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(共39张PPT)
第2节　函数的单调性与最大(小)值
课标解读　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 函数单调性的判断与证明
考点二 求函数的单调区间
考点三 利用函数单调性求参数的取值范围
1.[教材改编]函数f(x)=(x－2)2＋5(x∈[－3，3])的单调递增区间是　 　，单调递减区间是
　 　.
2.[教材改编]函数f(x)=(x∈[2，5])的最大值为　 　，最小值为 　.
【解析】 函数f(x)=在[2，5]上单调递减，
∴f(x)的最大值为f(2)=2，最小值为f(5)=.
3.[教材改编]设函数y=f(x)满足：对任意的x1，x2∈R都有＞0，比较大小：f(－3)______　　f(－π).
【解析】 ∵对任意的x1，x2∈R都有＞0，∴函数f(x)在R上单调递增，又－3＞－π，∴f(－3)＞f(－π).
(2，3]
[－3，2]
2
＞
5. (忽略单调区间与定义域的关系)函数f(x)=lg(9－x2)的定义域为　 　，其单调递增区间为　 　.
【解析】 对于函数f(x)=lg(9－x2)，令t=9－x2＞0，解得－3＜x＜3，可得函数的定义域为(－3，3)；令g(x)=9－x2，则函数f(x)=lg(g(x))，又函数g(x)在定义域内的单调递增区间为(－3，0]，∴函数f(x)=lg(9－x2)在定义域内的单调递增区间为(－3，0].
易错题
4. (忽略两个区间不能用“或”连接)设定义在[－1，7]上的函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的增区间为　 　.
易错题
[－1，1]，[5，7]
(－3，3)
(－3，0]
6. (忽视x2的范围导致值域变大)函数y=的值域为　 　.
【解析】 由y==1＋，令t=x2＋1，则t≥1，∴∈[－2，0)，
∴y=1＋∈[－1，1)，∴所求函数的值域为[－1，1).
易错题
[－1，1)
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
图示 自左向右看图象 是上升的

自左向右看图象
是下降的
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I 当x1＜x2时，都有　 　，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有　 　，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间I上　 　或　 　，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，　 　叫做y=f(x)的单调区间.
单调递增
单调递减
区间I
2.函数的最值
前提 设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： 条件 (1) x∈D，都有　 　； (2) x0∈D，使得　 　 (1) x∈D，都有　 　；
(2) x0∈D，使得　 　
结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值
f(x)≤M
f(x)≥M
f(x0)=M
f(x0)=M
[优化拓展]
1.有关单调性的常用结论：
(1)在公共定义域内，增函数＋增函数=增函数；减函数＋减函数=减函数；增函数－减函数=增函数；减函数－增函数=减函数.
(2)函数y=f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y=－f(x)，y=的单调性相反.
(3)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
2.解题时谨防以下易错点：
(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示.
(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域.
(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N M.
考点一　函数单调性的判断与证明
试讨论函数f(x)=(a≠0)在(－1，1)上的单调性.
解：方法一(定义法)　设－1＜x1＜x2＜1，又f(x)=a=a，∴f(x1)－f(x2)=a－a，∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，∵当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增.
方法二(导数法)　f'(x)==－.
当a＞0时，f'(x)＜0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a＜0时，f'(x)＞0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增.
例 1
判断函数单调性的常用方法：
(1)定义法，其步骤一般为：取值→作差→变形(因式分解、配方、有理化、通分等)→定号→下结论.
(2)在公共定义域内，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.
(3)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
(4)函数y=f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y=－f(x)，y=的单调性相反.
(5)导数法.
已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)对任意x，y∈(0，＋∞)，都满足f(x)＋f(y)=f(xy)＋3，且当x∈(0，1)时，f(x)＜3.根据定义，求f(x)在(0，＋∞)上的单调性.
解：任取0＜x1＜x2，则0＜＜1，∴f＜3，∴f(x1)－f(x2)=f－f(x2)=f(x2)＋f－3－f(x2)=f－3＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
跟踪训练1
考点二　求函数的单调区间
例2　(1)函数g(x)=x·|x－1|＋1的单调递减区间为(　 　)
A. 　　　　B.
C. [1，＋∞) 　　　　D. ∪[1，＋∞)
【解析】 g(x)=x·|x－1|＋1=画出函数图象，
如图所示：
根据图象知，函数的单调递减区间为.
例 2
B
(2)已知函数f(x)=，则f(x)的单调递增区间为(　 　)
A. 　　　　B.
C. 　　　　D.
【解析】 函数f(x)=的定义域为R，令u=x2－3x＋1，y=3u，又y=3u在R上单调递增，u=x2－3x＋1的单调递增区间为，∴f(x)的单调递增区间为.
A
1.求函数单调区间的方法：
(1)定义法.(2)图象法.(3)导数法.
2.求复合函数单调区间的一般步骤：
(1)求函数的定义域；
(2)求简单函数的单调区间；
(3)求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”.
(1)函数f(x)=xln x＋1的单调递减区间为(　 　)
A. 　　　　B. (0，e)
C. 　　　　D. (e，＋∞)
【解析】 由题得f'(x)=1＋ln x，令f'(x)=0，解得x=，当0＜x＜时，f'(x)＜0；当x＞时，f'(x)＞0，∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，∴f(x)的单调递减区间为.
跟踪训练2
A
(2)(2025·北京朝阳模拟)函数f(x)=|x2－3x＋2|的单调递增区间为 　.
【解析】 y=|x2－3x＋2|=如图所示.
由图可知，函数的单调递增区间为和[2，＋∞).
和[2，＋∞)
考点三　利用函数单调性求参数的取值范围
(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　 　)
A. (－∞，－2] B. [－2，0) C. (0，2] D. [2，＋∞)
【解析】 由题意得，y=x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，∴≥1，解得a≥2.
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是(　 　)
A. (－∞，0] B. [－1，0] C. [－1，1] D. [0，＋∞)
【解析】 ∵f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=ex＋ln(x＋1)单调递增，则需满足
解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1，0].
例 3
D
B
1.利用单调性求参数的策略：依据函数单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
2.利用单调性求参数的注意点：若分段函数是单调函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
(1)(2025·山西太原二模)若函数f(x)=在(0，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　 　)
A. (0，2] B. (0，4]
C. [2，＋∞) D. [4，＋∞)
【解析】 当a=0时，f(x)=为增函数，不符合题意；当a＜0时，y=，y=均为(0，2]上的增函数，故f(x)=为增函数，不符合题意；当a＞0时，f(x)=在(a，＋∞)上单调递增，在(0， a)上单调递减，又f(x)=在(0，2]上单调递减，则a≥2.
跟踪训练3
C
(2)(2025·广东茂名一模)已知函数f(x)=在区间(a，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　 　)
A. (－∞，1] B. (－∞，3]
C. [3，＋∞) D. [5，＋∞)
【解析】 由x2－6x＋5≥0，可得x≤1，或x≥5，即函数f(x)的定义域为(－∞，1]∪[5，＋∞)，又t=x2－6x＋5在[5，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，y=在[0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知f(x)=在区间[5，＋∞)上单调递增，∴a≥5.
D
课时作业
答案速对
第二章 对点练10　函数的单调性与最大(小)值 题号 1 2 3 4 5
答案 C C A D A
题号 6 7 8 9 14
答案 C D AB CD B
1.已知函数f(x)=ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)=a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. (－2，＋∞)
B. (2，＋∞)
C. (－∞，2)
D. (－∞，－2)
C
2.已知f(x)=2x＋x，则“f(x1)=f(x2)”是“x1=x2”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
C
3.(2025·北京海淀三模)下列函数中，在(－∞，0)上单调递增的函数是(　 　)
A. f(x)=
B. f(x)=ex＋e－x
C. f(x)=
D. f(x)=sin |x|
A
4.已知函数f(x)=(t＞0)是区间(0，＋∞)上的增函数，则实数t的取值范围是
(　 　)
A. {1}
B. (0，＋∞)
C. (1，＋∞)
D. [1，＋∞)
D
5.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2，且x1≠x2，都有＞－1，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. y=f(x)＋x是增函数
B. y=f(x)＋x是减函数
C. y=f(x)是增函数
D. y=f(x)是减函数
A
6.(2025·河北保定二模)若函数f(x)=|2x－m|在[1，2]上单调，则m的取值范围是(　 　)
A. (0，2]
B. [4，＋∞)
C. (－∞，2]∪[4，＋∞)
D. (0，2]∪[4，＋∞)
【解析】 当x∈[1，2]时，根据指数函数y=2x在R上单调递增，可知2x∈[2，4].当m∈(－∞，2]时，2x－m≥0，∴f(x)=|2x－m|=2x－m，f(x)在[1，2]上单调递增；当m∈(2，4)时，f(x)=|2x－m|=f(x)在[1，2]上不单调；当m∈[4，＋∞)时，2x－m≤0，∴f(x)=|2x－m|=m－2x，f(x)在[1，2]上单调递减.综上，m∈(－∞，2]∪[4，＋∞).
C
7.已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对任意正数a，b都有f(ab)=f(a)·f(b)≠0，且当x＞1时，f(x)＜1，则下列结论中，正确的是(　 　)
A. f(x)是增函数，且f(x)＜0
B. f(x)是增函数，且f(x)＞0
C. f(x)是减函数，且f(x)＜0
D. f(x)是减函数，且f(x)＞0
【解析】 当x＞0时，f(x)=f(·)=[f()]2＞0.设x1＞x2＞0，则＞1，由已知得f＜1，∴f(x1)－f(x2)=f－f(x2)=f·f(x2)－f(x2)=f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)是减函数.
D
8.(多选)(2025·湖南长沙模拟)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中，正确的有(　 　)
A. ＞0
B. (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C. f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b)
D. ＜0
【解析】 由函数单调性的定义，可知若函数f(x)在给定的区间上单调递增，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，A，B正确，D错误；对于C，∵x1，x2的大小关系无法判断，∴f(x1)，f(x2)的大小关系也无法判断，C错误.
AB
9.(多选)已知函数f(x)=在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a，b的取值可以是(　 　)
A. a=－1，b=2 B. a=2，b=1
C. a=1，b＞ D. 0＜a≤1，b=2
【解析】 当a≠0时，f(x)=，其定义域为，若函数f(x)=在区间(－2，＋∞)上单调递增，必有－≤－2，3－＜0，即0＜a≤1，且＞3，据此分析C，D符合.
CD
10.设函数f(x)=g(x)=x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是　 　.
【解析】 由题意知g(x)=函数图象如图中的实线部分所示，根据图象可知，函数g(x)的单调递减区间是[0，1).
[0，1)
11.在实数R中定义一种运算“*”，使其具有下列性质：
①对任意a，b∈R，a*b=b*a；②对任意a∈R，a*0=a；③对任意a，b，c∈R，(a*b)*c=c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－2c.
则函数f(x)=x*的单调递减区间是 　.
【解析】 在③中，令c=0，得(a*b)*0=a*b=0*(ab)＋(a*0)＋(b*0)－2×0=ab＋a＋b，则f(x)=x*，易知函数f(x)的单调递减区间为.
12.已知函数f(x)=x|x－4|.
(1)把f(x)写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；
解：(1)f(x)=x|x－4|=函数图象如图所示.
(2)写出函数f(x)的单调递减区间.
(2)由(1)中函数的图象，可知函数f(x)的单调递减区间为(2，4).
13.已知函数f(x)=ax－(a，b∈R)，图象经过点，且f(1)=.
(1)求a，b的值.
解：由题意得解得
(2)用定义法证明：函数y=f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增.
(2)证明：由(1)可知f(x)=x－，设 x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)=x1－－x2=x1－x2=x1－x2=(x1－x2).　
∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，又x1，x2∈(－1，＋∞)，∴1＞0，∴(x1－x2)＜0，
即f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴函数y=f(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增.
14.若函数y=f(x)和y=f(－x)在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y=f(x)的“稳定区间”.已知区间[1，2 026]为函数y=的“稳定区间”，则实数a的值可能为(　 　)
A. － B. － C. D.
【解析】 令f(x)=，则f(－x)==|2x＋a|，由题意得f(x)=与f(－x)=|2x＋a|在区间[1，2 026]上的单调性相同，若两个函数都单调递增，则a≤0，2x＋a≥0在区间[1，2 026]上恒成立，即a≤－，a≥－2，∴－2≤a≤－；若两个函数都单调递减，则a≥0，2x＋a≤0，在区间[1，2 026]上恒成立，即a≥－，a≤－22 026，无解.综上，实数a的取值范围是，B正确.
B
15.已知命题p：若f(x)＜f(4)对任意的x∈(0，4)都成立，则f(x)在(0，4)上单调递增.能说明命题p为假命题的一个函数可以是　 　.
【解析】 由题意，令f(x)=(x－1)2，满足f(x)＜f(4)对任意的x∈(0，4)都成立，但函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，4)上单调递增，∴函数f(x)=(x－1)2可以说明命题p为假命题.
f(x)=(x－1)2(答案不唯一，满足题意即可)
16.定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足下列三个条件：
①对任意正数a，b，都有f(a)＋f(b)=f(ab)；
②当x＞1时，f(x)＜0；
③f(2)=－1.
(1)求f(1)和f的值.
解：在条件①中令a=b=1得f(1)=f(1)＋f(1)，则f(1)=0，又f(4)=f(2)＋f(2)=－1－1=－2，且f(4)＋f=f(1)=0，则f=2.
(2)试用单调性定义证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
(2)证明：取定义域中的任意的x1，x2，且0＜x1＜x2，则＞1，∵当x＞1时，f(x)＜0，∴f＜0，∴f(x2)－f(x1)=f－f(x1)=f(x1)＋f－f(x1)=f＜0，即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
(3)求满足f(4x3－12x2)＋2＞f(18x)的x的取值集合.
(3)解：∵f(4x3－12x2)＋2＞f(18x)，由条件①及(1)(2)的结果，得f(4x3－12x2)＋f＞f(18x)，∴f(x3－3x2)＞f(18x)，∴解得3＜x＜6，故x的取值集合为{x|3＜x＜6}.(共44张PPT)
第11节　函数的零点与方程的解
课标解读　1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 函数零点所在区间的判定
考点二 函数零点个数的判断
考点三 函数零点的应用
微点突破
1.[教材改编] 函数f(x)=ln x＋2x－6的零点个数是　 　.
【解析】 由题知，函数f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＜0，f(3)＞0，故函数f(x)存在唯一的零点.
2.[教材改编]已知函数f(x)=则函数f(x)的零点是　 　.
【解析】 当x≤1时，令f(x)=2x－1=0，解得x=0；当x＞1时，令f(x)=1＋log2x=0，解得x=(舍去).
1
0
3.[教材改编]若函数f(x)=x·2x－kx－2在区间(1，2)内有零点，则实数k的取值范围是
　 　.
【解析】 令f(x)=0，则x·2x－kx－2=0，由x∈(1，2)，可得k=2x－，令φ(x)=2x－，x∈(1，2)，则由题知直线y=k与φ(x)=2x－，x∈(1，2)的图象有交点.∵φ(x)=2x－在(1，2)上单调递增，且φ(1)=0，φ(2)=3，∴0＜k＜3.
