资源简介

(共47张PPT)
第2节　两条直线的位置关系
课标解读　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.
2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.
3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 两条直线的位置关系
考点二 距离问题
考点三 对称问题
1.[教材改编]已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，则△ABC是　 　(选填“锐角”“直角”或“钝角”)三角形.
【解析】 易得边AB所在直线的斜率k1=－，边BC所在直线的斜率k2=2，且k1k2=－1，∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形.
2.[教材改编]点(1，3)到直线3x－4y－1=0的距离为　 　.
【解析】 距离d==2.
3.[教材改编]经过两条直线x＋y－3=0和x－2y＋3=0的交点，且与直线2x＋y－7=0平行的直线方程是
　 　.
【解析】 由解得∴直线x＋y－3=0和直线x－2y＋3=0的交点为(1，2)，又所求直线与直线2x＋y－7=0平行，∴所求直线的斜率为－2，∴所求直线的方程为y－2=－2(x－1)，即2x＋y－4=0.
直角
2
2x＋y－4=0
4. (忽视斜率不存在的情况)已知l1：3x＋2ay－5=0，l2：(3a－1)x－ay－2=0，则满足l1∥l2的a的值为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. － B. 0
C. －或0 D. 或0
【解析】 由l1∥l2可得3·(－a)－(3a－1)·2a=0，得a=0，或a=－，当a=0时，l1：3x－5=0，l2：－x－2=0，符合题意；当a=－时，l1：3x－y－5=0，l2：3x－y＋4=0，符合题意；故满足l1∥l2的a的值为0或－.
易错题
C
5. (忽视两条直线重合的情况)已知直线ax＋3y＋1=0与x＋(a－2)y＋a=0平行，则a的值为　 　.
【解析】 令3×1=a(a－2)，解得a=－1，或a=3.当a=－1时，两条直线的方程都为x－3y－1=0，即两条直线重合，故舍去；当a=3时，两条直线的方程分别为3x＋3y＋1=0，x＋
y＋3=0，两条直线平行，∴a的值为3.
6. (求两条平行线间的距离时忽视两个直线方程的系数的对应关系)两条平行直
线3x＋4y－12=0与ax＋8y＋11=0之间的距离为 　.
【解析】 依题意得a=6，3x＋4y－12=0可变形为6x＋8y－24=0，∴两条平行直线之间的距离为.
易错题
易错题
3
1.两条直线的位置关系
直线l1：y=k1x＋b1，l2：y=k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1=0，l4：A2x＋B2y＋C2=0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表所示：
位置 关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 　 　 　 　
垂直 　 　 　 　
相交 　 　 　 　
k1=k2，且b1≠b2
A1B2－A2B1=0，且A1C2－A2C1≠0
k1·k2=－1
k1≠k2
A1A2＋B1B2=0
A1B2－A2B1≠0
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
②结论：|P1P2|= 　.
③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|= 　.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C=0的距离d= 　.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1=0与l2：Ax＋By＋C2=0间的距离d= 　.
[优化拓展]
1.直线系方程：
(1)与直线Ax＋By＋C=0平行的直线系方程是Ax＋By＋m=0(m∈R，且m≠C).
(2)与直线Ax＋By＋C=0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n=0(n∈R).
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1=0与l2：A2x＋B2y＋C2=0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋
C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0(λ∈R)，但不包括l2.
2.五种常用对称关系：
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y).
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y).
(3)点(x，y)关于直线y=x的对称点为(y，x)，关于直线y=－x的对称点为(－y，－x).
(4)点(x，y)关于直线x=a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y=b的对称点为(x，2b－y).
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y).
3.谨防4个易错点：
(1)两条直线平行时，不要忽略它们的斜率有可能不存在的情况.
(2)两条直线垂直时，不要忽略一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
(3)求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式.
(4)求两条平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
考点一　两条直线的位置关系
若直线y=x＋2k＋1与直线y=－x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 　 即交点为，∵交点在第一象限，∴ －＜k＜.
例 1
考向1 两条直线相交
A
求两条直线的交点，通常情况下解由两条直线方程组成的方程组即可.若已知交点坐标求直线方程中的参数，直接代入交点坐标即可.若判断交点所在象限，可根据各象限内的点的横、纵坐标的特点确定.
(1)(2025·江苏南通开学考试)若直线l1：x＋λy＋8=0与直线l2：(λ－2)x＋3y＋3λ=0平行，则λ=(　 　)
A. －1 B. －1或3
C. D. 3
【解析】 ∵两条直线平行，∴ ∴λ=－1，或λ=3.
例 2
考向2 两条直线平行或垂直
B
(2)已知a＞0，b＞0，直线(a－1)x＋y－1=0和x＋2by＋1=0垂直，则的最小值为
(　 　)
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【解析】 ∵a＞0，b＞0，直线l1：(a－1)x＋y－1=0，l2：x＋2by＋1=0，且l1⊥l2，∴(a－1)×1＋1×2b=0，即a＋2b=1.则=2＋＋2≥4＋2=4＋4=8，当且仅当a=2b=时，等号成立，故的最小值为8.
B
两条直线平行与垂直的解题策略：
(1)充分掌握两条直线平行与垂直的充要条件是解决此类问题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1(斜率为k1)和l2(斜率为k2)，l1∥l2 k1=k2，l1⊥l2 k1·k2=－1.解题时一定要特别注意直线的斜率不存在的情况.
(2)若l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，则l1⊥l2 A1A2＋B1B2=0；l1∥l2 A1B2=A2B1，且A1C2≠A2C1.
(1)(多选)已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2=0，l2：ax＋(1－a)y－1=0，则(　 　)
A. l1恒过点(2， －2)
B. 若l1∥l2，则a2=
C. 若l1⊥l2，则a2=1
D. 当0≤a≤1时，l2不经过第三象限
【解析】 l1：(a＋1)x＋ay＋2=0 a(x＋y)＋x＋2=0，令解得∴直线l1恒过点(－2，2)，A错误；若l1∥l2，则有(a＋1)·(1－a)=a2，且－(a＋1)－2a≠0，解得a2=，B正确；若l1⊥l2，则有a(a＋1)＋a(1－a)=0，解得a=0，C错误；若直线l2不经过第三象限，则当1－a≠0时，＞0，－≤0，解得0≤a＜1，当1－a=0，即a=1时，直线l2：x=1，也不经过第三象限.综上，当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，D正确.
跟踪训练1
B
(2)若a，b为正实数，直线2x＋(2a－4)y＋1=0与直线2bx＋y－2=0互相垂直，则ab的最大
值为 　.
【解析】 由两条直线垂直得4b＋2a－4=0，即2=a＋2b≥2，∴ab≤，当且仅当a=1，b=时，等号成立，故ab的最大值为.
考点二　距离问题
(1)已知直线l1：2x－y－4=0，l2：x＋y－5=0相交于点P，则点P到直线l：x＋2y＋3=0的距离是
(　 　)
A. 2 B.
C. D.
【解析】 由题意，联立可得故P(3，2)，则点P到直线l：x＋2y＋3=0的距离d==2.
例 3
A
(2)若P，Q分别为直线3x＋4y－12=0与6x＋8y＋5=0上任意一点，则|PQ|的最小值为
(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵≠，∴两条直线平行.将直线3x＋4y－12=0化为6x＋8y－24=0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，∴|PQ|的最小值为.
C
距离问题的求解策略：
(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解，注意直线方程应为一般式.
(2)两条平行直线间的距离的求法：
①利用“转化法”将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
②利用两条平行直线间的距离公式求解.
③遇到含有平方和、绝对值等形式的代数式时，注意利用距离公式的几何意义求解.
(1)已知直线l：(m＋1)x－y－3m－2=0，则点P(－1，－1)到直线l的距离的最大值为　 　.
【解析】 直线l：(m＋1)x－y－3m－2=0，即x－y－2＋m(x－3)=0，由解得x=3，y=1，∴直线l恒过定点A(3，1)，当直线l与直线AP垂直时，点P(－1，－1)到直线l的距离最大，最大值为|AP|==2，∴点P(－1，－1)到直线l的距离的最大值为2.
跟踪训练2
2
(2)已知点A(－1，2)，B(1，4)，若直线l过点M(－2，－3)，且A，B到直线l的距离相等，则直线l的方程为　 　.
【解析】 依题意，A，B到直线l的距离相等.AB的中点为(0，3)，当l过(0，3)和M(－2，－3)时，直线l的方程为y=x＋3=3x＋3，即3x－y＋3=0.直线AB的斜率为=1，当直线l过M(－2，－3)并与AB平行时，直线l的方程为y＋3=1×(x＋2)，即x－y－1=0.综上，直线l的方程为x－y－1=0，或3x－y＋3=0.
x－y－1=0，或3x－y＋3=0
考点三　对称问题
(1)(2025·福建福州模拟)直线x－2y－3=0关于定点M(－2，1)对称的直线方程为____________
　 　.
【解析】 设所求直线上任意一点的坐标为(x，y)，则其关于点M(－2，1)的对称点(－4－x，
2－y)在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x)－2(2－y)－3=0，即x－2y＋11=0.
(2)过点P(0，1)的直线l与直线l1：2x＋y－8=0和直线l2：x－3y＋10=0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为P，则直线l的方程为　 　.
【解析】 设A(a，8－2a)，由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在直线l2上，则－a－3(2a－6)＋10=0，解得a=4，即点A(4，0)在直线l上，直线l的方程为＋y=1，即x＋4y－4=0.
例 4
考向1 中心对称问题
x－2y
＋11=0
x＋4y－4=0
(1)在△ABC中，A(2，5)，B(1，3).若∠BAC的平分线所在的直线方程为x－y＋3=0，则直线AC的方程为　 　.
【解析】 设点B关于直线x－y＋3=0的对称点M的坐标为(a，b)，则
解得∴M(0，4).由题可知，A，M两点都在直线AC上，∴直线AC的斜率为，∴直线AC的方程为y－4=(x－0)，即x－2y＋8=0.
例 5
考向2 轴对称问题
x－2y＋8=0
(2)已知两点A(－4，8)，B(2，4)，点C在直线y=x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为
　.
【解析】 依题意，设点B(2，4)关于直线y=x＋1对称的点为B'(m，n)，
∴
解得∴B'(3，3)，连接AB'交直线y=x＋1于点C'，连接BC'，如图所示，
在直线y=x＋1上任取点C，连接AC，BC，B'C，显然，直线y=x＋1垂直平分线段BB'，则有|AC|＋|BC|=|AC|＋|B'C|≥|AB'|=|AC'|＋|B'C'|=|AC'|＋|BC'|，当且仅当点C与C'重合时取等号，∴(|AC|＋|BC|)min=|AB'|=，故|AC|＋|BC|的最小值为.
对称问题的求解策略：
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
(1)已知直线l1：y=kx－2k＋1与直线l2关于点(1，0)对称，则l2恒过的定点为(　 　)
A. (2，1)
B. (2，－1)
C. (0，－1)
D. (－1，－1)
【解析】 直线l1的方程可化为k(x－2)＋1－y=0，由得∴直线l1过定点(2，1)，点(2，1)关于点(1，0)的对称点为(0，－1)，∴直线l2恒过的定点为(0，－1).
跟踪训练3
C
(2)一光线沿着直线y=－3x＋b射到直线x＋y=0上，经反射后沿着直线y=ax＋2射出，则有
(　 　)
A. a=，b=6
B. a=－3，b=
C. a=3，b=－
D. a=－，b=－6
【解析】 由题意，直线y=－3x＋b与直线y=ax＋2关于直线y=－x对称，∴直线y=ax＋2上的点(0，2)关于直线y=－x的对称点(－2，0)在直线y=－3x＋b上，∴(－3)×(－2)＋b=0，∴b=－6，∴直线y=－3x－6上的点(0，－6)关于直线y=－x的对称点(6，0)在直线y=ax＋2上，∴6a＋2=0，∴a=－.
D
课时作业
答案速对
第八章 对点练61　两条直线的位置关系 题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D D A A D B
题号 8 9 10 11 15 16 17
答案 D AC BC BC B B B
1.已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a，4)，且与直线l2：2x＋y－3=0平行，则a=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. －2 B. 2
C. －1 D. 1
C
2.若直线ax－4y＋2=0与直线2x＋5y＋c=0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c=(　 　)
A. －6 B. 4
C. －10 D. －4
D
3.已知a2－3a＋2=0，则直线l1：ax＋(3－a)·y－a=0和直线l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a=0的位置关系为(　 　)
A. 垂直或平行
B. 相交
C. 平行或相交
D. 垂直或重合
D
4.已知点A(1，2)与B(3，3)关于直线ax＋y＋b=0对称，则a，b的值分别为(　 　)
A. 2，－
B. －2，－
C. －2，
D. 2，
A
5.(2025·江苏南通模拟)若曲线y=x4的一条切线l1与直线l2：4x－y－20=0平行，则l1与l2之间的距离为(　 　)
A.
B. 2
C. 5
D. 10
A
6.若四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为(　 　)
A. 矩形
B. 菱形
C. 等腰梯形
D. 直角梯形
【解析】 ∵kBC=，kAD=，kAB==－，kCD==－，∴kBC=kAD，kAB≠kCD，∴BC∥AD，AB与CD不平行，∴四边形ABCD为梯形.又kAD·kAB=－1，∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形.
D
7.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9=0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为(　 　)
A. －2 B. －1
C. －1或3 D. 3
【解析】 由△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)知，△ABC的重心为，即(1，1)，又三角形为直角三角形，∴外心为斜边的中点，即，∴可得△ABC的欧拉线方程为，即x＋2y－3=0，∵ax＋(a2－3)y－9=0与x＋2y－3=0平行，∴≠，解得a=－1.
B
8.(2025·山西大同期中)已知实数a，b，c，d满足3a－4b＋3=0，3c－4d－7=0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为(　 　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】 由题意可得，(a，b)是直线3x－4y＋3=0上的点，(c，d)是直线3x－4y－7=0上的点，则两条直线平行，(a－c)2＋(b－d)2的最小值为平行直线之间的距离的平方，可得最小值为=4.
D
9.(多选)已知直线l过点P(1，2)，且点A(2，3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是(　 　)
A. 4x＋y－6=0
B. x＋4y－6=0
C. 3x＋2y－7=0
D. 2x＋3y－7=0
【解析】 由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，当直线l∥AB时，∵直线AB的斜率为=－4，∴直线l的方程是y－2=－4(x－1)，即4x＋y－6=0；当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时，l的斜率为=－，此时l的方程是y－2=－(x－1)，即3x＋2y－7=0.
AC
10.(多选)已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中，是“切割型直线”的有(　 　)
A. y=x＋1 B. y=2
C. y=x D. y=2x＋1
【解析】 由题意知，当点M到直线的距离不超过4时，符合要求.对于A，点M(5，0)到直线y=x＋1的距离为=3＞4，A错误；对于B，点M(5，0)到直线y=2的距离为2－0=2＜4，B正确；对于C，点M(5，0)到直线y=x的距离为=4，C正确；对于D，点M(5，0)到直线y=2x＋1的距离为＞4，D错误.
BC
11.(多选)设直线l1：y=px＋q，l2：y=kx＋b，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 直线l1或l2可以表示平面直角坐标系内任意一条直线
B. l1与l2至多有无穷多个交点
C. l1∥l2的充要条件是p=k，且q≠b
D. 记l1与l2的交点为M，则y－px－q＋λ·(y－kx－b)=0可表示过点M的所有直线
【解析】 对于A，当直线的斜率不存在时，直线方程为x=m(m为直线与x轴交点的横坐标)，此时直线l1或l2的方程无法表示，A错误；对于B，当p=k，且q=b时，两条直线重合，此时两条直线有无穷多个交点，B正确；对于C，当p=k，且q≠b时，l1∥l2，C正确；对于D，记l1与l2的交点为M，则M的坐标满足l1：y=px＋q且满足l2：y=kx＋b，则y－px－q＋λ(y－kx－b)=0不表示过点M的直线l2，D错误.
BC
12.已知点P(0，2)，直线l：x＋2y－1=0，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程可以为　 　.
【解析】 直线l：x＋2y－1=0的斜率为－，故只需所求直线方程的斜率不是－即可，可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为y=x＋2.
y=x＋2(答案不唯一)
13.已知直线l1：2x＋y＋1=0和直线l2：x＋ay＋3=0，若l1⊥l2，则实数a的值为　 　；若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为 　.
【解析】 已知直线l1：2x＋y＋1=0和l2：x＋ay＋3=0，若l1⊥l2，则2＋a=0，解得a=－2；若l1∥l2，则2a=1，解得a=，此时直线l2：2x＋y＋6=0，显然两条直线不重合，故此时l1与l2间的距离d=.
－2
14.设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x=0，y=x，则直线BC的方程为　 　.
【解析】 ∵∠B，∠C的角平分线方程分别是x=0，y=x，∴直线AB与直线BC关于x=0对称，直线AC与直线BC关于y=x对称.A(－3，1)关于x=0的对称点A'(3，1)在直线BC上，A(－3，1)关于y=x的对称点A″(1，－3)也在直线BC上.由两点式，所求直线BC的方程为2x－y－5=0.
2x－y－5=0
15.当点P(－1，0)到直线l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)=0的距离最大时，实数λ的值为
(　 　)
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
【解析】 由直线l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)=0，整理得λ(3x＋y－4)＋(x＋y－2)=0.由可得故直线l恒过点A(1，1)，∴PA与直线l垂直时，距离最大.又kPA=，直线l的斜率k=－，故－·=－1，解得λ=1.
B
16.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1=0和x－2y＋3=0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1=0和3x＋4y＋c2=0，则|c1－c2|=
(　 　)
A. 2 B. 2 C. 2 D. 4
【解析】 ∵菱形四条边都相等，∴每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x－2y＋1=0和x－2y＋3=0之间的距离为，直线3x＋4y＋c1=0和3x＋4y＋c2=0之间的距离为，∴ |c1－c2|=2.
B
17.(2025·北京阶段练习)若两条直线l1：y=2x＋m，l2：y=2x＋n与圆x2＋y2=4的四个交点能构成正方形，则|m－n|=(　 　)
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
【解析】 由圆x2＋y2=4知圆心(0，0)，半径为2，
∵直线l1，l2斜率相等，∴l1∥l2，如图所示，
要使四个交点构成正方形，圆心到两条直线的距离d需
满足d2＋d2=r2，即2d2=4，解得d=，由直线关于圆心
对称可知m=－n，圆心到直线l1的距离为，解得|m|=，∴|m－n|=|2m|=2|m|=2.
B
18.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2＋y2≤1，若将军从点A(2，0)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y=3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为 　.
【解析】 设点A关于直线x＋y=3的对称点为A'(a，b)，则线段AA'的中点坐标为，kAA'=，故解得从点A到军营最短总路程即为点A'到军营最短的距离，故“将军饮马”的最短总路程为－1=－1.
－1(共40张PPT)
第八章 解析几何
第1节　直线的方程
课标解读　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式).
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 直线的倾斜角与斜率
考点二 直线方程
考点三 直线方程的综合应用
1.[教材改编]已知直线l经过点A(－2，0)与B(－5，3)，则直线l的斜率k=　 　，倾斜角θ=
　 　，一个方向向量为　 　.
【解析】 由题意知直线l的斜率k==－，即tan θ=－，则倾斜角θ=120°，直线l的一个方向向量为(1，－).
2.[教材改编]已知A(1，3)，B(－2，1)，C(4，m)三点在同一条直线上，则m=　 　.
【解析】 ∵kAB=，kBC=，∴，解得m=5.
3.[教材改编]直线y＋2=k(x＋1)恒过点　 　.
【解析】 ∵y＋2=k(x＋1)，即y－(－2)=k[x－(－1)]，∴该直线过定点(－1，－2).
－
120°
(1，－)(答案不唯一)
5
(－1，－2)
4. (混淆倾斜角与斜率的关系)若直线x=2的倾斜角为α，则α的值为(　 　)　　　　　　　　　　　　　
A. 0　 B. 　 　
C. 　 　 D. 不存在
【解析】 ∵直线x=2垂直于x轴，∴倾斜角α为.
5. (对截距概念理解有误)经过两点(－1，1)和(0，3)的直线在x轴上的截距为
　 　.
【解析】 ∵经过两点(－1，1)和(0，3)的直线方程为，即y=2x＋3，令y=0得x=－，∴直线在x轴上的截距为－.
易错题
易错题
C
－
6. (忽略截距为0的情况)过点(1，1)且在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线的方程为　 　.
【解析】 当直线经过原点时，直线的方程为x－y=0，满足题意；当直线不经过原点时，设直线的方程为=1(a≠0)，∵点(1，1)在直线上，∴=1，解得a=2，∴直线的方程为=1，即x＋y－2=0.综上，所求直线的方程为x－y=0，或x＋y－2=0.
易错题
x－y=0，或x＋y－2=0
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l　 　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为　 　.
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是　 　.
2.直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的　 　叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=　 　.
(2)计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k= 　.
②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量=(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的　 　.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则
k= 　 .
向上
0°
{α|0°≤α＜180°}
正切值
tan α
方向向量
3.直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率 　 　 与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率 　 　 两点式 过两点 与两坐标轴均不垂直的直线
截距式 纵、横截距 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式 Ax＋By＋C=0 (A2＋B2≠0) 所有直线
y=kx＋b
y－y0=k(x－x0)
=1
[优化拓展]
1.倾斜角与斜率的关系：
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系.
(2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大.
(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.
2.谨记以下2个关键点：
(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
(2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y=kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在，且斜率不为0时，可设直线的方程为x=ty＋b.
考点一　直线的倾斜角与斜率
(1)直线xcos α＋y－2=0的倾斜角的范围是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. ∪ D.
【解析】 已知直线方程xcos α＋y－2=0，设直线的倾斜角为θ，故tan θ=－=－cos α∈，即θ∈∪.
例 1
C
(2)已知两点A(2，－3)，B(－3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　 　)
A. －4≤k≤－ B. k≤－4，或k≥－
C. －4≤k≤ D. －≤k≤4
【解析】 结合图形，由题意得，所求直线的斜率k满足k≥kPB，或k≤kPA，即k≥－，或k≤－4，即直线的斜率的取值范围是k≤－4，或k≥－.
B
1.斜率的三种求法：
(1)定义法.(2)斜率公式法.(3)方向向量法.
2.倾斜角和斜率的取值范围的求法：
(1)图形观察(数形结合).
(2)充分利用函数k=tan α的单调性.
(1)已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y=k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　 　)
A. k≥ B. k≤－2
C. k≥，或k≤－2 D. －2≤k≤
【解析】 直线l：y=k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，∵kPA==－2，kPB=，且直线l：y=k(x－2)＋1与线段AB相交，∴－2≤k≤.
(2)(多选)如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别
为α1，α2，α3，则下列选项中，正确的有(　 　)
A. k1＜k3＜k2 B. k3＜k2＜k1
C. α1＜α3＜α2 D. α3＜α2＜α1
【解析】 ∵直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，
α2，α3，则由题图得k2＞k3＞0，k1＜0，故＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，∴α1＞α2＞α3.
跟踪训练1
D
AD
考点二　直线方程
求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点(－1，－3)，且斜率为－；
解：(1)所求直线方程为y＋3=－(x＋1)，即x＋4y＋13=0.
(2)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的2倍；
(2)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y=kx，
又直线过点(2，1)，∴1=2k，解得k=，∴直线方程为y=x，即x－2y=0；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为=1，由题意可得解得
∴直线方程为=1，即x＋2y－4=0，综上，所求直线方程为x－2y=0，或x＋2y－4=0.
例 2
(3)直线过点(5，10)，且原点到该直线的距离为5.
(3)当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x－5=0，满足题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k，则所求直线方程为y－10=k(x－5)，即kx－y＋10－5k=0，∴原点到直线的距离d==5，解得k=，∴所求直线方程为3x－4y＋25=0，综上，所求直线方程为x－5=0，或3x－4y＋25=0.
1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.
2.对于点斜式、截距式方程，要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零).
(1)(多选)已知直线l的一个方向向量为n=，若l过点A(－4，3)，则直线l的方程可以为
(　 　)
A. y－3=－(x＋4) B. 3x－2y－18=0
C. y－3=(x＋4) D. 3x－2y＋18=0
【解析】 方法一　∵直线l的一个方向向量为n=，∴直线l的斜率k=，故直线l的方程为y－3=(x＋4)，即3x－2y＋18=0.
方法二　设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则=(x＋4，y－3)，∵直线l的一个方向向量为n=，∴(x＋4)－(y－3)=0，∴直线l的方程为y－3=(x＋4)，即3x－2y＋18=0.
跟踪训练2
C
(2)(多选)(2025·湖北武汉质检)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 截距相等的直线都可以用方程=1表示
B. 方程x＋my－2=0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C. 经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1=tan θ(x－1)
D. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0
【解析】 若直线过原点，此时横、纵截距都为0，则不能用方程=1表示，A错误；当m=0时，直线方程为x=2，此时直线平行于y轴，B正确；若直线的倾斜角为90°，则该直线的斜率不存在，不能用y－1=tan θ(x－1)表示，C错误；设P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据P1P2∥P1P可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0，D正确.
BD
考点三　直线方程的综合应用
如图所示，O为坐标原点，过点P(4，1)作直线l，分别交x轴、y轴
的正半轴于点A，B.
(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；
解：设直线l：=1(a＞0，b＞0)，∵直线l经过点P(4，1)，
∴=1.
(1)∵=1≥2，∴ab≥16，当且仅当a=8，b=2时，等号成立，∴S△AOB=ab≥8，∴当a=8，b=2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为=1，即x＋4y－8=0.
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.
(2)∵=1，a＞0，b＞0，∴|OA|＋|OB|=a＋b=(a＋b)=5＋≥9，当且仅当a=6，b=3时，等号成立，∴当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6=0.
例 3
直线方程的两大综合问题及对应解法：
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决.
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.
(1)已知直线l过点M(1，1)，且分别与x轴、y轴的正半轴相交于A，B两点，O为坐标原点.当
|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程为　 　.
【解析】 设直线l的方程为=1(a＞0，b＞0)，则A(a，0)，B(0，b)，又直线l过点M(1，1)，∴=1，则a＋b=ab，∴|MA|2＋|MB|2=(a－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＋(b－1)2=4＋a2＋b2－2(a＋b)=4＋a2＋b2－2ab=4＋(a－b)2≥4，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2=0.
(2)已知直线x＋2y=2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大
值为 　.
【解析】 由题得A(2，0)，B(0，1)，由动点P(a，b)在线段AB上.可知0≤b≤1，且a＋2b=2，从而a=2－2b，故ab=(2－2b)b=－2b2＋2b=－2.由于0≤b≤1，故当b=时，ab取得最大值.
跟踪训练3
x＋y－2=0
课时作业
答案速对
第八章 对点练60 直线的方程 题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D A D C C D B
题号 8 9 10 11 15 16
答案 D ABC BD ABD B C
1.(2025·安徽阜阳开学考试)已知直线l经过A(－1，2)，B(－1，3)两点，则l的倾斜角为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
D
2.(2025·天津期中)若直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为
(　 　)
A. B.
C. D.
A
3.已知直线l过点(1，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程为
(　 　)
A. 2x－y=0
B. 2x＋y－4=0
C. 2x－y=0，或x＋2y－2=0
D. 2x－y=0，或2x＋y－4=0
D
4.若直线l的方程y=－x－中，ab＞0，ac＜0，则此直线必不经过(　 　)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
C
5.已知直线l过点A(－2，1)，并与两条坐标轴截得等腰三角形，那么直线l的方程是
(　 　)
A. x－y－1=0，或x＋y－3=0
B. x－y－1=0，或x－y＋3=0
C. x＋y＋1=0，或x－y＋3=0
D. x＋y＋1=0，或x＋y－3=0
C
6.已知M是直线l：2x－y－4=0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　 　)
A. x＋y－3=0
B. x－3y－2=0
C. 3x－y＋6=0
D. 3x＋y－6=0
【解析】 设直线l的倾斜角为α，则tan α=k1=2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k2=tan(α＋45°)==－3，又点M(2，0)，∴直线方程为y=－3(x－2)，即3x＋y－6=0.
