，∴＞0.∵x＋2y=5，∴=2≥2=4，当且仅当2时取等号，∴的最小值为4.
易错题
4
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a　 　0，b　 　0.
(2)等号成立的条件：当且仅当　 　时取等号.
(3)其中 　叫做正数a，b的算术平均数， 　叫做正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥　 　(a，b∈R)，当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤ 　(a，b∈R)，当且仅当a=b时取等号.
＞
＞
a=b
2ab
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x＋y有最小值　 　.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 　.
2
S2
[优化拓展]
1.灵活应用两个基本不等式的变形公式：
(1)≥2(a，b同号，当且仅当a=b时，等号成立).
(2)≤≤≤(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a=b时，等号成立.
2.谨防两个易错点：
(1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等式的条件必须相同，否则会造成错误.
(2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值.
考点一　利用基本不等式求最值
(1)已知x＞2，则函数y=x＋的最小值为(　 　)
A. 2 B. 2＋2
C. 2 D. ＋2
【解析】 由题意可知，x－2＞0，∴y=(x－2)＋＋2≥2＋2=＋2，当且仅当x=2＋时，等号成立，∴函数y=x＋(x＞2)的最小值为＋2.
例 1
考向1 配凑法
D
(2) (2025·北京西城模拟)已知－3＜x＜0，则y=x的最小值为(　 　)
A. － B.
C. － D. 不存在
【解析】 ∵－3＜x＜0，则9－x2＞0，故y=x=－≥－=－，当且仅当x2=9－x2，即x=－时取等号，即y=x的最小值为－.
A
配凑法求最值的实质及关键点：
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键.
(2025·湖北武汉模拟)已知实数a，b满足=6，则ab的最大值为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵=6，∴2a＋3b=1，∵ab=×2a×3b≤，当且仅当2a=3b=，即a=，b=时，等号成立，故ab的最大值为.
跟踪训练1
B
(1)(2025·河北石家庄模拟)已知a＞0，b＞0，2a＋b=1，则的最小值为(　 　)
A. 2 B. C. 4 D. 9
【解析】 由2a＋b=1，得=2＋≥4，当且仅当a=b=时取等号，最小值为4.
(2)(2025·上海卷)设a，b＞0，a＋=1，则b＋的最小值为　 　.
【解析】 易知b＋=ab＋＋2≥2＋2=4，当且仅当ab=1，即a=，b=2时，等号成立.
例 2
考向2 常数代换法
C
4
常数代换法求解最值的基本步骤：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
(4)利用基本不等式求解最值.
已知a＞0，b＞0，且ab=1，则的最小值为　 　.
【解析】 ∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，又ab=1，∴≥ 2=4，当且仅当a=2－，b=2＋，或a=2＋，b=2－时，等号成立.
跟踪训练2
4
已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy=9，则x＋3y的最小值为　 　.
【解析】 方法一(换元消元法)　由已知得9－(x＋3y)=xy=·x·3y≤·，当且仅当x=3y，即x=3，y=1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y=t，则t＞0，且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二(代入消元法)　由x＋3y＋xy=9，得x=，∴x＋3y=＋3y==3(1＋y)＋－6≥2－6=12－6=6，当且仅当3(1＋y)=，即y=1，x=3时取等号，即x＋3y的最小值为6.
考向3　消元法
例 3
6
通过消元法利用基本不等式求最值的策略：
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的代数式，最后利用基本不等式求最值.
(2025·山东济宁模拟)已知x＞0，y＞0，且xy＋2y2－36=0，则xy2的最大值为(　 　)
A. 12 B. 6
C. 36 D. 24
【解析】 由xy＋2y2－36=0，得y(x＋2y)=36，则x=－2y，∵x＞0，y＞0，∴xy2=y2=y(36－2y2)=≤=24，当且仅当y=，x=4时，等号成立，∴xy2的最大值为24.
跟踪训练3
D
考点二　利用基本不等式求参数的值或范围
设a＞b＞c，n∈N，且≥恒成立，则n的最大值为(　 　)
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
【解析】 ≥等价于·(a－c)≥n2，(a－c)=·(a－b＋b－c)=11＋≥11＋2=11＋2，∴11＋2≥n2，又n∈N，则n的最大值为4.
例 4
C
x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)min≥a； x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)max≤a.