4.[教材改编]利用二分法求方程2x－x－4=0的一个近似解时，已经将一解锁定在区间(2，
3)内，则下一步可断定该解所在的区间为 　.
【解析】 令f(x)=2x－x－4，则f(2)=4－2－4=－2＜0，f(3)=8－3－4=1＞0，f－4＜0，由f(3)·f＜0知该解所在的区间为.
(0，3)
5. (忽略二次项系数为零的情况)函数f(x)=ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为　(　 　)
A. － B. 0
C. D. 0或－
【解析】 当a=0时，f(x)=－x－1，令f(x)=0得x=－1，此时f(x)只有一个零点－1；当a≠0时，则Δ=1＋4a=0，解得a=－.综上a=0，或a=－.
易错题
D
6. (忽略函数零点存在定理的条件)设f(x)=lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3=0在(2，3)内近似解的过程中得到f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根所在区间为(　 　)
A. (2，2.25)
B. (2.25，2.5)
C. (2.5，2.75)
D. (2.75，3)
【解析】 ∵f(2.5)＜0，f(2.75)＞0，∴由函数零点存在定理知，方程的根所在区间为(2.5，2.75).
易错题
C
1.函数的零点
(1)概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使　 　的实数x叫做函数y=f(x)的零点.　
(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
解：x轴　f(x)=0
f(x)=0
2.函数零点存在定理
(1)条件：①函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②　 　.
(2)结论：函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得　 　，这个c也就是方程f(x)=0的解.
[优化拓展]
1.若连续不断的函数f(x)在定义域上具有单调性，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)=0的实根.
2.连续不断的函数图象，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
3.连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.
4.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示，所以f(a)f(b)＜0是y=f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
f(a)f(b)＜0
f(c)=0
考点一　函数零点所在区间的判定
(2025·天津卷)函数f(x)=0.3x－的零点所在区间是(　 　)
A. (0，0.3) B. (0.3，0.5)
C. (0.5，1) D. (1，2)
【解析】 由指数函数、幂函数的单调性可知，y=0.3x在R上单调递减，y=在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)=0.3x－在定义域上单调递减，显然f(0)=1＞0，f(0.3)=0.30.3－0.30.5＞0，f(0.5)=0.30.5－0.50.5＜0，
∴根据零点存在性定理可知f(x)的零点位于(0.3，0.5).
例 1
B
确定函数零点所在区间的常用方法：
利用函数零点存在定理 首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)＜0.若有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点
数形结合法 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
(1)(2025·湖北十堰模拟)函数f(x)=x＋ln x－4的零点所在的区间是(　 　)
A. (0，1) B. (1，2)
C. (2，3) D. (3，4)
【解析】 函数f(x)=x＋ln x－4的定义域为(0，＋∞)，∵f(x)在(0，＋∞)上连续且为增函数，且f(2)=－2＋ln 2＜0，f(3)=－1＋ln 3＞0，则f(2)f(3)＜0.由零点存在定理可知，函数f(x)=x＋ln x－4的零点所在的区间是(2，3).
(2)函数f(x)=2x＋x－5的零点x0∈[a－1，a]，a∈N*，则a=(　 　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】 已知f(1)=2＋－5＜0，f(2)=4＋－5＜0，f(3)=8＋－5＞0，∴f(2)f(3)＜0，∴函数零点所在区间为[2，3]，故a=3.
跟踪训练1
C
C
考点二　函数零点个数的判断
已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足f(x)=f(2－x)，当x∈(0，1]时，f(x)=x2，则方程f(x)=log5|x－2|的不同解的个数为　(　 　)
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
【解析】 ∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)=－f(x)，又f(x)满足f(x)=f(2－x)，∴f(2－x)=－f(－x)，即f(x＋2)=－f(x)，∴f(x＋4)=－f(x＋2)=f(x)，∴函数f(x)的周期为4.由f(x)=f(2－x)，得函数f(x)的图象关于直线x=1对称.当x∈(0，1]时，f(x)=x2，设g(x)=log5|x－2|，结合函数的周期性和对称性画出函数f(x)和g(x)的图象，如图所示，易知g(－3)=g(7)=1，由函数图象可得f(x)与g(x)的图象的交点个数为5.
例 2
D
函数零点个数的判定方法：
(1)通过解方程f(x)=0直接求零点.
(2)利用函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数的零点个数.
(3)图象法：画两个函数的图象，看其交点有几个.
(1)(2025·安徽合肥模拟)函数f(x)=(a＋1)x－ax＋x(a＞1)的零点的个数为　(　 　)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 无法确定，与a的取值有关
【解析】 ∵a＞1时，由指数函数的图象与性质知，当x＞0时，(a＋1)x－ax＞0，x＞0，∴f(x)＞0，当x＜0时，(a＋1)x－ax＜0，x＜0，∴f(x)＜0，又当x=0时，f(x)=0，∴函数f(x)只有一个零点.
跟踪训练2
A
(2)已知函数f(x)=则函数y=f(x)－3的零点个数为(　 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 方法一(直接法)　由y=f(x)－3=0得f(x)=3.当x＞0时，得ln x=3，或ln x=－3，解得x=e3，或x=e－3；当x≤0时，得－2x(x＋2)=3，无解，∴函数y=f(x)－3的零点个数为2.
方法二(图象法)　作出函数f(x)的图象，如图所示，函数y=f(x)－3的零点个数即y=f(x)的图象与直线y=3的交点个数，作出直线y=3，由图知y=f(x)的图象与直线y=3有2个交点，故函数y=f(x)－3的零点个数为2.
B
考点三　函数零点的应用
例3　设c∈R，函数f(x)=若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是(　 　)
A. (0，1)
B. {0}∪[1，＋∞)
C.
D. {0}∪
例 3
考向1 根据函数零点个数求参数问题
D
【解析】 作出函数g(x)=的图象如图所示.
函数f(x)=可由g(x)=分段平移得到，易知当c=0时，函数f(x)恰有一个零点，满足题意；当c＜0时，代表图象向上平移，显然没有零点，不符合题意；当c＞0时，图象向下平移，当0＜2c＜1时，函数有两个零点，不符合题意；当2c≥1时，f(x)恰有一个零点，满足题意，即c≥.综上，c的取值范围是{0}∪.
已知函数f(x)=3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)=0，则实数a的取值范围是(　 　)
A. B.
C. (－∞，0) D.
【解析】 由f(x)=3x－=0，可得a=3x－，令g(x)=3x－，其中x∈(－∞，－1)，由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)=0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域.由于函数y=3x，y=－在区间(－∞，－1)上均单调递增，∴函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增.当x∈(－∞，－1)时，g(x)=3x－＜g(－1)=3－1＋1=，又g(x)=3x－＞0，∴函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为，∴实数a的取值范围是.
例 4
考向2 根据函数零点范围求参数范围问题
B
已知函数有零点，求参数值或取值范围常用的方法和思路：
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围.
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决.
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
(1)函数f(x)=2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是　(　 　)
A. (0，3) B. (1，3)
C. (1，2) D. [2，＋∞)
【解析】 ∵函数y=2x，y=－在(0，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)=2x－－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)=2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，得f(1)f(2)=(2－2－a)(4－1－a)=(－a)×(3－a)＜0，解得0＜a＜3.
(2)设函数f(x)=＋x2－4x有唯一的零点，则实数m的值为(　 　)
A. 2 B. C. 3 D.
【解析】 令t=x－2，则g(t)=(3t＋3－t)＋t2－4，∵g(－t)=(3－t＋3t)＋(－t)2－4=(3－t＋3t)＋t2－4=g(t)，∴函数g(t)是偶函数.∵函数f(x)有唯一的零点，∴函数g(t)有唯一的零点，则g(0)=0，即(1＋1)＋0－4=0，解得m=.
跟踪训练3
A
B
(3)将函数f(x)=2－＋sin[(1－x)π]在区间上的零点从左到右依次设为x1，x2，x3，…，xn，n∈N*，则xi=(　 　)
A. 6 B. 18 C. 12 D. 16
【解析】 由f(x)=2－＋sin[(1－x)π]=＋sin(π－πx)=0，得＋sin πx=0，即sin πx=(x≠3)，作出y=sin πx与y=在上的图象，如图所示，易知y=sin πx与y=的图象均关于点(3，0)对称.由图可知，两个函数图象在上有6个交点，根据对称性得x1＋x6=x2＋x5=x3＋x4=6，故xi=3×6=18.
B
函数的零点是命题的热点之一，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
嵌套函数的零点问题
微点突破
已知函数f(x)=函数y=f(f(x))的零点个数为(　 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 令f(x)=t，当f(t)=0时，解得t=，或t=－1.在同一直角
坐标系中分别作出y=f(x)，y=－1，y=的图象如图所示，观察
可知，y=f(x)与y=－1有1个交点，y=f(x)与y=有2个交点，
则y=f(f(x))的零点个数为3.
例 5
考向1 判断嵌套函数的零点个数
C
考向2 由嵌套函数零点的情况求参数
已知函数f(x)=若函数g(x)=[f(x)]2－af(x)＋1有6个零点，则a的取值范围是(　 　)
A. (2，4] B. (2，＋∞) C. D.
【解析】 设t=f(x)，则由g(x)=[f(x)]2－af(x)＋1，可设y=h(t)=t2－at＋1，
画出f(x)的图象，如图所示，由图可知，当t＜－1时，t=f(x)有且仅有
一个解；当t=－1，或t＞2时，t=f(x)有两个不同的解；当－1＜t≤2时，
t=f(x)有三个不同的解.令h(t)=0，即t2－at＋1=0，∵函数g(x)有6个零
点，∴t2－at＋1=0在(－1，2]内有两个不同的根，∴Δ=a2－4＞0，
h(－1)=1＋a＋1＞0，h(2)=4－2a＋1≥0，－1＜＜2，解得2＜a≤，即a的取值范围是.
例 6
C
一般地，判断形如f(g(x))的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令g(x)=t，求解当f(t)=0时t的值，然后分析函数g(x)的图象及性质，当g(x)=t时，x的值的个数即为f(g(x))的零点个数.解答时注意数形结合，侧重对函数f(x)与g(x)图象性质的分析.
(1)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x))－2的零点个数为(　 　)
A. 3 B. 4 C. 2 D. 1
【解析】 设μ=f(x)，令g(x)=0，则f(μ)－2=0，当μ＞1时，f(μ)=ln(μ－1)，∴ln(μ－1)－2=0，μ=e2＋1；当μ≤1时，－μ＋1－2=0，则μ=－1，作出函数μ=f(x)的图象如图所示，易知函数g(x)有3个零点.
跟踪训练4
A
(2)已知函数f(x)=且关于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m=0有7个不同的实数解，则实数m的取值范围是　 　.
【解析】 由题意，f(x)的图象如图所示，
∵[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m=0有7个不同的实数解，设f(x)=t，则方程t2－(2m＋1)t＋m2＋m=0有2个不相等的实根t1=m，t2=m＋1，且0＜t1＜1≤t2＜2，或1≤t1＜2，t2=2.当1≤t1＜2，t2=2时，m=1，满足题意；当0＜t1＜1≤t2＜2时，0＜m＜1≤m＋1＜2，解得m∈(0，1).综上，m∈(0，1].
(0，1]
课时作业
答案速对
第二章 对点练19　函数的零点与方程的解 题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D C A A C
题号 7 8 9 10 14 答案 C ABC AD BC B 1.设函数f(x)=2x的零点为x0，则x0所在的区间是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. (－4，－2) B. (－2，－1)
C. (1，2) D. (2，4)
B
2.若函数f(x)=a＋x＋lg x(1＜x＜10)有零点，则a的取值范围是(　 　)
A. (－10，－1) B. (1，10)
C. (1，11) D. (－11，－1)
D
3.(2025·安徽滁州二模)函数f(x)=的所有零点之和为(　 　)
A. －4 B. －3
C. 0 D. 1
C
4.若方程－x2＋ax＋4=0的两个实根中一个小于－1，另一个大于2，则a的取值范围是
(　 　)
A. (0，3)
B. [0，3]
C. (－3，0)
D. (－∞，1)∪(3，＋∞)
A
5.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a，b，c，d∈N*)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道=2.236 067…，令，则第一次用“调日法”后得到的是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，则用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为
(　 　)
A. 五 B. 四 C. 三 D. 二
A
6.(2025·海南海口模拟)对于函数f(x)，若存在两点A(x1， f(x1))，B(x2， f(x2))，其中x1＋x2=0，f(x1)=f(x2)，则称A，B两点为函数f(x)的一对“隐对称点”，若函数f(x)=则f(x)的“隐对称点”的对数为(　 　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【解析】 题目所求可等价转化为函数y=f(x)(x≥0)与函数y=f(－x)(x＞0)的图象的交点个数，作出函数f(x)的大致图象如图所示.
再作出曲线y=2x(x＜0)关于y轴对称的曲线C：y=f(－x)(x＞0)的图象，数形结合可知曲线y=x|2－x|(x≥0)与曲线C有3个交点，∴f(x)的“隐对称点”有3对.
C
7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)=－f(x)，且在区间[0，2]上单调递增.若方程f(x)=m(m＞0)在区间[－8，8]上有4个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于
(　 　)
A. －12 B. －6 C. －8 D. 4
【解析】 由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)=0，∵f(x－4)=－f(x)，∴f(x－8)=－f(x－4)=f(x)，∴f(x)的周期T=8.又f(x)是R上的奇函数，∴由f(x－4)=－f(x)，得f(4－x)=f(x)，∴f(x)关于直线x=2对称.作出函数的大致图象，如图所示.
根据图象，可得x1＋x2=－12，x3＋x4=4，∴x1＋x2＋x3＋x4=－8.
C
8.(多选)已知函数f(x)=－log2x，若0＜a＜b＜1，且满足f(a)f(b)f(c)＜0，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. f(x)有且只有一个零点
B. f(x)的零点在(1，2)内
C. f(x)的零点不可能在(a，b)内
D. f(x)的零点可能在(c，＋∞)内
【解析】 函数f(x)=－log2x的定义域为(0，＋∞)，∵函数y=在(0，＋∞)上单调递减，y=log2x在(0，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)=－log2x在(0，＋∞)上单调递减.又f(1)=1－log21=1＞0，f(2)=－log22=－＜0，∴f(x)有且只有一个零点，且零点在区间(1，2)内，A正确，B正确；∵0＜a＜b＜1，∴f(x)的零点不可能在(a，b)内，C正确；∵函数f(x)=－log2x在(0，＋∞)上单调递减，又f(1)＞0，0＜a＜b＜1，∴f(a)＞f(b)＞f(1)＞0，又f(a)f(b)f(c)＜0，∴f(c)＜0，∴当x＞c时，f(x)＜0，∴f(x)的零点不可能在(c，＋∞)内，D错误.
ABC
9.(多选)已知函数f(x)=函数g(x)=b－f(2－x)，其中b∈R，若函数g(x)恰有两个零点，则函数g(x)的零点可以是(　 　)
A. － B. －1
C. 1 D. 2
【解析】 当2－x≤2时，f(2－x)=当2－x＞2时，f(2－x)=x2.f(2－x)=
∴f(2－x)的大致图象如图所示.