D
7.直线2xcos α－y－3=0的倾斜角的取值范围是(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 直线2xcos α－y－3=0的斜率k=2cos α.由于α∈，∴≤cos α≤，∴k=2cos α∈[1，].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].由于θ∈[0，π)，∴θ∈
，即倾斜角的取值范围是.
B
8.(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为=0.5，=k1，=k2，=k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3等于(　 　)
A. 0.75 B. 0.8 C. 0.85 D. 0.9
【解析】 设OD1=DC1=CB1=BA1=1，则DD1=0.5，CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3，依题意，有k3－0.2=k1，k3－0.1=k2，且=0.725，∴=0.725，故k3=0.9.
图1 图2
D
9.(多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 若直线y=kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限
B. 直线y=ax－3a＋2过定点(3，2)
C. 过点(2，－1)，斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1=－(x－2)
D. 斜率为－2，在y轴上截距为3的直线方程为y=－2x±3
【解析】 对于A，直线y=kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，∴点(k，b)在第二象限，A正确；对于B，直线可写为y－2=a(x－3)，∴直线过定点(3，2)，B正确；对于C，根据直线的点斜式方程知C正确；对于D，由直线的斜截式方程得y=－2x＋3，D错误.
ABC
10.(多选)已知直线xsin α＋ycos α＋1=0(α∈R)，则下列命题中，正确的有(　 　)
A. 直线的倾斜角是π－α
B. 无论α如何变化，直线不过原点
C. 直线的斜率一定存在
D. 当直线和两条坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
【解析】 直线倾斜角的取值范围是[0，π)，而π－α∈R，A错误；当x=y=0时，xsin α＋ycos α＋1=1≠0，∴直线必不过原点，B正确；当α=时，直线斜率不存在，C错误；当直线和两条坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S=·≥1，D正确.
BD
11.(多选)已知直线l：x＋y－3＋m(2x－y)=0，其中m为实数，则下列说法中，正确的有
(　 　)
A. 直线l过定点
B. 无论m取何值，直线l不经过原点
C. 当m＞0时，直线l与y轴交于它的负半轴
D. 当m=0时，直线l与坐标轴围成的三角形的面积是
【解析】 ∵直线l：x＋y－3＋m(2x－y)=0，令得∴直线l过定点(1，2)，A正确；若直线l过原点(0，0)，∵－3≠0，假设不成立，∴无论m取何值，直线l不经过原点，B正确；当m=时，直线l的方程为2xy－3=0，令x=0，则y=6，即直线l与y轴交于它的正半轴，C错误；当m=0时，直线l的方程为x＋y－3=0，则直线l与x轴、y轴的交点坐标分别是(3，0)，(0，3)，∴直线l与坐标轴围成的三角形的面积是×3×3=，D正确.
ABD
12.在x轴与y轴上截距分别为－2，2的直线的倾斜角为 　.
【解析】 由题意知直线过点(－2，0)，(0，2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，则k=
tan α==1，又α∈[0，π)，故倾斜角α=.
13.已知M是直线l：y=x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则得到的直线方程
为　 　.
【解析】 在y=x＋3中，令y=0，得x=－，即M(－，0).∵直线l的斜率为，∴其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l'的倾斜角为90°，此时直线l'的斜率不存在，故其方程为x=－；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l″的倾斜角为30°，此时直线l″的斜率为tan 30°=，故其方程为y=(x).
x=－，或y=(x)
14.求圆的切点弦方程可利用“同构”思想.如“已知圆O：x2＋y2=1，过点P(－2，－2)作圆O的两条切线，切点记为A，B，求直线AB的方程”，部分解答如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由·=0，化简可得2x1＋2y1=0，又=1，∴2x1＋2y1＋1=0，同理可得2x2＋2y2＋1=0，…，则直线AB的方程为　 　.
【解析】 由于2x1＋2y1＋1=0，2x2＋2y2＋1=0，故A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足方程2x＋
2y＋1=0，由两点确定唯一的直线，故直线AB的方程为2x＋2y＋1=0.
2x＋2y＋1=0
15.若a=，b=，c=，则(　 　)
A. a＜b＜c B. c＜b＜a
C. c＜a＜b D. b＜a＜c
【解析】 a=，b=，c=分别表示(2，ln 2)，(3，ln 3)，(5，ln 5)与(1，0)连线的斜率.由图可知，c＜b＜a.
B
16.已知A(2，3)，B(－1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为(　 　)
A. 1 B.
C. － D. －3
【解析】 设Q(3，0)，则kAQ==－3，kBQ==－.∵P(x，y)是线段AB上任意一点，∴的取值范围是，故的最大值为－.
C
17.若正方形一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分
别为 　.
【解析】 在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为3，建立如图所示的平面直角坐标系，设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ=3，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA=tan (θ－45°)=，kOC=tan(θ＋45°)==－2.
，－2
18.设m∈R，若过定点A的动直线x＋my=0和过定点B的动直线mx－y－m＋3=0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值为　 　.
【解析】 易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两条动直线都垂直，∴无论点P与点A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2=|AB|2=10(点P在以AB为直径的圆上)，∴|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)=5，当且仅当|PA|=|PB|=时，等号成立.
5(共21张PPT)
考点一　证明问题
(2024·全国甲卷理)已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴.
(1)求C的方程.
(1)解：设F(c，0)，由题设有c=1，且，故，故a=2，b=，故椭圆方程为=1.
例 1
第4课时　证明、探索性问题
(2)过点P(4，0)的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴.
(2)证明：直线AB的斜率必定存在，设AB：y=k(x－4)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由可得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12=0，
故Δ=1 024k4－4(3＋4k2)(64k2－12)＞0，故－＜k＜，
∴x1＋x2=，x1x2=，而N，故直线BN：y=，故yQ=，∴y1－yQ=y1＋=k=k=k=0，故y1=yQ，即AQ⊥y轴.
圆锥曲线中常见的证明问题有：
(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等.
(2)数量关系方面的：如恒成立、相等、存在定值等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明.
已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)过点A(4，3)，且焦距为10.
(1)求双曲线C的方程.
解：(1)由题意可得故a=4，b=3，∴双曲线C的方程为=1.
跟踪训练1
(2)已知点B(4，－3)，D(2，0)，E为线段AB上一点，且直线DE交双曲线C于G，H两点，证明：.
证明：(2)设E(4，t)，G(x1，y1)，H(x2，y2).当x=4时，=1，解得y=±3，则|t|＜3.∵双曲线的渐近线方程为y=±x，∴当直线DE与渐近线平行时，直线DE和双曲线仅有一个交点，此时直线DE的方程为y=±·(x－2).令x=4，则y=±，故|t|≠，则直线DE：y=(x－2).由得(9－2t2)·x2＋8t2x－16t2－144=0，∴x1＋x2=，x1x2=，∴··=(2－x1，－y1)·(4－x2，t－y2)－(4－x1，t－y1)·(x2－2，y2)=2x1x2＋2y1y2－6(x1＋x2)－t(y1＋y2)＋32=x1x2－·(x1＋x2)＋4t2＋32=＋4t2＋32=0.
∴··，∴||||·cos 0=||·||·cos 0，即.
考点二　探索性问题
(2024·天津卷)已知椭圆=1(a＞b＞0)，椭圆的离心率e=.左顶点为A，下顶点为B，C是线段OB的中点，S△ABC=.
(1)求椭圆方程；
解：(1)∵椭圆的离心率为e=，∴a=2c，b=c，其中c为半焦距，∴A(－2c，0)，B(0，
－c)，C，故S△ABC=×2c×c=，故c=，∴a=2，b=3，故椭圆方程为=1.
例 2
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q.在y轴上是否存在点T，使得·≤0恒成立？若存在，求出点T的纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为y=kx－，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t)，
由可得(3＋4k2)·x2－12kx－27=0，
故Δ=144k2＋108(3＋4k2)=324＋576k2＞0，且x1＋x2=，
x1x2=－，而=(x1，y1－t)，=(x2，y2－t)，
故·=x1x2＋(y1－t)(y2－t)=x1x2＋=(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋=(1＋k2)×－k=
，
∵·≤0恒成立，故解得
－3≤t≤.若过点的动直线的斜率不存在，则P(0，3)，Q(0，－3)，或P(0，
－3)，Q(0，3)，此时需－3≤t≤3，两者结合可得－3≤t≤.综上，存在T(0，t)，使得·≤0恒成立.
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A(－1，0)，B(1，0)，动直线l过点M(2，0)，当直线l与双曲线C有且仅有一个公共点时，点B到直线l的距离为.
(1)求双曲线C的标准方程；
解：(1)∵a=1，∴x2－=1，故当直线l过(2，0)且与双曲线C有且仅有一个公共点时，l与C的渐近线平行.设直线l：y=±b·(x－2)，则点B(1，0)到直线l的距离为，∴b=1，∴双曲线C的标准方程为x2－y2=1.
跟踪训练2
(2)当直线l与双曲线C交于异于A，B的两点P，Q时，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2.是否存在实数λ，使得k2=λk1恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
(2)由题可知，直线l的斜率不为0，设直线l：x=my＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得(m2－1)y2＋4my＋3=0(m2－1≠0)，Δ=4m2＋12＞0成立，则y1＋y2=，y1y2=，∴my1y2=－(y1＋y2).∵k1=，k2=，∴λ==－3，故存在实数λ=－3，使得k2=λk1恒成立.
课时作业
1.(2025·河南郑州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，抛物线E：y2=2px(p＞0)的焦点为F，其图象上两点A，B满足|FA|＋|FB|=10，其中点A在第一象限，点B在第四象限，AB不与x轴垂直，且当|FA|=3时，点B的横坐标为6.
(1)求抛物线E的标准方程.
(1)解：不妨记A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|FA|=3，|FA|＋|FB|=10可知|FB|=7，由抛物线的定义可得6=7，解得p=2，故抛物线E的标准方程为y2=4x.
(2)记点C(6，0)，M(4，y)为AB上一点，证明：AB⊥MC.　
(2)证明：由|FA|＋|FB|=10可知x1＋x2＋2=10，即=8.不妨设直线lAB：x=my＋n，联立可得到y2－4my－4n=0，∴y1＋y2=4m，y1y2=－4n，
∴=(y1＋y2)2－2y1y2=16m2＋8n，代入=8可得2m2＋n=4，∴lAB：x=my＋4－2m2，整理得x－4=m(y－2m)，易知m≠0，代入x=4可得y=2m，故M(4，2m)，
∴MC的斜率k1==－m，而AB的斜率k2=，
∴k1k2=－1，∴AB⊥MC.
2.已知双曲线Γ：=1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.
(1)求F1，F2的坐标及双曲线Γ的渐近线方程；
解：(1)由双曲线Γ的方程得a2=4，b2=5，得a=2，b=，则c2=a2＋b2=9，即c=3，故F1(－3，0)，F2(3，0)，渐近线方程为y=±x=±x.
(2)试判断是否存在过点F2的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得∠F1AB=∠F1BA.若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
(2)存在过点F2的直线l与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，使得∠F1AB=∠F1BA.理由如下：
易知直线l不与x轴重合(当直线l与x轴重合时，A，B为双曲线的左、右顶点，∠F1AB=π，∠F1BA=0，不满足题意).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0).
由∠F1AB=∠F1BA得△F1AB为等腰三角形，则|F1A|=|F1B|，F1M⊥AB，即F1M⊥MF2，·=－1，即·=－1，=9①.
∵点A，B在Γ上，∴
②－③得·，即·，则kOM·kAB=，即·，∴4=5－15x0④.联立①④得消去y0得3－5x0－12=0，解得x0=－，或x0=3(舍)，当x0=－时，y0=±，∴M，由kOM·kAB=得kAB=±，∴直线l的方程为y=±(x－3).
3.(2025·重庆模拟)设A，B分别为椭圆=1(a，b＞0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
解：(1)由题意，解得
故椭圆的方程为=1.
(2)设P为直线x=4上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，证明：点B在以MN为直径的圆内.
(2)证明：如图所示，设P(4，t)，t≠0.
由题意，A(－2，0)，B(2，0)，
则直线AP的方程为y=(x＋2)，代入=1，整理得(t2＋27)
x2＋4t2x＋4t2－108=0，则－2xM=，即xM=，
yM=(xM＋2)=，故M，直线BP的方程为
y=(x－2)，代入=1，整理得(t2＋3)x2－4t2x＋4t2－12=0，
则2xN=，即xN=，yN=(xN－2)=－，故N，
∴··=
，∵t≠0，∴·＜0，
即∠MBN为钝角，∵圆的直径所对的圆周角为直角，∴点B在以MN为直径的圆内.
4.(2025·福建泉州调研)已知椭圆Γ：=1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点为
F1(－2，0).
(1)求Γ的方程；
解：(1)由题意设焦距为2c，则c=2.
∵离心率为，即，∴a=2.
则b2=a2－c2=4，故Γ的方程为=1.
(2)如图所示，过Γ的上顶点P作动圆F1的切线分别交Γ于M，N两
点，是否存在圆F1使得△PMN是以PN为斜边的直角三角形？若
存在，求出圆F1的半径；若不存在，请说明理由.
(2)不存在.理由如下：
假设存在圆F1满足题意，当圆F1过原点O时，直线PN与y轴重合，直线PM的斜率为0，不合题意.
依题意不妨设PM：y=k1x＋2(k1≠0)，PN：y=k2x＋2(k2≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，圆F1的半径为r，
则圆心F1到直线PM的距离为=r，
圆心F1到直线PN的距离为=r，
故k1，k2是关于k的方程(r2－4)k2＋8k＋r2－4=0的两个相异实根，此时k1k2=1.
联立得(1＋2)x2＋8k1x=0，∴xP＋xM=，即xM=，则yM=，∴M，同理N.
由k2=，得N.由题意得PM⊥MN，即kMN=－，此时kMN=，∴=－，
∵k1≠0，∴方程无解，故不存在满足题意的圆F1.(共52张PPT)
第6节　双曲线
课标解读　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).
3.会求双曲线的标准方程、渐近线、离心率，会解双曲线中的焦点三角形等.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 双曲线的定义及应用
考点二 双曲线的标准方程
考点三 双曲线的几何性质的相关问题
1.[教材改编]双曲线2x2－y2=32的实轴长为　 　，虚轴长为　 　，渐近线方程为　 　，离心率为 　.
【解析】 双曲线2x2－y2=32的标准方程为=1，故实轴长为8，虚轴长为8，渐近线方程为y=±x，离心率为.
2.[教材改编]经过点A(3，－1)，且对称轴为坐标轴的等轴双曲线的方程为 　.
【解析】 设双曲线方程为x2－y2=λ(λ≠0)，把点A(3，－1)的坐标代入，得λ=8，∴双曲线方程为=1.
8
8
y=±x
=1
3.[教材改编]已知双曲线经过点(－，6)，若它的渐近线方程是y=±3x，则双曲线的方
程为 　.
【解析】 ∵双曲线的渐近线方程是y=±3x，∴设双曲线的方程为y2－9x2=t(t≠0)，将
(－，6)代入，可得t=36－9×3=9，∴双曲线的方程为－x2=1.
4. (忽视双曲线上一点到焦点距离的范围)已知P是双曲线=1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|=9，则|PF2|=　 　.
【解析】 由题意知|PF1|=9＜a＋c=10，∴点P在双曲线的左支上，则有|PF2|－|PF1|=2a=8，故|PF2|=|PF1|＋8=17.
易错题
－x2=1
17
5. (忽视定义中的条件“差的绝对值”)平面内到点F1(－4，0)和F2(4，0)的距
离之差等于6的点的轨迹是　 　.
【解析】 设满足题意的点为点P，由题意知|PF1|－|PF2|=6＜|F1F2|=8，则点P在以F1，F2为焦点，且实轴长为6的双曲线的右支上.设该双曲线的方程为=1(a＞0，b＞0)，半焦距为c，则a=3，c=4，故b2=c2－a2=7，∴所求点的轨迹是双曲线=1的右支.
易错题
双曲线=1的右支
6. (忽视讨论焦点的位置)已知双曲线的焦距为6，它的离心率为3，则该双曲线
的标准方程为　 　.
【解析】 依题意2c=6，∴c=3，由=3，得a=1，∴b2=c2－a2=8，当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为x2－=1；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为
y2－=1.
易错题
x2－=1，或y2－=1
1.双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的　 　等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个　 　叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的　 　.
(2)其数学解析式：集合P={M|||MF1|－|MF2||=2a，0＜2a＜|F1F2|}，|F1F2|=2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
①若　 　，则集合P为双曲线；
②若a=c，则集合P为　 　；
③若　 　，则集合P为空集.
差的绝对值
定点
焦距
a＜c
两条射线
a＞c
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
图形
性 质 范围 x≥a，或x≤－a，y∈R 　 　
对称性 对称轴：　 　；对称中心：　 　 顶点 　 　 A1(0，－a)，
A2(0，a)
渐近线 　 　
离心率 e= 　，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段　 　叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|=　 　；线段 　 　叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|=　 　；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2=　 　 y≤－a，或y≥a，x∈R
坐标轴
坐标原点
A1(－a，0)，A2(a，0)
y=±x
A1A2
2a
B1B2
2b
a2＋b2
[优化拓展]
1.离心率e=，e越大，双曲线的“张口”越大.
2.双曲线的焦点到渐近线的距离为b，顶点到渐近线的距离为.
3.同支的焦点弦中最短的为通径，其长为；异支的焦点弦中最短的为实轴，其长为2a.
4.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则=c＋a，|PF2|min=c－a.
5.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为.
6.若渐近线方程为y=±x，则双曲线方程可设为=λ(λ≠0).
7.等轴双曲线 e= 渐近线为y=±x 方程为x2－y2=λ(λ≠0).
考点一　双曲线的定义及应用
(1)已知F1，F2分别为双曲线x2－y2=2的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且|PF2|2=8|F1F2|，则|PF1|=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 6 B. 2
C. 2＋4 D. 2＋2
【解析】 由x2－y2=2，得=1，故a=，b=，c=2.∵|PF2|2=8|F1F2|=8×4=32，∴|PF2|=4.又|PF1|－|PF2|=2a=2，∴|PF1|=2＋|PF2|=6.
例 1
A
(2)(2025·四川眉山开学考试)设F1，F2为双曲线=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为(　 　)
A. B. 2
C. 2 D. 4
【解析】 如图所示，
由=1可知a=2，b=，c=，由对称性，不妨设点P在
第一象限，设|PF1|=m，|PF2|=n(m＞n)，由定义m－n=2a=4，
∵∠F1PF2=90°，∴m2＋n2=(2c)2=24，
∴2mn=m2＋n2－(m－n)2=8，∴mn=4，∴△F1PF2的面积为mn=2.
B
1.在双曲线的焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||=2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系来求解相关问题.
2.与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解.
3.如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否用定义求解.
(1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　 　)
A. 椭圆 B. 双曲线
C. 抛物线 D. 圆
【解析】 如图所示，连接ON，由题意可得|ON|=1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，∴|MF2|=2.∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|，∴||PF2|－|PF1||=||PF2|－|PM||=|MF2|=2＜|F1F2|，∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
跟踪训练1
B
(2)已知F是双曲线=1的左焦点，点A(1，4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为　 　.
【解析】 ∵F是双曲线=1的左焦点，∴F(－4，0)，设其右焦点为H(4，0)，则由双曲线的定义可得|PF|＋|PA|=2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|=4＋=4＋5=9(当A，P，H三点共线时取等号).
9
考点二　双曲线的标准方程
(1)已知双曲线的离心率e=，且该双曲线经过点(2，2)，则该双曲线的标准方程为
　 .
【解析】 由题意，知e=，解得a=2b，当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为=1(a＞0，b＞0)，∵点(2，2)在该双曲线上，∴=1，即=1，此方程无解；当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为=1(a＞0，b＞0)，∵点(2，2)在该双曲线上，∴=1，即=1，解得b=1，∴a=2，∴该双曲线的标准方程为－x2=1.
例 2
－x2=1
(2)与双曲线=1有共同的渐近线，且经过点(－5，2)的双曲线的方程为
　.
【解析】 双曲线=1的渐近线方程为y=±2x，设所求双曲线的方程为4x2－y2=λ(λ≠0)，又点(－5，2)在双曲线上，∴λ=4×(－5)2－(2)2=100－60=40，故所求双曲线的方程为=1.
=1
1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先确定焦点在x轴还是y轴上，再设出标准方程，由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为=λ(λ≠0)或mx2－ny2=1(mn＞0)，再根据条件求解.
2.与双曲线=1(a＞0，b＞0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0).
(1)以双曲线－y2=1的焦点为顶点，离心率为的双曲线的标准方程为(　 　)
A. =1 B. =1
C. =1 D. =1
【解析】 ∵双曲线－y2=1的焦点在x轴上，∴焦点坐标为(±2，0)，故可设新双曲线的标准方程为=1(a＞0， b＞0)，则新双曲线的顶点坐标为(±2，0)，即a= 2，∵离心率为，得c=2，∴b2=c2－a2=12－4=8，即新双曲线的标准方程为=1.
跟踪训练2
D
(2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2=1，C2：(x－3)2＋y2=9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　 　)
A. x2－=1
B. －y2=1
C. x2－=1(x≤－1)
D. x2－=1(x≥1)
【解析】 设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2外切，得|MC1|=1＋r，|MC2|=
3＋r，|MC2|－|MC1|=2＜6，∴点M的轨迹是以点C1(－3，0)和C2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且2a=2，a=1，又c=3，则b2=c2－a2=8，∴点M的轨迹方程为x2－=1(x≤－1).
C
考点三　双曲线的几何性质的相关问题
(1)(2025·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为(　 　)
A. B. 2 C. D. 2
【解析】 设双曲线的实轴、虚轴、焦距分别为2a，2b，2c，由题知，b=a，于是a2＋b2=c2=a2＋7a2=8a2，则c=2 a，即e==2.
(2)已知双曲线=1(a＞0，b＞0)的两个焦点F1，F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是(　 　)
A. (1，3) B. (1，3] C. (3，＋∞) D. [3，＋∞)
【解析】 设|PF2|=m，则|PF1|=2m，由双曲线定义有|PF1|－|PF2|=m=2a.又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|(当且仅当三点共线时取等号)，∴3m≥2c，即6a≥2c，∴e=≤3.又e＞1，∴e∈(1，3].
例 3
考向1 离心率
D
B
求双曲线离心率的方法：
(1)求出a，b，c的值，根据e2==1＋直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2=c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.建立关于a，b，c的齐次方程(或不等式)时，要充分利用双曲线的几何性质、三角形的边长关系等.
(1)(2025·安徽合肥模拟)已知双曲线C：－x2=1(m＞0)的上、下焦点分别为F1，F2，A为C上一点，且||AF1|－|AF2||=2，则双曲线C的渐近线方程为(　 　)
A. y=±x B. y=±x
C. y=±2x D. y=±2x
【解析】 由双曲线定义可知||AF1|－|AF2||=2a=2，∴a=，即m=2，∴双曲线C：－x2=1，则渐近线方程为y=±x.
例 4
考向2 渐近线
B
(2)已知F(c，0)为双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的右焦点，直线x=c与C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB是面积为4的直角三角形，则C的方程为
(　 　)
A. x2－y2=1 B. =1
C. =1 D. =1
【解析】 由△OAB为直角三角形，及双曲线的对称性知OA⊥OB，且|OA|=|OB|，则C的渐近线方程为y=±x，即a=b，由△OAB的面积为4，得×2c×c=4，解得c=2，又a2＋b2=c2=4，因此a=b=，∴C的方程为=1.
B
双曲线渐近线方程的求法：
(1)求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程；
(2)求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程；
(3)令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程.
提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称.
(1)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点.若·＜0，则y0的取值范围是(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵F1(－，0)，F2(，0)，=1，∴·=(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)=－3＜0，即3－1＜0，解得－＜y0＜.
例 5
考向3 与双曲线有关的(最值)范围问题
A
(2)已知点M(－5，0)，点P在曲线=1(x＞0)上运动，点Q在曲线(x－5)2＋y2=1上运动，则的最小值是　 　.
【解析】 如图所示，在双曲线=1中，a=3，b=4，c==5，圆(x－5)2＋y2=1的圆心为C(5，0)，半径r=1，∴双曲线=1的左、右焦点分别为M，C.由双曲线的定义可得|PM|=|PC|＋2a=|PC|＋6，|PQ|≤|PC|＋1，∴≥=|PC|＋1＋＋10≥2＋10=20，当且仅当|PC|=4时，等号成立，故的最小值是20.
20
与双曲线有关的最值(范围)问题的解题策略：
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助双曲线中的不等关系来解决.
(3)若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可建立目标函数，利用函数或基本不等式求最值.
(1)(2025·贵州贵阳模拟)已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，且PF1⊥x轴.若|PF1|＋|PF2|=6a，则C的离心率为(　 　)
A. B. C. 2 D. 3
【解析】 ∵PF1⊥x轴，P为C上一点，∴点P在双曲线左支上，则|PF2|－|PF1|=2a，又|PF1|＋|PF2|=6a，联立解得|PF1|=2a，|PF2|=4a，在Rt△PF1F2中，由勾股定理，(4a)2=(2a)2＋(2c)2，化简得c2=3a2，则e=.
跟踪训练3
B
(2)已知F1，F2分别是双曲线=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是(　 　)
A. (1，) B. (1，1＋)
C. (，＋∞) D. (1＋，＋∞)
【解析】 依题意，得0＜∠AF2F1＜，故0＜tan ∠AF2F1＜1，则＜1，即e－
＜2，e2－2e－1＜0，(e－1)2＜2.又e＞1，∴1＜e＜1＋.
B
(3)已知F1，F2为双曲线C：－x2=1的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则||的最小值为　 　.
【解析】 由题意知双曲线C的焦点在y轴上，a=，b=1，∴双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.设P(x，y)(x∈R)，连接PO(O为坐标原点，图略)，则|PO|=≥(当且仅当x=0时取等号).∵O为F1F2的中点，∴||=|2|=2||≥2，故||的最小值为2.
2
课时作业
答案速对
第八章 对点练65　双曲线 题号 1 2 3 4 5 6
答案 C B C D B B
题号 7 8 9 13 14 答案 A ABD ABD D C 1.已知曲线C的方程为=1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. －1＜k＜5 B. k＞5
C. k＜－1 D. k≠－1，且k≠5
C
2.(2025·北京卷)双曲线x2－4y2=4的离心率为(　 　)
A. B.
C. D.
B
3.(2025·北京开学考试)若双曲线C：－y2=1(a＞0)上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为(　 　)
A. y=±x B. y=±x
C. y=±x D. y=±x
C
4.江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代发展到了顶峰，它蓝白相映，怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是(　 　)
A. =1
B. －y2=1
C. =1
D. =1
D
5.已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线C的离心率为(　 　)
A. B.
C. D.
B
6.已知双曲线C：=1(b＞0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是(　 　)
A. B.
C. D. (1，)
【解析】 由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y=，即bx－2y=0，又该圆的圆心为(±c，0)，c＞0，故圆心到渐近线的距离为，则由题意可得＜3，即b2c2＜9(b2＋4)，又b2=c2－a2=c2－4，则(c2－4)c2＜9c2，解得c2＜13，即c＜，则e=，又e＞1，故离心率的取值范围是.
B
7.(2025·天津卷)双曲线=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2=2px(p＞0)与双曲线交于第一象限的点P，若|PF1|＋|PF2|=3|F1F2|，则双曲线的离心率为(　 　)
A. 2 B. 5 C. D.
【解析】 根据题意可设F2，双曲线的半焦距为c，点P(x0，y0)，则p=2c，过点F1作x轴的垂线l，过点P作l的垂线，垂足为A，显然直线AF1为抛物线
的准线，则|PA|=|PF2|，由双曲线的定义及已知条件可知
则由勾股定理可知
－|PA|2=12ac，易知=4cx0，∴x0=3a，
即=1，整理得2c2－3ac－2a2=0=(2c＋
a)(c－2a)，∴c=2a，即离心率为2.