已知x＞0，y≥0，且x＋2y=1.若m2－m≤恒成立，则满足条件的整数m的个数是
(　 　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【解析】 ∵x＞0，y≥0，且x＋2y=1，∴－10≥2－10=－2，当且仅当，即x=1，y=0时，等号成立，则m2－m≤－2，即m2－5m＋4≤0，解得1≤m≤4，∴整数m可取1，2，3，4，共4个.
跟踪训练4
C
考点三　基本不等式的实际应用
(2025·上海青浦模拟)道路通行能力指单位时间(1小时)内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市的道路通行能力，现给出如下假设：
假设1：车身长度均为4.8米；
假设2：所有车辆以相同的速度v(单位：千米/时)匀速行驶；
假设3：安全距离d(单位：米)与车辆速度v近似满足d=3.2＋0.652 2v＋0.01v2.
该城市道路通行能力的最大值约为　 　(结果保留整数).
例 5
821
【解析】 1小时=3 600秒，车辆速度v(千米/时)换算为米/秒是米/秒. 1小时内通过的车辆数n=. 根据基本不等式得，0.01v＋≥2，当且仅当0.01v=时，等号成立，∴n≤≈821，即该城市道路通行能力的最大值约为821.
基本不等式解实际应用的解题步骤：
步骤 关键操作 避错指南
建模与约束分析 表格整理变量关系，标注隐含限制 勿遗漏单位、整数、正数条件
基本不等式应用 配凑“和定”或“积定”结构 检查等号成立点是否有效
单调性备选 导数法快速判断单调区间 开区间需结合极限或边界逼近
结果检验 验证实际意义(整数性、物理可行性等) 单位需统一，表述符合现实逻辑
(2025·吉林阶段练习)长征五号B运载火箭是专门为中国载人航天工程空间站建设而研
制的一款新型运载火箭，是中国近地轨道运载能力最大的新一代运载火箭.长征五号有
效载荷整流罩外形是冯·卡门外形(原始卵形)＋圆柱形，由两个半罩组成.某学校航天
兴趣小组制作的整流罩模型近似于一个圆柱和圆锥组成的几何体，如图所示，若圆锥
的母线长为，且圆锥的高与圆柱高的比为1∶4，则该模型体积的最大值为 　 .
【解析】 设圆锥与圆柱底面圆的半径为r，又圆锥的母线长为，∴圆锥的高为，则圆柱的高为4(0＜r＜)，∴该模型的体积V=πr2·＋πr2·4πr2·π≤ππ，当且仅当=3－r2，即r=时取等号，∴该模型的体积的最大值为.
跟踪训练5
基本不等式链：若a＞0，b＞0，则≤≤≤.其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.
微点突破
基本不等式链的应用
(2025·北京卷)已知a＞0，b＞0，则(　 　)
A. a2＋b2＞2ab
B. ≥
C. a＋b＞
D. ≤
【解析】 对于A，当a=b时，a2＋b2=2ab，A错误；对于B，D，取a=，b=，此时=2＋4=6＜=8==2＋4=6＞=2，B，D错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2，C正确.
例 6
C
利用基本不等式链解题的核心技巧：
(1)定向选择不等式
①求和最小：构造“积为定值”(例：a＋b≥2ab，要求ab为常数).
②求积最大：构造“和为定值”(例：ab≤，要求a＋b为常数).
(2)变形构造定值结构
①乘“1”法.
②调整系数.
(3)严查取等条件
①解方程验证等号成立(如a=b).
②特别警惕：定义域限制导致取等失效时(如x≥2)，改用单调性或边界值求最值.
口诀：定值定方向，变形造结构，取等定成败.
(1)(多选)若x，y满足x2＋y2－xy=1，则(　 　)
A. x＋y≤1 B. x＋y≥－2
C. x2＋y2≤2 D. x2＋y2≥1
【解析】 ∵x2＋y2－xy=(x＋y)2－3xy=1，且xy≤，∴1=(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－(x＋y)2=(x＋y)2，∴(x＋y)2≤4，当且仅当x=y时，等号成立，即－2≤x＋y≤2，A错误，B正确；由xy≤，得1=x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x=y时，等号成立，C正确，D错误.
(2)当－＜x＜时，函数y=的最大值为　 　.
【解析】 由≤，得a＋b≤2，则y=≤2=2，当且仅当，即x=时，等号成立.