当b=0时，g(x)=b－f(2－x)有零点0，4；当b=2时，
由x2=2，解得x=－，∴g(x)=b－f(2－x)有零点－，2.
AD
10.(多选)(2025·辽宁大连三模)已知函数f(x)为定义在R上的单调函数，且f(f(x)－2x－2x)=10.若函数g(x)=有3个零点，则a的取值可能为(　 　)
A. 2 B. C. 3 D.
【解析】 ∵f(x)为定义在R上的单调函数，∴存在唯一的t∈R，使得f(t)=10，则f(x)－2x－2x=t，f(t)－2t－2t=t，即f(t)=2t＋3t=10，∵函数y=2t＋3t为
增函数，且22＋3×2=10，∴t=2，f(x)=2x＋2x＋2. 当x≤0时，
由g(x)=0，得a=2x＋2；当x＞0时，由g(x)=0，得a=|log2x|－1.
结合函数的图象可知，若g(x)有3个零点，则a∈(2，3].
BC
11.(2025·天津南开学业考试)若函数f(x)=|ex－1|＋a有一个零点，则实数a的取值范围是
　 　.
【解析】 令f(x)=0有|ex－1|=－a，∴y=|ex－1|与y=－a的图象只有一个交点，
由图可知－a≥1，或－a=0，即a≤－1，或a=0，∴a∈(－∞，－1]∪{0}.
(－∞，－1]∪{0}
12.函数f(x)满足以下条件：
①f(x)的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线；② x∈R，f(x)=f(－x)；③当x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2时，＞0；④f(x)恰有两个零点，请写出函数f(x)的一个解析式：　 　.
【解析】 ∵ x∈R，f(x)=f(－x)，∴f(x)是偶函数，∵当x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2时，＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∵f(x)恰有两个零点，∴f(x)的图象与x轴只有2个交点，∴函数f(x)的解析式可以为f(x)=x2－1(答案不唯一).
f(x)=x2－1(答案不唯一)
13.已知函数f(x)=若实数a，b，c(a＜b＜c)满足f(a)=f(b)=f(c)，则a＋b=
　 　，a＋b＋c的取值范围是　 　.
【解析】 由f(x)=得f(x)在(－∞，1]，(2，＋∞)上单调递减，在[1，2]上单调递增，且有f(1)=0，f(2)=1，f(0)=1，f(4)=1，f(5)=0；由f(a)=f(b)=f(c)，得0≤a＜1＜b≤2＜4≤c＜5，当x∈[0，2]时，f(x)=|x－1|，则此时f(x)的图象关于直线x=1对称，故a＋b=2，则a＋b＋c=2＋c∈[6，7).
2
[6，7)
14.(2025·福建南平三模)设[x]表示不超过实数x的最大整数，如[2]=2，[2.3]=2，[－2.3]=－3，则方程x－|log6x|=[x]解的个数为(　 　)
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
【解析】 方程x－|log6x|=[x]解的个数等价于函数y=x－[x]和y=|log6x|的图象的交点个数，作函数y=x－[x]和y=|log6x|的图象如图所示，
由图知函数y=x－[x]和y=|log6x|的图象的交点个数为5.
B
15.(2025·绍兴模拟)已知函数f(x)=若函
数y=f(x)－a有两个零点x1，x2，且x1＜x2，则x1的取
值范围是 　.
【解析】 y=f(x)－a的零点个数等价于y=f(x)与y=a的图象的交点个数，作y=f(x)和y=a的图象如图所示，
由图可知a＞1，ln(1－x1)=a，x2＋1=a，可得x1=1－ea，x2=a－1，∴x1－ea＋1，令ea=t，由a＞1，得t＞e，则x1t2－t＋1，由二次函数的性质可知当t=e2时，x1取得最小值1－e2，没有最大值，故x1∈.
16.已知M={α|f(α)=0}，N={β|g(β)=0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|＜n，则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”.若f(x)=32－x－1与g(x)=x2－aex互为“1度零点函数”，则实
数a的取值范围是 　.
【解析】 由题意可知f(2)=0，且f(x)在R上单调递减，∴函数f(x)只有一个零点2，由f(x)与g(x)互为“1度零点函数”，得|2－β|＜1.由|2－β|＜1，得1＜β＜3，∴函数g(x)=x2－aex在区间(1，3)上存在零点.由g(x)=x2－aex=0，得a=.令h(x)=，则h'(x)=，∴h(x)在区间(1，2)上单调递增，在区间(2，3)上单调递减，且h(1)=，h(2)=，h(3)=，要使函数g(x)在区间(1，3)上存在零点，只需a∈.(共40张PPT)
第二章 函数
第1节　函数的概念及其表示
课标解读　 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数.
3.了解一般的分段函数，并能简单应用.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 函数的定义域
考点二 函数的解析式
考点三 分段函数
1.[教材改编]下列函数中，与函数y=x是同一个函数的是(　 　)
A. y=()2 B. u= C. y= D. m=
【解析】 函数y=()2与函数m=和y=x的定义域不同，则不是同一个函数，函数y==|x|与y=x的解析式不同，也不是同一个函数.
2.[教材改编]函数f(x)=的定义域是　 　.
【解析】 要使函数有意义，只需8－x≥0，且x＋3≠0，即x≤8，且x≠－3，故f(x)的定义域是(－∞，－3)∪(－3，8].
3.[教材改编]已知函数f(x)=则f(－2)=　 　，f(f(－2))=　 　.
【解析】 f(－2)=(－2)2=4，f(f(－2))=f(4)=4＋1=5.
B
(－∞，－3)∪(－3，8]
4
5
4. (误认为f(g(x))与f(h(x))中“x”的含义相同)已知f(x2－1)的定义域为[0，3]，则f(2x－1)的定义域为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵f(x2－1)的定义域为[0，3]，∴0≤x≤3，∴－1≤x2－1≤8，即f(x)的定义域为[－1，8]，∴在f(2x－1)中，－1≤2x－1≤8，∴0≤x≤，即函数f(2x－1)的定义域为.
易错题
B
5. (忽视新元的范围致误)若f(2x)=4x－2x，则f(x)=　 　.
【解析】 由题意，f(2x)=(2x)2－2x，设t=2x＞0，则f(t)=t2－t，t＞0，∴f(x)=x2－x，x＞0.
6. (忽视自变量的范围致误)设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是　 　.
【解析】 ∵f(x)是分段函数，∴f(x)≥1
应分段求解.当x＜1时，f(x)≥1，∴(x＋1)2≥1，即x＋1≥1，或x＋1≤－1，∴x≤－2，或0≤x＜1；当x≥1时，f(x)≥1，∴4－≥1，即≤3，∴1≤x≤10.综上，x的取值范围是(－∞，－2]∪[0，10].
易错题
易错题
x2－x(x＞0)
(－∞，－2]∪[0，10]
1.函数概念
概念 一般地，设A，B是非空的　 　，如果对于集合A中的　 　，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有　 　的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A
定义域 　 　的取值范围
值域 与x的值相对应的y的值的集合
　 　
{f(x)|x∈A}
实数集
任意一个数x
唯一确定
x
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域　 　；②对应关系　 　.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有　 　、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的　 　.
相同
相同
解析法
并集
[优化拓展]
1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.
2.注意以下几种特殊函数的定义域：
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)=x0，则定义域为{x|x≠0}.
考点一　函数的定义域
(1)(2025·辽宁沈阳模拟)已知f(x)=ln x，则函数f的定义域为(　 　)
A. (0， e) B. (e，＋∞)
C. (0， 1) D. (1，＋∞)
【解析】 ∵f(x)=ln x的定义域为(0，＋∞)，∴f(f(x))＞0，ln[f(x)]＞0，∴f(x)＞1，即ln x＞1，
∴x＞e，∴所求函数的定义域为(e，＋∞).
例 1
B
(2)(2025·四川南充高三开学考试)已知函数y=f(x＋1)的定义域为[－2，3]，则y=的定义域为(　 　)
A. [－5， 5] B. (1，5]
C. D.
【解析】 由题意可知函数y=f(x＋1)的定义域为[－2， 3]，即－2≤x≤3，故－1≤x＋1≤4，则y=f(x)的定义域为[－1， 4]，则对于y=，需满足
∴1＜x≤，即y=的定义域为.
C
1.已知函数解析式求定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解.对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法：
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.
(1)函数f(x)=·lg 的定义域为(　 　)
A. [1，2] B. [2，＋∞) C. [1，2) D. (1，2]
【解析】 根据函数f(x)的解析式，得(x＋2)(2－x)＞0，x＞0，ln x≥0，解得1≤x＜2，∴函数f(x)的定义域为[1，2).
(2)若f(2x－1)的定义域为[0，1)，则f(1－3x)的定义域为(　 　)
A. (－2，4] B. C. D.
【解析】 ∵0≤x＜1，∴0≤2x＜2，∴－1≤2x－1＜1，∴f(x)的定义域为[－1，1)，由－1≤1－3x＜1，得0＜x≤，∴f(1－3x)的定义域为.
跟踪训练1
C
C
考点二　函数的解析式
(1)已知f(1－sin x)=cos2x，求f(x)的解析式.
解：(1)(换元法)设1－sin x=t，t∈[0，2]，则sin x=1－t.∵f(1－sin x)=cos2x=1－sin2x，∴f(t)=2t－t2，t∈[0，2]，即f(x)=2x－x2，x∈[0，2].　
(2)已知f=x2＋，求f(x)的解析式.
(2)(配凑法)∵f=x2＋－2，∴f(x)=x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
例 2
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)=2x＋17，求f(x)的解析式.
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)=ax＋b(a≠0)，∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]=2x＋17，即ax＋5a＋b=2x＋17，∴解得∴f(x)的解析式是f(x)=2x＋7.
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)=3x，求f(x)的解析式.
(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)=3x①，∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)=－3x②，由①②解得f(x)=3x.
求函数解析式的常用方法：
配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替代g(x)，可得f(x)的解析式
待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法
换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围
解方程组法 已知关于f(x)与f或f(－x)等的解析式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，组成方程组，通过解方程组求出f(x)
(多选)(2025·广东江门模拟)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 已知f(x)=x2＋x－1，则f(x＋1)=x2＋3x＋1
B. 已知f(＋1)=x＋2＋1，则f(x)=x2(x≥1)
C. 已知一次函数f(x)满足f(f(x))=4x＋6，则f(x)=2x＋2
D. 定义在R上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)=x＋1，则f(x)=＋1
【解析】 对于A，∵f(x)=x2＋x－1，∴f(x＋1)= (x＋1)2＋(x＋1)－1=x2＋3x＋1，A正确；对于B，∵f(＋1)=x＋2＋1=(＋1)2，且＋1≥1，∴f(x)=x2(x≥1)，B正确；对于C，由题意，设f(x)=kx＋b(k≠0)，则f(f(x))=k(kx＋b)＋b=k2x＋kb＋b=4x＋6，∴解得或∴f(x)=2x＋2，或f(x)=－2x－6，C错误；对于D，∵定义在R上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)=x＋1①，∴2f(－x)－f(x)=－x＋1②，由①×2＋②，得3f(x)=x＋3，∴f(x)=＋1，D正确.
跟踪训练2
ABD
考点三　分段函数
(2025·杭州模拟)已知函数f(x)=则f(f(1))=(　 　)
A. －1 B. －
C. 1 D. e
【解析】 ∵函数f(x)=∴f(1)=ln 1－1=－1，∴f(f(1))=f(－1)=－=－.
例 3
考向1 分段函数求值
B
(1)设f(x)=则满足f(x)=的x的值为　 　.
【解析】 当x∈(－∞，1]时，可知2－x=，解得x=2，显然不合题意；当x∈(1，＋∞)时，可得log81x=，解得x=3，符合题意.综上，满足f(x)=的x的值为3.
(2)已知函数f(x)=则不等式f(x＋1)＜1的解集为　 　.
【解析】 当x＋1≤1，即x≤0时，f(x＋1)=e2－(x＋1)=e1－x＜1，∴1－x＜0，解得x＞1(舍)；当x＋1＞1，即x＞0时，f(x＋1)=lg(x＋3)＜1，∴0＜x＋3＜10，解得－3＜x＜7，∴0＜x＜7.综上，不等式f(x＋1)＜1的解集为(0，7).
例 4
考向2 分段函数与方程、不等式
3
(0，7)
1.根据分段函数解析式求函数值，先确定自变量的值属于哪个区间，再选定相应的解析式代入求解.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
(1)已知函数f(x)=则f(f(－1))=(　 　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】 将x=－1代入，得到f(－1)=(－1)2－(－1)=2，∴f(f(－1))=f(2)，将x=2代入，得到f(2)=e0＋ln 1=1，∴f(f(－1))=f(2)=1.
(2)(2025·江西南昌二模)已知函数f(x)=若f(1－a)=4，则a的值为(　 　)
A. 0或 B. 0或 C. D.
【解析】 若1－a≥0，即a≤1，可得f(1－a)==4，解得a=0，符合；若1－a＜0，即a＞1，可得f(1－a)=22a－1=4，解得a=，符合.综上，a的值为0或.
跟踪训练3
B
A
课时作业
答案速对
第二章 对点练9　函数的概念及其表示 题号 1 2 3 4 5
答案 D C B B D
题号 6 7 8 14 15
答案 B AC AC A B
1.(2025·辽宁沈阳二模)已知f(x－1)=ex，则f(2)=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. e B. 2e
C. e2 D. e3
D
2.(2025·内蒙古呼和浩特模拟)函数f(x)=的定义域为(　 　)
A. (1，5)
B. (－∞，1)∪(5，＋∞)
C. (－∞，1]∪(5，＋∞)
D. (－∞，1]∪[5，＋∞)
C
3.已知f(x＋1)=2x，且f(m)=4，则m等于(　 　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
4.(2025·杭州阶段练习)已知函数f(x)=满足f，则实数m的值为
(　 　)
A. B. C. D.
B
5.若函数f(x－1)的定义域为[－3，1]，则y=(x－1)f(x)的定义域为(　 　)
A. [－3，1] B. [－2，2]
C. (－4，0) D. [－4，0]
D
6.(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=则f(2 025)的值为(　 　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
【解析】 ∵函数f(x)=∴当x≥0时，f(x)=f(x－2)，则周期T=2，
∴f(2 025)=f(1)=f(－1)，当x＜0时，f(x)=x＋1，∴f(－1)=－1＋1=0.
B
7.(多选)已知函数f(x)满足f(x)－2f(－x)=2x－1，则(　 　)
A. f(3)=3
B. f(3)=－3
C. f(x)＋f(－x)=2
D. f(x)＋f(－x)=－2
【解析】 ∵f(x)－2f(－x)=2x－1，∴f(－x)－2f(x)=－2x－1，化简得－3f(x)=－2x－3，解得f(x)=x＋1，故f(3)=3，A正确，B错误；又f(－x)=－x＋1，则f(x)＋f(－x)=2，C正确，D错误.
AC
8.(多选)(2025·宁波调研)定义运算a b=设函数f(x)=1 2－x，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. f(x)的值域为[1，＋∞)
B. f(x)的值域为(0，1]
C. 不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)
D. 不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(0，＋∞)
AC
【解析】 对于A，B，由函数f(x)=1 2－x，得f(x)=即f(x)=作出函数f(x)的图象如图所示.