A
8.(多选)(2025·重庆阶段练习)已知双曲线C：=1，则(　 　)
A. m＜0
B. 双曲线C的实轴长为2
C. 双曲线C的渐近线方程为y=±x
D. 当双曲线C的离心率等于其虚轴长时，m=－
【解析】 对于A，依题意可得双曲线C的焦点在x轴上，∴m＜0，A正确；对于B，C，对照焦点在x轴上的双曲线的标准方程：=1(a＞0，b＞0)，知a=，b=，
∴双曲线C的实轴长为2，双曲线C的渐近线方程为y=±x，即y=±x，B正确，C错误；对于D，双曲线C的离心率等于虚轴长时，=2b，则=4b2，∴=
－4m，解得m=－，D正确.
ABD
9.(多选)已知P(1，)是双曲线C：3x2－y2=1上一点，过点P向双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 双曲线的渐近线方程为y=±x
B. 双曲线的焦点到渐近线的距离为1
C. |PA|·|PB|=
D. △PAB的面积为
ABD
【解析】 ∵双曲线的方程为C：3x2－y2=1，∴a=，b=1，∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，A正确；双曲线的右焦点到渐近线y=x的距离为d==1，B正确；由点到直线的距离公式可得|PA|·|PB|=，C错误；如图所示，D为直线OA与BP的交点，∵kOA=，且在△PAD和△OBD中，∠PAD=∠OBD=90°，∠PDA=∠ODB，∴∠APD=∠BOD=60°，∴S△PAB=×|PA|·|PB|sin 60°=，D正确.
10.(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，
过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为 　.
【解析】 由题可知A，B，F2三点的横坐标相等，设点A在第一象限，将x=c代入=1，得y=±，即A，B，故|AB|==10，|AF2|==5，又|AF1|－|AF2|=2a，得|AF1|=|AF2|＋2a=2a＋5=13，解得a=4，代入=5得b2=20，故c2=a2＋b2=36，即c=6，∴e=.
11.若曲线C：mx2＋ny2=1(mn≠0，m≠n)经过(6，－)，(－2，)，(4，0)这三点中的
两点，则曲线C的离心率可能为 　(写出一个即可).
【解析】 当曲线C经过点(6，－)，(－2，)时，有解得曲线C的方程为=1，离心率为e=；当曲线C经过点(6，－)，(4，0)时，有解得曲线C的方程为=1，离心率为e=；当曲线C经过点(－2，)，(4，0)时，有解得曲线C的方程为=1，离心率为e=.
12.双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|=|BF|.
(1)求C的离心率；
解：(1)设双曲线的离心率为e，焦距为2c，在=1中，令x=c，则=1，则－1=，故y=±，若|AF|=|BF|，则a＋c=，∴a2＋ac=b2=c2－a2，∴e2－e－2=0，
∴离心率e=2.
(2)若点B在第一象限，证明：∠BFA=2∠BAF.
(2)证明：由(1)知双曲线方程为=1，设B(x，y)(x＞0，y＞0)，当x≠c时，kAB=，kBF=，设∠BAF=θ，则tan θ=，tan 2θ==
==－kBF=
tan ∠BFA，∵0≤2∠BAF＜π，0≤∠BFA＜π，∴∠BFA=2∠BAF；当x=c时，由题意知∠BFA=，∠BAF=，满足∠BFA=2∠BAF.综上，∠BFA=2∠BAF.
13.(2025·湖北十堰三模)设双曲线C1：=1(a＞0，b＞0)的离心率为，实轴长为6，若曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和为26，则曲线C2的标准方程为(　 　)
A. =1 B. =1
C. =1 D. =1
【解析】 ∵双曲线C1的实轴长为6，∴a=3，∵双曲线C1的离心率为，∴c=5，则b==4，∴双曲线C1的方程为=1，∵曲线C2上的点到双曲线C1的两个焦点的距离之和为26，由椭圆的定义可知，曲线C2是以双曲线C1的两个焦点为焦点，长轴长为26的椭圆，设椭圆C2的方程为=1(m＞n＞0)，则m=13，∴n==12，∴椭圆C2的方程为=1.
D
14.(2025·绍兴二模)已知双曲线Γ：x2－=1的左焦点为F，点A，B在Γ的右支上，且|AB|=6，则|FA|＋|FB|的最小值为(　 　)
A. 4 B. 6 C. 10 D. 14
【解析】 对于双曲线x2－=1，根据双曲线的标准方程=
1(a＞0，b＞0)，可得a2=1，b2=3，则a=1.设双曲线的右焦点为F2，
由双曲线的定义可知，点A在双曲线的右支上，则|FA|－|F2A|=2a
=2，即|FA|=|F2A|＋2；同理，点B在双曲线的右支上，则|FB|－
|F2B|=2a=2，即|FB|=|F2B|＋2，∴|FA|＋|FB|=(|F2A|＋2)＋(|F2B|
＋2)=|F2A|＋|F2B|＋4.根据三角形三边的关系可知，|F2A|＋|F2B|≥|AB|，当且仅当A，B，F2三点共线时，等号成立.又|AB|=6，则|F2A|＋|F2B|＋4≥|AB|＋4=6＋4=10，即|FA|＋|FB|≥10，∴|FA|＋|FB|的最小值为10.
C
15.已知F1，F2是双曲线=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足·=－2a2，则双曲线离心率的最小值为 　.
【解析】 设P(x0，y0)，双曲线的半焦距为c，则有|x0|≥a，=1，F1(－c，0)，F2(c，0)，于是=(c－x0，－y0)，=(－c－x0，－y0)，∴·－c2b2－c2=－b2－c2≥c2－b2－c2=－b2，当且仅当|x0|=a时取等号，则－2a2≥－b2，即≥2，离心率e=≥，∴双曲线离心率的最小值为.
16.如图所示，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为8 km，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4 km，为改善市民出行，准备规划道路M－N－P，且道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16 km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6 km，道路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
(1)求道路M－N－P对应的曲线方程；
解：(1)根据题意，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16 km，则道路MN所在的曲线是以定点A，B为左、右焦点的双曲线的右支，且在x轴上方的部分，其方程为x2－y2=64(8≤x≤10，0≤y≤6).又由道路NP段上的任意一点到O的距离都相等，则道路NP所在的曲线为以O为圆心，ON为半径的x轴下方的半圆，其方程为x2＋y2=64
(－8≤y≤0).故道路M－N－P对应的曲线方程为MN段：x2－y2=64(8≤x≤10，0≤y≤6)，NP段：x2＋y2=64(－8≤y≤0).
(2)现要在M－N－P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问：如何设置站点Q的位置(即确定点Q的坐标)？
(2)当点Q在道路MN上时，设Q1(x0，y0)，又由C(0，4)，则|CQ1|=，由(1)可得=64，则|CQ1|=，可得当y0=2时，|CQ1|有最小值，且|CQ1|min=6；当点Q在道路NP上时，设Q2(x1，y1)，又由C(0，4)，则|CQ2|=，由(1)可得=64，则|CQ2|=，可得当y1=0时，|CQ2|有最小值，且|CQ2|min=4.
∵6＜4，∴|CQ|的最小值为6，此时y0=2，x0=2，即点Q的坐标为(2，2)时，Q到C的距离最小.(共56张PPT)
第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系
课标解读　1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 直线与圆的位置关系
考点二 圆的切线与弦长问题
考点三 圆与圆的位置关系
微点突破
1.[教材改编]直线l：3x－y－6=0被圆C：x2＋y2－2x－4y=0截得弦AB的长为 　.
【解析】 将圆的方程化为标准式，可得(x－1)2＋(y－2)2=5，弦心距为，∴其弦长为2.
2.[教材改编]圆x2＋y2－6y＋8=0与圆x2＋y2－4=0的位置关系是　 　，这两个圆有　 　条公切线.
【解析】 两圆的方程x2＋y2－6y＋8=0，x2＋y2－4=0可分别化为x2＋(y－3)2=1，x2＋y2=4，则两圆圆心分别为O1(0，3)，O2(0，0)，半径分别为r1=1，r2=2.连接O1O2，∵|O1O2|=3=r2＋r1，∴两圆外切，则这两个圆有3条公切线.
3.[教材改编]圆x2＋y2=4与圆x2＋y2－4x＋4y－12=0的公共弦所在的直线方程为　 　.
【解析】 由x2＋y2－4=0，x2＋y2－4x＋4y－12=0等号两边对应相减得4x－4y＋8=0，即x－y＋2=0，故公共弦所在的直线方程为x－y＋2=0.
外切
3
x－y＋2=0
4. (忽视直线斜率不存在的情形)过点P(2，4)作圆(x－1)2＋(y－1)2=1的切线，则切线方程为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 3x＋4y－4=0
B. 4x－3y＋4=0
C. x=2，或4x－3y＋4=0
D. y=4，或3x＋4y－4=0
【解析】 当斜率不存在时，直线x=2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4=k(x－2)，即kx－y＋4－2k=0，则=1，解得k=，得切线方程为4x－3y＋4=0.综上，切线方程为x=2，或4x－3y＋4=0.
易错题
C
5. (忽视两圆相切分内切与外切两种情形)若圆x2＋y2=1与圆(x－2)2＋(y－a)2=25相切，则a=　 　.
【解析】 两圆的圆心距d= ，由两圆相切(外切或内切)，得=5＋1，或=5－1，解得a=±4，或a=±2.
6. (混淆直线与圆有公共点和直线与圆相交)若曲线C：x2＋(y＋1)2=1与直线l：x＋y＋a=0有公共点，则实数a的取值范围是　 　.
【解析】 易知圆心(0，－1)到直线l的距离小于或等于半径，故≤1，∴1－≤a≤1＋.
易错题
易错题
±4或±2
[1－，1＋]
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2=r2，直线l：Ax＋By＋C=0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系 相离 相切 相交
图形
量 化 方程观点 Δ　 　0 Δ　 　0 Δ　 　0
几何观点 d　 　r d　 　r d　 　r
＜
=
＞
＞
=
＜
2.圆与圆的位置关系
已知两圆C1：(x－x1)2＋(y－y1)2=，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2=，则圆心距d=|C1C2|=
　.
则两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系 外离 内含
圆心距与半 径的关系 　 　 　 　
图示
公切线条数 4 0
d＞r1＋r2
d＜|r1－r2|
位置关系 相交 内切 外切
圆心距与半 径的关系 　 　 　 　 　 　
图示
公切线条数 2 1 3
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d=|r1－r2|
d=r1＋r2
3.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|=
　 　.
(2)代数法：设直线y=kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0(D2＋E2－4F＞0)相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|=·.
2
[优化拓展]
1.圆的切线方程常用结论：
(1)过圆x2＋y2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y=r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)=r2.
(3)过圆x2＋y2=r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两个切点所在的直线方程为x0x＋y0y=r2.
2.设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0：
(1)若两圆相交，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2=0，该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程.
(2)若两圆相切，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2=0，该方程表示过圆C1与C2切点的公共切线所在的直线方程.
考点一　直线与圆的位置关系
(1)直线l：mx－y＋1－m=0与圆C：x2＋(y－1)2=5的位置关系是(　 　)
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
【解析】 方法一(代数法)　由
消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5=0，∵Δ=16m2＋20＞0，∴直线l与圆相交.
方法二(几何法) 　由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d=＜1＜，故直线l与圆相交.
方法三(代入法)　易得直线l过定点(1，1).把点(1，1)代入圆的方程有1＋0＜5，∴点(1，1)在圆的内部，故直线l与圆C相交.
例 1
A
(2)(2025·新高考Ⅰ卷)已知圆x2＋(y＋2)2=r2(r＞0)上到直线y=x＋2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是(　 　)
A. (0，1) B. (1，3)
C. (3，＋∞) D. (0，＋∞)
【解析】 由题意，在圆x2＋(y＋2)2=r2(r＞0)中，圆心E(0，－2)，
半径为r，到直线y=x＋2的距离为1的点有且仅有2个，
∵圆心E(0，－2)到直线y=x＋2的距离为d==2，
故由图可知，当r=1时，圆x2＋(y＋2)2=r2(r＞0)上有且仅有一个点(A点)到直线y=x＋2的距离等于1；当r=3时，圆x2＋(y＋2)2=r2(r＞0)上有且仅有三个点(B，C，D点)到直线y=x＋2的距离等于1；当r的取值范围是(1，3)时，圆x2＋(y＋2)2=r2(r＞0)上有且仅有两个点到直线y=x＋2的距离等于1.
B
判断直线与圆的位置关系的常见方法：
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
(1)(2025·山东泰安开学考试)已知圆(x－2)2＋(y－2)2=18上至少有三个不同的点到直线kx＋y=0的距离为2，则k的取值范围是(　 　)
A. [－2－，－2＋]
B. [2－，1]
C.
D. [2－，2＋]
【解析】 由题意，圆心坐标为(2，2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线kx＋y=0的距离为2，则圆心到直线的距离应小于或等于，∴≤，k2＋4k＋1≤0，解得－2－≤k≤－2＋.
跟踪训练1
A
(2)(多选)已知直线l：ax＋by－r2=0(r＞0)与圆C：x2＋y2=r2，点A(a，b)，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【解析】 对于A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2=r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d==|r|，∴直线l与圆C相切，A正确；对于B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d=＞|r|，∴直线l与圆C相离，B正确；对于C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d=＜|r|，∴直线l与圆C相交，C错误；对于D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2=r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d==|r|，∴直线l与圆C相切，D正确.
ABD
考点二　圆的切线与弦长问题
(2024·全国甲卷理)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c=0与圆x2＋y2＋4y－1=0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　 　)
A. 1 B. 2 C. 4 D. 2
【解析】 ∵a，b，c成等差数列，∴2b=a＋c，c=2b－a，代入直线方程
ax＋by＋c=0得ax＋by＋2b－a=0，即a(x－1)＋b(y＋2)=0，令
得故直线恒过(1，－2)，设P(1，－2)，圆化为标准方程得
C：x2＋(y＋2)2=5，设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，
当PC⊥AB时，|AB|最小，|PC|=1，|AC|=|r|=，此时|AB|=2|AP|=2=2=4.
例 2
考向1 弦长问题
C
直线被圆截得的弦长的求法：
(1)(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1=0相切的两条直线的夹角为α，则
sin α=(　 　)
A. 1 B. C. D.
【解析】 如图所示，由x2＋y2－4x－1=0得(x－2)2＋y2=5，
∴圆心坐标为(2，0)，半径r=，∴圆心到点(0，－2)的距
离为=2.由于圆心与点(0，－2)的连线平
分角α，∴sin，
又∈，∴cos，∴sin α=2sincos.
例3
考向2 切线问题
B
(2)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2=2和点P(x0，0)，若圆C上存在两点A，B使得∠APB=，则实数x0的取值范围是(　 　)
A. [－3，1] B. [－1，3]
C. [－2，3] D. [－2，4]
【解析】 如图所示，当PA和PB与圆C相切时，∠APB最大，要使圆C上存在两点A，B使得∠APB=，则∠APC≥，∴|PC|≤=2，即≤2，解得
－1≤x0≤3.
B
求圆的切线方程时常用的两种方法：
(1)代数法：将直线方程代入圆的方程中，消去一个未知数(x或y)，令一元二次方程根的判别式等于0，求出相关参数.
(2)几何法：将圆的切线方程设为一般式，根据圆心到直线的距离等于半径，求出相关参数，解决问题.
(1)已知圆O：x2＋y2=4，过直线l：2x＋y=10上的一点P作圆O的一条切线，切点为M，则|PM|的最小值为(　 　)
A. 4 B. 5
C. D. 2
【解析】 圆O：x2＋y2=4的圆心为O(0，0)，半径r=2，设P(x0，10－2x0)，则|PM|=≥=4(当且仅当x0=4时，等号成立).
例4
考向3 与圆有关的最值问题
A
(2)(2025·重庆模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－1)2＋y2=4，P为直线l：x＋y＋3=0上的一个动点，过点P作圆C的切线PM，切点为点M，当|PM|最小时，·的值为(　 　)
A. 4 B. C. 2 D. 3
【解析】 由于PM是圆C的切线，∴PM⊥CM，∴|PM|=，当PC⊥l时，|PC|最小，此时|PM|最小.C(1，0)到直线l：x＋y＋3=0的距离为=2，即PC⊥l时，|PC|=2，|PM|min==2，∴此时△PCM是等腰直角三角形，∴当|PM|最小时，·的值为2×2×cos =4.
A
求解与圆有关的最值、范围问题的步骤：
(1)定型：根据题目条件确定最值问题的类型；
(2)作图：根据几何意义，画出图象，利用数形结合思想求解；
(3)求值：根据图象，利用相关知识求解.
(1)(2025·江苏南京开学考试)已知点A(－1，1)，B(3，3)，线段AB为☉M的一条直径.设过点C(2，－1)且与☉M相切的两条直线的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2=(　 　)
A. － B. －
C. D.
【解析】 由于点A(－1，1)，B(3，3)，线段AB为☉M的一条直径，故圆心M，即M(1，2)，圆的半径为r=|AB|=，由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为y=k(x－2)－1，由相切可得=r=，化简可得2k2－3k－2=0，故k1，k2是方程2k2－3k－2=0的两个根，故k1＋k2=.
跟踪训练2
D
(2)已知直线x－y＋8=0和圆x2＋y2=r2(r＞0)相交于A，B两点.若|AB|=6，则r的值为
　 　.
【解析】 方法一(几何法)　由题意知圆心为O(0，0)，圆心到直线的距离d==4.取AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB.在Rt△OMA中，r==5.
方法二(代数法)　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得4x2＋16x＋64－3r2=0，则x1＋x2=－4，x1x2=16－r2.由|AB|=·=6，解得r=5.
5
(3)(2025·北京西城模拟)若直线kx－y＋k=0与☉C：(x－1)2＋y2=4交于A，B两点，则△ABC面积的最大值时，k的值为　 　.
【解析】 直线kx－y＋k=0，则(x＋1)k－y=0，令解得∴直线kx－y＋k=0恒过点(－1，0)，☉C：(x－1)2＋y2=4的圆心为C(1，0)，半径r=2，显然点(－1，0)在☉C上，圆心C(1，0)到直线的距离d=，|AB|=2，则S△ABC=|AB|d=·d=≤=2，当且仅当d2=4－d2，即d2=2时取等号，即=2，解得k=±1.
±1
考点三　圆与圆的位置关系
(1)已知点P在圆O：x2＋y2=4上，点A(－3，0)，B(0，4)，则满足AP⊥BP的点P的个数为　
(　 　)
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
【解析】 设点P(x，y)，则=(x＋3，y)，=(x，y－4)，由AP⊥BP，得·=x(x＋3)＋y(y－4)=x2＋y2＋3x－4y=0，即＋(y－2)2=，故点P的轨迹是圆心为，半径为的圆，该圆与圆O的圆心距为，半径之和为＋2=，半径之差为－2=，∴两圆相交，
∴满足题意的点P有2个.
例 5
B
(2)(多选)已知圆C1：x2＋y2=9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2=16，下列说法中，正确的有　
(　 　)
A. C1与C2的公切线恰有4条
B. C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9=0
C. C1与C2相交弦的弦长为
D. 若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max=12
【解析】 对于A，易得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1=3，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2=4，|C1C2|==5，r2－r1＜d＜r1＋r2，故两圆相交，∴C1与C2的公切线恰有2条，A错误；对于B，作差可得C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9=0，B正确；对于C，C1到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为2，C错误；对于D，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max=|C1C2|＋r1＋r2=12，D正确.
BD
圆与圆位置关系的解题策略：
(1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断，一般不采用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
(3)求两圆公共弦长时，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解.
(1)在平面直角坐标系中，已知两点O(0，0)，A(3，4)到直线l的距离分别是1与4，则满足条件的直线l共有(　 　)
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
【解析】 分别以O，A为圆心，以1，4为半径作圆(图略)，
∵|OA|==5=1＋4，∴两圆外切，有三条公切线，即满足条件的直线l共有3条.
跟踪训练3
C
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2=1和(x－3)2＋(y－4)2=16都相切的一条直线的方程：
　 　 .
【解析】 方法一　如图所示，由图易知x=－1为公切线CD的方程；设切点B(cos θ，sin θ)，则由A(3，4)可知cos θ=，sin θ=，∴B，又kOA=，∴过点B的公切线的斜率为－，∴过点B的公切线的方程为y－=－，即3x＋4y－5=0；由可得C，设公切线CE的方程为y＋=k(x＋1)，即3kx－3y＋3k－4=0，由=1，解得k=，∴公切线CE的方程为7x－24y－25=0.
x＋1=0，7x－24y－25=0，3x＋4y－5=0(填一个即可)
方法二　显然公切线的斜率不为0，设公切线的方程为x＋by＋c=0，则=1，=4，故c2=1＋b2①，|3＋4b＋c|=|4c|，∴3＋4b＋c=4c，或3＋4b＋c=－4c，再结合①可得或或∴公切线有三条，其方程分别为x＋1=0，7x－24y－25=0，3x＋4y－5=0(填一个即可).
考向1 直线系方程
直线系、圆系方程
微点突破
1.过点(x0，y0)的直线系方程为A(x－x0)＋B(y－y0)=0(其中A，B不全为零).
2.平行于直线Ax＋By＋C=0的直线系方程为Ax＋By＋C0=0(C≠C0).
3.垂直于直线Ax＋By＋C=0的直线系方程为Bx－Ay＋C0=0.
4.过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1=0和l2：A2x＋B2y＋C2=0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)=0(λ∈R).这个直线系不包括直线l2：A2x＋B2y＋C2=0，解题时注意检验l2是否满足题意.
(1)过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5=0平行的直线方程为　 　.
【解析】 设所求直线方程为2x＋3y＋c=0(c≠5)，由题意知2×1＋3×(－4)＋c=0，解得c=10，故所求直线方程为2x＋3y＋10=0.
(2)过点A(2，1)且与直线2x＋y－10=0垂直的直线l的方程为　 　.
【解析】 设该直线方程为x－2y＋c=0.又直线过点A(2，1)，∴有2－2×1＋c=0，解得c=0，故所求直线方程为x－2y=0.
(3)已知两条直线l1：x－2y＋4=0和l2：x＋y－2=0的交点为P，过点P且与直线l3：3x－4y＋5=0垂直的直线l的方程为　 　.
【解析】 设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)=0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ=0.∵直线l与l3垂直，∴3(1＋λ)－4(λ－2)=0，∴λ=11，∴直线l的方程为4x＋3y－6=0.
例 6
2x＋3y＋10=0
x－2y=0
4x＋3y－6=0
直线l1：x＋y－4=0与l2：x－y＋2=0的交点为P，直线l：2x－y－1=0.求：
(1)过点P且与直线l平行的直线方程；
解：由得∴l1与l2的交点为P(1，3).
(1)设所求直线方程为2x－y＋c=0(c≠－1)，则2－3＋c=0，∴c=1，∴所求直线方程为2x－y＋1=0.
(2)过点P且与直线l垂直的直线方程.
(2)设与直线2x－y－1=0垂直的直线方程为x＋2y＋c'=0，则1＋2×3＋c'=0，∴c'=－7，∴所求直线方程为x＋2y－7=0.
跟踪训练4
考向2 圆系方程
1.以(a，b)为圆心的同心圆圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2=λ(λ＞0).
2.与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0同圆心的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ=0.
3.过直线Ax＋By＋C=0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)=0(λ∈R).
4.过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0(λ≠－1，此圆系不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0).特别地，当λ=－1时，上述方程为一次方程，两圆相交时，其表示公共弦所在的直线方程；两圆相切时，其表示过切点的公切线所在的直线方程.
已知点M(2，－2)，圆O：x2＋y2=3(O为坐标原点).
(1)求经过点M，以及圆O与圆x2＋y2＋3x=0交点的圆的方程；
解：(1)设所求圆的方程为x2＋y2＋3x＋λ(x2＋y2－3)=0，∵点M(2，－2)在圆上，代入解得λ=
－，∴所求圆的方程是3x2＋3y2－5x－14=0.
(2)过点M向圆O引两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程.
(2)以MO为直径的圆C的方程为x2＋y2－2x＋2y=0，则由圆系方程可知圆C与圆O方程相减即得直线AB的方程为2x－2y=3，或由切点弦的公式可直接得到2x－2y=3.
例 7
经过直线2x－y＋3=0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1=0的两个交点，且面积最小的圆的方程是
　.
【解析】 可设过两个交点A，B的圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x－y＋3)=0，整理得(x＋λ＋1)2＋λ2＋λ＋4，若要使得圆的面积最小，则只需半径最小，即λ2＋λ＋4取到最小值，而λ2＋λ＋4=≥，当λ=－时取到最小值，此时圆的方程为.
跟踪训练5
课时作业
答案速对
第八章 对点练63　直线与圆、圆与圆的位置关系 题号 1 2 3 4 5
答案 B C C C C
题号 6 7 8 13 答案 A ABC BD D 1.若直线=1与圆x2＋y2=1相交，则(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. ＜1 B. ＞1
C. a2＋b2＜1 D. a2＋b2＞1
B
2.已知圆O1：(x－1)2＋(y＋2)2=9，圆O2：(x＋2)2＋(y＋1)2=16，则这两个圆的位置关系为
(　 　)
A. 外离 B. 外切
C. 相交 D. 内含
C
3.(2025·宁波“十校”联考)过直线y=3x上的点P作圆C：(x＋2)2＋(y－4)2=4的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y=3x对称时，点P的坐标为(　 　)
A. B.
C. (1，3) D.
C
4.设圆O：x2＋y2=4，直线l：y=x＋a(a＞0)与圆O交于A，B两点，若△AOB是直角三角形，则a=(　 　)
A. B. 2 C. 2 D. 4
C
5.由直线y=x＋1上的一点向圆x2＋y2－6x＋8=0引切线，则切线长的最小值为(　 　)
A. 3 B. 2 C. D.
C
6.(2025·山东临沂模拟)已知一条直线截圆x2＋y2＋ax－2ay－5=0所得的弦长为定值，则该定值为(　 　)
A. 2 B. 3 C. 5 D. 2
【解析】 由x2＋y2＋ax－2ay－5=0可得x2＋y2－5＋a(x－2y)=0，令解得或故动圆恒过两个定点(2，1)，(－2，－1)，故定弦长为=2.
A
7.(多选)(2025·江西南昌开学考试)已知P是圆C：(x－1)2＋(y－2)2=9上的一个动点，过原点O的动直线与圆C交于M，N两点，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. |OP|的最大值为3 B. |OP|的最小值为3－
C. |MN|的最大值为6 D. |MN|的最小值为2
【解析】 由于P是圆C：(x－1)2＋(y－2)2=9上的一个动点，过原
点O的动直线与圆C交于M，N两点，∴点O在圆C内，∴|OP|max
=r=3=3，A正确；∴|OP|min=r－=3－，
B正确；设圆心C到直线MN的距离为d，则|MN|=2=
2，当MN为直径时，dmin=0，∴|MN|max=2=6，
C正确；由于OC⊥MN时，dmax=|OC|=，∴|MN|min=2=4，
D错误.
ABC
8.(多选)(2025·湖南长沙开学考试)过点P(2，2)作圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2=r2(r＞0)的两条切线，切点分别为A，B，下列结论中，正确的有(　 　)
A. 0＜r＜2
B. 若△PAB为直角三角形，则r=4
C. △PAB外接圆的方程为x2＋y2=4
D. 直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2=0
【解析】 ∵圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2=r2(r＞0)的圆心为(－2，－2)，
半径为r，当点P在圆C外时，才可以作两条切线，
∴|PC|==4＞r，即0＜r＜4，A错误；
△PAB为直角三角形，则四边形PACB为正方形，
∴|PC|==4r，解得r=4，B正确；
△PAC外接圆的圆心为PC的中点，即为(0，0)，半径为=2，又P，A，C，B四点共圆，∴△PAB外接圆的方程为x2＋y2=8，C错误；将(x＋2)2＋(y＋2)2=r2和x2＋y2=8相减即得直线AB的方程，∴直线AB的方程为4x＋4y＋16－r2=0，D正确.
BD
9.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3=0与圆相切于点A(－2，－1)，则m=　 　.
【解析】 可知kAC=－，得直线AC：y＋1=－(x＋2)，把(0，m)代入得m=－2，此时r=|AC|=.
－2　，r=
10.(2025·福建福州开学考试)已知两条直线y=x与y=x＋2被圆M所截得的弦长相等，则圆M的圆心可以是　 　，半径可以是__________________________________________
　 　(写出一组满足条件的结果即可).