跟踪训练6
BC
2
课时作业
答案速对
第一章 对点练4　基本不等式 题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B B A C C
题号 7 8 9 14 15 答案 B CD ACD C ACD 1.(2025·山东菏泽二模)已知a＞1，b＞1，且ab=4，则log2alog2b的最大值为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. 1
C. 4 D. 16
B
2.(2025·广东揭阳三模)“物竞天择，适者生存”是大自然的法则，因此森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式以躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明，某类昆虫在水平速度为v(单位：分米/秒)时的跳跃高度H(单位：米)近似满足v2=的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为(　 　)
A. 0.2米 B. 0.25米
C. 0.45米 D. 0.7米
B
3.已知m，n∈(0，＋∞)，n=4，则m的最小值为(　 　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
B
4.(2025·河北保定二模)已知x，y是非零实数，则的最小值为(　 　)
A. 6 B. 12 C. 2 D. 4
A
5.在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W=(长＋4)×(宽＋4)，若在不测量长和宽的情况下，只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用(单位：元)是(　 　)
A. 10 000 B. 10 480
C. 10 816 D. 10 818
C
6.(2025·云南昆明模拟)已知x＞0，y＞0，且x＋y－xy＋8=0，则xy的最小值为(　 　)
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【解析】 由题意可知xy=x＋y＋8≥28，当x=y=4时，等号成立，即xy－2－8≥0，令=t(t＞0)，则t2－2t－8≥0，解得t≥4，或t≤－2(舍)，即≥4，xy≥16，当且仅当x=y=4时，等号成立.
C
7.数学里有一种证明方法叫做Proof without words，也被称为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示的图形，在等腰直角三角形ABC中，O为斜边AB的中点，D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，则该图形可以完成的无字证明为(　 　)
A. ≥(a＞0，b＞0)
B. ≤(a＞0，b＞0)
C. ≤(a＞0，b＞0)
D. a2＋b2≥2(a＞0，b＞0)
【解析】 ∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，AD=a，BD=b，∴OC=，OD=，OC⊥AB，∴CD2=OC2＋OD2=，∴CD=，而CD≥OC，∴≥ (a＞0，b＞0).
B
8.(多选)下列不等式中，一定成立的有(　 　)
A. x≥2
B. 2x(1－x)≤
C. x2≥2－1
D. ≥2
【解析】 对于A，当x＜0时，x＜0，A错误；对于B，2x(1－x)=－2x2＋2x=－2≤，B错误；对于C，x2=x2＋1－1≥2－1=2－1，当且仅当x2=－1时取等号，C正确；对于D，≥2=2，当且仅当x=1时取等号，D正确.
CD
9.(多选)(2025·湖北恩施模拟)若正实数a，b满足2a＋b=1，则下列结论中，正确的有 (　 　)
A. 2ab的最大值为
B. a2＋b2的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为9
【解析】 ∵正实数a，b满足2a＋b=1，对于A，2ab≤，当且仅当2a=b=时，等号成立，A正确；对于B，b=1－2a，a2＋b2=a2＋(1－2a)2=5a2－4a＋1=5≥，当a=，b=时等号成立，B错误；对于C，由1=2a＋b≥，则≤，当且仅当2a=b=时，等号成立，C正确；对于D，(2a＋b)=5≥5＋2=9，当且仅当a=b=时，等号成立，D正确.
ACD
10.写出一个关于a与b的等式，使是一个变量，且它的最小值为16，则该等式为
　 　.
【解析】 该等式可为a2＋b2=1，下面证明该等式符合条件：(a2＋b2)=1＋9≥10＋2=16，当且仅当b2=3a2时取等号，∴的最小值为16.
a2＋b2=1(答案不唯一)
11.若x，y，z＞0，且x2＋xy＋2xz＋2yz=4，则2x＋y＋2z的最小值为　 　.
【解析】 由x2＋xy＋2xz＋2yz=4，得2z=，即2x＋y＋2z=2x＋y=x＋y≥ 2=4，当且仅当x＋y=，即x＋y=2时，等号成立.
4
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋b＋c=2，则的最小值
为 　.
【解析】 ∵a＋b＋c=2，∴·[(a＋b)＋c]=·≥ ·，当且仅当，即a＋b=2c时，等号成立，故的最小值为.