根据函数图象可得f(x)的值域为[1，＋∞)，A正确，B错误；对于C，D，若不等式f(x＋1)＜f(2x)成立，由函数图象知，当2x＜x＋1≤0，即x≤－1时成立；当即－1＜x＜0时也成立，∴不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集是(－∞，0)，C正确，D错误.
9.(2025·湖南邵阳模拟)已知函数y=f的定义域是[2，4]，则函数g(x)=的定义域为　 　.
【解析】 ∵函数y=f的定义域是[2， 4]，故2≤x＋1≤3，∵g(x)=有意义，∴∴2＜x＜3，∴函数g(x)=的定义域为(2， 3).
(2，3)
10.定义符号函数sgn(x)=则方程[1＋sgn(x)]·log2|x|＋[1－sgn(x)]·2x=1的解集为　 　.
【解析】 由题知y=log2|x|的定义域为{x|x≠0}.当x＞0时，原方程可化为2log2x＋0=1，即log2x=，则x=；当x＜0时，原方程可化为0＋2×2x=1，即2x＋1=20，则x＋1=0，解得x=－1.故所求方程的解集为{－1，}.
{－1，}
11.已知定义在[0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x＋1)，当x∈[0，1)时，f(x)=，则当x∈[1，2)时，f(x)= 　.
【解析】 根据f(x)=2f(x＋1)，得f(x－1)=2f(x).当x∈[1，2)时，x－1∈[0，1)，f(x－1)=，∴f(x)=f(x－1)=.
12.设函数f(x)=且f(－2)=3，f(－1)=f(1).
(1)求f(x)的解析式；
解：(1)由得
解得
∴f(x)=
(2)作出f(x)的图象.
(2)作出f(x)的图象如图所示.
13.(1)已知f(x＋1)=2x2－x＋3，求f(x)；
解：(1)令t=x＋1，则x=t－1，∴f(t)=2(t－1)2－(t－1)＋3=2t2－4t＋2－t＋1＋3=2t2－5t＋6，∴f(x)=2x2－5x＋6.
(2)已知f(f(x))=4x＋9，且f(x)为一次函数，求f(x)；
(2)∵f(x)为一次函数，∴设f(x)=kx＋b(k≠0)，
∴f(f(x))=f(kx＋b)=k(kx＋b)＋b=k2x＋kb＋b=4x＋9，∴或
∴f(x)=2x＋3，或f(x)=－2x－9.
(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f=x，求f(x).
(3)∵2f(x)＋f=x①，∴2ff(x)=②，
由(①×2－②)÷3，得f(x)=x－(x≠0).
14.(2025·北京朝阳二模)已知函数f(x)=|x|－|x－2|＋1，则对任意实数x，有(　 　)
A. f(1－x)=2－f(1＋x)
B. f(－x)=－f(x)－2
C. f(2－x)=2＋f(x)
D. f(2＋x)=f(2－x)
【解析】 ∵f(x)=|x|－|x－2|＋1=作出函数图象如图所示，
由图象可知，函数的图象关于点(1，1)中心对称，A正确；图象不关于点(0， －1)对称，B错误；当x=1时，f(2－1)=1≠2＋f(1)=3，C错误；令x=－1，则f(2－1)=1≠f(3)=3，D错误.
A
15.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)＞f(x－1)＋f(x－2)，且当x＜3时，f(x)=x，则下列结论中，一定正确的是(　 　)
A. f(10)＞100 B. f(20)＞1 000
C. f(10)＜1 000 D. f(20)＜10 000
【解析】 ∵当x＜3时，f(x)=x，∴f(1)=1，f(2)=2.对于f(x)＞f(x－1)＋f(x－2)，令x=3，得f(3)＞f(2)＋f(1)=2＋1=3；令x=4，得f(4)＞f(3)＋f(2)＞3＋2=5；令x=5，得f(5)＞f(4)＋f(3)＞5＋3=8，不等式右侧恰好是斐波那契数列从第3项起的各项：3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1 597，…，显然f(16)＞1 000，∴f(20)＞10 000，只有B不一定成立.
B
16.已知函数f(x)=若f(a)＋f(6－a)=成立，则a的一个值可以为
　 　.
【解析】 ∵函数f(x)=∴当x＞1时，f(x)=log2(x＋1)＞log22=1；当x≤1时，f(x)=2x－1－2≤20－2=－1.当a＞1，且6－a＞1，即1＜a＜5时，f(a)＋f(6－a)＞1＋1与f(a)＋f(6－a)=矛盾，不符合题意；当a＞1，且6－a≤1，即a≥5时，f(a)＋f(6－a)=log2(a＋1)＋25－a－2=，则a=7；当a≤1，且6－a＞1，即a≤1时，f(a)＋f(6－a)=log2(7－a)＋2a－1－2=，则a=－1.综上，a的值可以为－1或7.
－1或7(写出一个即可)(共46张PPT)
第6节　幂函数与几类特殊函数
课标解读　1.通过具体实例，结合y=x，y=，y=x2，y=，y=x3的图象，理解它们的变化规律.
2.了解对勾函数、飘带函数、高斯函数、狄利克雷函数、一次分式函数的图象与性质.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 幂函数的图象与性质
考点二 几类特殊函数
1.[教材改编]已知幂函数y=f(x)的图象过点(2，)，则函数f(x)= 　.
【解析】 设f(x)=xα，则=2α，解得α=，故函数f(x)=.
2.[教材改编]已知α∈.若幂函数f(x)=xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α=　 　.
【解析】 由f(x)=xα为奇函数，知α取－1，1，3.又f(x)=xα在(0，＋∞)上单调递减，∴α＜0，∴α=－1.
3.[教材改编]函数f(x)=(x＋2)－2的定义域为　 　，单调递增区间是　 　，单调递减区间是　 　.
【解析】 由f(x)=(x＋2)－2=，∴其定义域为{x|x∈R，x≠－2}，单调递增区间是(－∞，－2)，单调递减区间是(－2，＋∞).
－1
{x|x∈R，x≠－2}
(－∞，－2)
(－2，＋∞)
4. (对二次函数单调性理解不到位)若函数y=mx2＋x＋2在[3，＋∞)上单调递减，
则m的取值范围是 　.
【解析】 当m=0时，函数在给定区间上单调递增，不符合题意；当m≠0时，函数是二次函数，其图象的对称轴为直线x=－，依题意知解得m≤－.
易错题
5. (忽视幂函数的定义域)已知幂函数f(x)=，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是　 　.
【解析】 ∵f(x)=(x＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴解得3＜a＜5.
易错题
(3，5)
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数　 　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
y=xα
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义.
②当α＞0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上　 　.
③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上　 　.
单调递增
单调递减
2.一次分式函数
(1)定义：我们把形如y=(a≠0，ad≠bc)的函数称为一次分式函数.
(2)图象
(3)性质
①定义域：；值域：.
②对称中心：.
③渐近线方程：x=－和y=.
④单调性：当ad＞bc时，函数在区间和上分别单调递减；当ad＜bc时，函数在区间和上分别单调递增.
3.对勾函数y=ax＋(ab＞0，当a＞0，b＞0时)
(1)性质
①奇偶性：奇函数.
②单调性：增区间为；
减区间为.
③渐近线方程：y=ax和x=0.
(2)图象
4.飘带函数y=ax－(ab＞0，当a＞0，b＞0时)
(1)性质
①奇偶性：奇函数.
②单调性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增.
③渐近线方程：x=0.
(2)图象
5.高斯函数y=[x]
(1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]=3，[－2.1]=－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y=[x]称为高斯函数，又称取整函数.
(2)性质
①定义域：R；值域：Z.
②不具有单调性、奇偶性、周期性.
(3)图象
6.狄利克雷函数D(x)=的性质
(1)定义域：R；值域：{0，1}.
(2)奇偶性：偶函数.
(3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.
(4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在.
[优化拓展]
1.(1)幂函数y=xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质.
(2)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.
2.对勾函数y=ax＋(ab＞0)的极值与图象的拐点可利用基本不等式求得.
考点一　幂函数的图象与性质
(1)如图所示，曲线C1和C2分别是函数y=xa和y=xb在第一象限内的图象，
则下列结论中，错误的是(　 　)
A. B. a2＜ab
C. a3＞b3 D. a2＞b2
【解析】 观察题图知，幂函数y=xa和y=xb在第一象限的图象是下降的，即在(0，＋∞)上单调递减，∴a＜0，b＜0.当x＞1时，函数y=xa的图象在y=xb的图象上方，取x=2，有2a＞2b，由指数函数单调性知a＞b，于是b＜a＜0，则，a2＜ab，a3＞b3，A，B，C正确；而a2＜b2，D错误.
例 1
D
(2)(2025·湖北模拟预测)已知幂函数f(x)=(2m＋m)xm－2，则下列结论中，正确的是(　 　)
A. f(x)为奇函数
B. f(x)在其定义域上单调递减
C. f(m＋1)＞f(2)
D. f(m－1)＜f(－2)
【解析】 ∵f(x)=(2m＋m)xm－2是幂函数，根据幂函数的定义可知2m＋m=1，当m=0时，20＋0=1，等式成立，∵y=2m＋m在R上单调递增，故m=0为唯一解.此时f(x)=x－2=，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).对于A，f(－x)==f(x)，∴f(x)是偶函数，A错误；对于B，对f(x)=求导，可得f'(x)=－.当x＞0时，f'(x)＜0，当x＜0时，f'(x)＞0，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)在其定义域上不是单调递减的，B错误；对于C，m＋1=1，f(x)=在(0，＋∞)上单调递减.∵1＜2，∴f(1)＞f(2)，即f(m＋1)＞f(2)，C正确；对于D，m－1=－1，f(x)在(－∞，0)上单调递增，－2＜－1，∴f(－2)＜f(－1)，即f(m－1)＞f(－2)，D错误.
C
有关幂函数图象与性质问题的解题技巧：
(1)定解析式：已知图象或点坐标，代入y=xα.
(2)比较大小：利用“指大图低”((0，1)区间)和“指大图高”((1，＋∞)区间)的规律.
(3)判断单调：α＞0时，y=xα在(0，＋∞)上单调递增；α＜0时，y=xα在(0，＋∞)上单调递减.
(4)证奇偶性：α为奇数时，y=xα为奇函数；α为偶数时，y=xα为偶函数.
(5)画出草图：结合关键点(如(1，1) ，(0，0))和渐近线，画出幂函数的大致图象.
注意：口诀：“指大图低小，正增负减调，奇偶看指数，画图抓关键”.
(1)已知幂函数y=(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　 　)
A. p为奇数，且p＞0
B. p为奇数，且p＜0
C. p为偶数，且p＞0
D. p为偶数，且p＜0
【解析】 ∵函数y=的图象关于y轴对称，∴函数y=为偶函数，即p为偶数，又函数y=的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，∴＜0，即p＜0.
(2)(2025·江西南昌一模)若直线y=t(0＜t＜1)与幂函数y=x3，y=，y=的图象从左到右依次交于不同的三点A，B，C，则|AC|=(　 　)
A. －t2 B. －t3 C. D. －t2
【解析】 当y=t时，由y=x3，得x=；由y=，得x=t2；由y=，得x=.∵0＜t＜1，∴y=tx是关于x的减函数. 又－1＜＜2，∴＞t2，∴|AC|=－t2.
跟踪训练1
D
A
考点二　几类特殊函数
已知函数f(x)=，其中a∈R.
(1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值；
解：(1)f(x)==a＋，∴f(x)的对称中心为点(－1，a)，由题意得a=3.
(2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
(2)由f(x)=知直线x=－1为f(x)的一条渐近线，由一次分式函数的性质知，当且仅当1·(2－a)＞1·a，即a＜1时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，故a的取值范围是(－∞，1).
例 2
考向1 一次分式函数
(2025·江西新余期中)函数f(x)=2|x|－(a∈R)的大致图象不可能为 (　 　)
考向2　对勾函数、飘带函数
例 3
A. B. C. D.
【解析】 当a=0时，f(x)=2|x|，A正确；当a＞0时，①当x＞0时，f(x)=2x－为飘带函数，单调递增；②当x＜0时，f(x)=－为对勾函数，D正确；当a＜0时，①当x＞0时，f(x)=2x＋为对勾函数的一部分；②当x＜0时，f(x)=－2x＋为飘带函数，单调递减，B正确.
C
(1)(多选)高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，并有着“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”是指：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如，[－2.1]=－3，[2.1]=2，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 函数y=x－[x]在区间[k，k＋1)(k∈Z)上单调递增
B. 若函数f(x)=，则y=[f(x)]的值域为{0}
C. 若函数f(x)=||，则y=[f(x)]的值域为{0，1}
D. x∈R，x≥[x]＋1
【解析】 对于A，x∈[k，k＋1)，k∈Z，有[x]=k，则函数y=x－[x]=x－k在[k，k＋1)上单调递增，A正确；对于B，f=－∈(－1，0)，则=－1，B错误；对于C，f(x)=，当0≤|cos 2x|≤时，1≤2－2|cos 2x|≤2，1≤f(x)≤，有[f(x)]=1；当＜|cos 2x|≤1时，0≤2－2|cos 2x|＜1，0≤f(x)＜1，有[f(x)]=0，∴y=[f(x)]的值域为{0，1}，C正确；对于D，当x=2时，[x]＋1=3，有2＜[2]＋1，D错误.
考向3　高斯函数、狄利克雷函数
例 4
AC
(2)(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)=被称为狄利克雷函数，则下列关于函数f(x)的叙述，正确的有(　 　)
A. 函数y=f(x)的图象是两条直线
B. f(f(x))=1
C. f()＞f(1)
D. x∈R，都有f(1－x)=f(2＋x)
【解析】 对于A，函数y=f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，A错误；对于B，当x为有理数时，f(x)=1，∴f(f(x))=f(1)=1；当x为无理数时，f(x)=0，f(f(x))=f(0)=1，B正确；对于C，f()=0，f(1)=1，∴f(1)＞f()，C错误；对于D，由题意，函数定义域为R，且f(－x)=f(x)，∴f(x)为偶函数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，若x是有理数，则x＋T也是有理数；若x是无理数，则x＋T也是无理数，∴f(x＋T)=f(x)对 x∈R恒成立，∴f(x＋2)=f(x)=f(－x)=f(1－x)，∴ x∈R，都有f(1－x)=f(2＋x)，D正确.
BD
这几类特殊的函数问题都属于新定义问题，其解题思路就是知识的迁移，利用新、旧知识之间的联系，由旧知识的思考方式领会新知识的思考过程，产生迁移的关键是正确概括两种知识之间包含的共同因素，并与函数的性质相结合.
(1)已知函数f(x)=，且[x]表示不超过x的最大整数，若函数y=[f(x)]的值域集合为Q，则下列集合中，不是Q的子集的为(　 　)
A. [0，＋∞) B. {0，2}
C. {1，2} D. {1，2，3}
【解析】 x≥0时，f(x)==x－1＋=x＋1＋－2≥2－2=0，当且仅当x=0时取等号，此时函数值域为[0，＋∞)，由题知函数f(x)的定义域为x∈R， f(－x)==f(x)，∴f(x)为偶函数，即f(x)的值域为[0，＋∞)，∴A不是Q的子集.