【解析】 设圆心坐标M(x0，y0)，∵两条直线被圆截得的弦长相等，∴圆心到两条直线的距离相等，∴，化简得y0=x0＋1，此时，即满足条件的圆心M在直线y=x＋1上，且圆M的半径r＞，∴圆M的圆心可以是(0，1)，半径可以
是1.
(0，1)
1(答案不唯一，写出圆心在直线y=x＋1上，
半径大于即可)
11.已知圆C的方程为x2＋y2=1.
(1)求过点P(1，2)且与圆C相切的直线l的方程；
解：(1)根据题意，得点P在圆C外，分两种情况讨论：
当直线l的斜率不存在时，过点P(1，2)的直线方程是x=1，与圆C：x2＋y2=1相切，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1)，即kx－y－k＋2=0.∵直线l与圆C相切，∴圆心(0，0)到直线l的距离为=1，解得k=，直线l的方程为3x－4y＋5=0，∴满足条件的直线l的方程是x=1，或3x－4y＋5=0.
(2)直线m过点P(1，2)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|=，求直线m的方程.
(2)根据题意，若|AB|=，则圆心到直线m的距离d=，结合(1)知直线m的斜率一定存在.设直线m的方程为y－2=n(x－1)，即nx－y－n＋2=0，则d=，解得n=1，或n=7，∴满足条件的直线m的方程是x－y＋1=0，或7x－y－5=0.
12.如图所示，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于M，N两点(点M在点N的左侧)，且|MN|=3.
(1)求圆C的方程；
解：(1)∵圆C与y轴相切于点T(0，2)，∴可设圆心的坐标为(m，2)(m＞0)，则圆C的半径为m，又|MN|=3，∴m2=4，解得m=，∴圆C的方程为(y－2)2=.
(2)过点M任作一条直线与圆O：x2＋y2=4相交于A，B两点，连接AN，BN，证明：kAN＋kBN为定值.
(2)证明：由(1)知，M(1，0)，N(4，0)，当直线AB的斜率为0时，易知kAN=kBN=0，即kAN＋kBN=0；当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x=ty＋1，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得(t2＋1)y2＋2ty－3=0，Δ=4t2＋12(t2＋1)＞0，由根与系数的关系可得y1＋y2=－，y1y2=－，∴kAN＋kBN==0.综上，可得kAN＋kBN=0.
13.(2025·江苏南京开学考试)已知圆C：x2＋(y＋2)2=r2(r＞0)与直线l：y=x＋2，直线l上存在点P，过点P可以作两条互相垂直且与圆C相切的直线，则r的取值范围是(　 　)
A. (0，] B. (1，]
C. [，2) D. [，＋∞)
【解析】 设两个切点为A，B，则|PA|=|PB|，由题意PA⊥PB，
则四边形PACB是正方形，故|PC|=r(r为圆的半径)，
∴只要直线l上存在点P，使得|PC|=r即可满足题意.
又C(0，－2)，直线l：y=x＋2，即x－y＋2=0，
∴d==2≤r，解得r≥，∴r的取值范围是[，＋∞).
D
14.已知圆O：x2＋y2=1与直线l：x=－1，写出一个半径为1，且与圆O及直线l都相切的圆C的方程：　 　.
【解析】 设圆心C为(x0，y0)，由已知圆C与直线l：x=－1相切，圆C与圆O：x2＋y2=1相切，可得即得或或且圆C半径为1，
∴圆C的方程可以为x2＋(y－2)2=1，或x2＋(y＋2)2=1，或(x＋2)2＋y2=1.
x2＋(y－2)2=1(答案不唯一)
15.(2025·天津卷)l1：x－y＋6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2=r2(r＞0)交于C，D两点，|AB|=3|CD|，则r=　 　.
【解析】 ∵直线l1：x－y＋6=0与x轴交于点A(－6，0)，与y轴交于点B(0，6)，∴|AB|==6，∴|CD|=2，圆(x＋1)2＋(y－3)2=r2的半径为r，圆心(－1，3)到直线l1：x－y＋6=0的距离为d=，故|CD|=2=2=2，解得r=2.
2
16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，6)，B(4，0)，C是线段OA的中点，P是平面内的一个动点，且满足|PC|=2|PB|，记点P的运动轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
解：(1)设P(x，y)，由题意知C(1，3)，又|PC|=2|PB|，∴(x－1)2＋(y－3)2=4[(x－4)2＋y2]，整理得(x－5)2＋(y＋1)2=8，故曲线E的方程为(x－5)2＋(y＋1)2=8.
(2)过点B的直线l与曲线E交于M，N两点，若△OBM的面积是△OBN的面积的3倍，求直线l的方程.
(2)由(4－5)2＋(0＋1)2=2＜8知点B(4，0)在曲线E内部，要使△OBM的面积是△OBN的面积的3倍，
则|yM|=3|yN|，易知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=ky＋4，代入曲线E的方程中，整理得(1＋k2)y2＋2(1－k)y－6=0，∴yM＋yN=，yMyN=－＜0，∴yM=－3yN，∴yM＋yN=－2yN=，即yN=，∴yM=.由yMyN=－=－，整理得(k＋1)2=0，解得k=－1，∴直线l的方程为x=－y＋4，即x＋y－4=0.(共46张PPT)
第5节　椭　圆
课标解读　1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程，掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、
顶点、离心率).
2.会解椭圆中的焦点三角形，会求椭圆的标准方程、离心率等.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 椭圆的定义及应用
考点二 椭圆的标准方程
考点三 椭圆的几何性质
1.[教材改编]若椭圆C：=1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(　 　)
A. 3 B. 2＋ C. 2 D. ＋1
【解析】 由题意知a=2，b=，∴c=1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c=3.
2.[教材改编]椭圆=1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为(　 　)
A. 6 B. 3 C. 4 D. 2
【解析】 由椭圆方程=1，得a2=25，即a=5，设下焦点为F1，上焦点为F2，则|PF1|＋|PF2|=2a=10，∵|PF2|=4，∴|PF1|=6，即点P到下焦点的距离为6.
A
A
3.[教材改编]已知椭圆C的焦点为F1，F2，短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三
角形，则椭圆C的离心率为 　.
【解析】 ∵|BF1|=|BF2|=a，|F1F2|=2c，∴依据题意可知a=2c，从而有e=.
4. (忽视参数的限制条件)若方程=1表示椭圆，则实数k的取值范围是(　 　)
A. (5，7) B. (5，6)
C. (6，7) D. (5，6)∪(6，7)
【解析】 由题意可知解得5＜k＜7，且k≠6.
易错题
D
5. (忽视对焦点位置的讨论)若椭圆的方程为=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=　 　.
【解析】 当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)=22，解得a=4；当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)=22，解得a=8.
6. (忽视椭圆方程中未知数的取值范围)若F1，F2分别是椭圆=1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则·的最小值是　 　.
【解析】 设P(x，y)，∵F1(－2，0)，F2(2，0)，则·=(－2－x)(2－x)＋y2=x2＋
y2－4=x2＋1，又0≤x2≤9，∴1≤x2＋1≤5，∴·的最小值为1.
易错题
易错题
4或8
1
1.椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的　 　等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的　 　，两焦点间的距离叫做椭圆的　 　，焦距的一半称为半焦距.
(2)其数学解析式：集合P={M||MF1|＋|MF2|=2a，2a＞|F1F2|}，|F1F2|=2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数.
①若　 　，则集合P为椭圆；
②若　 　，则集合P为线段；
③若　 　，则集合P为空集.
和
焦点
焦距
a＞c
a=c
a＜c
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
图形
性 质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性 对称轴：　 　；对称中心：　 　 顶点 A1　 　， A2　 　， B1　 　， B2　 　 A1　 　，
A2　 　，
B1　 　，
B2　 　
轴 长轴A1A2的长为　 　； 短轴B1B2的长为　 　 坐标轴
坐标原点
(－a，0)
(a，0)
(0，－b)
(0，b)
(0，－a)
(0，a)
(－b，0)
(b，0)
2a
2b
[优化拓展]
1.若点P在椭圆上，F1为椭圆的一个焦点，则：
(1)b≤|OP|≤a.
(2)a－c≤|PF1|≤a＋c.
2.过椭圆焦点且垂直于长轴的弦是最短的弦，长为，过焦点最长的弦为长轴.
3.过坐标原点最长的弦为长轴，最短的弦为短轴.
4.与椭圆=1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为=1(λ＞－b2).
性 质 焦距 |F1F2|=　 　
离心率
a，b，c的关系 c2=　 　
2c
(0，1)
a2－b2
5.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形.若r1=|PF1|，r2=|PF2|，∠F1PF2=θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆=1(a＞b＞0)中：
(1)当r1=r2，即P为短轴端点时，θ最大.
(2)S=|PF1||PF2|sin θ=c|y0|，当|y0|=b，即P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc.
(3)△PF1F2的周长为2(a＋c).
(4)|PF1||PF2|≤=a2.
(5)4c2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
考点一　椭圆的定义及应用
(2025·广西柳州模拟)已知椭圆E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点F1且垂直于AF2的直线与E交于B，C两点，则△ABC的周长为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
【解析】 由椭圆E：=1，得a=4，c=2，∴|AF2|=|F1F2|，
∴△AF1F2为等边三角形.过点F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交
于B，C两点，∴BC为线段AF2的垂直平分线，得|AB|=|BF2|，
|AC|=|CF2|，则△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|=|BF2|＋|CF2|＋
|BF1|＋|CF1|=2a＋2a=4a=4×4=16.
例 1
B
椭圆定义的应用技巧：
(1)椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长的、最值、离心率等.
(2)与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|=2a，得到a，c的关系.
(1)若F1，F2是椭圆=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则△AF1F2的面积
为　 .
【解析】 由题意得a=3，b=，c=，∴|F1F2|=2，|AF1|＋|AF2|=6.
∵|AF2|2=|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°=＋8－4|AF1|，∴(6－|AF1|)2=|AF1|2＋8－4|AF1|，解得|AF1|=，∴△AF1F2的面积S=×2.
跟踪训练1

(2)在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆=1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为　 　.
【解析】 ∵椭圆的方程为=1，∴a2=4，b2=3，c2=1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0，1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|=4，∴|PB|=
4－|PC|，∴|PA|＋|PB|=4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|=5，当且仅当P，A，C三点共线时，等号成立，∴|PA|＋|PB|的最大值为5.
5
考点二　椭圆的标准方程
(1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2=16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　 　)
A. =1(y＞0)
B. =1(y＞0)
C. =1(y＞0)
D. =1(y＞0)
例 2
A
【解析】 方法一　设M(x，y)，P(x0，y0)(y0＞0)，P'(x0，0)，∵M为PP'的中点，
∴∵点P在曲线C：x2＋y2=16(y＞0)上，∴x2＋(2y)2=
16(y＞0)，即=1(y＞0).
方法二　∵点P在曲线C：x2＋y2=16(y＞0)上，不妨取P(0，4)，则P'(0，0)，∴中点M(0，2).∵点M(0，2)满足所求轨迹方程，代人四个选项验证，只有A符合题意.
方法三　由题意，将位于x轴上方的半圆压缩，即各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，则x2＋(2y)2= 16(y＞0) ，即=1(y＞0).
(2)(2025·山东青岛开学考试)已知圆M的方程为(x＋1)2＋y2=16，定点N(1，0)，P为圆M上任意一点，线段NP的垂直平分线与直线MP相交于点Q，则点Q的轨迹方程为　(　 　)
A. ＋y2=1 B. =1
C. －y2=1 D. x2－=1
【解析】 ∵圆M的圆心为M(－1，0)，半径为r=4，由题知|QN|=|QP|，又|QP|＋|QM|=r=4，则|QN|＋|QM|=4＞|MN|=2，∴点Q在以M(－1，0)，N(1，0)为焦点，2a=4的椭圆上，由a=2，c=1，得b2=a2－c2=3，
∴点Q的轨迹方程为=1.
B
根据条件求椭圆方程的主要方法：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不确定焦点在哪条坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2=1(m＞0，n＞0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
(1)(2025·陕西咸阳三模)已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为
M，若∠F1MF2=，且△F1MF2的面积为，则椭圆C的标准方程为 　.
【解析】 由题设|MF1|·|MF2|sin，可得|MF1||MF2|=4，又M为上顶点，则|MF1|=|MF2|=a=2，故|F1F2|=2c==2，∴c=，则b2=
a2－c2=1，故标准方程为＋y2=1.
(2)过点P且与椭圆=1有相同焦点的椭圆的标准方程为 　.
【解析】 设所求椭圆的标准方程为=1(a＞b＞0)，则a2－b2=9①.又点P在所求椭圆上，∴=1，即=1②.由①②得a2=25，b2=16，故所求椭圆的标准方程为=1.
跟踪训练2
＋y2=1
=1
考点三　椭圆的几何性质
(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2=1(a＞1)，C2：＋y2=1的离心率分别为e1，e2，若e2=e1，则a=(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 方法一　由题意知e1=，e2=，∵e2=e1，∴，得a=.
方法二　代入验证，若a=，则e1=，又e2=，∴e2=e1，∴a=符合题意.
例 3
考向1 求椭圆的离心率的值或取值范围
A
(2)已知椭圆=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得，则椭圆离心率的取值范围是(　 　)
A. [－1，1) B. (－1，1)
C. (0，－1) D. (0，－1]
【解析】 由，得，得|PF1|=，∵|PF1|∈(a－c，a＋c)，∴a－c＜＜a＋c，即e2＋2e－1＞0，又e∈(0，1)，∴e∈
(－1，1).
B
求椭圆离心率的值或取值范围的方法：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e=求解.
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e=求解.
(3)可以构造a，c的齐次式，不求出a，c的具体值，得出a与c的关系，从而求得e.
(多选)已知椭圆=1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上一点，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 的最大值为4
B. |PF1|的取值范围是[4－2，4＋2]
C. 不存在点P使PF1⊥PF2
D. |PB|的最大值为2
例 4
考向2 与椭圆几何性质有关的范围(最值)问题
AB
【解析】 依题意知，a=4，b=2，c=2，当P为短轴顶点时，()max=×2c×b=4，A正确；由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，B正确；对于C，sin ∠F2BO=，∴∠F2BO=，∴∠F1BF2=，即∠F1PF2的最大值为，最小值为0，∴存在点P使PF1⊥PF2，C错误；对于D，设P(x0，y0)，∴|PB|=，又=1，∴=16－4，∴|PB|=，又
－2≤y0≤2，故当y0=－时，|PB|max=，D错误.
与椭圆性质有关的最值(范围)问题的求解策略：
(1)利用椭圆的几何意义，尤其是椭圆的对称性、焦点三角形、长轴长、短轴长、近焦点、远焦点等.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是椭圆中x，y的范围.
(1)设F是椭圆C：=1的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则△PQF的周长的最小值为(　 　)
A. 12 B. 14
C. 16 D. 18
【解析】 由椭圆的对称性可知P，Q两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为F1，则四边形PFQF1为平行四边形，由椭圆定义可知，|PF|＋|PF1|＋|QF|＋|QF1|=4a=20，∵|PF|=|QF1|，|PF1|=|QF|，∴|PF|＋|QF|=10，又PQ过原点，∴|PQ|min=2b=6，∴△PQF的周长的最小值为10＋6=16.
跟踪训练3
C
(2)已知F1，F2分别是椭圆=1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使
∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围是 　.
【解析】 若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图所示，可得c≥b，即c2≥b2，∴2c2≥a2，即e2≥.又0＜e＜1，∴离心率e∈.
课时作业
答案速对
第八章 对点练64　椭　圆 题号 1 2 3 4 5 6
答案 D A A C A D
题号 7 8 9 13 14 答案 D BC CD B A 1.(2025·山西晋城二模)已知F1，F2分别为椭圆C：=1的左、右焦点，P为C上一点，若|PF1|－|PF2|=2，则(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. |PF2|=2|F1F2| B. |PF1|=2|F1F2|
C. |PF2|=|F1F2| D. |PF1|=|F1F2|
D
2.(2025·湖北武汉开学考试)若椭圆C：=1(m＞0)的焦距为2，则C的离心率为
(　 　)
A. B. C. D.
A
3.(2025·贵州阶段练习)长为1的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上运动，则点B关于点A的对称点M的轨迹方程为(　 　)
A. y2=1 B. x2=1
C. =1 D. =1
A
4.著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又被称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳位于椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为λ，则C的离心率为(　 　)
A. B.
C. D.
C
5.已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上任意一点P到椭圆中心O的距离的取值范围是(　 　)
A. [4，5] B. [6，8] C. [6，10] D. [8，10]
A
6.(2025·湖南永州三模)已知椭圆E：=1，点F(－1，0)，若直线x＋λy－1=0(λ∈R)与椭圆E交于A，B两点，则△ABF的周长为(　 　)
A. 2 B. 4 C. 4 D. 8
【解析】 椭圆E：=1的长半轴长a=2，半焦距c==1，则F(－1，0)为椭圆的左焦点，其右焦点为(1，0)，而直线AB：x＋λy－1=0恒过定点(1，0)，∴△ABF的周长为4a=8.
D
7.已知F1，F2分别是椭圆C：=1的左、右焦点，P是椭圆上的任意一点，若的最大值是4，则椭圆C的方程为(　 　)
A. =1 B. =1
C. =1 D. =1
【解析】 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|=2a，∴－1.又|PF1|∈[a－c，a＋c]，∴当|PF1|=a－c时，取得最大值，－1=4，即a=c=，解得a2=，∴椭圆C的方程为=1.
D
8.(多选)若方程=1所表示的曲线为C，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 若1＜t＜3，则C为椭圆
B. 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则2＜t＜3
C. 曲线C可能是圆
D. 若C为双曲线，则t＜1
【解析】 当t=2时，曲线C表示圆，A错误，C正确；当曲线C为焦点在y轴上的椭圆时，
t－1＞3－t＞0，解得2＜t＜3，B正确；当曲线C为双曲线时，(3－t)(t－1)＜0，解得t＜1，或t＞3，D错误.
BC
9.(多选)如图所示，用一个与圆柱底面成θ角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2，θ=，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. 椭圆的长轴长等于4
B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的标准方程可以是=1
D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2
CD
【解析】 设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ=得2a==8，解得a=4，A错误；显然b=2，则c==2，离心率e=，B错误；当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为=1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c=4－2，D正确.
10.(2025·广东广州三模)椭圆=1的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，以F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于M，N两点，若直线MF1与圆F2相切，
则a= 　.
【解析】 由题意可知，圆F2的半径为|OF2|=1(O为坐标原点)，
∵直线MF1与圆F2相切，由圆的几何性质可得MF1⊥MF2，
且|MF2|=1，由勾股定理可得|MF1|=
，∵点M在椭圆上，由椭圆的定义可得
2a=|MF1|＋|MF2|=1，故a=.
11.已知椭圆C：=1(0＜b＜2)的左焦点为F，M是C上的动点，点N(0，)，若|MN|
＋|MF|的最大值为6，则C的离心率为 　.
【解析】 设椭圆C的右焦点为F'，由椭圆的定义，得|MF|＋|MF'|=2a=4，∴|MF|=4－|MF'|，∴|MN|＋|MF|=|MN|－|MF'|＋4≤|NF'|＋4，当且仅当M，N，F'三点共线时，等号成立，则由题意，知此时|NF'|＋4=6，即|NF'|==2，解得c=1，∴e=.
12.已知F1，F2分别为椭圆W：y2=1的左、右焦点，M为椭圆W上的一点.
(1)若点M的坐标为(1，m)(m＞0)，求△F1MF2的面积；
解：(1)∵点M(1，m)在椭圆上，∴m2=1，∵m＞0，∴m=，∵a=2，b=1，∴c=，∴F1(－，0)，F2(，0)，∴|F1F2|·m=.
(2)若点M的坐标为(x0，y0)，且∠F1MF2是钝角，求横坐标x0的取值范围.
(2)∵点M在椭圆上，∴－2≤x0≤2，由余弦定理得cos∠F1MF2==
，
∵∠F1MF2是钝角，∴(x0)2(x0－)2－12＜0，又=1－，∴，解得－＜x0＜，故横坐标x0的取值范围是.
13.(2025·山东泰安模拟)已知P为椭圆C：=1(a＞b＞0)的左顶点，M，N是椭圆上的点.若四边形OPMN满足，∠PON∈，则椭圆离心率的取值范围是
(　 　)
A. B.
C. D.
B
【解析】 由题意知P(－a，0)，由知四边形OPMN为平行四边形，则M，N关于y轴对称，设M，N(不妨设t＞0)，将点N坐标代入椭圆方程可得t=b，∵∠PON∈，设α为直线ON的倾斜角，
则α∈，∴tan α=∈，
∴∈，∴e=∈，
∴椭圆离心率的取值范围是.
14.(2025·山西大同开学考试)已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为C上一点，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，若|PF1|=3|AF1|，则C的离心率为
(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 由题意知∠F1PF2的平分线交x轴于点A，
故∠F1PA=∠F2PA，
故
(d为△PF1F2的边F1F2上的高)，即得，
结合|PF1|=3|AF1|可得，∴，对于C：=1(a＞b＞0)有|AF1|＋|AF2|=|F1F2|=2c，|PF1|＋|PF2|=2a，故，即C的离心率为.
A
15.(2025·安徽合肥模拟)已知F1，F2是椭圆C：=1的两个焦点，点M在C上，则的最小值为 　.

【解析】 ∵F1，F2是椭圆C：=1的两个焦点，点M在C上，∴|MF1|＋|MF2|=6，∴=
≥，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时取等号，∴的最小值为.
16.设椭圆E：=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为
F1，F2，A是椭圆上的一点，AF2⊥F1F2，坐标原点O
到直线AF1的距离为|OF1|.
(1)求椭圆E的离心率；
解：(1)如图所示，由题设AF2⊥F1F2及F1(－c，0)，F2(c，0)，不妨设A(c，y0)(y0＞0)，
∴=1，即=1，解得y0=，或y0=－(舍去)，从而A，直线AF1的方程为y=(x＋c)，整理得b2x－2acy＋b2c=0，原点O到直线AF1的距离为，将c2=a2－b2代入，整理得a2=2b2，即a=b=c，∴离心率e=.
(2)平面上点B满足，过点F1与AB平行的直线交E于M，N两点，若|MN|=3，求椭圆E的方程.
(2)由(1)可设椭圆方程为=1，则A，
∵，∴四边形AF2BF1为平行四边形，∴直线AB过点O，则AB的斜率为，则设直线MN的方程为y=(x＋c)，联立椭圆方程得2x2＋2cx－c2=0，显然Δ＞0，则xM＋xN=－c，xMxN=－，则|MN|=|xM－xN|=·=3，解得c=2(负值舍去)，∴b=2，a=2，∴椭圆E的方程为=1.(共25张PPT)
考点一　不等式法求最值、范围
(2025·贵州贵阳模拟)已知复数z的共轭复数为，且=4，复数z在复平面内对应的点为P(x，y).
(1)求点P的轨迹方程；
解：(1)根据题意：z=x＋yi，=x－yi，3z＋=4x＋2yi，则|3z＋|==4，即x2＋=1，∴点P的轨迹方程为x2＋=1.
例 1
第3课时　最值、范围问题
(2)记点P的轨迹为曲线C，A为曲线C上任意一点，设直线y=kx与曲线C交于M，N两点，直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求|k1|＋2|k2|的取值范围.
(2)由题意可知，点M，N关于原点对称，设点A(x0，y0)，M(x1，y1)，则N(－x1，－y1)，k1=，k2=，∴k1·k2=·，
又点A(x0，y0)与点M(x1，y1)均在曲线C：x2＋=1上，
∴=1①，=1②，
将①式与②式相减可得=0，即=－4，于是k1·k2=－4，则|k1|·|k2|=4，由基本不等式可得|k1|＋2|k2|≥2=4，当且仅当即当或时，等号成立，∴|k1|＋2|k2|的取值范围是[4，＋∞).
利用不等式法求解最值、范围问题的策略：
(1)利用圆锥曲线的几何性质或几何量之间的关系构造不等式.
(2)利用直线与圆锥曲线的位置关系、判别式构造不等式.
(3)利用已知或其他隐含条件中的不等关系构造不等式.
(4)常与一元二次不等式、基本不等式相关.
(2026·金华一模)如图所示，已知点P到两点F1(－2，0)，F2(2，0)距离的乘积为8，点P的轨迹记为曲线Γ，Γ与x轴的交点分别记为M，N.
(1)求曲线Γ的方程；
解：(1)设P，则·=8，得x4＋y4＋2x2y2－8x2＋8y2－48=0，
∴－8=48.
跟踪训练1
(2)求△PMN的周长的取值范围；
(2)由(1)知M，N，令t=x2＋y2，
由(1)得x4＋(2y2－8)x2＋y4＋8y2－48=0，以x2为主元，由直接求根公式知x2=4－y2±4，又y∈[－2，2]，∴∈[0，2]，∴x2=4－y2－4=(－4)·＜0，舍去，则t=x2＋y2=4＋4∈，且8－48，()2=()2=2＋24＋2=2，
令f=t＋， 则f'，其中f'=0，∴当4≤
t＜4时f'＞0，当4＜t≤12时f'＜0，
则f在上单调递增，在上单调递减，　
∴f∈，即∈，而=4，
∴△PMN的周长的取值范围是[8，4＋2].　
(3)过P作直线分别交y=±x于两点A，B，且=λ(λ＞1)，若△OAB的面积为18，求λ的最小值.
(3)设A，B，则18=··，则x1x2=±18，
由题知则代入曲线Γ得=12，
令m=，则
①当x1x2=18时，12=－≥－144m＋362m2，解得m≤，则λ≥2＋；
②当x1x2=－18时，12=≥144m＋362m2，解得m≤，则λ≥8＋3.
综上，λ的最小值为2＋.
考点二　函数法求最值、范围
(2025·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，|AB|=.
(1)求C的方程；
解：(1)由题可知，A(0，－b)，B(a，0)，∴解得a2=9，b2=1，c2=8，
故椭圆C的标准方程为＋y2=1.
例 2
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足·=3.
(i)设P(m，n)，求点R的坐标(用m，n表示)；
(ii)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值.
(2)(i)设R(x0，y0)，易知m≠0，
方法一　∵kAP=，故，且mx0＞0.
∵A(0，－1)，|AR||AP|=3，∴·=3，即x0m=3，解得x0=，∴y0=，∴点R的坐标为.
方法二　设=λ，λ＞0，则|AR||AP|=3 λ=3，∴λ==λ=λ(m，n＋1)=，故点R的坐标为.
(ii)∵kOR=，kOP=，由kOR=3kOP，可得，化简得m2＋n2＋8n－2=0，即m2＋(n＋4)2=18(m≠0)，∴点P在以N(0，－4)为圆心，3为半径的圆上(除去两个点)，|PQ|max为Q到圆心N的距离加上半径.
方法一　设Q(3cos θ，sin θ)，∴|QN|2=(3cos θ)2＋(sin θ＋4)2=9cos 2θ＋sin 2θ＋8sin θ＋16=8cos 2θ＋1＋8sin θ＋16=8(1－sin 2θ)＋8sin θ＋17=－8sin 2θ＋8sin θ＋25=－8＋27≤27，当且仅当sin θ=时取等号，∴|PQ|max=＋3=3.
方法二　设Q(xQ，yQ)，则=1，|QN|2=＋(yQ＋4)2=9－9＋8yQ＋16=－8＋8yQ＋25=－8＋27≤27，当且仅当yQ=时取等号，故|PQ|max=＋3=3().
利用函数法求解最值、范围问题的策略：
(1)引入单变量，将所求解问题用含该变量的代数式表示，构造函数求解.
(2)引入双变量，利用题设或其他条件建立两个变量之间的关系，通过消元的方法转化为单变量问题，构造函数求解.
(3)注意挖掘变量所满足的条件，从而确定变量范围.
(4)用函数的方法，如函数的单调性、导数等分析求解最值或范围.
(2025·安徽合肥模拟)已知椭圆E：=1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F，P(0，－)是E上一点.
(1)求E的方程；
解：(1)∵P(0，－)是E上一点，代入椭圆方程解得b=，又e=，解得a2=4，∴椭圆E的方程为=1.