13.(2025·天津期末)勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大.如果一个直角三角形的周长等于4 cm，则该三角形面积的最大值为　 　cm2.
【解析】 设直角三角形的两直角边长分别为a，b(a， b＞0)，则斜边长为，∵直角三角形的周长为4 cm，∴a＋b=4，由a＋b≥2=(2)，当且仅当a=b时，等号成立，∴(2)≤4，即ab≤，∴S=ab≤=12－8，即三角形面积的最大值为12－8.
12－8
14.(2025·四川名校大联考)已知实数x，y满足5x＞y＞0，则的最小值为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵5x＞y＞0，∴，∴≥2，当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为.
C
15.(多选)(2025·福建漳州模拟)已知正实数x，y满足x＋2y=1，则(　 　)
A. xy≤ B. x2＋y≥
C. ≥3＋2 D. x＞2
【解析】 对于A，x＋2y=1≥2，当且仅当x=2y=，等号成立，则xy≤，A正确；对于B，由x＋2y=1，则y=－x，由x＞0，y＞0，则0＜x＜1，∴x2＋y=x2－x≥，B错误；对于C，(x＋2y)=3≥3＋2，当且仅当x=y，等号成立，C正确；对于D，由B易知x=x≥2，当且仅当x=1时，等号成立，则x＞2，D正确.
ACD
16.(2025·上海黄浦三模)若随机变量X~N(3，σ2)，且P(1≤X≤3)=a，P(X≥5)=b，则的最小值为　 　.
【解析】 由题意知正态分布曲线关于x=3对称，P(1≤X≤3)=a，则P(3≤X≤5)=a，又P(X≥5)=b，故a＋b=，则(a＋b)=3＋4≥27=47，当且仅当，即a=2－，b=取等号.
7＋4(共52张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语、不等式
第1节 集合
课标解读　1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.
2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.
4.能使用Venn图表示集合间的基本关系与基本运算.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 集合的基本概念
考点二 集合间的基本关系
考点三 集合的运算
考点四 Venn图的应用
1.[教材改编]已知集合A={0，1，x2－5x}，若6∈A，则实数x的值为　 　.
【解析】 ∵6∈A，∴x2－5x=6，解得x=－1，或x=6.　
－1或6
2.[教材改编]已知集合C={(x，y)|y=x}，集合D=，集合D用列举法表示为　 　，并且C　 　D(填“=”，“ ”或“ ”).
【解析】 由得∴D={(1，1)}.显然点(1，1)在直线y=x上，∴C D.
{(1，1)}

3.[教材改编]已知全集U=A∪B={x∈Z|0≤x≤10}，A∩( UB)={1，3，5，7}，则集合B=
　 　.
【解析】 依题意，U=A∪B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，∴ UB A，又A∩( UB)={1，3，5，7}，∴ UB={1，3，5，7}，∴B={0，2，4，6，8，9，10}.
{0，2，4，6，8，9，10}
4. (忽视元素的互异性)已知集合A={1，3，}，B={1，m}，若B A，则m等于(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 1 B. 0或1或3
C. 0或3 D. 1或3
【解析】 由B A，得m=3，或m=.解m=，得m=0，或m=1，由集合元素的互异性知m≠1.∴m=0，或m=3.
易错题
C
5. (忽视空集的情形)已知集合M={x|x－a=0}，N={x|ax－1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为(　 　)
A. －1 B. 1
C. －1或1 D. 0或1或－1
【解析】 由M∩N=N，得N M，当N= 时，a=0；当N≠ 时，=a，解得a=±1，故a的值为±1，或0.
易错题
D
6. (忽视集合运算中端点的取舍)已知集合A={x|x≥3}，B={x|x≥m}，且A∪B=A，则实数m的取值范围是　 　.
【解析】 由A∪B=A，得B A，如图所示，∴m≥3.
易错题
[3，＋∞)
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、　 　、无序性.
(2)元素与集合的关系是　 　或不属于，表示符号分别为　 　和 .
(3)集合的三种表示方法：　 　、　 　、图示法.
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
互异性
属于
∈
列举法
描述法
N
N*或N＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
关系 文字语言 符号语言
子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B) 　 　
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 　 　
相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 　 　
空集 不含任何元素的集合.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
A B，或B A
A B，或B A
A=B
3.集合的基本运算
运算 文字语言 符号语言 图形语言
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B=　 　
交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B=　 　
补集 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA=　 　
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A=　 　，A∩ =　 　.