跟踪训练2
A
(2)(多选)已知f(x)=下列关于f(x)的说法，正确的有(　 　)
A. f(x)的值域为[0，1]
B. f(x)的定义域为R
C. 函数f(f(x))是偶函数
D. 任意一个非零有理数T，f(x＋T)=f(x)对任意x∈R恒成立
【解析】 ∵函数f(x)=∴f(x)的值域为{0，1}，A错误；∵函数f(x)=∴f(x)的定义域为R，B正确；若自变量x是有理数，则f(f(x))=f(1)=1；若自变量x是无理数，则f(f(x))=f(0)=1，∴f(f(－x))=f(f(x))，则f(f(x))是偶函数，C正确；对于任意一个非零有理数T，若x是有理数，则x＋T是有理数；若x是无理数，则x＋T是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有f(x＋T)=f(x)对任意x∈R恒成立，D正确.
BCD
课时作业
答案速对
第二章 对点练14　幂函数与几类特殊函数 题号 1 2 3 4 5
答案 D A B B D
题号 7 8 9 9 14
答案 C C BC BCD ABD
1.对任意的x∈R，表示不超过x的最大整数.十八世纪，y=被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. 4 B. 0 C. 5 D. 6
D
2.(2025·湖南一模)已知幂函数f(x)=(m2＋2m－2)xm＋2在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(　 　)
A. 1 B. －3
C. －4 D. 1或－3
A
3.(2025·云南昆明一模)已知函数f(x)=xα－1(α＞0)，实数m，n满足f(m)＋f(n)=4，f(m)f(n)=3，则f(mn)=(　 　)
A. 1 B. 7
C. 8 D. 12
B
4.函数y=1－的图象是(　 　)
A. B. C. D.
B
5.(2025·江苏常州模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点，则(　 　)
A. f(x)的定义域为R
B. f(x)为奇函数
C. f(x)为减函数
D. f(x)的值域为(0，＋∞)
D
6.函数f(x)=|x|－(x∈R，且x≠0)的图象不可能是(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 当m=0时，f(x)=|x|(x≠0)，A有可能；当m=－1时，f(x)=易得f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，B有可能；当m=1时，f(x)=易得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，根据对勾函数的图象易得f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，D有可能；C不可能.
C
7.(2025·安徽宿州模拟)黎曼函数定义在[0，1]上，其解析式为：当x=为既约真分数(最简真分数)且p，q∈N*时，R(x)=；当x=0，1或(0，1)内的无理数时，R(x)=0.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且 x∈R，f(x)＋f(x＋2)=0，当x∈[0，1]时，f(x)=R(x)，则f(π)－f=(　 　)
A. － B. － C. D.
【解析】 由f(x＋2)=－f(x)得f(x＋4)=－f(x＋2)，则f(x＋4)=f(x)，∴偶函数f(x)的周期为4，f(π)=f(π－4)=f(4－π)=R(4－π)=0，∵f=f=f=f=－f=－f=－R=－，∴f(π)－f.
C
8.(多选)已知函数f(x)=，若函数的定义域和值域都是[t，2](0＜t＜2)，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. a= B. a= C. t= D. t=1
【解析】 ∵函数f(x)=在(0，＋∞)上单调递增，且函数的定义域和值域都是[t，2](0＜t＜2)，∴=t，=2，解得t=，a=.
BC
9.(多选)已知函数f(x)=，下列结论中，正确的有(　 　)
A. f(x)在(1，＋∞)上单调递增
B. f(x)的图象关于y轴对称
C. f(x)在定义域内只有1个零点
D. f(x)的值域为[0，1]
【解析】 易知f(2)=，f(3)=，∴f(2)＞f(3)，∴f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增函数，A错误；易知f(x)的定义域为R，且f(－x)==f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，B正确；令f(x)=0，即=0，解得x=0，∴f(x)在定义域内只有1个零点，C正确；当x∈(0，＋∞)时，f(x)=，由基本不等式可得x≥2，当且仅当x=1时，等号成立，∴0＜≤，∴当x∈(0，＋∞)时，0＜f(x)≤1，又f(0)=0，函数f(x)为偶函数，∴f(x)的值域为[0，1]，∴D正确.
BCD
10.若f(x)=，则不等式f(x)＞f(8x－16)的解集为 　.
【解析】 ∵f(x)=在定义域[0，＋∞)内为增函数，∴即2≤x＜，
∴不等式的解集为.
11.(2025·山东青岛模拟)已知函数y=，x∈(a， b]的最小值为2，则a的取值范围是
　 　.
【解析】 ∵y==1，∴函数在(－∞，－1)上单调递减且y＜1，在(－1，＋∞)上单调递减且y＞1，又当y=2时，x=2，∴要使函数在(a， b]上的最小值为2，应有b=2，且－1≤a＜2，即a的取值范围是[－1，2).
[－1，2)
12.若函数f(x)在定义域内的某个区间I上单调递增，且y=在区间I上单调递减，则称函数f(x)在区间I上是“弱增函数”.
(1)分别判断函数f(x)=xex，g(x)=x2＋4x＋2在区间(1，2)上是否是“弱增函数”(不必证明)；
解：(1)∵=ex是增函数，∴f(x)不是“弱增函数”.∵g(x)=x2＋4x＋2在(1，2)上单调递增，但=x4在(1，2)上不单调，∴g(x)在(1，2)上不是“弱增函数”.　
(2)若函数h(x)=x2x＋b(m，b是常数，b＞0)在区间(0，1]上是“弱增函数”，求m，b应满足的条件.
(2)由题意得h(x)=x2x＋b在区间(0，1]上单调递增，且=x在区间(0，1]上单调递减，∴－≤0，≥1，∴m≥，b≥1.
13.高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的数学概念、定理、公式有很多，比如我们教材中所学习的“高斯函数y=[x]”，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2，[3.7]=3，[－2.1]=－3.现有函数f(x)=|2x－[2x＋t]|，如果该函数既有最大值也有最小值，求实数t的取值范围.
解：设u=2x＋t，则[u]≤u＜[u]＋1，得0≤u－[u]＜1. 2x－[2x＋t]=(2x＋t)－[2x＋t]－t，令z=(2x＋t)－[2x＋t]，则0≤z＜1，∴2x－[2x＋t]=z－t，得f(x)=|2x－[2x＋t]|=|z－t|，又f(x)既有最大值又有最小值，当t≤0时，f(x)的图象如图所示，f(x)在z∈[0，1)上有最小值，无最大值，不符合题意；
当0＜t＜时，f(x)的图象如图所示，f(x)在z∈[0，1)上有最小值，无最大值，不符合题意；
当≤t＜1时，f(x)的图象如图所示，f(x)在z∈[0，1)上有最大值和最小值，符合题意；
当t≥1时，f(x)的图象如图所示，f(x)在z∈[0，1)上有最大值，无最小值，不符合题意.
综上，≤t＜1，即实数t的取值范围是.
14.(多选)函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，十八世纪，f(x)=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，例如：[－3.5]=－4，[2.1]=2.下列命题中，正确的有(　 　)
A. x∈R，x－1＜[x]≤x
B. 对任意整数n，有[x＋n]=[x]＋n
C. 存在正实数T，使得[x＋T]=[x]对所有x成立
D. 函数g(x)=f(x)－x有2个零点
【解析】 对于A，由高斯函数的定义，[x]是不超过x的最大整数，故x－1＜[x]≤x，A正确；对于B，整数n不影响小数部分，故[x＋n]=[x]＋n，B正确；对于C，由f(x)=[x]的图象易知C错误；
ABD
对于D，由f(x)=[x]，可得x－1＜f(x)≤x，∴－1＜g(x)≤，若函数g(x)要有零点，则－1＜0≤，得x∈[0，3)，∵g(x)若为0，则x也为整数，在这个范围内，只有x=0，x=两个点，∴D正确.
15.(2025·福建泉州模拟)已知函数y=f(x＋1)－3为奇函数，g(x)=，f(x)与g(x)的图象有8个交点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x8，y8)，则(y1＋y2＋…＋y8)－(x1＋x2＋…＋x8)=　 　.
【解析】 ∵y=f(x＋1)－3为奇函数，∴其图象关于原点对称，∴f(x)的图象关于点(1，3)对称. 又g(x)==3，∴g(x)的图象也关于点(1，3)对称.依题意有x1＋x2＋…＋x8=4×(1×2)=8，y1＋y2＋…＋y8=4×(2×3)=24，故(y1＋y2＋…＋y8)－(x1＋x2＋…＋x8)=24－8=16.
16
16.已知函数f(x)=|x－a|－a，a∈R.
(1)若a=0，试判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
解：(1)当a=0时，f(x)=|x|－(x≠0)，f(－x)=|x|≠f(x)，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)若f(x)在[1，a]上单调，且对任意x∈[1，a]，f(x)＜－2恒成立，求a的取值范围；
(2)由于f(x)=－x－2a＜－2，即a＜－1，只要a＜－1，解得－－1＜a＜－1，又1＜a≤3，∴a的取值范围是1＜a＜－1.
(3)若x∈[1，6]，当a∈(3，6)时，求f(x)的最大值的解析式M(a).
(3)当x∈[1，6]时，f(x)=又a∈(3，6)，由上式知，f(x)在[1，3)上单调递增，在[3，a]上单调递减，在(a，6]上单调递增，则f(x)max=max{f(3)，f(6)}=max(共40张PPT)
第4节　函数的奇偶性与周期性
课标解读　1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.
2.会依据函数的性质进行简单的应用.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 判断函数的奇偶性
考点二 函数奇偶性的应用
考点三 函数的周期性及应用
1.[教材改编]函数①f(x)=x2－1，②f(x)=x3，③f(x)=x2＋cos x，④f(x)=＋|x|中是偶函数的有
　 　(填序号).
【解析】 根据偶函数的定义，可知①③是偶函数.
2.[教材改编]设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，
f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为
　 　.
【解析】 由图象知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，
f(x)＜0.又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0；当－5≤x＜－2时，f(x)＞0.综上，f(x)＜0的解集为(－2，0)∪(2，5].
①③
(－2，0)∪(2，5]
3.[教材改编]已知函数f(x)满足f(x＋3)=f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)=x2＋4，则f(2 026)=
　 　.
【解析】 ∵f(x＋3)=f(x)，∴f(x)是以3为周期的周期函数，∴f(2 026)=f(675×3＋1)=f(1)=12＋4=5.
4. (忽视函数的定义域)函数 f(x)= 是　 　函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”).
【解析】 由得即x=1，故函数f(x)的定义域为{1}，∵函数f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.
易错题
5
非奇非偶
5. (忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称)已知函数f(x)=x2－2ax＋b是定义在区间[－2b，3b－1]上的偶函数，则函数f(x)的值域为　 　.
【解析】 ∵f(x)为偶函数，∴f(－x)=f(x)，即a=0.又f(x)的定义域为[－2b，3b－1]，∴－2b＋3b－1=0，解得b=1，∴f(x)=x2＋1，x∈[－2，2]，∴函数f(x)的值域为[1，5].
6. (不会构造奇、偶函数)已知函数f(x)=ex－＋x3＋3，若f(a)=5，则f(－a)=
　 　.
【解析】 设g(x)=f(x)－3=ex－e－x＋x3，则g(－x)=e－x－ex－x3=－(ex－e－x＋x3)=－g(x)，∴g(x)是奇函数.∵g(a)=f(a)－3=2，∴g(－a)=f(－a)－3=－2，则f(－a)=1.
易错题
易错题
[1，5]
1
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且　 　，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于　 　对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且　 　，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于　 　对称
f(－x)=f(x)
y轴
f(－x)=－f(x)
原点
2.函数的周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且　 　，那么函数y=f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　 　的正数，那么这个
　 　就叫做f(x)的最小正周期.
f(x＋T)=f(x)
最小
最小正数
[优化拓展]
1.理解函数奇偶性的常用结论：
(1)①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0.
②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|).　
(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
2.灵活应用奇函数的两个特殊性质：
(1)若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)=0.特别地，若f(x)存在最值，则f(x)min＋f(x)max=0.
(2)若F(x)=f(x)＋c，f(x)为奇函数，则F(－x)＋F(x)=2c.特别地，若F(x)存在最值，则F(x)min＋F(x)max=2c.
3.函数周期性的常用结论：
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)=－f(x)，则T=2a(a＞0).(2)若f(x＋a)=，则T=2a(a＞0).
4.谨防两个易错点：
(1)求奇函数的解析式时，忽略x=0的情况，会造成解析式缺失，特别地，奇函数要么在x=0处没有定义，要么在x=0处的函数值为0，即f(0)=0.
(2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时，不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条件.
考点一　判断函数的奇偶性
(1)(2025·北京西城一模)下列函数中，图象关于y轴对称的是(　 　)
A. y=(x－1)2
B. y=2x
C. y=x4＋x2
D. y=|ln x|
【解析】 对于A，由二次函数的图象及性质可知，对称轴为x=1，A错误；对于B，由指数函数的图象及性质可知，函数没有对称轴，B错误；对于C，∵(－x)4＋(－x)2=x4＋x2，∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，C正确；对于D，函数的定义域为(0，＋∞)，不是偶函数，D错误.
例 1
C
(2)(2025·贵州贵阳模拟)已知函数f(x)=ln |x|，g(x)=sin x，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是(　 　)
A. y=f(x)＋g(x) B. y=f(x)－g(x)
C. y=f(x)g(x) D. y=
【解析】 由图象可知，该函数是奇函数. 函数f(x)=ln |x|，g(x)=sin x，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，对于A，B，y=f(x)＋g(x)及y=f(x)－g(x)为非奇非偶函数，与函数图象不符，A，B错误；对于D，当x=1时，f(1)=0，分母为0，不存在函数值，D错误.
C
判断函数奇偶性的方法：
(1)定义法：验证f(－x)=±f(x)，等式成立则为偶或奇函数.
(2)图象法：奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称.
(3)特殊值法：代入x=1和x=－1检验关系，快速判断.
(4)运算性质：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶.
(1)(2025·江西南昌二模)已知函数f(x)=，则下列函数中，是奇函数的为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. y=f(x)－ B. y=f
C. y=f(x)＋ D. y=f
【解析】 由f(x)=得f(－x)=，则f(x)－＋f(－x)－=0，故y=f(x)－为奇函数.
跟踪训练1
A
(2)下列函数中，是偶函数的为(　 　)
A. y= B. y=
C. y= D. y=
【解析】 对于A，设f(x)=，函数定义域为R，但f(－1)=，f(1)=，f(－1)≠f(1)，A错误；对于B，设g(x)=，函数定义域为R，且g(－x)==g(x)，则g(x)为偶函数，B正确；对于C，设h(x)=，函数定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称， 则h(x)不是偶函数，C错误；对于D，设φ(x)=，函数定义域为R，∵φ(1)=，φ(－1)=，∴φ(－1)≠φ(1)，则φ(x)不是偶函数，D错误.