跟踪训练2
(2)过点F的直线l交E于A，B两点，求△OAB(O为坐标原点)的面积的最大值.
(2)由(1)得半焦距c=1，点F(1，0)，显然l的斜率不为零，设直线l的方程为x=my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x，得(3m2＋4)y2＋6my－9=0，显然Δ＞0，则y1＋y2=－，y1y2=－，∴|y1－y2|=，则△OAB的面积S△OAB=|OF||y1－y2|=，令=t≥1，函数y=3t＋在[1，＋∞)上单调递增，当t=1时，3t＋取得最小值4，则当m=0时，3取得最小值4，，∴△OAB的面积的最大值为.
课时作业
1.(2025·绍兴模拟)已知点P在圆O：x2＋y2=4上，作PD垂直于y轴，垂足为D，M为PD的中点.
(1)求动点M的轨迹E的方程；
解：(1)由题意，设点P(x0，y0)，M(x，y)，则D(0，y0)，∵M为线段PD的中点，∴即∵点P在圆O：x2＋y2=4上，∴=4，即(2x)2＋y2=4，∴点M的轨迹E的方程为x2=1.
(2)直线l：y=kx＋m与y轴交于点Q，与E交于A，B两个相异点，且=3，求m2的取值范围.
(2)由已知得Q(0，m)，设点A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)，
联立得(k2＋4)x2＋2kmx＋m2－4=0，由已知可得Δ=4k2m2－4(k2＋4)(m2－4)＞0，得k2＋4－m2＞0，由韦达定理可得x1＋x2=－，
x1x2=，∵=3，即(－x1，－kx1)=3(x2，kx2)，则－x1=3x2，
即x1=－3x2，∴3(x1＋x2)2＋4x1x2=0，
∴=0，即k2m2＋m2－k2－4=0，
当m2=1时，k2m2＋m2－k2－4=0不成立，
∴k2=，代入k2＋4－m2＞0得－m2＋4=＞0，解得1＜m2＜4，∴m2的取值范围是(1，4).
2.(2025·甘肃白银三模)已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±x，且其焦距为2.
(1)求双曲线C的方程；
解：(1)∵渐近线方程为y=±x，∴a2=2b2.
又a2＋b2=c2=3，∴a=，b=1，
∴双曲线C的方程为－y2=1.
(2)若直线l：y=kx＋t(kt≠0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，且在由点P，Q与M(0，1)构成的三角形中，∠MPQ=∠MQP，求实数t的取值范围.
(2)∵直线l与双曲线C交于不同的两点P，Q，
由得(1－2k2)x2－4ktx－2t2－2=0，
∴Δ=16k2t2－4(1－2k2)(－2t2－2)＞0，且1－2k2≠0，
∴t2＋1＞2k2，且k≠±.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=，
∴y1＋y2=kx1＋t＋kx2＋t=2t=，
∴线段PQ的中点坐标为，
∴线段PQ的垂直平分线的方程为y－=－，即y=－x，
又在由点P，Q与M(0，1)构成的三角形中，∠MPQ=∠MQP，
∴点M不在直线PQ上，而是在线段PQ的垂直平分线上，
∴1≠t，1=，∴1－2k2=3t，
又1－3t=2k2＞0，且t2＋1＞2k2，k≠±，∴3t＜1，且t2＋3t＞0，解得t＜－3，或0＜t＜，
∴实数t的取值范围是(－∞，－3)∪.
3.(2025·山东青岛一模)已知双曲线E：=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2.点M在E的右支上，当MF2⊥x轴时，|MF2|=3.
(1)求E的方程；
解：(1)由题知
又MF2⊥x轴时，|MF2|=3，将M(2a，±3)代入方程=1，解得a2=1，b2=3，
则双曲线E的方程为x2－=1.
(2)若直线MF2与E的右支的另一个交点为N，求△MF1N面积的最小值.
(2)设直线MN方程为x=my＋2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消去x得(3m2－1)y2＋12my＋9=0，则Δ=(12m)2－36(3m2－1)=36m2＋36＞0，
∴y1＋y2=，y1y2=，
|F1F2||y1－y2|=2=
2=12，
∵y1y2=＜0，∴3m2－1＜0，
令t=，1≤t＜，则m2=t2－1，得，设f(t)=－3t，则该函数在上单调递减，则f(t)max=－3=1，
故≥12，即△MF1N面积的最小值为12.
4.(2026·绍兴一模)如图所示，已知椭圆E：=1(a＞b＞c)的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为，长轴长为2.
(1)求E的方程；
解：(1)由 解得a=，c=1，∴椭圆方程y2=1.
(2)过焦点F1的直线交E于A，B两点，过焦点F2的直线交E于C，D两点，且BC⊥x轴，=λ=μ.
(i)求λ＋μ的值；
(ii)设线段AD的中点为M，O为坐标原点，求|OM|的取值范围.
(2)(i)设A(x1，y1)，B(x0，y0)，C(x0，－y0)，D(x2，y2)，F1(－1，0)，F2(1，0)，.：x=y－1与椭圆方程联立得(2x0＋3)y2－2(x0＋1)y0y－=0.∴y1y0=，故y1= ，则λ=－=2x0＋3，：x=－y＋1与椭圆方程联立得(3－2x0)y2＋2(1－x0)y0y－=0.∴y2(－y0)=，故y2=.得μ==3－2x0，∴λ＋μ=6.
(ii)由(i)得A，D，
∴AD中点M的坐标为M， ∵=1－代入得，设t=9－4∈(1，9]，记f(t)=，故f(t)∈[0，2)，∴|OM|的取值范围是[0，).(共22张PPT)
(2025·河北保定模拟)已知椭圆E：=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，椭圆E的离心率为.
(1)求椭圆E的方程.
解：(1)由|F1F2|=4，得2c=2=4，即c=2，又椭圆E的离心率为，∴，即a=2，∴b==2，∴椭圆E的方程为=1.
例 1
第2课时　定值问题
(2)已知直线l过点F1，且与椭圆E交于点A，B，证明：为定值.
证明：(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1，x2∈[－2，2]，当直线l的斜率不存在时，x1=x2=－2，|y1|=|y2|=，|AF1|=|BF1|=|y1|=，∴.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x＋2).
由消去y，得(2k2＋1)x2＋8k2x＋8k2－8=0.
∴Δ=32(k2＋1)＞0，x1＋x2=－，x1x2=.
|AF1|=(x1＋4)，同理|BF1|=(x2＋4)，∴.综上，，为定值.
圆锥曲线中定值问题的常见类型及解题策略：
(1)求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值.
(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得定值.
(3)求某条线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得定值.
已知A，B分别是椭圆C：=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，|AB|=，直线AB的斜率为－.
(1)求椭圆的方程.
解：(1)由题意可得A(a，0)，B(0，b)，∵|AB|=，∴|AB|=，直线AB的斜率为－，∴=－，解得a=2，b=1，∴椭圆的方程为＋y2=1.
(2)直线l∥AB，与x轴交于点M，与椭圆相交于点C，D，证明：|CM|2＋|MD|2为定值.
证明：(2)设直线l的方程为y=－x＋m，则M(2m，0)，
与椭圆方程联立可得x2－2mx＋2m2－2=0，由Δ=(2m)2－4(2m2－2)=8－4m2＞0得－＜m＜，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，可得x1＋x2=2m，x1x2=2m2－2，|CM|2＋|MD|2=(x1－2m)2＋＋(x2－2m)2＋－4mx1＋4m2＋－4mx2＋4m2＋(x1＋x2)2－x1x2－5m(x1＋x2)＋10m2=5m2－(2m2－2)－10m2＋10m2=5，∴|CM|2＋|MD|2为定值.
跟踪训练1
已知椭圆C：=1(a＞b＞0)经过点，且离心率e=，P是C上一动点.Q是OP的中点(O为坐标原点)，过点Q的直线交C于M，N两点，且|MQ|=|NQ|.
(1)求椭圆C的标准方程.
解：(1)由题意得
∴椭圆C的标准方程为=1.
例 2
(2)证明：△MON的面积为定值.
证明：(2)①当kOP和kMN都存在时，设直线MN的方程为y=kx＋m，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x0，y0)，由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)=0，∴x1＋x2=，x1x2=，∴x0=，y0=kx0＋m=.∴Q，P(2x0，2y0).
∵点P在C上，∴=1，∴3＋4=3，∴=3，∴4m2(4k2＋3)=(3＋4k2)2，∴3＋4k2=4m2，∴x1＋x2=，x1x2=1－.
设点O到直线MN的距离为d，则S△MON=|MN|·d=|x1－x2|·|x1－x2|·|m|，∴(x1－x2)2=[(x1＋x2)2－4x1x2]=k2－m2＋3=，∴S△MON=，为定值.
②当直线OP的斜率不存在时，直线MN的方程为y=±，易得S△MON=.
③当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=±1，易得S△MON=.
综上，△MON的面积为定值.
探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其它凸多边形，可分割成若干个三角形相加求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可.
已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且过点A(2，－1)，直线l与曲线C的右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M，N两点，O为坐标原点.
(1)求双曲线C的方程.
解：(1)设双曲线C的焦距为2c(c＞0)，由题意得， 则双曲线C的方程为－y2=1.
跟踪训练2
(2)证明：△MON的面积为定值，并求出该定值.
证明：(2)由于直线l与双曲线C的右支相切(切点不为右顶点)，则直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx＋m，则消y得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4=0，Δ=64k2m2－4(4k2－1)(4m2＋4)=0 4k2=m2＋1，设l与x轴交于一点D，|OD|=，S△OMN=S△MOD＋S△NOD=·|OD|·|yM－yN|，双曲线两条渐近线方程为y=±x，联立 M，联立 N，则S△MON=····=2，为定值.
课时作业
1.(2025·重庆沙坪坝模拟)在圆O：x2＋y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.
(1)当点P在圆上运动时，求线段PD的中点Q的轨迹方程(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点Q与点P重合)；
解：(1)设Q(x，y)，则P(x，2y)，由题设可知x∈，而P在圆O：x2＋y2=4上，故x2＋4y2=4，即y2=1.
(2)根据(1)中所得的点Q的轨迹方程，若直线l与点Q的轨迹相交于M，N两点，且kOM·kON=－，试判断△OMN的面积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
(2)∵kOM·kON=－，故kOM，kON均存在且不为零，故直线OM：y=kOMx，直线ON：y=kONx，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由椭圆的对称性，不妨设点M在第一象限，点N在第四
象限，故kOM＞0.
又dM－ON=，故S△MON=
|x2y1－y2x1|，由可得x1=，
y1=，同理x2=，y2=，而kON=，故x2=，y2=，故S△MON==1.故△OMN的面积为定值且定值为1.
2.如图所示，已知椭圆M：=1(a＞b＞0)的离心率为，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F1为左焦点，且△ABF1的面积为.
(1)求椭圆M的标准方程；
解：(1)令F1(－c，0).由题意得解得a=2，b=，c=1，
∴椭圆M的标准方程为=1.
(2)设椭圆M的右顶点为C，P是椭圆M上不与顶点重合的动点.若直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N，证明：2kQN－kQC为定值，并求出此定值.
(2)证明：设直线QC的斜率为k，则直线QC的方程为y=k(x－2)，直线AB的方程为y=(x＋2)，由得Q，
由得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12=0，则2xP=，∴P，
又B(0，)，∴直线BP的方程为y=·x，∴N，∴kQN=k，∴2kQN－kQC=，为定值.
3.(2025·江苏泰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知D为双曲线E：=1的右顶点，M()，N(2，－3)在双曲线E上.
(1)求双曲线E的方程.
解：(1)∵M()，N(2，－3)在双曲线E上，
∴故a2=1，b2=3，∴E的标准方程为x2－=1.
(2)过点G(－3，0)且斜率为k1的直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，△ABD的外接圆的圆心为P，直线OP的斜率为k2，证明：k1k2为定值.
(2)证明：如图所示，设直线l：y=k1(x＋3).
由得(3－)x2－6x－9－3=0①，
∴Δ＞0，∵直线l与双曲线E的左支交于A，B两点，
∴3－≠0，且x1＋x2=＜0，x1x2=－＞0，故＞3，设圆P：(x－s)2＋(y－t)2=r2，r＞0，由
得(1)x2＋(6－2k1t－2s)x＋s2＋(3k1－t)2－r2=0②，
由双曲线的右顶点D在圆上得(1－s)2＋t2=r2，
由①②得.
由得ts＋12－3k1t－3s=0③，
由，可得3t－5s＋4－k1t－s=0④，∴3×③－④可得k1t=2s，即k1k2=k1·=2.
4.如图所示，已知椭圆C1：=1，椭圆C2：=1，
A(－2，0)，B(2，0)，P为椭圆C2上的动点且在第一象限，直
线PA，PB分别交椭圆C1于E，F两点，连接EF交x轴于点Q，
过点B作BH交椭圆C1，C2于G，H两点，且BH∥PA.
(1)证明：kBF·kBG为定值.
证明：(1)设P(x0，y0)，则=1，可得=9－，
∴kPA=，kPB=，∴kPA·kPB==－，∵BG∥PA，∴kBF·kBG=kPA·kPB=－.
(2)证明：直线GF过定点，并求出该定点.
(2)当直线GF的斜率存在时，设GF的方程为y=k(x－t)(k≠0)，则联立消去y得(4k2＋3)x2－8k2tx＋4k2t2－12=0，∴Δ=64k4t2－16(4k2＋3)(k2t2－3)=48(4k2＋3－k2t2)＞0，设G(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=，由kBF·kBG=·=－，得=－，约去k2并化简得t2－3t＋2=0，解得t=1(t=2不符合题意，舍去)，此时直线GF过定点(1，0)；当直线GF的斜率不存在时，设GF的方程为x=m，其中m≠2，联立解得y=
±，则F，G，
∴kBF·kBG=－=－，解得m=1，∴直线GF过定点(1，0).
(3)若记P，Q两点的横坐标分别为xP，xQ，证明：xPxQ为定值.
(3)设PA的方程为y=k1(x＋2)(k1＞0)，
则解得点E的坐标为.
由(1)知P(x0，y0)，=9－，由k1=，则点E的坐标为.同理，记PB的斜率为k2，则点F的坐标为，由k2=，则点F的坐标为，则EF的斜率kEF=，∴直线EF的方程为y·.令y=0，得xQ=，又xP=x0，故xPxQ=x0·=4.(共13张PPT)
拓展视野 齐次化处理策略
能力训练
知识拓展
课时作业
内
容
索
引
“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思.在代数里也有“齐次”的叫法，例如f=ax2＋bxy＋cy2称为二次齐次式，f中每一项都是关于x，y的二次项.与圆锥曲线相关的问题以运算量大著称，将齐次化引入圆锥曲线能极大地缩减运算量.
已知直线y=kx＋4交椭圆＋y2=1于A，B两点，O为坐标原点，若kOA＋kOB=2，求该直线方程.
解：方法一(常规解法)　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y得(4k2＋1)x2＋32kx＋60=0，则x1＋x2=，x1x2=，∴kOA＋kOB==2k＋=2k－=2，解得k=－15，故所求直线方程为y=－15x＋4.
方法二(齐次化解法)　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程变形为=1代入＋y2=1进行“1”的代换得＋y2=，整理得15y2＋2kxy＋(4－k2)x2=0.∵x≠0，∴方程两边同除以x2，得15＋2k＋(4－k2)=0，易知kOA=和kOB=是方程15＋2k＋(4－k2)=0的两个根，由韦达定理得kOA＋kOB==2，即k=－15，故所求直线方程为y=－15x＋4.
例 1
设Q1，Q2为椭圆=1上两个动点，且OQ1⊥OQ2，过原点
O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程.
解：方法一(常规解法)　设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，D(x0，y0)，
设直线Q1Q2方程为y=kx＋m，联立化简可得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2(m2－b2)=0，∴x1x2=，y1y2=，∵OQ1⊥OQ2，∴x1x2＋y1y2==0，∴3m2=2b2(1＋k2)①，又直线Q1Q2的方程等价于y－y0=－(x－x0)，即y=－x＋＋y0，对比于y=kx＋m，则代入①中，化简可得b2，∴点D的轨迹方程为x2＋y2=b2.
跟踪训练1
方法二(齐次化解法)　设直线Q1Q2的方程为mx＋ny=1，k=－，联立可得－(mx＋ny)2=0，化简可得－m2x2－n2y2－2mnxy=0，整理成关于x，y的齐次式(2－2b2n2)y2＋(1－2m2b2)x2－4mnb2·xy=0，进而两边同时除以x2，则(2－2b2n2)－4mnb2·＋1－2m2b2=0，记OQ1，OQ2的斜率分别为k1，k2，则k1，k2为方程(2－2b2n2)－4mnb2·＋1－2m2b2=0的两个根，由韦达定理得k1k2=，∵OQ1⊥OQ2，∴k1k2==－1，∴=2b2①.又直线Q1Q2方程等价于为y－y0=－(x－x0)，即y=－x＋＋y0，对比于mx＋ny=1，则代入①中，化简可得b2，∴点D的轨迹方程为x2＋y2=b2.
已知椭圆=1(a＞b＞0)的中心为原点O，点P，Q分别在椭圆上，且OP⊥OQ.
证明：为定值.
证明：设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ：mx＋ny=1，联立方程齐次化有=(mx＋ny)2，整理可得y2－2mnxy＋x2=0.左右两边同除以x2，即－2mn－m2=0.由根与系数的关系得·.由OP⊥OQ，得kOP·kOQ=·=－1，整理得m2＋n2=.由于原点O到直线PQ的距离d=，又S△OPQ=|OP|·|OQ|=|PQ|d，∴，又=m2＋n2=，故，为定值.
例 2
已知抛物线y2=2px(p＞0)，过原点且互相垂直的两条直线OA，OB交抛物线于点A，B. 证明：直线AB过定点.
证明：设AB：x=my＋n(n≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，kOA=，kOB=，将直线AB方程变形为=1，代入到y2=2px中得y2=2px·，上式两边同除以x2得·=0，kOA，kOB是方程的两根，则kOA·kOB=·=－=－1 n=2p，∴直线AB方程为x=my＋2p，∴直线AB恒过定点(2p，0).
跟踪训练2
课时作业
1.不过原点的动直线l交椭圆=1于A，B两点，直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值.
证明：设直线AB方程为mx＋ny=1，则(mx＋ny)2=1，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，　
联立得(12n2－4)24mn12m2－3=0，
于是kOA·kOB=·，又kAB=－，∴，解得，∴kAB=－=±，∴直线l的斜率为定值±.
2.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)上一点A(2，a)到其焦点的距离为3.
(1)求抛物线C的方程.
(1)解：由题意知2－=3 p=2 y2=4x.
(2)过点(4，0)的直线与抛物线C交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：∠POQ=90°.
(2)证明：方法一　设该直线为x=my＋4，P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立方程有 y2－4my－16=0，∴y1y2=－16，∴·=x1x2＋y1y2=y1y2=×(－16)2－16=0，∴∠POQ=90°.　
方法二　要证明∠POQ=90°，即证kPO·kQO=－1，设PQ：tx＋ny=1，过(4，0)，∴4t=1，t=，y2=4x(tx＋ny)，y2－4nxy－4tx2=0，则－4n·－4t=0，kPO·kQO=－4t，∵t=，∴kPO·kQO=－1，即∠POQ=90°.
3.已知抛物线C的方程为y2=2px，若直线y=kx＋b与抛物线C相交于A，B两点，且以AB为直径的圆过坐标原点，证明：直线y=kx＋b过定点.
证明：∵以AB为直径的圆过坐标原点，∴OA⊥OB，即kOA·kOB=－1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则kOA=，kOB=.将直线y=kx＋b变形得=1，记m=，n=－，则直线可化为my＋nx=1，将“1”代入抛物线C的方程得y2=2px(my＋nx)，整理得y2－2pmxy－2pnx2=0，∵x≠0，∴方程两边同除以x2，得－2pm－2pn=0，易知kOA=和kOB=是方程－2pm－2pn=0的两个根，由韦达定理得kOA·kOB=－2pn=－1，即n=，代入求直线方程my＋nx=1得myx=1，即x=－2pmy＋2p，当y=0时，x=2p，故直线恒过定点(2p，0).
4.如图所示，椭圆E：=1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(1)解：由题意，b=1，又
∴a=，b=1，c=1，∴椭圆E的方程为y2=1.
(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.
(2)证明：首先将椭圆向上平移1个单位长度，得椭圆E'的方程：(y－1)2=1，即x2＋2y2－4y=0，此时点(1，1)向上平移1个单位长度，变为(1，2)，设直线方程为mx＋ny=1，直线过点(1，2)，则有m＋2n=1，将直线方程代入x2＋2y2－4y=0，得x2＋2y2－4y(mx＋ny)=0，平移之后，点P，Q变为P'(x1，y1)，Q'(x2，y2)，变换得(4n－2)4m·－1=0，平移不改变直线的斜率，∴kAP＋kAQ=kOP'＋kOQ'==2.(共47张PPT)
第8节　直线与圆锥曲线
课标解读　1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
考点二 中点弦问题
考点三 与弦长有关的问题
1.[教材改编]直线y=3x－1与椭圆=1的公共点的个数是(　 　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个
【解析】 由消去y并整理得11x2－6x－7=0，显然Δ＞0，∴直线与椭圆相交，有2个公共点.
2.[教材改编]直线y=x＋3与双曲线=1(a＞0，b＞0)的公共点的个数是(　 　)
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0
【解析】 ∵直线y=x＋3与双曲线的渐近线y=x平行，∴它与双曲线只有1个交点.
C
A
3.[教材改编]若经过双曲线=1的一个焦点，且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A，B两点，则线段AB的长为　 　.
【解析】 ∵双曲线=1，∴a=4，b=2，c==2，可得一个焦点为(0，2)，直线l：y=2，代入双曲线的方程可得=1，解得x=±2，则|AB|=4.
4
4. (忽视相切与交点个数的关系)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】 直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点.
易错题
A
5. (忽略直线过定点)直线y=kx－k＋1与椭圆=1的位置关系为(　 　)
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
【解析】 直线y=kx－k＋1=k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
易错题
A
6. (忽视直线与抛物线位置关系中的特殊情形)若过点P(0，2)的直线l与抛物线C：y2=2x有且只有一个公共点，则这样的直线l共有　 　条.
【解析】 ①当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则当k=0时，直线l的方程为y=2，满足直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点；当k≠0时，直线l是抛物线的切线，设直线l的方程为y=kx＋2，代入抛物线的方程可得k2x2＋(4k－2)x＋4=0，由Δ=0，得k=；②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，满足直线l与抛物线y2=2x有且只有一个公共点.综上，满足题意的直线l共有3条.
易错题
3
1.直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C=0，圆锥曲线C：F(x，y)=0，由消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c=0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c=0的判别式为Δ，则Δ＞0 直线l与圆锥曲线C有　 　个公共点；Δ=0 直线l与圆锥曲线C有　 　个公共点；Δ＜0 直线l与圆锥曲线C有　 　个公共点.
(2)当a=0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线：
当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线　 　，它们的公共点有　 　个；
当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴　 　，它们的公共点有　 　个.
2.圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=·|x1－
x2|= 　= ·|y1－y2|= 　.
2
1
0
平行
1
平行或重合
1
·
·
考点一　直线与圆锥曲线的位置关系
已知直线l：y=2x＋m，椭圆C：=1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4=0③，Δ=(8m)2－4×9×(2m2－4)=－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程③有两个不同的实数根，这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.
(2)有且只有一个公共点.
(2)当Δ=0，即m=±3时，方程③有两个相同的实数根，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
例 1
直线与圆锥曲线位置关系的判定方法：
代数法 联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为公共点的个数，方程组的解即为交点坐标
几何法 画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点的个数
(1)抛物线C：y2=4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【解析】 如图所示，∵抛物线C：y2=4x的准线为l，∴l的方程为x=－1，A(－1，0)，设过点A作抛物线的一条切线为x=my－1，m＞0，由得y2－4my＋4=0，∴Δ=(－4m)2－4×4=0，解得m=1，∴y2－4y＋4=0，解得y=2，即yB=2，∴△OAB的面积为×1×2=1.
跟踪训练1
A
(2)(多选)已知直线y=x与双曲线=1(a＞0，b＞0)无公共点，则双曲线的离心率可能为　(　 　)
A. 1 B.
C. D.
【解析】 双曲线的一条渐近线为y=x，∵直线y=x与双曲线无公共点，故有≤1.即=e2－1≤1，∴e2≤2，∴1＜e≤.
BC
考点二　中点弦问题
(2025·陕西汉中模拟)已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，离心率为.直线l：y=kx＋m与双曲线C交于A，B两点.
(1)求双曲线C的方程；
解：(1)根据题意，双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，离心率为，则解得
∴双曲线C的方程为x2－=1.
例 2
(2)若AB的中点为M(2，1)，求直线l的方程.
(2)由(1)知，双曲线C的方程为x2－=1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立化简得(k2－2)x2＋2kmx＋(m2＋2)=0，则Δ=4k2m2－4(k2－2)(m2＋2)=8(m2＋2－k2)＞0，且k≠±，x1＋x2=，由M(2，1)为AB的中点，得解得k=4，m=－7，且满足Δ＞0，∴直线l的方程为y=4x－7.
中点弦问题常用的求解方法：
(1)点差法：即设出弦的两个端点坐标后，代入椭圆方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式可求得斜率.
(2)根与系数的关系：即联立直线与椭圆的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.
(1)(2025·山西太原期末)已知椭圆C：=1(a＞)的离心率为，过点P的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足|PA|=|PB|，则直线AB的方程为(　 　)
A. 3x＋y－5=0 B. 3x－y－4=0
C. x＋y－2=0 D. x－y－1=0
【解析】 由题设，，即=1－=1－，可得a2=6，过P的直线与椭圆C交于A，B两点且满足|PA|=|PB|，则P为线段AB的中点，∴xA＋xB=3，yA＋yB=1，又=1，=1，则=0，即=－，∴=－=－1，故直线AB的方程为y－=－，即x＋y－2=0.
跟踪训练2
C
(2)已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2=0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为　 　.
【解析】 ∵焦点到准线的距离为p，则p=1，∴y2=2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).则则(y1－y2)(y1＋y2)=2(x1－x2)，∴kPQ=，又点P，Q关于直线l对称，∴kPQ=－1，即y1＋y2=－2，∴PQ中点的纵坐标为=－1，又PQ的中点在直线l上，∴PQ中点的横坐标为=(－1)＋2=1，∴线段PQ的中点坐标为(1，－1).
(1，－1)
考点三　与弦长有关的问题
(2025·江苏徐州模拟)已知双曲线E：=1(a＞0，b＞0)的离心率为，且过点.
(1)求E的方程；
解：(1)∵双曲线E过，离心率为，∴
解得a2=1，b2=2，∴双曲线E的方程为x2－=1.
例 3
(2)直线l过(，0)且交E于A，B两点，若弦AB的长度为E的实轴长的两倍，求l的方程.
(2)由(1)知双曲线的实轴长为2，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x－)，联立得(2－k2)·x2＋2k2x－3k2－2=0，k≠±，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，x1x2=，∴|AB|=·=4，解得k=±，由直线与双曲线渐近线的位置关系可得此时直线与双曲线有两个交点；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=，此时|AB|=4，符合题意.综上，直线l的方程为y=x－，或y=－x＋，或x=.
1.弦长的求解方法：
(1)当弦的两个端点的坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆=1(a＞b＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，弦中点M(x0，y0)，则：①弦长l=·|x1－x2|=|y1－y2|；②直线AB的斜率kAB=－.
2.注意两种特殊情况：
(1)直线与椭圆的对称轴平行或垂直.
(2)直线过椭圆的焦点.
(1)已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的右焦点为F，左、右顶点分别为A，B，|FA|=3，|FB|=1，则
直线y=x＋被椭圆C截得的弦长为 　.
【解析】 设椭圆的半焦距为c，由|FA|=3，|FB|=1，可得a＋c=3，a－c=1，解得a=2，c=1，则b=，故椭圆的方程为=1.联立y=x＋和3x2＋4y2=12，可得7x2＋4x－11=0，设被椭圆C截得的弦的端点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2=－，x1x2=－，可得弦长为·.