(2)A∪A=　 　，A∪ =　 　.
(3)A∩ UA=　 　，A∪ UA=　 　， U( UA)=　 　.
A

A
A

U
A
[优化拓展]
结论 内容
有限集 中子集 的个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个
子集关系等价形式 A B A∩B=A A∪B=B UA UB
德摩根 定律 U(A∩B)=( UA)∪( UB)，
U(A∪B)=( UA)∩( UB)
考点一　集合的基本概念
(1)(2025·四川绵阳模拟)集合A={x||x－2|≤1，x∈Z}，则A的子集个数为(　 　)
A. 8 B. 7 C. 6 D. 3
【解析】 ∵A={x||x－2|≤1，x∈Z}={x|1≤x≤3， x∈Z}={1，2，3}，∴A的子集个数为23=8.
例 1
A
(2)(2025·黑龙江牡丹江模拟)已知集合A={a－2， a2＋4a， 12}，且－3∈A，则a等于
(　 　)
A. －3或－1 B. －3
C. 1 D. 3
【解析】 ∵集合A={a－2， a2＋4a， 12}，且－3∈A，则a－2=－3，或a2＋4a=－3，∴a=－1，或a=－3.当a=－1时，a－2=a2＋4a，不合题意，舍去；当a=－3时，A={－5， －3， 12}，符合题意.
B
解决集合含义问题的关键点：
(1)确定构成集合的元素.
(2)明确这些元素的限制条件.
(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.
注意：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性.
(1)(多选)下列各组中，M，P表示的是不同集合的有(　 　)
A. M={3，－1}，P={(3，－1)}
B. M={(3，1)}，P={(1，3)}
C. M={y|y=x2＋1，x∈R}，P={x|x=t2＋1，t∈R}
D. M={y|y=x2－1，x∈R}，P={(x，y)|y=x2－1，x∈R}
【解析】 对于A，M={3，－1}是数集，P={(3，－1)}是点集，故M≠P；对于B，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；对于C，M={y|y=x2＋1，x∈R}=[1，＋∞)，P={x|x=t2＋1，t∈R}=[1，＋∞)，故M=P；对于D，M是二次函数y=x2－1(x∈R)的所有y值组成的集合，而集合P是二次函数y=x2－1(x∈R)图象上所有点组成的集合，故M≠P.
跟踪训练1
ABD
(2)(2025·江苏高三期末)已知集合A={－2，0，1，3}，集合B={x|－x∈A，且3＋x A}，则B=(　 　)
A. {0， 3} B. {－2，1}
C. {2，－1} D. {0， 1， 3}
【解析】 当－x=－2，得x=2，3＋2=5 A，满足条件；当－x=0，得x=0，3＋0=3∈A，不满足条件；当－x=1，得x=－1，3＋(－1)=2 A，满足条件；当－x=3，得x=－3，3＋(－3)=0∈A，不满足条件，∴B={2，－1}.
C
考点二　集合间的基本关系
(1)设全集U=Z，集合A={x|x=3k－1，k∈Z}，B={x|x=6k－1，k∈Z}，则(　 　)
A. A B B. B A C. A=B D. A∩B=
【解析】 x=6k－1=3·(2k)－1，k∈Z时，2k能取遍所有偶数；x=3k－1，k∈Z，由于k能取遍所有整数，因此B A.
(2)(2025·海南海口模拟)已知集合A={x|x＜m}，B={x|－2＜x＜3}，若A B，则实数m的取值范围是(　 　)
A. (－∞， －2) B. (－∞， －2]
C. [3，＋∞) D. (3，＋∞)
【解析】 集合A={x|x＜m}，B={x|－2＜x＜3}，由A B，得m≥3，∴实数m的取值范围是[3，＋∞).
例 2
C
B
求解集合间关系的两类问题：
B A 分类 讨论 1.空集情况：优先验证B= .
2.非空集情况：B≠ 时，依题意列不等式.
参数 范围 求解 1.数轴分析：将集合A， B画在数轴上，比较端点位置.
2.列不等式组：根据包含关系(如A∪B=A→B A)列出不等式.
3.端点验证：将参数临界值代回原集合检验.