B
考点二　函数奇偶性的应用
(1)(2025·天津河西二模)已知函数y=f(2x)＋2x是偶函数，且f(2)=2，则f(－2)=(　 　)
A. －3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】 ∵函数y=f(2x)＋2x是偶函数，且f(2)=2，则f(－2)－2=f(2)＋2，∴f(－2)=f(2)＋4=2＋4=6.
(2)(2025·山东聊城模拟)设集合A={x|x2＋ax－1≥0}，定义在R上的函数λA(x)=为偶函数，则λA(0)＋λA＋λA(1)=(　 　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】 由于λA(x)为偶函数，故其定义域关于(0，0)对称，即不等式x2＋ax－1≥0的解集关于原点对称. 设f(x)=x2＋ax－1，则f(x)为偶函数.由f(x)=f(－x) x2＋ax－1=(－x)2＋a(－x)－1 a=0，得A=(－∞，－1]∪[1，＋∞)，∴λA(0)＋λA＋λA(1)=0＋0＋1=1.
例 2
D
B
利用函数奇偶性求值(参数)、函数解析式的方法：
(1)求值：利用奇偶性f(－x)=－f(x)，或f(－x)=f(x)，结合已知条件代入特殊值.
(2)求解析式：设未知区间解析式，利用奇偶性建立方程，解方程组确定参数.
(3)求参数：先确定函数奇偶性，再列等式求解参数(如奇函数f(0)=0).
(1)(2025·江西南昌模拟)若f(x)=为奇函数，则g(－2)=(　 　)
A. －8 B. －4
C. －2 D. 0
【解析】 ∵f(x)为奇函数，∴f(－2)=－f(2)=－4，又f(－2)=g(－2)＋4，可得g(－2)=－8.
(2)已知函数f(x)=a＋(ab≠0)是奇函数，则(　 　)
A. 2a＋b=0 B. 2a－b=0
C. a＋b=0 D. a－b=0
【解析】 由题意知f(x)的定义域为{x|x≠0}，由于f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)=0，
∴a＋＋a＋=2a－=2a＋=2a－b=0.　
跟踪训练2
A
B
(3)已知函数f(x)=ax3＋3sin x＋7，x∈[－2 026， 2 026]的最大值为M，最小值为m，则M＋m=　 　.
【解析】 令g(x)=f(x)－7=ax3＋3sin x，且x∈R，则g(－x)=a(－x)3＋3sin(－x)=－ax3－3sin x=－g(x)，∴g(x)为奇函数且在[－2 026，2 026]上连续，根据奇函数图象的对称性得g(x)在[－2 026， 2 026]上的最大值、最小值关于原点对称，则g(x)max＋g(x)min=M－7＋m－7=0，故M＋m=14.
14
考点三　函数的周期性及应用
(1)(2025·新高考Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5－2x，则f=(　 　)
A. － B. －
C. D.
【解析】 由题知f(x)=f(－x)，f(x＋2)=f(x)对一切x∈R成立，于是f=f=f=5－2×=－.
例 3
A
(2)(2025·杭州模拟)已知函数y=f(x＋1)的图象如图所示，则(　 　)
A. f(0)=0 B. f(2)=－1
C. f(99)=0 D. f(100)=1
【解析】 函数y=f(x＋1)是函数y=f(x)向左平移1个单位长度得到，又函数y=f(x＋1)的周期T=4，则f(x)的周期也为4. 对于A，f(0)为y=f(x＋1)中x=－1对应的函数值，由图象知f(0)=f(－1＋1)=－1≠0，A错误；对于B，f(2)为y=f(x＋1)中x=1对应的函数值，由图象知f(2)=f(1＋1)=1≠－1，B错误；对于C，99=4×24＋3，则f(99)=f(3)，又f(3)为y=f(x＋1)中x=2对应的函数值，由图象知f(3)=f(2＋1)=0，即f(99)=0，C正确；对于D，100=4×25，则f(100)=f(0)=－1≠1，D错误.
C
与周期性有关的问题的解题策略：
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期的定义，求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
(1)(2025·湖北十堰三模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f=f，则f(7)=(　 　)
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
【解析】 ∵f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)=0，又f=f，则f(x＋1)=f(－x)=－f(x)，可得f(x＋2)=－f(x＋1)=f(x)，可知2为f(x)的一个周期，∴f(7)=f(1)=－f(0)=0.
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)=x3－x，则函数y=f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为　 　.
【解析】 ∵当0≤x＜2时，f(x)=x3－x，且f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)=0，∴f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.又f(1)=0，∴f(3)=f(5)=f(1)=0，故函数y=f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
跟踪训练3
B
7
课时作业
答案速对
第二章 对点练12　函数的奇偶性与周期性 题号 1 2 3 4 5
答案 B B A C B
题号 6 7 8 9 14
答案 D D ACD ABC CD
1.(2025·杭州模拟)函数f(x)=是 (　 　)
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既不是奇函数也不是偶函数
D. 既是奇函数也是偶函数
B
2.已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋2)=－，且f(1)=，则f(2 025)=(　 　)
A. －
B.
C. －1
D. 1
B
3.(2025·河北保定二模)若函数y= f(x)－1是定义在R上的奇函数，则f(－1)＋f(0)＋f(1)=
(　 　)
A. 3
B. 2
C. －2
D. －3
A
4.(2025·河南模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x，y，都有f(x)＋f(y)=f(x＋y)＋a，则a=(　 　)
A. 2
B. 1
C. 0
D. －1
C
5.(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=ln (a为常数)，则(　 　)
A. a∈R，f(x)为偶函数
B. a∈R，f(x)为奇函数
C. a∈R，f(x)既是奇函数又是偶函数
D. a∈R，f(x)既不是奇函数也不是偶函数
B
6.(2025·河南许昌三模)下列函数中，值域为R且为奇函数的是(　 　)
A. y=ex－1
B. y=xsin x
C. y=
D. y=x－
【解析】 对于函数y=ex－1，定义域为R，而f(－x)≠－f(x)，∴该函数不是奇函数，A错误；对于函数y=xsin x，定义域为R，f(－x)=(－x)sin (－x)=xsin x=f(x)，∴该函数是偶函数，不是奇函数，B错误；对于函数y=，定义域为{x|x≠0}，f(－x)==－=－f(x)，∴该函数是奇函数.对于值域，其值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，不是R，C错误；对于函数y=x－，定义域为{x|x≠0}，f(－x)=－x=－=－f(x)，∴该函数是奇函数.当x趋于正无穷时，y=x－趋于正无穷；当x趋于负无穷时，y=x－趋于负无穷，并且函数在定义域内是连续的，∴值域为R，D正确.
D
7.已知函数f(x)满足：对任意实数x，y，都有f(f(x＋y))=f(x)＋f(y)成立，且f(0)=1，则
(　 　)
A. f(x＋1)为奇函数
B. f(x)＋1为奇函数
C. |f(x＋1)|为偶函数
D. |f(x)－1|为偶函数
【解析】 令x=y=0，则f(f(0))=f(0)＋f(0)，f(0)=1，∴f(1)=2，令y=－x，则f(f(0))=f(x)＋f(－x)，即f(1)=f(x)＋f(－x)，∴2=f(x)＋f(－x)，∴y=f(x)的图象关于点(0， 1)对称，∴f(x＋1)的图象关于点(－1，1)对称，A错误；f(x)＋1的图象关于点(0，2)对称，B错误；由A可知|f(x＋1)|的图象关于直线x=－1对称，C错误；由A可知f(x)－1的图象关于点(0，0)对称，∴f(x)－1为奇函数，∴| f(x)－1|为偶函数，D正确.
D
8.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=4x－x2，则下列说法中，正确的有
(　 　)
A. f(x)的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，2]
B. f(－π)＜f(5)
C. f(x)的最大值为4
D. 当x＜0时，f(x)=－4x－x2
【解析】 当x≥0时，f(x)=4x－x2=－(x－2)2＋4，故当0≤x≤2时，f(x)单调递增，当x≥2时，f(x)单调递减，又f(x)是定义在R上的偶函数，故当x≤－2时，f(x)单调递增.综上，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2]和[0，2]，A正确；当x≥2时，f(x)单调递减，f(－π)=f(π)＞f(5)，B错误；f(x)在(－∞，－2]和[0，2]上单调递增，在[－2，0]和[2，＋∞)上单调递减，故当x=－2，或x=2时，f(x)取得最大值，最大值为f(2)=－(2－2)2＋4=4，C正确；当x＜0时，－x＞0，故f(x)=f(－x)=－4x－(－x)2=－4x－x2，D正确.
ACD
9.(多选)f(x)是定义在R上的偶函数， x∈R，均有f(x＋2)=－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)=log2(2－x)，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. 函数f(x)的一个周期为4
B. f(2 025)=0
C. 当x∈[2， 3]时，f(x)=－log2(4－x)
D. 函数f(x)在[0，2 024]内有1 010个零点
【解析】 ∵f(x)是定义在R上的偶函数， x∈R，均有f(x＋2)=－f(x)，∴f(x＋4)=－f(x＋2)=f(x)，∴函数f(x)的一个周期为4，A正确；f(2 025)=f(1)=0，B正确；当x∈[2， 3]时，x－2∈[0，1]，则f(x)=－f(x－2)=－log2[2－(x－2)]=－log2(4－x)，C正确；易知f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2 021)=f(2 023)=0，于是函数f(x)在[0， 2 024]内有1 012个零点，D错误.
ABC
10.(2025·陕西榆林模拟)若奇函数f(x)=x3＋(a－5)x2＋ax(x∈R)，则f(1)=　 　.
【解析】 依题意f(x)=x3＋(a－5)x2＋ax(x∈R)为奇函数，得－x3＋(a－5)x2－ax=－x3－(a－5)x2－ax，即(a－5)x2=0，可得a－5=0，即a=5，故f(x)=x3＋5x，则f(1)=13＋5=6.
6
11.若f(x)=1为奇函数，则实数a=　 　.
【解析】 函数f(x)=1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，若f(x)为奇函数，则f(x)＋f(－x)=0，即2=0，解得a=1.
1
12.已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数m的值；
解：(1)设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)=－(－x)2＋2(－x)=－x2－2x.又f(x)为奇函数，
∴f(－x)=－f(x)，于是x＜0时，f(x)=x2＋2x=x2＋mx，∴m=2.
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)
知∴1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3].
13.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)=－f(x).当x∈[0，2]时，f(x)=2x－x2.
(1)证明：f(x)是周期函数.
(1)证明：∵f(x＋2)=－f(x)，∴f(x＋4)=－f(x＋2)=f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式.
(2)解：当x∈[2，4]时，x－2∈[0，2]，则有f(x－2)=2(x－2)－(x－2)2=－x2＋6x－8，又f(x)是周期为4 的函数，∴f(x)=f(x－4)=－f(x－2)=x2－6x＋8.
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025).
(3)解：f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)=506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2 024)＋f(2 025)=0＋f(2 024)＋f(2 025)=0＋f(0)＋f(1)=1.
14.(多选)(2025·山东临沂模拟)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是偶函数，则(　 　)
A. f(x)是偶函数
B. f(x)是奇函数
C. f(x＋3)是偶函数
D. f(x)=f(x＋4)
【解析】 由题知函数f(x)的定义域为R，∵f(x＋1)是偶函数，∴f(－x＋1)=f(x＋1)，从而f(－x)=f(x＋2)，∵f(x－1)是偶函数，∴f(－x－1)=f(x－1)，从而f(－x)=f(x－2)，∴f(x＋2)=f(x－2)，f(x＋4)=f(x)，∴f(x)是以4为周期的函数.∵f(－x－1)=f(x－1)，∴f(－x－1＋4)=f(x－1＋4)，即f(－x＋3)=f(x＋3)，∴f(x＋3)是偶函数.
CD
15.(2025·云南曲靖模拟)函数f(x)=ln(ex＋1)可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，则h(x)的最小值为　 　.
【解析】 由题意g(x)＋h(x)=ln(ex＋1)①，则g(－x)＋h(－x)=－g(x)＋h(x)=ln(e－x＋1)②，①＋②得2h(x)=ln(ex＋1)＋ ln(e－x＋1)，则h(x)=ln[(ex＋1)(e－x＋1)]=ln，又ex2≥22=4，当且仅当ex=，即x=0时取等号，∴h(x)min=ln 4=ln 2.
ln 2
16.(2025·宁波期中)已知f(x)是定义在R上的函数，对 x，y∈R都有f(x＋y)－f(x－y)=f(x＋2)f(y＋2)，且满足f(0)≠0.
(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明.
解：(1)f(x)是偶函数，证明如下：∵f(x)是定义在R上的函数，对 x，y∈R都有f(x＋y)－f(x－y)=f(x＋2)f(y＋2)，
令x=y=0得f2(2)=0，可得f(2)=0，再令x=0得f(－y)=f(y)，∴f(x)是定义在R上的偶函数.
(2)证明：f(x＋8)=f(x).
(2)证明：令y=－x得f(0)－f(2x)=f(x＋2)f(－x＋2)，　
再令y=x得f(2x)－f(0)=f(x＋2)f(x＋2)，
两式相加得f(x＋2)[f(x＋2)＋f(－x＋2)]=0，这里f(x＋2)不恒为零，故f(x＋2)＋f(－x＋2)=0，即f(x＋2)=－f(－x＋2)，又函数f(x)为偶函数，∴f(x＋2)=－f(－x＋2)=－f(x－2)，∴f(x＋8)=－f(x＋4)=f(x).
(3)求f2(1)＋f2(2)＋…＋f2(2 025)的值.
(3)由(2)知f(3)=－f(1)，f(2)=0，f(－2)=0，f(0)＋f(4)=0，f(6)=f(－2)=0，∴f(0)＋f(2)＋f(4)＋f(6)=0，
令x=y=1得－f(0)=f2(3)；令x=2，y=1得f(3)－f(1)=f(4)f(3)=－f(0)f(3)，又f(0)≠0，得到f(0)=－2；令x=y=n－2得f2(n)= f(2n－4)－f(0)，　
∴f2(1)＋f2(2)＋…＋f2(2 025)=f(－2)＋f(0)＋…＋ f(4 046)－2 025f(0)=0＋506[f(0)＋f(2)＋f(4)＋f(6)]－2 025×(－2)=4 050.(共44张PPT)
第5节　函数的对称性及应用
课标解读　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式及推论.
2.会利用对称公式解决问题.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 函数图象的对称性
考点二 两个函数图象的对称问题
考点三 函数图象对称性的综合应用
微点突破
1.[教材改编]已知函数y=f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)=2，则f(0)=　 　.
【解析】 方法一　∵y=f(x＋2)－3是奇函数，∴f(－x＋2)－3=－f(x＋2)＋3，令x=2，f(0)－3=－f(4)＋3，得f(0)=4.
方法二　由y=f(x＋2)－3是奇函数，得f(x)关于(2，3)对称，故f(0)＋f(4)=6，即f(0)=4.
2.[教材改编]若函数f(x)是R上的奇函数，则函数y=f(x－1)＋1的图象必过定点　 　.
【解析】 ∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(x)的图象过定点(0，0)，∵f(x)的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到y=f(x－1)＋1的图象，则函数y=f(x－1)＋1的图象必过定点(1，1).