跟踪训练3
(2)已知双曲线C：=1的右焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若|AB|=5，则满足条件的直线l的条数为　 　.
【解析】 方法一　①若A，B都在右支上.当AB垂直于x轴时，AB最短.∵F(3，0)，将x=3代入=1得y=±，则|AB|=5，满足条件；②若A，B分别在两支上.∵a=2，∴两个顶点的距离为2＋2=4＜5，∴满足|AB|=5的直线有2条，且关于x轴对称.综上，满足条件的直线l有3条.
方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，①若直线AB斜率不存在，∵F(3，0)，将x=3代入=1得y=±，则|AB|=5，满足条件；②若直线AB斜率存在，设AB：y=k(x－3)，联立得(5－4k2)x2＋24k2x－36k2－20=0，∴x1＋x2=，x1x2=，∴|AB|=·|x1－x2|==5，解得k2=，即k=±.综上，满足条件的直线l有3条.
3
课时作业
答案速对
第八章 对点练67　直线与圆锥曲线 题号 1 2 3 4 5
答案 B C A D D
题号 6 7 8 13 答案 C BD AC C 1.直线y=kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆y2=1截得的最大弦长是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. 2 B.
C. 4 D. 不能确定
B
2.直线l过抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|=2的直线l有且仅有1条，则p等于(　 　)
A. B. C. 1 D. 2
C
3.(2025·黑龙江绥化模拟)已知双曲线C：x2－=1的左、右顶点分别为A，B，点P在双曲线的右支上且异于点B.若直线AP的斜率的取值范围是，则直线BP的斜率的取值范围是(　 　)
A. [4，8] B. (2，4]∪[8，＋∞)
C. (4，8) D. (0，4]∪[8，＋∞)
A
4.(2025·湖北恩施模拟)抛物线y2=2px(p＞0)与直线x＋2y－5=0交于A，B两点，O为坐标原点，且满足OA⊥OB，则p=(　 　)
A. B. 1 C. D.
D
5.已知直线l的方程为y=kx－1，双曲线C的方程为x2－y2=1.若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是(　 　)
A. (－) B. [1，)
C. [－] D. (1，)
D
6.(2025·河北衡水开学考试)已知P(1，2)为抛物线C：y2=2px(p＞0)上一点，直线l与抛物线C交于A，B两点，点P不在直线l上，且直线PA与PB的倾斜角互补，则直线l的斜率为
(　 　)
A. －2 B. －
C. －1 D. －
【解析】 ∵P(1，2)是抛物线C：y2=2px(p＞0)上一点，∴4=2p，得p=2，∴抛物线方程为y2=4x，设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，易知直线l、直线PA、直线PB的斜率存在，则kAP=，kBP=，由题意=－，可得y1＋y2=－4，∴kAB==－1，∴直线AB的斜率为定值－1.
C
7.(多选)已知椭圆y2=1，斜率为k且不经过原点O的直线l与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. 直线AB与OM垂直
B. 若点M的坐标为，则直线l的方程为x＋2y－2=0
C. 若直线l的方程为y=x＋1，则点M的坐标为
D. 若直线l过椭圆的焦点，则1＜|AB|＜4
【解析】 对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)=0，∴·=－，即kAB·kOM=－≠－1，直线AB与OM不垂直，A错误；对于B，由点M，得kOM=，则kAB=－，则直线l的方程为y－=－(x－1)，即x＋2y－2=0，B正确；对于C，由直线l的方程为y=x＋1，得kOM=－，点M的坐标不可能为，C错误；对于D，过椭圆=1(a＞b＞0)焦点的弦中，最短弦长为通径长，最长弦长为长轴长2a，而椭圆y2=1的最短弦长为1，最长弦长为4，又直线l的斜率存在且不过原点，则1＜|AB|＜4，D正确.
BD
8.(多选)(2025·四川乐山三模)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线y=x2的焦点为F，一束平行于y轴的光线l1从点M(－4，6)射入，经过抛物线上的点P(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点Q(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. y1y2=1
B. 若直线PQ倾斜角为θ，则sin θ=
C. =4
D. l1与l2之间的距离为3
AC
【解析】 抛物线y=x2的焦点为F(0，1)，由MP∥y轴，M(－4，6)，得P(－4，4)，直线PQ斜率k==－，直线PQ的方程为y=－x＋1，由得Q，
对于A，y1=4，y2=，y1y2=1，A正确；对于B，tan θ=－，由
sin θ≥0，得sin θ=，B错误；对于C，=4，C正确；对于D，l1与l2之间的距离为x2－x1=5，D错误.
9.以A(2，1)为中点的双曲线C：2x2－y2=2的弦所在直线的方程为　 　.
【解析】 设A(2，1)是弦P1P2的中点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2=4，y1＋y2=2，∵P1，P2在双曲线上，∴∴2(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)·(y1－y2)=0，∴2×4(x1－x2)=2(y1－y2)，∴k==4，∴以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为y－1=4(x－2)，整理得4x－y－7=0.
4x－y－7=0
10.如图所示，抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过点F且斜率为的直线与C交于点M，N(M在x轴上方)，则=　 　.
【解析】 由题可得，F，A.直线MN：y=，与抛物线方程联立，消元后化简可得3x2－5pxp2=0，解得xM=p，xN=p，∴M，N，∴=3.
3
11.(2025·湖北随州模拟)已知椭圆y2=1.
(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；
解：(1)设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x，y)，则有=1，=1.
两式作差，得=0.　
∵x1＋x2=2x，y1＋y2=2y，=kAB，代入后求得kAB
=－　①.∴2=－，∴x＋4y=0.
联立可得或故所求的轨迹方程为x＋4y=0.
(2)若过点N(1，2)的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程；
(2)由①式，得kl=kAB=－.
又kl=kMN=，∴－，整理得x2＋2y2－x－4y=0，联立可得或故所求的轨迹方程为x2＋2y2－x－4y=0.
(3)求过点P且被点P平分的弦所在直线的方程.
(3)由①式，得弦所在的直线的斜率kAB=－，又x=，y=，∴kAB=－=－，∴其方程为y－=－，即2x＋4y－3=0.
12.已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，长轴长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
解：(1)∵椭圆的离心率为e=，长轴长为2a=4，解得a=2，c=1，则b2=3，∴椭圆C的标准方程为=1.
(2)已知直线l过定点E，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围.
(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率k=0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y=0对称；
当k≠0时，有kAB==－，
设AB中点的坐标为(x0，y0)，
又两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)=－4(y1＋y2)(y1－y2)，即3kx0=4y0，又y0=k，解得x0=1，y0=，∵线段AB的中点在椭圆内部，
∴＜1，即＜1，解得－2＜k＜0，或0＜k＜2.综上，直线l的斜率k的取值范围是(－2，2).
13.已知椭圆C：=1(a＞b＞0)，C的上顶点为A，两个焦
点为F1，F2，离心率为.过点F1且垂直于AF2的直线与C交于D，
E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是(　 　)
A. 8 B. 10
C. 13 D. 16
C
【解析】 如图所示，连接AF1，DF2，EF2，∵C的离心率为，∴，∴a=2c，∴b2=a2－c2=3c2.∵|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|，∴△AF1F2为等边三角形，又DE⊥AF2，
∴直线DE为线段AF2的垂直平分线，∴|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，且∠EF1F2=30°，∴直线DE的方程为y=(x＋c)，代入椭圆C的方程=1，得13x2＋8cx－32c2=0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2=－，x1x2=－，
∴|DE|==
=6，解得c=，∴a=2c=，
∴△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|=|DF2|＋|EF2|＋|DE|=4a=13.
14.(2026·杭州一模)过点F(－)的直线l与圆O：x2＋y2=1相切于点M，与曲线y=－(x＞0)交于点R.若FR的中点为N，则|ON|－|MN|= 　.
【解析】 设P(x，y)为y=－(x＞0)上的点，将点P(x，y)绕原点逆时针旋转45°到Q(μ，ν)，则由于xy=－1，则=－1，化简可得：=1，则点Q的轨迹为等轴双曲线，其焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，且=2.∴曲线y=－也是等轴双曲线，其焦点为F(－)，K(，
－)，故点R到焦点F(－)，K(，－)距离之差为常数2.即|FR|－|RK|=2，如图所示.
∵点O，N分别是FK和FR的中点，故|FN|－|ON|=，而|FN|=|FM|＋|MN|，由于|FM|=，∴|ON|－|MN|=|FN|－|FM|－|FN|=.
15.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与C交于A，B两点(点A在x轴上方)，过点A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，连接MF，NF.若|MF|=|NF|，则直线AB的斜率为 　.
【解析】 如图所示，由题意得|AF|=|AM|，|BF|=|BN|，∴∠AFM=∠AMF=∠MFO，∠BFN=∠BNF=∠NFO，∵∠AFM＋∠MFO＋∠BFN＋∠NFO=π，∴∠MFO＋∠NFO=，∴MF⊥NF，又|MF|=|NF|，∴∠NMF=，∴∠AFM=∠MFO=，故∠AFx=，∴直线AB的斜率为tan.
16.(2025·湖南常德模拟)已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两个动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为M(2m，m)(m≠0).
(1)求双曲线C的方程；
解：(1)双曲线C：=1(a＞0，b＞0)右焦点的坐标为(c，0)，不妨取C的一条渐近线的方程为y=x，即bx－ay=0，∴=b=1.又，a2＋b2=c2，解得a=b=1，∴双曲线C的方程为x2－y2=1.
(2)证明：直线AB的斜率k为定值；
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减并整理，得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)=0，
∵线段AB的中点为M(2m，m)(m≠0)，则
∴4m(x1－x2)－2m(y1－y2)=0，∵m≠0，
∴=2，∴直线AB的斜率k为定值2.
(3)O为坐标原点，若△OAB的面积为，求直线AB的方程.
(3)解：设直线AB：y=2x＋t，联立，消去y得
3x2＋4tx＋t2＋1=0，∵Δ=16t2－12(t2＋1)＞0，∴t∈(－∞，
－)∪(，＋∞)，则x1＋x2=－t，x1x2=.
故|AB|=·|x1－x2|=·
，点O到直线AB的距离为d=.
∴S△OAB=|AB|·d=··，整理得t4－3t2－4=0，解得t2=4(t2=－1舍去)，则t=±2，
又±2∈(－∞，－)∪(，＋∞)，∴直线AB的方程为y=2x±2.(共20张PPT)
拓展视野 抛物线中的二级结论
能力训练
知识拓展
课时作业
内
容
索
引
设AB是过抛物线y2=2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2=，y1y2=－p2.
(2)若点A在第一象限，点B在第四象限，则|AF|=，|BF|=，弦长|AB|=x1＋x2＋p=(α为弦AB所在直线的倾斜角).
(3).
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切.
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
(1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|=2|BF|，则|AB|等于(　 　)
A. 4 B. C. 5 D. 6
【解析】 方法一　易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y=k(x－1).由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2=0，得xA·xB=1①，∵|AF|=2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1=2(xB＋1)，即xA=2xB＋1②，由①②解得xA=2，xB=，∴|AB|=|AF|＋|BF|=xA＋xB＋p=.
方法二　∵|AF|=2|BF|，∴=1，解得|BF|=，|AF|=3，故|AB|=|AF|＋|BF|=.
例 1
B
(2)已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线交C于A，B两点，线段AB中点的纵坐标为，则|AB|=(　 　)
A. B. 4 C. 8 D. 24
【解析】 方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴kAB=.∵线段AB中点的纵坐标为，∴y1＋y2=2，又直线AB的倾斜角为，∴kAB=，即，得p=3，∴抛物线C的方程为y2=6x，则焦点F，直线AB的方程为y=，与抛物线方程y2=6x联立并整理，得3=6x，即x2－5x＋=0，∴x1＋x2=5，∴|AB|=x1＋x2＋p=5＋3=8.
方法二　抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦的弦长l=，其中θ为焦点弦所在直线的倾斜角.在求出p=3后，可直接利用此二级结论得出|AB|==8.
C
(3)已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点F，过点F且斜率为的直线交C于点A，B(点A在上方)，且|AF|=6，则|BF|=　 　.
【解析】 由k=得∠AFx=60°，
方法一　利用解得|AF|=2p，|BF|=p，∵|AF|=2p=6，∴p=3，∴|BF|=×3=2.
方法二　由焦半径公式|AF|==2p=6，得p=3，∴|BF|=p=2.
2
(1)直线y=x－1过抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点F，且与C交于A，B两点，则|AB|=(　 　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【解析】 ∵直线y=x－1过焦点F，∴焦点F(1，0)，∴p=2，∴|AB|==8.
(2)过抛物线y2=8x焦点的直线与抛物线交于M，N两点，设抛物线的准线与x轴的交点为A，当MA⊥NA时，|MN|=　 　.
【解析】 方法一　由题意可知A(－2，0)，焦点坐标为(2，0).设过抛物线焦点的直线方程为x=ky＋2，代入y2=8x，消去x，得y2－8ky－16=0.设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则yMyN=－16，∴xMxN==4.∵MA⊥NA，∴kMA·kNA=·=－1，∴8＋2(xM＋xN)=16，即xM＋xN=4，∴由抛物线的定义知|MN|=xM＋xN＋4=8.
方法二　由题意可知A(－2，0)，设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则xMxN==4，yMyN=－p2=－16.
又MA⊥NA，∴·=(xM＋2，yM)·(xN＋2，yN)=0，即(xM＋2)·(xN＋2)＋yMyN=0，得4＋2(xM＋xN)＋4－16=0，∴xM＋xN=4，|MN|=xM＋xN＋4=8.
跟踪训练1
D
8
课时作业
答案速对
第八章 对点练74　抛物线中的二级结论 题号 1 2 3 4
答案 B B B D
题号 5 6 7 8 答案 C D C BCD 1.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，A为C上的一点，AF中点的横坐标为2，则|AF|=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】 由题意得F(1，0)，准线方程为x=－1.设A(m，n)，则AF中点的横坐标为，故=2，解得m=3.由抛物线的焦半径可知|AF|=3＋1=4.
B
2.过抛物线y2=4x的焦点F的直线与其交于A，B两点，|AF|＞|BF|，如果|AF|=5，那么|BF|等于(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 |AF|==5，∴cos α=，则|BF|=.
B
3.设F是抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点，经过点F且斜率为1的直线与C交于A，B两点，若△AOB(O为坐标原点)的面积为3，则p=(　 　)
A. B. C. 1 D. 2
【解析】 ∵kAB=1，∴直线AB的倾斜角α=45°，则S△AOB==3，∴p=.
B
4.设F为抛物线C：y2=6x的焦点，经过点F且倾斜角为45°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　 　)
A. 3 B. C. 9 D.
【解析】 由2p=6，及|AB|=，得|AB|==12.又原点到直线AB的距离d=|OF|·sin 45°=，故S△OAB=|AB|·d=×12×.
D
5.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·=－12，则抛物线C的方程为(　 　)
A. x2=8y B. x2=4y
C. y2=8x D. y2=4x
【解析】 设抛物线方程为y2=2px(p＞0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1·x2=p2，y1·y2=－p2，∴·=x1·x2＋y1·y2=p2－p2=－12，∴p=4，∴抛物线C的方程为y2=8x.
C
6.过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，若为定值，则这个定值为(　 　)
A. p B. 2p C. D.
【解析】 方法一(直接使用结论)　.
方法二　∵为定值，∴可取特殊直线x=，然后计算即可.∵抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的坐标为，∴可取过F与x轴垂直的直线x=，∴把x=代入y2=2px，得y=±p，假设M，N，故|MF|=p，|NF|=p，∴，即该定值为.
D
7.如图所示，过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，
B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|=4，则AB的长为
　 (　 　)
A. 5 B. 6
C. D.
【解析】 方法一　如图所示，过点A作l的垂线交l于点D，设l与x轴
交于点E，∵F为AC的中点，∴EF为△ACD的中位线，∴p=|AD|
=|AF|=2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|=x1=x1＋1=4，
∴x1=3，又x1x2==1，∴x2=，∴|AB|=x1＋x2＋p=32=.
C
方法二　过点A作l的垂线交l于点D，设l与x轴的交点为E，∵F为AC的中点，∴EF为△ACD的中位线，∴p=|AD|=|AF|=2.∵，|AF|=4，∴|BF|=，∴|AB|=|AF|＋|BF|=4.
8.已知抛物线y2=2px(p＞0)，过焦点F的直线交抛物线于A，
B两点，且有=3，准线与x轴交于点C，作点A到准线
的垂线，垂足为A1，则当四边形CFAA1的面积为12时，
p的值为　 　.
【解析】 设直线AB的倾斜角为θ，过点A作AD⊥x轴，
则|AF|=|AA1|=p＋|FD|=p＋|AF|cos θ，∴|AF|=，
同理可得|BF|=，又=3，∴，
则cos θ=，由于θ∈，∴θ=，∴|AF|=|AA1|=2p，
|CA1|=|AD|=2p·sin =2p·p，∴四边形CFAA1的面积S=(2p＋p)×p=12，解得p=2.
2
9.(多选)(2025·福建福州模拟)已知斜率为的直线l经过抛
物线C：y2=2px(p＞0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点
(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|=8，
则下列结论中，正确的有(　 　)
A. =1 B. |AF|=6
C. |BD|=2|BF| D. F为AD的中点
【解析】 方法一　如图所示，过点B作x=－的垂线，垂足为B'，又F，直线l的斜率为，则直线l的方程为y=.联立得12x2－20px＋3p2=0.
BCD
解得xA=，xB=.由|AB|=|AF|＋|BF|=xA＋xB＋p==8，得p=3，∴抛物线的方程为y2=6x，则|AF|=xA=2p=6，B正确；|BF|=8－|AF|=2，|BD|==4，∴|BD|=2|BF|，C正确；|AF|=|DF|=6，则F为AD的中点，D正确；，A错误.
方法二　设直线AB的倾斜角为θ，利用抛物线的焦点弦的性质，|AB|==8，得p=3，∴|AF|==6，|BF|==2，.如图所示，在Rt△DB'B中，
cos θ=，∴|BD|=4，|DF|=|BF|＋|BD|=6，∴F为AD的中点.
10.已知抛物线y2=2x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则4|AF|＋|BF|的
最小值为 　.
【解析】 ∵=2，∴4|AF|＋|BF|=·(4|AF|＋|BF|)≥，当且仅当|BF|=2|AF|时，等号成立，故4|AF|＋|BF|的最小值是.(共22张PPT)
拓展视野 椭圆、双曲线中的二级结论
能力训练
知识拓展
课时作业
内
容
索
引
1.以坐标为基础的焦半径公式
(1)若P(x0，y0)为椭圆=1(a＞b＞0)上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则|PF1|=a＋ex0，|PF2|=a－ex0；
(2)若P(x0，y0)为双曲线=1(a＞0，b＞0)上任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，①当点P在双曲线的左支上时，|PF1|=－ex0－a，|PF2|=－ex0＋a；②当点P在双曲线的右支上时，|PF1|=ex0＋a，|PF2|=ex0－a.
2.焦半径的数量关系式
直线l过焦点F与椭圆相交于A，B两点，则，同理，双曲线中，.
3.几个最值问题
(1)椭圆的焦半径最大为a＋c，最小为a－c(长轴两个端点处取到).
(2)双曲线的焦半径同侧最小为c－a，异侧最小为c＋a(实轴两个端点处取到).
(3)椭圆、双曲线中最短焦点弦即通径长为.
(4)在椭圆中，P为短轴端点时，∠F1PF2最大.
4.椭圆、双曲线的参数方程(θ为参数)
(1)椭圆=1(a＞b＞0)的参数方程为
(2)双曲线=1(a，b＞0)的参数方程为
(1)椭圆=1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线x=与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. [－1，1) D.
【解析】 方法一(通解)　由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即点F到点P与点A的距离相等，而|FA|=－c==|PF|∈[a－c，a＋c]，于是∈[a－c，a＋c]，即ac－c2≤b2≤ac＋c2，
∴又e∈(0，1)，故e∈.
方法二(优解)　设点P(x0，y0)，则有|PF|=|FA|，即a－ex0=－c，解得x0=＋a－，又x0∈[－a，a]，∴－a≤＋a－≤a，两边同时除以a，解得≤e＜1.
例 1
D
(2)已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，过点F2的直线与C的右
支交于A，B两点.若=2，|AB|=|F1B|，则双曲线C的方程为 　.
【解析】 如图所示，令|F2B|=t，则|AF2|=2t，∴|AB|=3t，|F1B|=3t.
又，∴，即，又|F1B|－|F2B|=2a，∴3t－t=2a，∴t=a，∴，即3b2=4a2，又c=，∴a2＋b2=7，解得b2=4，a2=3，故双曲线C的方程为=1.
=1
(3)已知P(x，y)是椭圆＋y2=1上的动点，不等式x＋y＋m≤0恒成立，则m的取值范围是
　 　.
【解析】 方法一(通解)　设x＋y=t，联立消去y得4x2－6tx＋3t2－3=0(*).要使x＋y=t与＋y2=1必有公共点，则(*)中Δ≥0，即36t2－4×4(3t2－3)≥0，解得－2≤t≤2，即－2≤x＋y≤2.又x＋y＋m≤0恒成立，则m≤[－(x＋y)]min，即m≤－2.
方法二(优解)　根据参数方程，可设P(cos φ，sin φ)，0≤φ＜2π，x＋y=cos φ＋
sin φ=2sin∈[－2，2]，又x＋y＋m≤0恒成立，则m≤[－(x＋y)]min，即m≤－2.
(－∞，－2]
(1)已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上有一点P，满足
|PF1|=3|PF2|，则点P的横坐标为 　.
【解析】 设点P的横坐标为x0，由双曲线焦半径公式有|PF1|=a＋ex0，|PF2|=ex0－a，结合条件|PF1|=3|PF2|，则ex0＋a=3(ex0－a)，又a=4，c=5，可得e=，∴x0=.
(2)已知椭圆C：=1，左焦点F1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且|AF2|=2，则
|AB|= 　，cos∠F1AB=　 　.
【解析】 由题意知a=4，b=2，|AF2|=2，
由，得=2，解得|BF2|=，
∴|AB|=|AF2|＋|BF2|=.由椭圆定义知|AF1|=8－2=6，
|BF1|=8－，在△AF1B中，cos∠F1AB==－.
跟踪训练1
－
(3)若P(x，y)为曲线C：＋y2=1上的动点，则点P到直线l：4x－3y＋12=0的距离d的最大值为
　 ，最小值为 　.
【解析】 ∵＋y2=1的参数方程为(θ为参数)，设P(2cos α，sin α)，直线l为4x－3y＋12=0，则d=，其中tan φ=，∴d的最大值为，最小值为.
课时作业
答案速对
第八章 对点练73　椭圆、双曲线中的二级结论 题号 1 2 3 4
答案 B C D D
题号 5 6 7 答案 B B B 1.(2023·全国甲卷文)设F1，F2为椭圆C：y2=1的两个焦点，点P在C上，若·=0，则|PF1|·|PF2|=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
【解析】 方法一(一般法解题)　∵·=0，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=16.∵|PF1|＋|PF2|=2a=2，∴(|PF1|＋|PF2|)2=20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|=20，∴|PF1|·|PF2|=2.
方法二(二级结论解题)　∵·=0，∴PF1⊥PF2，则|PF1|·|PF2|=b2tan，得·|PF1|·|PF2|=1×tan，∴|PF1|·|PF2|=2.
B
2.过双曲线C：=1(a＞0，b＞0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线C的离心率为(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 设P(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为=1，故切线l的斜率k=.∵k·kOP=，∴·，则，即双曲线C的离心率e=.
C
3.已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的焦点为F1，F2，若P是双曲线上任意一点，且满足|PO|2=|PF1|·|PF2|(其中O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为(　 　)
A. y=±2x B. y=±x
C. y=±x D. y=±x
【解析】 设P(x0，y0)，则≥a2，由焦半径公式可知|PF1|=|ex0＋a|，|PF2|=|ex0－a|，其中e为双曲线的离心率.易知e2－a2＞0，则由|PO|2=|PF1|·|PF2|，有b2·－b2=e2－a2，可得=b2－a2，则a2=b2，故双曲线C的渐近线方程为y=±x.
D
4.已知椭圆C：=1(a＞b＞0)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=，P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2=，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为
(　 　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 12
【解析】 由e=，得，即a=2c.设△F1PF2的内切圆半径为r，则由△F1PF2的内切圆的面积为3π，可得πr2=3π，解得r=(－舍).在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知=b2tanr·(2a＋2c)，即b2=(a＋c).结合a2=b2＋c2，易得a=6，∴该椭圆的长轴长为2a=2×6=12.
D
5.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|=(　 　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【解析】 由焦点三角形面积公式，得，即|PF1|·|PF2|sin 60°=|PF1|·|PF2|=，∴|PF1|·|PF2|=4.　
B
6.设椭圆=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于A，M两点，若∠F1AF2=90°，则直线BM的斜率为(　 　)
A. B. C. －1 D. －
【解析】 方法一(一般法解题)　由题意，椭圆=1(a＞b＞0)，∠F1AF2=90°，在Rt△OAF2中，|OA|=b，|AF2|=a，∠OAF2=45°，∴a=b，不妨设b=1，则a=，c=1，则椭圆的方程为y2=1.又A(0，1)，F2(1，0)，∴=－1，
∴直线AF2的方程为y=－x＋1.联立方程组整理
得3x2－4x=0，解得x=0，或x=.
B
把x=代入直线y=－x＋1，解得y=－，即M.又点B(0，－1)，∴BM的斜率kBM=.
方法二(二级结论解题)　∵∠F1AF2=90°，∴△F1AF2为等腰直角三角形，即b=c，
∴a2=2b2=2c2，∴，且∠AF2O=45°.∴kMA=－1.又kMA·kMB=－=－，∴kMB=.
7.已知双曲线=1(a＞0，b＞0)，过原点的直线与双曲线交
于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，
若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为　(　 　)
A. B.
C. 2 D.
【解析】 方法一(一般法解题)设双曲线的左焦点为F'，连接
AF'，BF'(如图所示)，∵以AB为直径的圆恰好经过双曲线
的右焦点F(c，0)，∴AF⊥BF，圆心为O(0，0)，半径为c，
根据双曲线的对称性可得四边形AFBF'是矩形，设|AF|=m，|BF|=n，
B
则由=m2＋n2－2mn可得4a2=4c2－8a2，∴c2=3a2，∴e2==3，∴e=.
方法二(二级结论解题)　设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，BF'，∵以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F(c，0)，∴=2a2，且∠F'AF=，根据双曲线焦点三角形面积公式得2a2=b2，结合c2=a2＋b2，得2a2=c2－a2 c2=3a2 e2=3 e=.
8.已知椭圆=1(a＞b＞0)上关于原点对称的两点M，N，P是椭圆上任意一点且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，k1·k2≠0，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率
为 　.
【解析】 ∵|k1|＋|k2|≥2，|k1|＋|k2|的最小值为1，∴2=1，∴2=1，即，∴e=.
9.双曲线C：x2－=1的左、右焦点分别为F1， F2，点P在C上，
且tan∠F1PF2=4，O为坐标原点，则|OP|= 　.
【解析】 设点P(xP，yp)，∠F1PF2=θ，则tan θ=4，
∵tan θ=tan=4，∴tan ，
∵a=1，b=，c=2， ∴=2，如图所示，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则有|F1F2|·|PM|=×4|PM|=2，∴|PM|=，即|yP|=，∴=3 ，代入x2－=1，得=2 ，∴|OP|=.
10.已知椭圆=1，直线l1：x－y－1=0，l2：x－y＋1=0与该椭圆分别交于点A，B和
C，D，则|AB|＋|CD|的值为 　.
【解析】 直线AB经过右焦点F2，且倾斜角α=，∴|AB|=，由椭圆的对称性知|AB|=|CD|，∴|AB|＋|CD|=.(共24张PPT)
第9节　圆锥曲线中的综合问题
课标解读　1.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
2.根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题.
3.根据对几何问题(图形)的分析，探索解决问题的思路，运用代数方法得到结论，给出
代数结论合理的几何解释，解决几何问题.