(1)(2025·河南许昌模拟)已知集合A={－2，0，1}，B={x|4－ax＞0}，若A B，则a的取值范围是
(　 　)
A. (－2，＋∞)
B. (－∞， 4)
C. (－∞， －2)∪(4，＋∞)
D. (－2， 4)
【解析】 ∵A B，∴解得－2＜a＜4，即a的取值范围是(－2， 4).
跟踪训练2
D
(2)设集合A={0，－a}，B={1，a－2，2a－2}，若A B，则a等于(　 　)
A. 2 B. 1 C. D. －1
【解析】 依题意，有a－2=0，或2a－2=0.当a－2=0时，解得a=2，此时A={0，－2}，B={1，0，2}，不满足A B；当2a－2=0时，解得a=1，此时A={0，－1}，B={－1，0，1}，满足A B，∴a=1.
B
考点三　集合的运算
(1)(2025·新高考Ⅱ卷)已知集合A={－4，0，1，2，8}，B={x|x3=x}，则A∩B=(　 　)
A. {0，1，2} B. {1，2，8}
C. {2，8} D. {0，1}
【解析】 B={x|x3=x}={0，－1，1}，故A∩B={0， 1}.
例 3
考向1 集合的交、并、补集运算
D
(2)(2025·绍兴三模)设集合M={x|x2－x＜0}，N={x|－2＜x＜2}，则(　 　)
A. M∩N= B. M∩N=M
C. M∪N=M D. M∪N=R
【解析】 ∵x2－x＜0，∴x(x－1)＜0，解得0＜x＜1，∴M={x|0＜x＜1}，N={x|－2＜x＜2}，对于A，B，M∩N={x|0＜x＜1}，A错误，B正确；对于C，D，M∪N=N，C，D错误.
B
求解集合的交、并、补集运算的方法：
离散有限集 Venn图或直接列举
连续区间(不等式) 数轴分析
(1)(2025·杭州模拟)已知集合A={3，4}，B={x∈Z|x2－8x＋12＜0}，则A∪B中元素的个数是
(　 　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】 集合A={3，4}，B={x∈Z|x2－8x＋12＜0}={x∈Z|2＜x＜6}={3，4，5}，则A∪B={3，4，5}，集合中元素的个数是3.
(2)(2024·全国甲卷理)若集合A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，则 A(A∩B)=(　 　)
A. {1，4，9} B. {3，4，9}
C. {1，2，3} D. {2，3，5}
【解析】 ∵A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，∴B={1，4，9，16，25，81}，则A∩B={1，4，9}， A(A∩B)={2，3，5}.
跟踪训练3
A
D
(1)(2025·江西南昌三模)已知集合A={x|x＞a}，B={x| x2－4x＋3＜0}.若A∪B=A，则a的取值范围是(　 　)
A. (－∞，1] B. (－∞，3]
C. [1，＋∞) D. [3，＋∞)
【解析】 由x2－4x＋3＜0，可得(x－3)(x－1)＜0，解得1＜x＜3，∴B={x|1＜x＜3}，
∵ A∪B=A，∴B A，∴a≤1，∴a的取值范围是(－∞，1].
例 4
考向2 由集合的运算求参数
A
(2)(2025·四川达州期中)已知集合A={x|－2≤x≤10}，B={x|1－m≤x≤1＋m}.若B∩( RA)= ，则实数m的取值范围是(　 　)
A. (－∞，3]
B. (－∞，9]
C. (－∞，3]∪[9，＋∞)
D. [3， 9]
【解析】 ∵B∩( RA)= ，∴B A，∵B={x|1－m≤x≤1＋m}，且满足B A，A={x|－2≤x≤10}，∴当B= 时满足B A，此时1－m＞1＋m，解得m＜0；当B≠ 时，则有解得0≤m≤3， 综上，m≤3，即实数m的取值范围是(－∞，3].
A
1.在解决与不等式有关的集合问题时，一般利用数轴解决，同时要注意端点值能否取到.
2.若集合中的元素能够被一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解.
(1)(2025·江西新余模拟)已知集合A={x|1≤log2x≤2}，B={x|a≤x＜a＋1}，若A∩B≠ ，则a的取值范围是(　 　)
A. (－∞，1)∪(4，＋∞)
B. (－∞，1)∪[4，＋∞)
C. (1，4]
D. [1，4)
【解析】 ∵A={x|1≤log2x≤2}={x|2≤x≤4}，B={x|a≤x＜a＋1}，A∩B≠ ，∴a＋1＞2，且a≤4，解得a∈(1，4].