4
(1，1)
3. (对函数图象对称性的理解不透彻)若函数y=f(x＋a)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线　 　对称；若函数y=g(x＋b)是奇函数，则函数y=g(x)的图象关于点
　 　对称.
易错题
x=a
(b，0)
1.奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于　 　对称，
偶函数关于　 　对称.
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为　 　；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为　 　.
2.若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则f(a－x)=f(a＋x)；
若函数y=f(x)满足f(a－x)=－f(a＋x)，则函数的图象关于点　 　对称.
3.两个函数图象的对称
(1)函数y=f(x)与y=f(－x)关于　 　对称.
(2)函数y=f(x)与y=－f(x)关于　 　对称.
(3)函数y=f(x)与y=－f(－x)关于　 　对称.
原点
y轴
x=－2
(－2， 0)
(a， 0)
y轴
x轴
原点
[优化拓展]
对称性的四个常用结论：
(1)y=f(x＋a)是偶函数 f(a＋x)=f(a－x) y=f(x)的图象关于x=a对称.
(2)y=f(x＋a)是奇函数 f(a＋x)=－f(a－x) y=f(x)的图象关于点(a，0)对称.
(3)若函数y=f(x)满足f(a＋x)=f(b－x)，则y=f(x)的图象关于直线x=对称.
特别地，当a=b时，即f(a＋x)=f(a－x)，或f(x)=f(2a－x)时，y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
(4)若函数y=f(x)满足f(x)＋f(2a－x)=2b，则y=f(x)的图象关于点(a，b)对称.
特别地，当b=0时，即f(a＋x)＋f(a－x)=0，或f(x)＋f(2a－x)=0时，y=f(x)的图象关于点(a，0)对称.
考点一　函数图象的对称性
(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=ln＋ax＋b(x－1)3. 证明：曲线y=f(x)是中心对称图形.
证明：f(x)=ln ＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0， 2)，设P(m， n)为y=f(x)图象上任意一点，P(m， n)关于(1， a)的对称点为Q(2－m， 2a－n)，∵P(m， n)在y=f(x)的图象上，故n=ln ＋am＋b，而f(2－m)=ln ＋a(2－m)＋b(2－m－1)3=－＋2a=－n＋2a，∴Q(2－m， 2a－n)也在y=f(x)的图象上，由P的任意性可得y=f(x)的图象为中心对称图形，且对称中心为(1， a).
例 1
1.函数y=f(x)关于直线x=a对称 f(a＋x)=f(a－x)，或f(2a＋x)=f(－x).
2.函数y=f(x)关于点(a，b)对称 f(2a－x)＋f(x)=2b，或f(a－x)＋f(a＋x)=2b.
3.函数y=f(a＋x)的图象与函数y=f(b－x)的图象关于直线x=对称.
已知函数f(x)=ln (1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y=f关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由.
解：假设存在a，b，使得曲线y=f关于直线x=b对称.
令g(x)=f=(x＋a)ln=(x＋a)ln ，
∵曲线y=g(x)关于直线x=b对称，∴g(x)=g(2b－x)，
即(x＋a)ln =(2b－x＋a)ln =(x－2b－a)·ln ，　
跟踪训练1
于是得
当a=，b=－时，g(x)=ln，
g(－1－x)=ln ln ln ln=g(x)，
∴曲线y=g(x)关于直线x=－对称，满足题意.
故存在a=，b=－，使得曲线y=f关于直线x=b对称.
考点二　两个函数图象的对称问题
已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x＋2)与y=f(4－x)的图象(　 　)
A. 关于直线x=1对称
B. 关于直线x=3对称
C. 关于直线y=3对称
D. 关于点(3，0)对称
【解析】 设P(x0，y0)为y=f(x＋2)图象上的任意一点，则y0=f(x0＋2)=f(4－(2－x0))，∴点Q(2－x0，y0)在函数y=f(4－x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x=1对称，∴函数y=f(x＋2)与y=f(4－x)的图象关于直线x=1对称.
例 2
A
解决两个函数图象的对称问题的方法：
(1)利用函数y=f(a＋x)与函数y=f(b－x)的图象关于直线x=对称，即可求出对称轴.
(2)利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在题中的应用.
(2025·河南郑州二模)已知函数f(x)为R上的奇函数，若函数y=g(x＋2)与y=f(x)的图象关于点(1，0)对称，则g(4)=(　 　)
A. 1 B. 0
C. －1 D. －2
【解析】 根据题意，函数f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)=－f(x)，则f(0)=－f(0)，f(0)=0，∵函数y=g(x＋2)与y=f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(x)＋g(2＋2－x)=0，即f(x)＋g(4－x)=0，∴g(4)=－f(0)=0.
跟踪训练2
B
考点三　函数图象对称性的综合应用
已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)=5，g(x)－f(x－4)=7，若y=g(x)的图象关于直线x=2对称，g(2)=4，则f(k)=(　 　)
A. －21 B. －22 C. －23 D. －24
【解析】 由f(x)＋g(2－x)=5得f(x)=5－g(2－x)①.由g(x)－f(x－4)=7得f(x－4)=g(x)－7，∴f(x)=g(x＋4)－7②.由①②得，5－g(2－x)=g(x＋4)－7，即g(x＋4)＋g(2－x)=12，∴y=g(x)的图象关于点(3，6)对称，g(3)=6，又y=g(x)的图象关于直线x=2对称，∴函数g(x)是周期为4的函数，且g(1)=g(3)=6，f(x)=g(x)－7.∵g(4)＋g(2)=12，∴g(4)=12－g(2)=12－4=8，∴f(1)=g(1)－7=－1，f(2)=g(2)－7=－3，f(3)=g(3)－7=－1，f(4)=g(4)－7=1，∴f(k)=f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(22)=5×(－4)＋(－1)＋(－3)=－24.
例 3
考向1 对称性与周期性
D
1.若函数y=f(x)的对称轴为直线x=a，x=b，则其周期为T=2|b－a|.
2.若函数y=f(x)的对称中心为(a，0)，(b，0)，则其周期为T=2|b－a|.
3.若函数y=f(x)的对称轴为直线x=a，对称中心为(b，0)，则其周期为T=4|b－a|.
(2025·山东临沂模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点对称，且满足f(x)=－f，又f(－1)=1，f(0)=－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 026)=(　 　)
A. －1 B. 1
C. 0 D. 2
【解析】 ∵函数f(x)的图象关于点对称，∴f(x)=－f.又f(x)=－f，∴f(x)=f(x＋3)，且f(x)=f(－x)，∴f(1)=f(－1)=1，f(－1)＋f(0)＋f(1)=0. 又2 026=675×3＋1，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 026)=675×0＋f(1)=f(1)=1.
跟踪训练3
B
(2025·重庆三模)已知定义域为R的连续函数f(x)满足：①f(x＋6)为偶函数；② x∈R，f(2＋x)＋f(4－x)=0；③ x1，x2∈(0，3)，＞0，则f(2)，f(5)，f(121)的大小顺序为(　 　)
A. f(2)＜f(5)＜f(121)
B. f(2)＜f(121)＜f(5)
C. f(121)＜f(2)＜f(5)
D. f(5)＜f(2)＜f(121)
【解析】 由①，有f(x＋6)=f(－x＋6)，∴f(x)关于直线x=6对称；由②，令t=2＋x，则x=t－2，有f(6－t)=－f(t)，∴f(x)关于点(3，0)对称，∴f(6－x)=－f(x)，又f(－x＋12)=f(x)，则f(6－x)=－f(－x＋12)，则f(x)=－f(x＋6)，则f(x＋6)=－f(x＋12)，则f(x)=f(x＋12)，则f(x)的周期为12，故f(121)=f(1)；由③，知f(x)在(0，3)上单调递增，∵f(x)关于点(3，0)对称，∴f(x)在(3，6)上单调递增，又f(x)在R上连续，∴f(x)在(0，6)上单调递增，故有f(1)＜f(2)＜f(5)，即f(121)＜f(2)＜f(5).
例 4
考向2 对称性、周期性与单调性
C
函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性是函数的四大性质，它们往往综合在一起命题，通常要借助函数的奇偶性及对称性获得函数的周期，通过奇偶性、对称性及周期性将单调区间进行转化，从而得出函数在整个定义域上的相关性质.
(1)定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0， 2)上单调递增，则(　 　)
A.f(11)＜f(12)＜f(21)
B.f(21)＜f(12)＜f(11)
C.f(11)＜f(21)＜f(12)
D.f(21)＜f(11)＜f(12)
【解析】 ∵函数f(x)的图象关于点(－2，0)对称，∴f(x－4)=－f(－x)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴－f(－x)=f(x)，∴f(x－4)=f(x)，即函数f(x)的周期是4，则f(11)=f(－1)，f(12)=f(0)，f(21)=f(1)，∵f(x)为奇函数，且在[0， 2)上单调递增， 则f(x)在(－2， 2)上单调递增，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(11)＜f(12)＜f(21).
跟踪训练4
A
(2)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1－x)=－f(1＋x)，则下列说法中，正确的是(　 　)
A.f=－f
B.函数f(x)的一个周期为2
C.f(2 023)=0
D.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
【解析】 ∵f(1－x)=－f(1＋x)，∴函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，D错误；∵函数f(x)为偶函数，∴f(－x)=f(x)，由f(1－x)=－f(1＋x)，得f(x＋2)=－f(－x)=－f(x)，则f(x＋4)=f(x)，∴f(x)是周期为4的函数，B错误；∵函数f(x)是周期为4的偶函数，∴f=f=f，A错误；在f(1－x)=－f(1＋x)中，令x=0，得f(1)=0，∴f(2 023)=f(3)=f(－1)=f(1)=0，C正确.
C
1.我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，解决抽象函数问题的两种常用方法有：函数性质法和特殊值法.
2.常见的抽象函数模型：
(1)f(x±y)=f(x)±f(y)可看作f(x)=kx(k≠0)的抽象表达式；
(2)f(x＋y)=f(x)f(y)可看作f(x)=ax(a＞0，且a≠1)的抽象表达式；
(3)f(xy)=f(x)＋f(y)可看作f(x)=logax(a＞0，且a≠1，x＞0)的抽象表达式；
(4)f(xy)=f(x)f(y)可看作f(x)=xa的抽象表达式.
微点突破
抽象函数
(1)函数f(x)满足3f(x)f(y)=f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，且f(1)=，则f(2 023)=(　 　)
A. B. －
C. － D.
【解析】 由题意，取y=1，则3f(x)f(1)=f(x＋1)＋f(x－1)，即f(x)=f(x＋1)＋f(x－1)①，∴f(x＋1)=f(x＋2)＋f(x)②，联立①②，得f(x＋2)=－f(x－1)，∴f(x)=－f(x＋3)=f(x＋6)，∴函数f(x)的周期为6，∴f(2 023)=f(6×337＋1)=f(1)=.
例 5
考向1　抽象函数求值问题
D
(2)f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)=f(a)·f(b)，且f(1)=2，则＋…＋=(　 　)
A. 2 024 B. 2 022
C. 1 012 D. 1 011
【解析】 由f(a＋b)=f(a)·f(b)，f(1)=2，令b=1可得f(a＋1)=f(a)·f(1)=2f(a)，∴＋…＋＋…＋=2×1 012=2 024.
A
(多选)(2025·河北石家庄模拟)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)=0，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 函数f(x)是以2为周期的周期函数
B. 函数f(x)是以4为周期的周期函数
C. 函数f(x＋2)为偶函数
D. 函数f(x－3)为偶函数
【解析】 依题意f(x)是偶函数，且f(x)＋f(2－x)=0，f(x)=－f(2－x)=－f(x－2)=－[－f(x－2－2)]=f(x－4)，∴A错误，B正确；f(x＋2)=f(x＋2－4)=f(x－2)= f(－(x－2))=f(－x＋2)，∴函数f(x＋2)为偶函数，C正确；若f(x－3)是偶函数，则f(x－3)= f(－x－3)=f(x＋3)，则函数f(x)是周期为6的周期函数，与B矛盾，∴f(x－3)不是偶函数，D错误.
考向2　抽象函数的性质
例 6
BC
(多选)已知定义在R上且不恒为0的函数f(x)，对任意的x，y∈R，都有f(xy)=xf(y)＋yf(x)，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. f(8)=12f(2)
B. 函数f(x)是奇函数
C. n∈N*，有f(xn)=nf(x)
D. 若f(2)=2，则f(2k)=(n＋1)·2n－2
跟踪训练5
AB
【解析】 对于A，令x=2，y=2，则有f(2×2)=f(4)=2f(2)＋2f(2)=4f(2)，令x=2，y=4，则有f(8)=f(2×4)=2f(4)＋4f(2)=12f(2)，A正确；对于B，∵f(x)的定义域为R，对于 x∈R，f(xy)=xf(y)＋yf(x)，当x≠0时，令y=x，则有f(xy)=f(x2)=2xf(x)，∴f(x)=，f(－x)=－=－f(x)；当x=0时，f(0×y)=0×f(0)=0，∴f(x)是奇函数，B正确；对于C，由B知，当n=2时，f(x2)=2xf(x)，C错误；对于D，f(2n)=f(2n－1×2)=2n－1·f(2)＋2f(2n－1)，令an=f(2n)(n∈N*)，则有an=2an－1＋2n，∴2－nan=2－(n－1)an－1＋1，令bn=2－nan，则bn=bn－1＋1，b1=2－1×2=1，{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，∴bn=b1＋(n－1)=n，即an=n·2n(n∈N*)，令Sn=f(2k)=ak=a1＋a2＋…＋an=1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n①，则2Sn=1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·②，　①－②得，－Sn=2＋22＋23＋…＋2n－n·－n·2n＋1=(1－n)·2n＋1－2，故Sn=(n－1)·2n＋1＋2，D错误.
课时作业
答案速对
第二章 对点练13　 函数的对称性及应用 题号 1 2 3 4 5
答案 C D A D C
题号 6 7 8 9 14
答案 D B ABD ABC D
1.(2025·河南郑州一模)已知曲线y=ln －x＋a关于点(－1，0)中心对称，则a=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. 2 B. 1
C. －1 D. －2
C
2.(2025·四川成都三模)函数y=32x与y=31－2x的图象(　 　)
A. 关于直线x=2对称
B. 关于直线x=1对称
C. 关于直线x=对称
D. 关于直线x=对称
D
3.(2025·湖南长沙模拟)已知函数y=f(x＋1)为奇函数，则函数y=f(x)＋1的图象(　 　)
A. 关于点(1，1)对称
B. 关于点(1，－1)对称
C. 关于点(－1，1)对称
D. 关于点(－1，－1)对称
A
4.函数y=f(x)和y=f(x－2)均为R上的奇函数，若f(1)=2，则f(2 025)=(　 　)
A. －2 B. －1
C. 0 D. 2
D
5.设定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=1对称，且当x＞1时，f(x)=ln(x－1)，则f，f，f的大小关系为(　 　)
A. f＜f＜f
B. f＜f＜f
C. f＜f＜f
D. f＜f＜f
C
6.(2025·广东珠海模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)=6－f(－x)，g(x)=3，若f(x)的图象与g(x)的图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则(xi＋yi)=(　 　)
A. 0 B. m C. 2m D. 3m
【解析】 对于f(x)，f(x)=6－f(－x)，∴f(x)＋f(－x)=6，∴f(x)的图象关于点(0，3)对称.设h(x)=，∵h(－x)==－=－h(x)，∴h(x)是奇函数，∴g(x)=h(x)＋3的图象关于点(0，3)对称，∴f(x)，g(x)的图象的交点关于点(0，3)对称，∴(xi＋yi)=xiyi=0＋3m=3m.