4.能够根据不同的情境，建立平面直线和圆的方程，建立椭圆、抛物线、双曲线的标
准方程，能够运用代数的方法研究上述曲线之间的基本关系.
内
容
索
引
关键能力提升
考点一 定点问题
考点二 定直线问题
第1课时　定点、定线问题
考点一　定点问题
(2025·河南新乡模拟)已知抛物线C：y2=2px(p＞0)仅经过A1(2，2)，A2(3，)，A3(3，－)中的一点.
(1)求C的方程.
解：(1)抛物线C：y2=2px关于x轴对称，而点A2(3，)，A3(3，－)关于x轴对称，若点A2，A3中有一个点在抛物线C上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意，∴点A1(2，2)必在抛物线C上，则(2)2=2p·2，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x.
例 1
(2)过C的焦点F作两条互相垂直的直线，分别交C于点E，H和点M，N，设线段EH，MN的中点分别为P，Q，证明：直线PQ过定点.
证明：(2)由(1)知，抛物线C的焦点为F(1，0)，显然直线EH，MN都不垂直于坐标轴，设直线EH的方程为x=ty＋1，则直线MN的方程为x=－y＋1，由消去x得y2－4ty－4=0，设E(x1，y1)，H(x2，y2)，则y1＋y2=4t，线段EH的中点P(2t2＋1，2t)，同理得线段MN的中点Q，当t2≠1时，直线PQ斜率k=，直线PQ方程为y－2t=(x－2t2－1)，整理得y=(x－3)，直线PQ过定点(3，0)，当t2=1时，P(3，2)，Q(3，－2)或P(3，－2)，Q(3，2)，直线PQ：x=3过定点(3，0)，∴直线PQ过定点.
圆锥曲线中定点问题的两种解法：
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动直线中的系数为参数来表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.或以曲线上的点为参数，设点P(x1，y1)，利用点在曲线f(x，y)=0上，即f(x1，y1)=0消参.
(2)特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置，如直线的水平或竖直位置，即k=0或k不存在.
(2026·宁波一模)已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的离心率为，A是C上的点.
(1)求椭圆C的方程；
解：(1)已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的离心率为，A是C上的点.
则解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的方程为＋y2=1.
跟踪训练1
(2)过T(1，0)作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆C在x轴上方部分于D，E两点.
(i)求△DTE面积的最大值；
(ii)过TA延长线上的点P作椭圆C的两条切线l1，l2，若TD与l1交于点M，TE与l2交于点N，证明：直线MN过定点.
解：(2)(i)显然当DE与y轴垂直时，TD，TE的倾斜角不互补，
设DE的方程为x=my＋n，设D，E，　
联立消x得y2＋2mny＋n2－4=0，
∴y1＋y2=－，y1y2=，
则kTD＋kTE==0，
∴2my1y2＋(n－1)=0，
代入得2m－2mn(n－1)=2mn－8m=0，
∴n=4，即直线DE过定点(4，0)，
∴y1＋y2=－，y1y2=，
∴··，
又T到DE的距离为d=，
∴S=··d=≤，当m2=28时取等号.
即△DTE面积的最大值为.
(ii)证明：设P(1，p)，设过点P的椭圆C的两条切线为li：y=ki(x－1)＋p，i=1，2，
联立
得x2＋8kix＋4－8kip＋4p2－4=0，
由Δ=0，化简得3＋2pki＋1－p2=0，
∴k1＋k2=－p，k1k2=，
设MN：y=kx＋t，联立解得xM=，
联立解得xN=，
则kTM＋kTN==0，化简得4k＋t=0，∴直线MN过定点(4，0).
考点二　定直线问题
(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.
(1)求C的方程；
解：(1)设双曲线的标准方程为=1(a＞0，b＞0).
由题意可得解得∴双曲线C的方程为=1.
例 2
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上.
证明：(2)设直线MN的方程为x=my－4，M(x1，y1)，N(x2，y2).易知A1(－2，0)，A2(2，0).联立直线MN与双曲线C的方程，得消去x并整理，得(4m2－1)y2－32my＋48=0，则y1＋y2=，y1y2=，且4m2－1≠0，Δ=(－32m)2－4×48×(4m2－1)=256m2＋192＞0.直线MA1的方程为y=(x＋2)，直线NA2的方程为y=(x－2).联立直线MA1与直线NA2的方程并消去y，得=－，　
∴x=－1，即点P在定直线x=－1上.
1.动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程.
2.待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数求出系数.
3.面对复杂问题时，可“先猜再证”，从特殊情况入手，以确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合.
(2025·北京西城模拟节选)已知抛物线C：x2=y，过点E(0，2)作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P.证明：点P在定直线上.
证明：设A(x1，)，B(x2，)，则直线AB的斜率kAB==x1＋x2，直线AB的方程为y－=(x1＋x2)·(x－x1)，即y=(x1＋x2)x－x1x2，又直线AB过点E(0，2)，∴－x1x2=2，即x1x2=－2.
设直线PA的方程为y－=k(x－x1)，与抛物线方程y=x2联立，得解得x=x1，或x=k－x1，又直线PA与抛物线相切，∴x1=k－x1，即k=2x1，∴直线PA的方程为y－=2x1(x－x1)，即y=2xx1－，同理可得直线PB的方程为y=2xx2－.
由解得∴P，即P，故点P在定直线y=－2上.
跟踪训练2
课时作业
1.已知F为抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点，第一象限内的点P在C上，点P的纵坐标等于横坐标的4倍，且|PF|=.
(1)求C的方程.
解：(1)由题意，可设P(a，4a)，a＞0，由题意得解得∴C的方程为y2=4x.
(2)若斜率存在的直线l与C交于异于点P的A，B两点，且直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为16，证明：l过定点.
(2)证明：易知P，l的斜率不为0，设l：x=my＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－4my－4b=0，则
∴kPA·kPB=··
·=16，
得(y1＋1)(y2＋1)=1，∴y1y2＋y1＋y2=－4b＋4m=0，即m=b，∴l：x=m(y＋1)，故直线l过定点(0，－1).
2.(2025·北京开学考试)已知椭圆C：=1(a＞b＞0)，其中a2＋b2=5，点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程及上顶点A的坐标.
解：(1)由题意可得解得
∴椭圆方程为y2=1，上顶点A的坐标为(0，1).
(2)过点T(2，1)的直线交椭圆C于P，Q两点，直线AP，AQ与x轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
(2)证明：由题意可知：直线PQ的斜率存在且不为0，
设PQ：x－2=m(y－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立方程消去x得y2=1，即m2(y2－2y＋1)＋4m(y－1)＋4y2=0，(m2＋4)y2＋(4m－2m2)y＋m2－4m=0，
则Δ=－4(m2＋4)(m2－4m)=64m＞0，解得m＞0，可得y1＋y2=，y1y2=，∵A(0，1)，则直线AP：y=x＋1，令y=0，解得x=，
即M，同理可得N=
=
=
=2，
∴线段MN的中点是定点(2，0).
3.(2022·全国乙卷理)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，B两点.
(1)求E的方程.
解：(1)∵椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，∴可设椭圆E的方程为=1，又椭圆E过B，∴=1，得a2=3，∴E的方程为=1.
(2)设过点P(1，－2)的直线交椭圆E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足.证明：直线HN过定点.
(2)证明：由A(0，－2)，B可得直线AB：y=x－2，①若过P(1，－2)的直线的斜率不存在，则直线为x=1.代入=1，可得y=±.当M，N时，将y=－代入AB：y=x－2中，可得T.由得H.易求得此时直线HN：y=x－2，过点(0，－2)；同理，当M，N时，易求得直线HN：y=x－2，过点(0，－2).
②若过P(1，－2)的直线的斜率存在，设kx－y－(k＋2)=0，M(x1，y1)，N(x2，y2).
联立得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)=0，
故有
且x1y2＋x2y1=(*)，
联立可得T，H(3y1＋6－x1，y1)，可求得此时HN：y－y2=(x－x2)，
将(0，－2)代入整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12=0，
将(*)式代入，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48=0，显然成立.综上，可得直线HN过定点(0，－2).
4.已知圆M：(x－3)2＋y2=9，设D(2，0)，过点D作斜率不为0的直线l1，交圆M于P，Q两点.
(1)过点D作与直线l1垂直的直线l2，交圆M于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；
解：(1)由圆M：(x－3)2＋y2=9知，圆心为M(3，0)，半径r=3，∵直线l1过点D(2，0)且斜率不为0，∴设直线l1方程为y－0=k(x－2)，即kx－y－2k=0，则点M到直线l1的距离为d1=，∴|PQ|=2=2=2=2，
由l1⊥l2，且直线l2过点D，∴设直线l2方程为：y－0=－·(x－2)，即x＋ky－2=0，则点M到直线l2的距离为d2=，∴|EF|=2=2=2=2，
故S=·|EF|·|PQ|=·2·2=2≤
2=2×=17，当且仅当8k2＋9=9k2＋8 k=±1时取等号，∴四边形EPFQ的面积S的最大值为17.
(2)设B(6，0)，过原点O的直线OP与BQ的延长线相交于点N.证明：点N在定直线x=－6上.
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ过点D，则设直线PQ方程为x=my＋2，联立消去x整理得(m2＋1)y2－2my－8=0，y1＋y2=，y1y2=，∴=－ my1y2=－4(y1＋y2)，由kOP=，∴直线OP的方程为y=x，kBQ=，∴直线BQ的方程为y=(x－6)，∵直线OP与直线BQ交于点N，
∴联立∴xN===
=
=
=－6，∴xN=－6，∴点N在定直线x=－6上.　(共44张PPT)
第3节　圆的方程
课标解读　1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 圆的方程
考点二 与圆有关的最值问题
考点三 与圆有关的轨迹问题
1.[教材改编]圆x2＋y2－2x－4y＋4=0的圆心坐标为　 　，半径为　 　.
【解析】 由x2＋y2－2x－4y＋4=0，得(x－1)2＋(y－2)2=1，∴圆心坐标为(1，2)，半径为1.
2.[教材改编]圆心为P(1，1)且过原点的圆的标准方程是　 　，一般方程为
　 　.
【解析】 ∵P(1，1)为圆心，且圆P经过原点，∴半径r=，∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2=2，化为一般方程，可得x2＋y2－2x－2y=0.
3.[教材改编]已知两点A(4，9)和B(6，3)，则以AB为直径的圆的标准方程是_________________
　 　.
【解析】 由题意得，所求圆的圆心为线段AB的中点，即(5，6)，半径为，∴所求圆的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2=10.
(1，2)
1
(x－1)2＋(y－1)2=2
x2＋y2－2x－2y=0
(x－5)2＋(y－
6)2=10
4. (忽视方程表示圆的条件)已知点A(1，2)在圆C：x2＋y2＋mx－2y＋2=0外，则实数m的取值范围是　 　.
【解析】 由题意，得解得－3＜m＜－2，或m＞2，故实数m的取值范围是(－3，－2)∪(2，＋∞).
5. (对圆心位置可能的情况考虑不全)半径为2，圆心的横、纵坐标互为相反数且与x轴、y轴都相切的圆的方程为　 　.
【解析】 由题意知圆心的坐标为(2，－2)或(－2，2)，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2=4，或(x＋2)2＋(y－2)2=4.
易错题
易错题
(－3，－2)∪(2，＋∞)
(x－2)2＋(y＋2)2=4，或(x＋2)2＋(y－2)2=4
6. (忽略圆的方程中变量的取值范围)已知P(x，y)为圆x2＋y2=1上的动点，则
x2＋4y的最小值为　 　.
【解析】 ∵P(x，y)为圆x2＋y2=1上的动点，∴x2＋4y=1－y2＋4y=－(y－2)2＋5.又y∈[－1，1]，∴当y=－1时，x2＋4y取得最小值－4.
易错题
－4
1.圆的定义和圆的方程
定义 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合 方 程 标 准 (x－a)2＋(y－b)2=r2(r＞0) 圆心C(a，b)
半径为r
一 般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 充要条件：　 　
圆心坐标：
D2＋E2－4F＞0
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2=r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r 点M在　 　，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M在圆外；
(2)|MC|=r 点M在　 　，即(x0－a)2＋(y0－b)2=r2 点M在圆上；
(3)|MC|＜r 点M在　 　，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 点M在圆内.
圆外
圆上
圆内
[优化拓展]
1.几种特殊位置的圆的方程：
标准方程的设法 一般方程的设法
圆心在原点 x2＋y2=r2 x2＋y2－r2=0
过原点 (x－a)2＋(y－b)2=a2＋b2 x2＋y2＋Dx＋Ey=0
圆心在x轴上 (x－a)2＋y2=r2 x2＋y2＋Dx＋F=0
圆心在y轴上 x2＋(y－b)2=r2 x2＋y2＋Ey＋F=0
与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2=b2
与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2=a2
2.圆的三个性质：
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上.
(2)圆心在任一弦的中垂线上.
(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线.
考点一　圆的方程
(1)已知圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程为　
(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. (x－2)2＋(y＋3)2=13
B. (x＋2)2＋(y－3)2=13
C. (x－2)2＋(y＋3)2=52
D. (x＋2)2＋(y－3)2=52
【解析】 设直径的两个端点分别为(a，0)和(0，b)，则a＋0=2×2，0＋b=2×(－3)，即a=4，b=－6，∴直径为=2，即半径为，圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2=13.
例 1
A
(2)(2022·全国甲卷文)设点M在直线2x＋y－1=0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为　 　.
【解析】 方法一　设☉M的方程为(x－a)2＋(y－b)2=r2，则解得∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2=5.
方法二　设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0(D2＋E2－4F＞0)，则M，∴解得∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3=0，即(x－1)2＋(y＋1)2=5.
方法三　设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r，则kAB==－，AB的中点坐标为，∴AB的垂直平分线方程为y－=3，即3x－y－4=0.联立得解得M(1，－1)，∴r2=|MA|2=(3－1)2＋[0－(－1)]2=5，∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2=5.
(x－1)2＋(y＋1)2=5
求圆的方程的两种方法：
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径.
(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程；若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则设圆的一般方程.
(1)(2025·海南海口模拟)下列方程中，表示圆心在直线y=x上，半径为，且过原点的圆的是
(　 　)
A. (x－1)2＋(y－1)2=
B. (x－1)2＋(y＋1)2=
C. (x－1)2＋(y＋1)2=2
D. (x－1)2＋(y－1)2=2
【解析】 ∵圆心在y=x上，∴设圆心为(a，a)，∵圆的半径为，∴设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2=2，∵该圆过原点，∴(－a)2＋(－a)2=2，解得a=±1，∴圆心为(1，1)或(－1，－1)，当圆心为(1，1)时，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2=2，D正确；当圆心为(－1，－1)时，圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋1)2=2.
跟踪训练1
D
(2)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，若直线2x－y＋3=0与圆C相切于点A(2，7)，则圆C的标准方程为　 　.
【解析】 如图所示，由圆心C(0，m)与切点A的连线与切线垂直，得=－，解得m=8，∴圆心坐标为(0，8)，半径为r=，∴圆C的标准方程为x2＋(y－8)2=5.
x2＋(y－8)2=5
考点二　与圆有关的最值问题
(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4=0，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 的最大值为
B. 的最小值为0
C. x2＋y2的最大值为＋1
D. x＋y的最大值为3＋
例 2
考向1 借助几何性质求最值
ABD
【解析】 由实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4=0，可得点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－1)2=1上，设圆心为C.表示点(x，y)与坐标原点O连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方程为y=kx，则=1，解得k=0，或k=，∴∈，∴=0，A，B正确；x2＋y2表示圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|＋1，∴x2＋y2的最大值为(|OC|＋1)2，又|OC|=，
∴x2＋y2的最大值为6＋2，C错误；∵x2＋y2－4x－2y＋4=0可化为(x－2)2＋(y－1)2=1，∴可设x=2＋cos θ，y=1＋sin θ，∴x＋y=2＋cos θ＋1＋sin θ=3＋sin，∴x＋y的最大值为3＋，D正确.
借助几何性质求最值的三种情况：
(1)形如μ=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如t=ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(2023·全国乙卷文)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4=0，则x－y的最大值是(　 　)
A. 1＋ B. 4
C. 1＋3 D. 7
【解析】 将方程x2＋y2－4x－2y－4=0化为(x－2)2＋(y－1)2=9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆.设z=x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z=0与圆相切时，z才能取到最大值，此时=3，解得z=1±3，故z=x－y的最大值为1＋3.
跟踪训练2
C
(1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2=1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0).若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为(　 　)
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【解析】 方法一　设点P的坐标为(x0，y0)，由(x－3)2＋(y－4)2=1，可设∵∠APB=90°，∴·=0，可得(x0＋m)(x0－m)＋=0，∴m2==26＋6cos θ＋8sin θ=26＋10sin(θ＋φ)，∴4≤m≤6，∴m的最大值为6.
方法二　设O为坐标原点，连接OP，OC，在Rt△APB中，原点O为斜边的中点，|AB|=2m(m＞0)，∴m=|OP|≤|OC|＋r(r为圆C的半径)，又C(3，4)，r=1，∴|OP|≤6，即m≤6.
例 3
考向2 建立函数关系式求最值
B
(2)设P(x，y)是圆x2＋(y－3)2=1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最小值为　 　.
【解析】 由题意知=(2－x，－y)，=(－2－x，－y)，∴·=x2＋y2－4，
∵P(x，y)是圆上的点，∴其坐标满足方程x2＋(y－3)2=1，即x2=－(y－3)2＋1，∴·=－(y－3)2＋1＋y2－4=6y－12.由圆的方程为x2＋(y－3)2=1，可知2≤y≤4，
∴当y=2时，·的值最小，最小值为6×2－12=0.
0
建立函数关系式求最值，就是根据题目条件列出关于所求目标表达式的函数关系式，然后根据关系式的特征选用适当的方法(如参数法、配方法、不等式法)求最值.
若P为圆x2＋y2=1上的一个动点，A(－1，0)，B(1，0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为(　 　)
A. 2 B. 2
C. 4 D. 4
【解析】 方法一　易得|PA|2＋|PB|2=4，可得≤=2，当且仅当|PA|=|PB|=时取等号，∴|PA|＋|PB|≤2.
方法二　易得|PA|2＋|PB|2=4，设∠PAB=θ，则|PA|=2cos θ，|PB|=2sin θ，∴|PA|＋|PB|=2·sin，∴(|PA|＋|PB|)max=2.
跟踪训练3
B
考点三　与圆有关的轨迹问题
已知圆x2＋y2=4上一点A(2，0)，圆内一点B(1，1)，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，则点P的坐标为(2x－2，2y).∵点P在圆x2＋y2=4上，∴(2x－2)2＋(2y)2=4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2=1.
(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，则|PN|=|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，∴|OP|2=|ON|2＋|PN|2=|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2=4，故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1=0.
例 4
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同，常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程.
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
(1)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2=1，M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|=2，则点A的轨迹方程为(　 　)
A. y2=4x
B. x2＋y2－2x－2y－3=0
C. x2＋y2－2y－3=0
D. y2=－4x
【解析】 ∵圆C：(x－1)2＋(y－1)2=1，∴圆心C(1，1)，半径r=1，∵M是圆上的动点，∴|MC|=1，又AM与圆相切，且|AM|=2，则|AC|=，设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2=5，即x2＋y2－2x－2y－3=0，∴点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3=0.
跟踪训练4
B
(2)(2026·陕西西安阶段练习)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若=2，且·=1，则点P的轨迹方程为(　 　)
A. 3x2＋y2=1(x＞0，y＞0)
B. 3x2－y2=1(x＞0，y＞0)
C. x2－3y2=1(x＞0，y＞0)
D. x2＋3y2=1(x＞0，y＞0)
【解析】 由题意得，Q(－x，y)，设A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，∵=2，∴(x，y－b)=2(a－x，－y)，解得a=x，b=3y，∵a＞0，b＞0，∴x＞0，y＞0，∴A，B(0，3y)，∵·=1，∴(－x，y)·=1，即x2＋3y2=1(x＞0，y＞0).
D
课时作业
答案速对
第八章 对点练62　圆的方程 题号 1 2 3 4 5
答案 C D D B A
题号 6 7 8 13 14
答案 C ABD AB A ABD
1.已知圆C的一般方程为x2＋y2－6x＋4y＋12=0，则圆C的圆心坐标为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. (3，2) B. (－3，2)
C. (3，－2) D. (－3，－2)
C
2.(2025·海南三亚一模)已知圆C与直线l1：x－y＋1=0和l2：x－y＋5=0都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为(　 　)
A. x2＋(y＋3)2=8
B. x2＋(y＋3)2=2
C. x2＋(y－3)2=8
D. x2＋(y－3)2=2
D
3.若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4=0的内部，则a的取值范围是(　 　)
A. (1，＋∞) B. (0，1)
C. D. (－∞，1)
D
4.已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1=0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2，2)的圆的方程是(　 　)
A. (x－1)2＋(y＋2)2=5
B. (x－1)2＋(y＋2)2=25
C. (x＋1)2＋(y－2)2=5
D. (x＋1)2＋(y－2)2=25
B
5.若m∈R，已知直线l：(m－1)x－y＋2m＋1=0与圆C：x2＋y2=16，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为(　 　)
A. 0 B. 2 C. 6 D. 9
A
6.如图所示，某座圆形拱桥的水面跨度是20 m，拱桥顶离水面4 m.当水面下降1 m后，桥在水面的跨度为(　 　)
A. 2 m B. 20 m C. 4 m D. 12 m
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则B(10，0)，C(0，4)，
设圆形拱桥所在圆的方程为x2＋(y－b)2=r2，则解
得b=－，r2=，∴圆的方程为x2.取y=－1，
得x2=×5=120，∴x=±2，则当水面下降1 m后，桥在水面的跨度为4 m.
C
7.(多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2=4(k∈R)，则下列命题中，正确的有(　 　)
A. 不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B. 所有圆Ck均不经过点(3，0)
C. 经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个
D. 所有圆的面积均为4 π
【解析】 圆心坐标为(k，k)，在直线y=x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2=4，化简得2k2－6k＋5=0，∵Δ=36－40=－4＜0，∴2k2－6k＋5=0无实数根，B正确；由(2－k)2＋(2－k)2=4，化简得k2－4k＋2=0，∵Δ=16－8=8＞0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
ABD
8.(多选)已知圆C关于y轴对称，过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程可能为(　 　)
A. x2
B. x2
C. (x－)2＋y2=
D. (x)2＋y2=
【解析】 由已知得圆C的圆心在y轴上，且被x轴所截得的劣弧所对的圆心角为.设圆心的坐标为(0，a)，半径为r，则rsin =1，rcos =|a|，解得r=，即r2=，|a|=，即a=±，故圆C的方程为x2，或x2.
AB
9.点M与两个定点O(0，0)，P(2，0)的距离的比为3∶1，则点M的轨迹方程为
　.
【解析】 设点M(x，y)，由题知=3，两边平方化简得2x2＋2y2－9x＋9=0，即y2=，∴点M的轨迹方程为y2=.
y2=
10.已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到直线3x－4y－3=0的距离的最小值为
　 　.
【解析】 由题意知，半径为1的圆经过点(3，4)，∴圆心的轨迹是以(3，4)为圆心，半径为1的圆，(3，4)到直线3x－4y－3=0的距离为=2，∴圆心到直线3x－4y－3=0距离的最小值为2－1=1.
1
11.已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，3)，B(3，3)两点.
(1)求圆C的方程；
解：(1)由题意可知，AB的中点为(2，3)，kAB=0，∴AB的中垂线方程为x=2，它与x轴的交点为圆心C(2，0)，又半径r=|AC|=，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2=10.
(2)若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足=3，求点Q的轨迹方程.
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，由=3，得(8－x0，－y0)=3(8－x，－y)，∴又点P在圆C上，故(x0－2)2=10，∴(3x－18)2＋(3y)2=10，化简得点Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2=.
12.已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45=0上任意一点.求：
(1)m＋2n的最大值；
解：(1)易知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45=0的圆心为(2，7)，半径r=2，设m＋2n=t，将m＋2n=t看成直线方程，∵该直线与圆有公共点，∴圆心到直线的距离d=≤2，解得16－2≤t≤16＋2，∴m＋2n的最大值为16＋2.
(2)的最大值和最小值.
(2)记点Q(－2，3)，则表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3=k(x＋2)，即
kx－y＋2k＋3=0.∵直线MQ与圆C有公共点，∴≤2，可得2－≤k≤
2，∴的最大值为2，最小值为2－.
13.古代几何学家帕普斯在其著作中研究了“三线轨迹”问题，即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点的轨迹为圆锥曲线.若平面内有三条给定的直线l1，l2，l3，且l2，l3均与l1垂直.若动点M到l2，l3的距离的乘积与到l1的距离的平方相等，则动点M在直线l2，l3之间的轨迹是(　 　)
A. 圆 B. 椭圆
C. 双曲线 D. 抛物线
【解析】 ∵l2，l3均与l1垂直，∴l2∥l3，记直线l1的方程为y=0，l2的方程为x=0，l3的方程为x=a(a≠0)，M(x，y)，则点M到直线l1，l2，l3的距离分别为|y|，|x|，|a－x|，由已知可得y2=|x|·|a－x|，∵动点M在直线l2，l3之间，∴x与a－x同号，∴y2=x(a－x)，即x2＋y2－ax=0，即y2=，∴动点M在直线l2，l3之间的轨迹是圆.
A
14.(多选)在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足|PA|=|PB|，则(　 　)
A. 点P的轨迹方程为(x－3)2＋y2=8
B. △PAB面积最大时，|PA|=2
C. ∠PAB最大时，|PA|=2
D. 点P到直线AC的距离的最小值为
ABD
【解析】 设P(x，y)，由|PA|=|PB|得，|PA|2=2|PB|2，∴[x－(－1)]2＋(y－0)2=2[(x－1)2＋(y－0)2]，化简得(x－3)2＋y2=8，A正确；由A得，y∈[－2，2]，∴△PAB的面积S=|AB|·|y|∈(0，2]，当△PAB面积最大时，点P坐标为(3，2)或(3，－2)，此时|PA|==2，B正确；记圆(x－3)2＋y2=8的圆心为D，则D(3，0)，当∠PAB最大时，PA为圆D的切线，连接PD，则|PA|2=|AD|2－|PD|2=42－(2)2=8，|PA|=2，C错误；直线AC的方程为7x－y＋7=0，∴圆心D(3，0)到直线AC的距离为，∴点P到直线AC的距离的最小值为－2，D正确.
15.若P(x，y)是圆(x－3)2＋y2=4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则||的最大值为　 　.
【解析】 由题意，知=(－x，2－y)，=(－x，－2－y)，∴=(－2x，－2y)，由于P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2=4，故y2=－(x－3)2＋4，∴||==2.由圆的方程(x－3)2＋y2=4，易知1≤x≤5，∴当x=5时，||的值最大，最大值为2×=10.
10
16.已知A(－2，0)，B(2，0)，动点M满足|MA|=|MB|.
(1)求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；
解：(1)设M(x，y)，由|MA|=|MB|，即|MA|2=2|MB|2，得(x＋2)2＋y2=2[(x－2)2＋y2]，化简可得x2＋y2－12x＋4=0，即为点M的轨迹方程，它表示圆心为(6，0)，半径为4的圆.
(2)设动点M的轨迹为C，对C上任意一点P，在x轴上是否存在一个与O(O为坐标原点)不重合的定点Q，使得为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.
(2)设P(x1，y1)，则－12x1＋4=0，设Q(t，0)(t≠0)，则，要使为定值，则，解得t=0(舍去)，或t=，∴，故存在定点Q，使得为定值.(共17张PPT)
第八章 单元小卷
1.(2025·山东泰安二模)已知直线l与圆(x－2)2＋(y－3)2=1和圆(x＋1)2＋(y＋1)2=36均相切，则l的方程为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. x＋2y－23=0
B. x＋2y＋23=0
C. 3x＋4y－23=0
D. 3x＋4y＋23=0
【解析】 圆(x－2)2＋(y－3)2=1的圆心为M(2，3)，半径为R1=1，圆(x＋1)2＋(y＋1)2=36的圆心为N(－1，－1)，半径为R2=6，∵|MN|==5=R2－R1，∴两个圆内切，因此与两圆均相切的直线l为两个圆的公共弦所在的直线，∴l：(x＋1)2＋(y＋1)2－(x－2)2－(y－3)2=36－1，整理得l：3x＋4y－23=0.