跟踪训练4
C
(2)已知集合P={y|y2－y－2＞0}，Q={x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q=R，P∩Q=(2，3]，则a＋b=　 　.
【解析】 P={y|y2－y－2＞0}={y|y＞2，或y＜－1}，∵P∪Q=R，P∩Q=(2，3]，∴Q={x|－1≤x≤3}，∴－1，3是方程x2＋ax＋b=0的两个根，由根与系数的关系得－a=－1＋3=2，b=－3，∴a=－2，∴a＋b=－5.
－5
考点四　Venn图的应用
某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
(　 　)
A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%
【解析】 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图所示，
则(60%－x)＋(82%－x)＋x=96%，解得x=46%.
例 5
C
在部分有限集中，经常会遇到元素个数的问题，我们常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.
“运动改造大脑”，为了增强自身的身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A，径赛项目B，其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和B，4名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和C.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班的总人数是(　 　)
51 B. 50 C. 49 D. 48
跟踪训练5
B
【解析】 由题意，Card(A)=25，Card(B)=20，Card(C)=18，Card(A∩B)=6，Card(A∩C)=4，Card(B∩C)=3，
∵全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，∴这个班的总人数是Card(A∪B∪C)=Card(A)＋Card(B)＋Card(C)－Card(A∩B)－Card(A∩C)－Card(B∩C)=25＋20＋18－6－4－3=50.
课时作业
答案速对
第一章 对点练1 集合 题号 1 2 3 4 5 6
答案 D C C D D A
题号 7 8 9 10 13 14
答案 B BC ABD BC B AD
1.(2025·北京卷)已知集合M={x|2x－1＞5}，N={1，2，3}，则M∩N=(　 　)
A. {1，2，3} B. {2，3}
C. D.
D
2.(2025·全国Ⅰ卷)设全集U={x|x是小于9的正整数}，集合A={1，3，5}，则 UA中元素的个数为(　 　)
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
C
3.(2025·河北石家庄模拟)设集合A={1，ln a}，B={0，a}，若A=B，则a=(　 　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. e
C
4.(2025·江苏盐城模拟)已知集合A={1，2}，B={1，2，3，4}，则满足条件A C B的集合C的个数为(　 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
5.(2025·天津卷)已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={2，3，5}，则 U(A∪B) =(　 　)
A. {1，2，3，4} B. {2，3，4}
C. {2，4} D. {4}
D
6.(2025·山东青岛三模)若集合A=，B=，则(　 　)
A. A B B. B A
C. A=B D. A∩B=
【解析】 ∵集合A=，B=，则A B.
A
7.(2025·湖北鄂州模拟)某校高一年级有1 200人，现有两种课外实践活动供学生选择，要求每个学生至少选择一种参加.统计调查得，选择其中一项活动的人数占总数的60%~65%，选择另一项活动的人数占总数的50%~55%，则下列说法中，正确的是
(　 　)
A. 同时选择两项参加的人数可能有100人
B. 同时选择两项参加的人数可能有180人
C. 同时选择两项参加的人数可能有260人
D. 同时选择两项参加的人数可能有320人
【解析】 根据题意，60%＋50%－1=10%，65%＋55%－1=20%，则同时选择两项参加的人数在10%~20%之间，换算成人数为1 200×10%=120，1 200×20%=240，即120~240之间，因此符合题意的选项只有B.
B
8.(多选)设全集U={a，4，a2}，集合A={b，c}，若 UA={1}，则(　 　)
A. a=1 B. a=－1
C. b＋c=3 D. b=－1，c=4
【解析】 若 UA={1}，则b≠1，c≠1，且或∴a=－1，∴U={－1，4，1}，A={－1，4}，则b＋c=3.
BC
9.(多选)(2025·湖北黄冈模拟)对于集合A，B，定义运算：A/B={x|x∈A，且x B}，A B=(A/B)∪(B/A). 若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则(　 　)
A. B/A={5，6} B. A B={1，2，5，6}
C. A B=A∪B D. A B≠A∩B
【解析】 对于A，根据题中信息可得B/A={5， 6}，A正确；对于B，根据题意可得A/B={1，2}，故A B=(A/B)∪(B/A)={1，2，5，6}，B正确；对于C，A∪B ={1，2，3，4，5，6}≠A B，C错误；对于D，A∩B ={3，4}≠A B，D正确.
ABD
10.(多选)若集合M={x|－3＜x＜1}，N={x|x≤3}，则集合{x|x≤－3，或x≥1}=(　 　)
A. M∩N B. RM
C. R(M∩N) D. R(M∪N)
【解析】 ∵集合M={x|－3＜x＜1}，N={x|x≤3}，∴M∩N={x|－3＜x＜1}，M∪N={x|x≤3}， RM={x|x≤－3，或x≥1}，∴ R(M∩N)={x|x≤－3，或x≥1}， R(M∪N)={x|x＞3}.
BC
11.设集合I={1，3，5，7}，若非空集合A同时满足：①A I；②card(A)≤min(A)(其中card(A)表示A中元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数是　 　.
【解析】 当card(A)=1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；当card(A)=2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3，5}，{3，7}，{5，7}；当card(A)=3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3，5，7}，综上，I的所有“好子集”的个数为8.
8
12.定义集合的e运算：已知集合A，B，则AeB=. 若集合A={1， x}，B={x2， x3}，则集合AeB的真子集个数的取值是　 　.
【解析】 由集合中元素的互异性可得x≠0，且x≠1. 当x=－1时，A=B={1，－1}，∴AeB={1，－1}，此时集合AeB的真子集个数为22－1=3. ∵若集合中有n(n∈N*)个元素，则该集合有2n个子集，有2n－1个真子集，当x≠0，且x≠±1时，AeB=，此时集合AeB的真子集个数为23－1=7.
3或7
13.对于集合A，B，定义A/B={x|x∈A，且x B}，则对于集合A={x|x=6n＋5，n∈N}，B={y|y=3m＋7，m∈N}，C={x|x∈A　　　　　　B，且x＜1 000}，下列说法中，正确的是(　 　)
A. 若在横线上填入“∩”，则C的真子集有212－1个
B. 若在横线上填入“∪”，则C中元素个数大于250
C. 若在横线上填入“/”，则C的非空真子集有2153－2个
D. 若在横线上填入“∪ N”，则 NC中元素个数为13
【解析】 x=6n＋5=3×(2n＋1)＋2，y=3m＋7=3(m＋2)＋1，集合A，B无公共元素.对于A，集合C为空集，没有真子集，A错误；对于B，由6n＋5＜1 000得n＜165，由3m＋7＜1 000得m＜331，因此C中元素个数为166＋331=497，B正确；对于C，C中元素个数为166，非空真子集个数为2166－2，C错误；对于D，先不考虑x＜1 000，则 NC= N(A∪ NB)=( NA)∩ N( NB)=( NA)∩B，而B NA，因此其中元素个数为331，D错误.
B
14.(多选)(2025·湖南长沙模拟)图中阴影部分用集合符号可以表示为(　 　)
A. B∩(A∪C)
B. UB∩(A∪C)
C. B∩ U(A∪C)
D. (A∩B)∪(B∩C)
【解析】 在阴影部分区域内任取一个元素x，则x∈A∩B或x∈B∩C，∴阴影部分所表示的集合为 (A∩B)∪(B∩C)，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为B∩(A∪C)，∴A，D正确，B，C错误.
AD
15.(2025·山西太原二模)设集合A={x|x=3k＋2，k∈Z}，B={x|x=5k＋4，k∈Z}，在集合A∩B的所有元素中，绝对值最小的元素是　 　.
【解析】 A={x|x=3k＋2，k∈Z}={…，－4，－1，2，5，8，…}，B={x|x=5k＋4，k∈Z}={…，－6，－1，4，9，…}，显然集合A∩B的所有元素中，绝对值最小的元素是－1.
－1
16.(2025·四川凉山三模)已知集合A，B {1，2，3，4，5，6}，则满足A B的有序集组(A， B)的个数为　 　.
【解析】 设集合B的元素个数为n∈{0，1，2，3，4，5，6}，则集合B的个数有个，可知集合B的子集有2n个，即集合A的个数有2n个，∴有序集组(A， B)的个数为·20·21＋…·26=(1＋2)6=729.
729

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