C
2.(2025·宁波三模)已知点M(a，0)，N(2，3)到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则a的取值范围是(　 　)
A. (－2，0) B. (－2，6)
C. (0，6) D. (2，6)
【解析】 以M(a，0)为圆心，2为半径的圆为(x－a)2＋y2=4，以N(2，3)为圆心，3为半径的圆为(x－2)2＋(y－3)2=9，若符合题设的直线恰有2条，即上述两圆相交，而|MN|=，∴1＜|MN|＜5 1＜＜5，可得1＜(2－a)2＋9＜25，
∴－4＜2－a＜4 －2＜a＜6.
B
3.(2025·山东济南三模)已知焦点在x轴上的椭圆C：=1，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x＋4相交，则C的离心率的取值范围是(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 依题意，b＞=2，又椭圆焦点在x轴上，则a=3，b＜3，则2＜b＜3，∴C的离心率e=∈.
B
4.(2025·河北张家口一模)已知抛物线C：x2=y的焦点为F，过点F的直线l交C于P1，P2两点，若l的一个方向向量为(1，tan α)，α∈，则|P1P2|等于(　 　)
A. 1＋cos2α B. 1＋sin2α C. 1＋tan2α D.
【解析】 由题F，∴直线l的方程为y=xtan α，
代入C：x2=y得4x2－4xtan α－1=0，
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2=tan α，x1x2=－，
∴y1＋y2=x1tan α＋x2tan α=tan2α，
∴|P1P2|=|P1F|＋|P2F|=y1＋y2=tan2α＋1.
C
5.(2025·天津一模)已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，C上一点M(－3，4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2.若N(x0，y0)是C上的一个动点，满足·＜0，则y0的取值范围是(　 　)
A. (－5，5) B. (－4，4) C. (－5，4) D. (－4，5)
【解析】 设MF2与渐近线y=x的交点为P，则P为MF2的中点，
且OP⊥MF2，又O为F1F2的中点，∴OP∥MF1，即∠F2MF1=，
∴·=0，要使·＜0，则点N在以O为圆心，
|OF2|=|OM|为半径的圆的内部，根据对称性可知－4＜y0＜4，
即y0的取值范围是(－4，4).
B
6.(2025·山东济宁二模)已知F是椭圆C：=1(a＞b＞0)的右焦点，直线y=x交C于A，B两点，若AF⊥BF，则椭圆C的离心率为(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 如图所示，∵椭圆C：=1(a＞b＞0)关于原点对称，直线y=x过原点，∴A，B关于原点对称，设椭圆的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由椭圆的对称性得|AF1|=
|BF|，|BF1|=|AF|，∴四边形AFBF1为平行四边形，又AF⊥BF，∴平行四边形AFBF1是矩形，∴AF1⊥AF，|OA|=|OF|=c，∴点B在圆x2＋y2=c2上，则解得
A
B，又b2=a2－c2，结合椭圆方程=1可得=1，设e=(0＜e＜1)，则上式可化为=1，化简得9e4－50e2＋25=0，即(9e2－5)·(e2－5)=0，∵0＜e＜1，∴9e2－5=0，解得e=，∴椭圆C的离心率为.
7.(多选)(2025·甘肃庆阳模拟)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点F关于坐标原点O的对称点为E，在第一象限内的点A，B均在C上，且，则下列说法中，正确的有
(　 　)
A. 点E的坐标为(－2，0)
B. |FA|=|FB|
C. 直线AB的斜率为
D. 直线FA，FB关于x轴对称
BD
【解析】 易知F(1，0)，则点E的坐标为(－1，0)，A错误；由，可得点A为线段EB的中点，点E为C的准线与x轴的交点，∴点A到准线的距离是点B到准线距离的，故由抛物线的定义可知|FA|=|FB|，B正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由点A为线段EB的中点，可得y2=2y1，故=4，∴x2=4x1，又|FA|=|FB|，∴x1＋1=(x2＋1)，联立解得x1=，x2=2，又点A，B在第一象限内，∴A，B(2，2)，∴kAB=，C错误；kFA==－2，kFB==2，∴kFA＋kFB=0，D正确.
8.(多选)(2025·云南昆明模拟)如图所示，曲线C是一条“双纽线”，C上的点满足：到点F1(－2，0)与到点F2(2，0)的距离之积为4，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. 点D(2，0)在曲线C上
B. 点M(x，1)(x＞0)在C上，则|MF1|=2
C. 点Q在椭圆=1上，若F1Q⊥F2Q，则Q∈C
D. 过点F2作x轴的垂线交C于A，B两点，则|AB|＜2
【解析】 对于A，|DF1||DF2|=(22)(2－2)=4，由定义知D∈C，A正确；对于B，由点M(x，1)(x＞0)在C上，得|MF1||MF2|==4，化简得x4－6x2＋9=0，解得x=，|MF1|=≠2，B错误；对于C，椭圆=1的焦点坐标恰好为F1(－2，0)与F2(2，0)，则|F1Q|＋|F2Q|=2，由F1Q⊥F2Q，得=16，则|F1Q|·|F2Q|==4，Q∈C，C正确；对于D，设A(2，y)，则|AB|=2|y|，而A∈C，则|AF1|=，又=16＋y2，则=16＋y2，化简得y4＋16y2－16=0，解得y2=4－8，y2－1=4－9＜0，因此|y|＜1，|AB|＜2，D正确.
ACD
9.(2025·湖南常德模拟)蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆=1(a＞b＞0)的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为x2＋y2=a2＋b2.已知椭圆C：=1的焦点在x轴上，A，B为椭圆C上任意两点，动点P在直线x－y－8=0上.若∠APB恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆C的离心率的取
值范围是 　 .
【解析】 由题意可知m＞2，圆x2＋y2=m＋2即为椭圆
C：=1的蒙日圆，∵A，B为椭圆C上任意两点，
动点P满足∠APB恒为锐角，则点P在圆x2＋y2=m＋2外，
又动点P在直线x－y－8=0上，则直线x－y－8=0
与圆x2＋y2=m＋2相离，∴，解
得2＜m＜14，则e2==1－=1－∈，即e∈，∴椭圆C的离心率的取值范围是.
10.(2025·广东湛江一模)已知椭圆A：=1(a1＞b1＞0)与双曲线B：=1(a2＞0，b2＞0)具有相同的焦点F1，F2，P为椭圆A与双曲线B位于第一象限的交点，且|OP|=|F1F2|(O为坐标原点).设椭圆A与双曲线B的离心率分别为e1，e2，则2的最小
值为 　 .
【解析】 ∵|OP|=|F1F2|，∴∠F1PF2=.对于焦点三角形△F1PF2，根据椭圆的性质可得其面积S=·tan，根据双曲线的性质可得S=，∴，∴－c2=c2－，整理可得=2，∴2(2)=(2)·=3≥3＋2，当且仅当时，等号成立，∴2≥，∴2的最小值为.
11.(2025·安徽合肥一模)已知抛物线C：y=ax2的准线方程为y=－，直线y=x＋m与C交于A，B两点.
(1)求C的标准方程；
(1)解：C的标准方程为x2=y，由C的准线方程为－=－，得a=，故C的标准方程为x2=6y.
(2)若m=6，O为坐标原点，证明：OA⊥OB.
(2)证明：将y=x＋6代入x2=6y，得x2－6x－36=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=－36，y1y2=·=36，∴·=x1x2＋y1y2=0，∴⊥，即OA⊥OB.
(3)若F为C的焦点，且△ABF的周长为11＋2，求m的值.
(3)解：联立得y2－(2m＋6)y＋m2=0，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则y3＋y4=2m＋6，y3y4=m2，Δ=24m＋36＞0，∴m＞－，∴|FA|＋|FB|=y3y4=y3＋y4＋3=2m＋9，|AB|=··=2，∴△ABF的周长为2m＋9＋2，∵函数f(x)=2x＋9＋2为增函数，且f(1)=11＋2，∴方程2x＋9＋2=11＋2的解为x=1，∴m=1.
12.(2025·山东泰安二模)已知双曲线Γ：x2－=1(b＞0)，左、右顶点分别为A1，A2，过M(－2，0)的直线交双曲线于P，Q两点.
(1)若b=，P在第一象限，△MA2P是等腰三角形，求P的坐标；
解：(1)当b=时，双曲线Γ：x2－=1，其中M(－2，0)，A2(1，0)，∵△MA2P为等腰三角形，点P在第一象限，∴由双曲线性质可知，MP为三角形的底边，|A2P|=|MA2|=3，∴点P在以A2为圆心、3为半径的圆(x－1)2＋y2=9上，设P(x0，y0)，其中x0＞0，y0＞0，则有解得即P(3，).
(2)连接QO并延长交双曲线于R，若·=1，求b的取值范围.
(2)由题意l的斜率不为0，设直线l：x=my－2，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则R(－x2，－y2)，联立得由已知二次项系数b2m2－1≠0，且Δ＞0，得=(－x2＋1，－y2)，=(x1－1，y1)，则·=(－x2＋1)(x1－1)－y1y2=(－my2＋2＋1)(my1－2－1)－y1y2=－(my2－3)(my1－3)－y1y2=1，即y1y2(m2＋1)－(y1＋y2)3m＋10=0.代入得(m2＋1)－3m10=0，即3b2(m2＋1)－3m·4b2m＋10(b2m2－1)=0，化简得b2m2＋3b2－10=0，即b2(m2＋3)=10，∴b2=∈，∵m2=－3，代入b2m2－1≠0，得10－3b2≠1，∴b2≠3，∴b2∈(0，3)∪.综上，b∈(0，)∪.(共22张PPT)
拓展视野 阿波罗尼斯圆、蒙日圆
能力训练
知识拓展
课时作业
内
容
索
引
1.阿波罗尼斯圆
若A，B为两个定点，动点P满足|PA|=λ|PB|，则λ=1时，动点P的轨迹为直线；当λ＞0，且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，称此圆为阿波罗尼斯圆.
提醒：阿波罗尼斯圆问题受到高考命题者的青睐，此类题目题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来求解.
(1)已知点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为，求点M的轨迹.
解：(1)如图所示，
设动点M(x，y)，连接MO，MA，有|MA|=2|MO|，即=2，即(x＋1)2＋y2=4，则方程即为所求点M的轨迹方程，它表示以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆.
例 1
(2)已知点C到点A(－1，0)，B(1，0)的距离之比为，求点C到直线x－2y＋8=0的距离的最小值.
解：(2)设C(x，y)，则，即，化简得(x－2)2＋y2=3，∴点C的轨迹是以(2，0)为圆心，r=的圆，则圆心到直线x－2y＋8=0的距离d==2，∴点C到直线x－2y＋8=0的距离的最小值为2.
(1)在平面直角坐标系中，A(－2，0)，B(2，0)，求满足|PA|=2|PB|的点P的轨迹.
解：(1)设P(x，y)，由|PA|=2|PB|，得=2，整理得＋y2=，∴点P的轨迹方程为＋y2=，它表示以为圆心，半径为的圆.
(2)已知平面内两个定点A，B间的距离为2，动点P满足，求△PAB面积的最大值.
(2)设以经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，以线
段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立如图所示的
平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0).
设P(x，y)，∵，
∴，两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1=0，即点P的轨迹为(x－3)2＋y2=8.要使△PAB的面积最大，只需点P到AB(x轴)的距离最大，此时面积为×2×2=2.
跟踪训练1
2.蒙日圆
在椭圆=1(a＞b＞0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴长与短半轴长平方和的算术平方根，这个圆叫做蒙日圆.
设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点.
性质1：PA⊥PB.
性质2：kOP·kAB=－.
性质3：kOA·kPA=－，kOB·kPB=－(垂径定理的推广).
性质4：PO平分椭圆的切点弦AB.
性质5：延长PA，PB交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB.
性质6：S△AOB的最大值为，S△AOB的最小值为.
性质7：S△APB的最大值为，S△APB的最小值为.
法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ：=1(a＞b＞0)的蒙日圆为C：x2＋y2=a2，则椭圆Γ的离心率为(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 如图所示，AC，BC分别与椭圆相切，显然AC⊥BC，∴点C(a，b)在蒙日圆x2＋y2=a2上，∴a2＋b2=a2，∴a2=3b2，即，∴椭圆Γ的离心率e=.
例 2
D
已知A是圆x2＋y2=4上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2，它们与椭圆＋y2=1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.
(1)若A(－2，0)，求直线l1，l2的方程.
(1)解：设直线的方程为y=k(x＋2)，代入椭圆方程＋y2=1，消去y，可得(1＋3k2)x2＋12k2x＋12k2－3=0，由Δ=0，可得k2－1=0，∴k1=－1，k2=1，∴直线l1，l2的方程分别为y=－x－2，y=x＋2.
(2)证明：对于圆上的任意一点A，都有l1⊥l2成立.
(2)证明：当直线l1，l2的斜率有一条不存在时，不妨设l1的斜率不存在，∵l1与椭圆只有一个公共点，∴其方程为x=±，当l1的方程为x=时，此时l1与圆的交点坐标为，∴l2的方程为y=1(或y=－1)，l1⊥l2成立，同理可证，当l1的方程为x=－时，结论成立；当直线l1，l2的斜率都存在时，设点A(m，n)，则m2＋n2=4，设直线方程为y=k(x－m)＋n，代入椭圆方程，可得(1＋3k2)x2＋6k(n－km)x＋3(n－km)2－3=0，由Δ=0化简整理得(3－m2)·k2＋2mnk＋1－n2=0，∵m2＋n2=4，∴(3－m2)k2＋2mnk＋m2－3=0，设l1，l2的斜率分别为k1，k2，∴k1k2=－1，∴l1⊥l2成立.综上，对于圆上的任意一点A，都有l1⊥l2成立.
跟踪训练2
(3)求△AMN面积的取值范围.
(3)解：记原点到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，∵MA⊥NA，∴MN是圆的直径，∴|MA|=2d2，|NA|=2d1，=|OA|2=4，△AMN面积为S=|MA|×|NA|=2d1d2，S2=4=4(4－)=－4(－2)2＋16，
又∈[1，3]，∴S2∈[12，16]，∴S∈[2，4].
课时作业
答案速对
第八章 对点练72　阿波罗尼斯圆、蒙日圆 题号 1 2 3
答案 A A ABD
1.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数λ(λ＞0，且λ≠1)，那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P到A(2，0)，B(－2，0)的距离比为，则点P到直线l：2x－y－=0的距离的最大值为(　 　)
A. 32 B. 2＋2 C. 4 D. 6
【解析】 由题意，设点P(x，y)，则，∴=3，化简得点P的轨迹方程为(x＋4)2＋y2=12，∴点P的轨迹是以(－4，0)为圆心，半径r=2的圆.圆心(－4，0)到直线l：2x－y－=0的距离d==3，∴点P到直线l的距离的最大值为d＋r=32.
A
2.(2025·福建泉州模拟)加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆(或双曲线)上两条相互垂直的切线的交点P的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆.如图所示，双曲线C：－y2=1的蒙日圆的面积为(　 　)
A. 3π B. 4π C. 5π D. 6π
A
【解析】 不妨设P(x0，y0)，过点P的双曲线切线方程为y－y0=k(x－x0)，易知k存在且不为零，联立消去y得(1－4k2)x2－8k(y0－kx0)·x－4[(y0－kx0)2＋1]=0，∴Δ=16(1－4k2)[(y0－kx0)2＋1]=0，整理得(－4)k2－2x0y0k1=0，可知kAP，kBP为关于k的方程(－4)·k2－2x0y0k1=0的两个根，且kAPkBP=－1，即=－1，整理得=3，即点P的轨迹方程为x2＋y2=3，即双曲线C：－y2=1的蒙日圆方程为x2＋y2=3，半径为，面积为πr2=3π.
3.(多选)在平面直角坐标系中，A(－1，0)，B(2，0)，动点C满足，直线l：mx－y＋m＋1=0，则(　 　)
A. 动点C的轨迹方程为(x＋2)2＋y2=4
B. 直线l与动点C的轨迹一定相交
C. 动点C到直线l距离的最大值为1
D. 若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且|PQ|=2，则m=－1
ABD
【解析】 对于A，设C(x，y).∵，
∴，∴x2＋y2＋4x=0，即(x＋2)2＋y2=4，动点C的轨迹为以N(－2，0)为圆心，2为半径的圆，A正确；对于B，∵直线l过定点M(－1，1)，而点M(－1，1)在圆N内，∴直线l与圆N相交，B正确；对于C，当直线l与NM垂直时，动点C到直线l的距离最大，且最大值为r＋|NM|=2，C错误；对于D，记圆心N到直线l的距离为d，则d=.∵|PQ|2=4(r2－d2)=8，且r=2，∴d=.由=2，得m=－1，D正确.
4.已知椭圆C：=1，点P在直线l：x－y＋3=0上，若过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，且PA⊥PB，则满足条件的点P有　 　个.
【解析】 要使PA⊥PB，则点P应在椭圆C的蒙日圆x2＋y2=6上，该圆的圆心到直线l的距离d=，∴直线l与蒙日圆相交，从而满足条件的点P有2个.
2
5.已知椭圆C：y2=1，若直线l：mx－y－4m＋2=0(m∈R)
上存在点P，过点P作椭圆C的两条切线，这两条切线互相垂
直，则m的取值范围是 　.
【解析】 要使过点P作的椭圆C的两条切线互相垂直，则点
P在椭圆C的蒙日圆x2＋y2=4上，∴问题等价于直线l与圆
x2＋y2=4有公共点，从而圆心O到直线l的距离d=≤2，
解得0≤m≤，∴m的取值范围是.
6.在△ABC中，边BC的中点为D，若AB=2，BC=AD，则△ABC的面积的最大值为　
　 .
【解析】 以AB的中点为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，0)，B(1，0)，由BD=CD，BC=AD，知AD=BD，点D的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为(x－3)2＋y2=8，设C(x，y)，得D，∴点C的轨迹方程为=8，即(x－5)2＋y2=32，∴S△ABC=×2|y|=|y|≤=4，故S△ABC的最大值为4.
4
7.设A，B两点在椭圆C：y2=1(a＞1)上，动点P在直线l：3x＋4y－10=0上，若∠APB
＜90°恒成立，则椭圆C的离心率的取值范围是 　.
【解析】 要使∠APB＜90°恒成立，只需点P始终在椭圆C的蒙日圆O：x2＋y2=a2＋1外，∴直线l与圆O相离，从而d=，结合a＞1可得1＜a＜，故椭圆C的离心率e=∈.
8.在x轴的正半轴上是否存在两个定点A，B，使得圆x2＋y2=4上任意一点到A，B两点的距离之比为常数？如果存在，求出点A，B的坐标；如果不存在，请说明理由.
解：存在.理由如下：假设在x轴正半轴上存在两个定点A，B，使得圆x2＋y2=4上任意一点到A，B两点的距离之比为常数，设P(x，y)为圆上任意一点，A(x1，0)，B(x2，0)，其中x2＞x1＞0.
即对满足x2＋y2=4的任何实数对(x，y)恒成立，整理得2x(4x1－x2)－4=3(x2＋y2)，将x2＋y2=4代入得，2x(4x1－x2)－4=12，这个式子对任意x∈[－2，2]恒成立，∴一定有∵x2＞x1＞0，∴解得x1=1，x2=4，
∴在x轴正半轴上存在两个定点A(1，0)，B(4，0)，使得圆x2＋y2=4上任意一点到A，B两点的距离之比为常数.
9.已知椭圆C：=1(a＞b＞0)的一个焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
解：(1)由题意，a2－b2=5，且，解得a=3，b=2，故椭圆C的方程为=1.
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
(2)若两条切线分别与x轴、y轴垂直，这样的点P有四个，
分别为(3，2)，(3，－2)，(－3，2)，(－3，－2)；若切线都不与坐标
轴垂直，设切线方程为y－y0=k(x－x0)，代入椭圆方程整理得(4＋9k2)
x2＋18k(y0－kx0)·x＋9(y0－kx0)2－36=0，判别式Δ=
－4(4＋9k2)[9(y0－kx0)2－36]=0，化简得(36－4)k2＋8x0y0k＋16－
4=0，∴过点P的两条切线的斜率为上述关于k的一元二次方程的两
个根k1，k2，∵两条切线垂直，∴k1k2==－1，整理得=13，显然点(3，2)，(3，－2)，(－3，2)，(－3，－2)也满足上述方程，∴点P的轨迹方程为x2＋y2=13.(共18张PPT)
拓展视野 非对称韦达定理
能力训练
知识拓展
课时作业
内
容
索
引
在一元二次方程ax2＋bx＋c=0中，若Δ＞0，设它的两个根分别为x1，x2，则有根与系数关系：x1＋x2=－，x1x2=，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理|x1－x2|，之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x1，x2的不同系数的代数式的运算，比如求或λx1＋μx2之类的结构，就相对较难转化到应用韦达定理来处理.我们把这种形如x1＋2x2，λx1y2＋μx2y1，或之类结构中x1，x2的系数不对称的式子，称为“非对称韦达定理”问题.一般的解决方法有：
(1)代换法：利用韦达定理消去x或y中的一个，一般而言，用直线方程中的x和y进行代换消元，如果选择代换消去y，则正设直线y=kx＋b；选择代换消去x，则反设直线x=my＋t.
(2)和积转化法：运用 n·g(t)=m·f(t)进行转化，一般情况下，多把积化和，且m多为常数.
(3)配凑半代换法：对能代换的部分进行韦达代换，剩下的部分进行配凑，而半代换也有一定技巧，比如题中的，可将分子整理为，利用等比关系，从结构上可以猜测定值为.
已知椭圆C：=1(a＞b＞0)过点(2，)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(1)解：由题意，解得故椭圆C的方程为=1.
例 1
(2)设椭圆C的上、下顶点分别为A，B，过点P(0，4)，
斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点.证明：直线BM
与AN的交点G在定直线上.
(2)证明：由题意，直线MN的方程为y=kx＋4，A(0，2)，
B(0，－2)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立
消去y整理得(1＋2k2)x2＋16kx＋24=0，判别式Δ=(16k)2－4·(1＋2k2)×24＞0，∴k＜－，或k＞，由韦达定理，直线BM的方程为y＋2=x，
直线AN的方程为y－2=x，联立消去x可得，，从而③，
接下来给出以下两种计算非对称结构的方法，　
方法一(和积转化法)　由①②知kx1x2=－(x1＋x2)，代入式③得，
=－3，从而=－3，解得yG=1，∴点G在定直线y=1上.
方法二(代换法)　由①知x1=－－x2，代入式③得，=－3，从而=－3，解得yG=1，∴点G在定直线y=1上.
已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)，点M在E上，MF1⊥F1F2，△MF1F2的周长为6＋4，面积为c.
(1)求E的方程；
解：(1)依题意，设椭圆标准方程为
=1(a＞b＞0)，得
即解得∴E的方程为＋y2=1.
跟踪训练1
(2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，则　　　　　　.(从以下①②两个问题中任选一个填到横线上并给出解答)
①求直线AC和BD交点的轨迹.
②是否存在实数λ，使得k1=λk2恒成立？
(2)设直线l的方程为x=ty＋.
选择①：联立方程化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27=0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得得ty1y2=(y1＋y2)，
直线AC的方程为y=(x＋3)，直线BD的方程为y=(x－3)，联立两个直线方程，得·=3，即=3，解得x=6，∴直线AC和BD交点的轨迹方程是直线x=6.
选择②：联立方程化简整理，得4(t2＋9)y2＋12ty－27=0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得得ty1y2=(y1＋y2)，∴λ=·，故存在实数λ=，使得k1=λk2恒成立.
如图所示，椭圆有两个顶点A(－1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直
线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q.
(1)当|CD|=时，求直线l的方程.
(1)解：由题意，椭圆的短半轴长b=1，半焦距c=1，故长半轴长a=，
∴椭圆的方程为＋x2=1，当|CD|=时，易得直线l不与x轴垂直，
故可设l的方程为y=kx＋1(k≠±1)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
联立消去y，整理得(k2＋2)x2＋2kx－1=0，
判别式Δ=8(k2＋1)＞0，由韦达定理，得故|CD|=·|x1－x2|=·，解得k=±，∴直线l的方程为y=±x＋1.
跟踪训练2
(2)当点P异于A，B两点时，证明：·为定值.
(2)证明：直线AC的斜率为kAC=，其方程为y=·(x＋1)，直线BD的斜率为kBD=，其方程为y=·(x－1)，两条直线方程相除，整理得，即，由x1＋x2=－，知x1=－－x2，又x1x2=－，故==，解得xQ=－k，易知P，故·=xPxQ=－·(－k)=1，即·为定值1.
课时作业
1.已知A，B是椭圆E：=1的左、右顶点，若直线l：y=k(x－1)与椭圆E交于M，N两点，证明：直线AM与直线BN的交点在一条定直线上.
证明：由题意得，A(－2，0)，B(2，0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12=0，∴x1＋x2=，x1x2=，直线AM的方程为y=(x＋2)，直线BN的方程为y=(x－2)，联立即解得x====4，故直线AM与直线BN交点在定直线x=4上.
2.椭圆C：=1(a＞b＞0)的一个焦点为F(1，0)，且过点Q.
(1)求椭圆C的标准方程和离心率；
解：(1)方法一　由题意可得则椭圆C的标准方程为=1，离心率为e=.
方法二　设椭圆的左焦点为F'(－1，0)，则由椭圆的定义知2a=|QF'|＋|QF|==4，∴a=2，又c=1，得b2=a2－c2=3，则椭圆C的标准方程为=1，离心率为e=.
(2)若过点，且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线x=6上，且NP与x轴平行，求直线MP恒过的定点.
(2)∵直线MN过点且斜率不为0，∴设直线MN方程为x=my，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则P(6，y2)，联立消去x得，(3m2＋4)y2＋4my－=0，
∴∴my1y2=(y1＋y2)，直线MP的方程为y－y2=(x－6)，由对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上，∴令y=0，得x－6=，且x1=my1，∴x－6==－，可得x=，直线MP恒过的定点是.
3.已知F为椭圆=1的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过点F作直线l交椭圆于不与A，B重合的M，N两点.
(1)当l的斜率为1时，求四边形AMBN的面积S.
(1)解：由题意，A(－2，0)，B(2，0)，F(1，0)，当l的斜率为1时，其方程为y=x－1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去x，整理得7y2＋6y－9=0，判别式Δ=62－4×7×(－9)=288＞0，∴y1＋y2=－，y1·y2=－，则|y1－y2|=，∴四边形AMBN的面积S=|AB|·|y1－y2|=×4×.
(2)设直线AM，BN的斜率分别为k1和k2，证明：为定值.
(2)证明：显然直线l不与y轴垂直，故可设其方程为x=my＋1，联立消去x，整理得(3m2＋4)y2＋6my－9=0，易得判别式Δ＞0，由韦达定理y1＋y2=－①，y1y2=－②，③，
接下来给出两种方法求非对称结构的值：
方法一　由①②知my1y2=(y1＋y2)，代入式③得，即为定值.
方法二　由①知y1=－－y2，代入式③得，即为定值.
4.已知椭圆E：=1(a＞b＞0)，F(2，0)为椭圆E的右焦点，三点中恰有两点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的标准方程.
解：(1)∵F(2，0)为椭圆E的右焦点，∴a2－b2=8①，由对称性得，点
在椭圆E上，代入得=1②，联立①②解得，a2=9，b2=1，∴椭圆E的标准方程为y2=1.
(2)设A，B为椭圆E的左、右端点，过点M(2，0)作直线交椭圆E于P，Q两点(不同于A，B)，证明：直线AP与直线BQ的交点N在定直线上运动，并求出该直线的方程.
(2)证明：由条件知直线PQ与直线AB不重合，故直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为x=my＋2，联立可得(m2＋9)y2＋4my－5=0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，则y1＋y2=，y1y2=，m=，由(1)可得A(－3，0)，B(3，0)，由A，P，N共线得③，由B，Q，N共线得④，由③÷④消去y0并整理，得=5，即=5，∴x0=.综上，直线AP与直线BQ的交点N在定直线x=上运动.

展开更多......

收起↑