D
7.(2025·安徽合肥模拟)已知定义域为R的函数f(x)，其图象关于直线x=1对称，若f(x＋2)－1为奇函数，且f(1)=0，则f(k)=(　 　)
A. 2 023 B. 2 024
C. 2 025 D. 2 026
【解析】 由f(x)关于x=1对称，有f(x)=f(－x＋2)，又f(x＋2)－1为奇函数，则f(－x＋2)－1=－f(x＋2)＋1，即f(－x＋2)＋f(x＋2)=2，且f(0＋2)－1=0，即f(2)=1，∴f(x)关于点(2，1)对称，且f(x)＋f(x＋2)=2，则f(x＋2)＋f(x＋4)=2，作差有f(x)=f(x＋4)，∴f(x)为周期函数，且周期为4，∵f(1)＋f(3)=2，f(1)=0，则f(3)=2，∵f(0)=f(2)，f(0)＋f(2)=2，则f(0)=f(2)=1，f(4)=f(0)=1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)=4，f(k)=4×506＋0=2 024.
B
8.(多选)设函数f(x)=2x－1＋21－x，则下列说法中，错误的有(　 　)
A. f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B. f(x)为奇函数
C. f(x)的图象关于直线x=1对称
D. f(x)的图象关于点(1，0)对称
【解析】 ∵f(x)=2x－1＋21－x，∴f(2－x)=2(2－x)－1＋21－(2－x)=21－x＋2x－1=f(x)，即f(x)=f(2－x)，f(x)的图象关于直线x=1对称，C正确，A，D错误；∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函数，B错误.
ABD
9.(多选)函数f(x)满足：对任意实数x，y都有f(x＋y)=f(x)＋f(y)－2，且当x＞0时，f(x)＞2，则(　 　)
A. f(0)=2
B. f(x)的图象关于点(0，2)对称
C. f(－2 024)＋f(2 024)=4
D. f(x)为减函数
【解析】 由对于任意实数x，y，f(x＋y)=f(x)＋f(y)－2，令x=y=0，则f(0)= f(0)＋f(0)－2，即f(0)=2，A正确；令y=－x，则f(0)=f(x)＋f(－x)－2，即f(x)＋f(－x)=4，B正确；令x=2 024，y=－2 024，则f(0)=f(2 024)＋f(－2 024)－2，即f(2 024)＋f(－2 024)=4，C正确；对于任意y∈R，x＞0，则设z=x＋y＞y，当x＞0时，f(x)＞2，则f(z)－f(y)=f(x)－2＞0，即f(z)＞f(y)，∴f(x)为增函数，D错误.
ABC
10.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋1)=f(x－1)，f(1－x)＋f(x)=1，则f(x)的最小正
周期为　 　，f(x)的一个解析式可以为　 　.
【解析】 ∵f(x＋1)=f(x－1)，∴f(x)=f(x－2)，f(x)的最小正周期为2.∵f(1－x)＋f(x)=1，∴函数f(x)的图象关于点对称，函数可以为f(x)=cos πx.
f(x)=cos πx(答案不唯一)
2
11.(2025·湖南长沙三模)已知函数f(x)=(x－a)3ln 的图象关于直线x=2对称，则a＋b=
　 　.
【解析】 函数f(x)=(x－a)3ln 的定义域满足＞0，即x(x＋b)＞0，由题知f(x)的定义域关于x=2对称，故b=－4.则f(4－x)=f(x)，即(x－a)3ln =(4－x－a)3ln ，故(x－a)3ln =(x＋a－4)3ln ，则x－a=x＋a－4，解得a=2，故a＋b=－2.
－2
12.函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y=f(x＋a)－b为奇函数.
(1)若f(x)=x3－3x2，求此函数图象的对称中心；
解：(1)设函数f(x)=x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，g(x)=f(x＋a)－b，则g(x)为奇函数，故g(－x)=－g(x)，故f(－x＋a)－b=－f(x＋a)＋b，即f(－x＋a)＋f(x＋a)=2b，即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]=2b，整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b=0，
∴3a－3=0，a3－3a2－b=0，解得a=1，b=－2，
∴函数f(x)=x3－3x2图象的对称中心为(1，－2).
(2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论.
(2)推论：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是函数y=f(x＋a)为偶函数.
13.已知函数f(x)是R上的奇函数，且y=f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[0， 1]时，f(x)=2x－1.
(1)当x∈[1， 2] 时，求f(x)的解析式；
解：(1)∵f(x)的图象关于直线x=1对称，∴f(1＋x)=f(1－x)，即f(x)=f(2－x)， 当x∈[1， 2]时，2－x∈[0， 1]，∵当x∈[0， 1]时，f(x)=2x－1，∴f(x)=f(2－x)=22－x－1，x∈[1， 2].
(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)的值.
(2)∵f(x)的图象关于直线x=1对称，∴f(1＋x)=f(1－x)，
∵f(x)是R上的奇函数，∴f(1＋x)=f(1－x)=－f(x－1)，即f(2＋x)=－f(x)，∴f(x＋4)=－f(x＋2)=f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，∵当x∈[0， 1]时，f(x)=2x－1，∴f(0)=0，f(1)=1，f(2)=－f(0)=0，f(3)=－f(1)=－1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)=0，即f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)=506×[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(0)＋f(1)=f(1)=1.
14.(2025·宁夏吴忠二模)定义在R上的函数f(x)满足f(－1＋x)＋f(－1－x)=0，且f(1＋x)＋f(1－x)=0，当x∈[－1，0)时，f(x)=ex－a，当x∈[0，1]时，f(x)=2x－b，则f(x)的最小值为(　 　)
A. －6 B. －4 C. －3 D. －2
【解析】 由f(－1＋x)＋f(－1－x)=0，即f(－x)＋f(x－2)=0，可得f(x)的图象关于点(－1，0)对称；由f(1＋x)＋f(1－x)=0，即f(－x)=－f(x＋2)，可得f(x)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x＋2)=f(x－2)，∴f(x)的周期为4.易知f(－1)=f(1)=0，∴e－1－a=2－b=0，∴a=，b=2，∴f(x)在[－1，1]上的值域为.又f(x)的图象关于点(1，0)对称，∴当x∈[1，3]时，f(x)∈，即f(x)在一个周期内的值域为[－2，2]，∴f(x)的最小值为－2.
D
15.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R，恒有f(x＋1)=f(x－1)，当x∈[0，1]时，f(x)=，且a=f，b=f(0.5－3)，c=f(0.76)，则a，b，c的大小关系为
　 　.
【解析】 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且恒有f(x＋1)=f(x－1)，即f(x＋2)=f(x)，∴f(x)的最小正周期为2.又a=f=f=f，b=f(0.5－3)=f(8)=f(0)，c=0.76=0.493＜0.53＜0.5，则0＜0.76＜，∵f(x)=2x－1在[0，1]上单调递增，∴b＜c＜a.
b＜c＜a
16.(2025·山东枣庄模拟)关于函数的对称性有如下结论：对于给定的函数y=f(x)，x∈D，如果对于任意的x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)=2b成立(a， b为常数)，则函数f(x)的图象关于点(a， b)对称.
(1)用题设中的结论证明：函数f(x)=的图象关于点(3，－2)对称.
解：(1)证明：f(x)=的定义域为{x|x≠3}，对任意x≠3有f(3＋x)＋ f(3－x) ==－4，∴函数f(x)=的图象关于点(3，－2)对称.
(2)若函数f(x)的图象既关于点(2，0)对称，又关于点(－2，1)对称，且当x∈(2，6)时，f(x)=2x＋3x，求：
(i)f(－5)的值.
(ii)当x∈(8k－2， 8k＋2)，k∈Z时，f(x)的表达式.
(2)解：函数f(x)关于点(2， 0)对称，∴f(2＋x)＋f(2－x)=0，即f(x)＋f(4－x)=0，又关于点(－2， 1)对称，∴f(－2＋x)＋f(－2－x)=2，即f(x)＋f(－4－x)=2，∴f(－4－x)=2＋f(4－x)，即f(x＋8)= f(x)－2.
(i)f(－5)=f(3)＋2=23＋3×3＋2=19.
(ii)x∈(8k－2，8k＋2)，x－8k∈(－2， 2)，4－(x－8k)∈(2， 6)，∴f(x)=f(x－8)－2=f(x－8×2)－2×2=f(x－8×3)－2×3=…=f(x－8k)－2k，又由f(t)=－f(4－t)，∴f(x)=f(x－8k)－2k=－f[4－(x－8k)]－2k=－{24－(x－8k)＋3[4－(x－8k)]}－2k，∴当x∈(8k－2，8k＋2)，k∈Z时，f(x)=－3x－26k－12.(共42张PPT)
第8节　指数函数
课标解读　1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调
性与特殊点.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 指数函数的图象及应用
考点二 指数函数的性质及应用
1.[教材改编]已知2x－1＜23－x，则x的取值范围是　 　.
【解析】 根据指数函数的性质，得x－1＜3－x，解得x＜2，∴x的取值范围是(－∞，2).
2.[教材改编]函数y=ax－1＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点　 　.
【解析】 令x－1=0，得x=1，此时y=a0＋2=3，∴函数y=ax－1＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(1，3).
3.[教材改编]下列函数中，值域为(0，＋∞)的是　 　(填序号).
①y=－5x；②y=；③y=；④y=.
【解析】 ①中函数的值域为(－∞，0)；②中函数的值域为(0，＋∞)；③中函数的值域为[0，＋∞)；④中函数的值域为[0，1).　
(－∞，2)
(1，3)
②
4. (对指数函数的概念理解不透彻)若函数f(x)=(a2－3)·ax为指数函数，则a=
　 　.
【解析】 由题意，a2－3=1，解得a=2，或a=－2(舍去).
5. (忽视对底数a的讨论)若函数f(x)=ax在[－1，1]上的最大值为2，则a=
　 　.
【解析】 当a＞1时，f(x)单调递增，∴f(1)=a=2；当0＜a＜1时，f(x)单调递减，
∴f(－1)=a－1=2，∴a=.综上，a=2或.
易错题
易错题
2
2或
6. (对指数函数的图象掌握不到位)设a，b为常数，若a＞1，b＜－1，则函数y=ax＋b的图象必定不经过第　 　象限.
【解析】 ∵a＞1，b＜－1，∴指数函数y=ax单调递增，且过定点(0，1)，∵b＜－1，∴|b|＞1，∴函数y=ax＋b的图象是由函数y=ax的图象向下平移|b|个单位长度所得，则函数与y轴交于负半轴，∴图象必定不经过第二象限.
易错题
二
1.指数函数的概念
一般地，函数y=ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
2.指数函数的图象与性质
项目 0＜a＜1 a＞1
图象
定义域 R 值域 　 　 性质 过定点　 　，即x=　 　时，y=　 　 当x＜0时，　 　； 当x＞0时，　 　 当x＜0时，　 　；
当x＞0时，　 　
减函数 增函数
(0，＋∞)
(0，1)
0
1
y＞1
0＜y＜1
0＜y＜1
y＞1
[优化拓展]
1.当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论.
2.画指数函数y=ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0，1)，(1，a)，.
3.指数函数的图象与底数大小的比较：
如图所示为指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，
底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y=ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大.简称“底大图高”，在第二象限内则相反.
考点一　指数函数的图象及应用
(1)(多选)已知实数a，b满足等式3a=6b，则下列关系式中，可能成立的有(　 　)
A. a=b B. 0＜b＜a
C. a＜b＜0 D. 0＜a＜b
【解析】 由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的
图象，如图所示，
由图象知，当a=b=0时，3a=6b=1，A正确；作出直线y=k，当k＞1时，
若3a=6b=k，则0＜b＜a，B正确；作出直线y=m，当0＜m＜1时，
若3a=6b=m，则a＜b＜0，C正确；当0＜a＜b时，易得2b＞1，
则3a＜3b＜2b·3b=6b，D错误.
例 1
ABC
(2)若函数y=|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是　 　.
【解析】 函数y=|3x－1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示.由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，∴k的取值范围是(－∞，0].
(－∞，0]
若本例(2)的条件变为：若函数y=|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围是　 　.
【解析】 函数y=|3x－1|－k有一个零点，即y=|3x－1|与y=k有一个交点.由本例(2)中y=|3x－1|的图象可得，当k=0，或k≥1时，直线y=k与y=|3x－1|的图象有唯一的交点，即函数y=|3x－1|－k有一个零点.
[变式拓展]
{0}∪[1，＋∞)
指数函数图象的分析技巧：
(1)特殊点验证法：取函数关键点如(0，1)，(1，a)，验证图象是否通过这些点，排除不符合的选项.
(2)图象变换法：从基础指数函数y=ax出发，通过平移、伸缩、对称得到目标图象.
注意：当底数a与1大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况来讨论.
口诀：“描点排除找基准，平移伸缩定对称，底数大小分类论”.
(1)函数f(x)=的部分图象大致为(　 　)
【解析】 由题意得，f(x)的定义域为R，排除C，D；当x≥－2时，f(x)=，∵0＜＜1，
∴f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，排除A.
跟踪训练1
A. B. C. D.
B
(2)(多选)点M(x1，y1)在函数y=ex的图象上，当x1∈[0，1)时，的值可能等于(　 　)
A. －1 B. －2
C. －3 D. 0
【解析】 表示过点M(x1，y1)与点A(1，－1)的直线的斜率k.M(x1，y1)是y=ex在x∈[0，1)图象上的动点，如图所示，B(1，e)，则k∈(－∞，－2]，只有B，C满足.
BC
考点二　指数函数的性质及应用
(2023·天津卷)若a=1.010.5，b=1.010.6，c=0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　 　)
A. c＞a＞b B. c＞b＞a
C. a＞b＞c D. b＞a＞c
【解析】 方法一　∵函数f(x)=1.01x是增函数，且0.6＞0.5＞0，∴1.010.6＞1.010.5＞1，即b＞a＞1；∵函数g(x)=0.6x是减函数，且0.5＞0，∴0.60.5＜0.60=1，即c＜1.综上，b＞a＞c.
方法二　∵函数f(x)=1.01x是增函数，且0.6＞0.5，
∴1.010.6＞1.010.5，即b＞a；∵函数h(x)=x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01＞0.6＞0，
∴1.010.5＞0.60.5，即a＞c.综上，b＞a＞c.
例 2
考向1 比较大小
D
比较指数幂的值的大小的方法：
(1)能化成同底数的，先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小.
(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量来比较大小.
(1)已知函数f(x)=ex，若a=f(40.99)，b=f(21.99)，c=f(ln 2)，则a，b，c的大小关系为(　 　)
A. a＜b＜c B. a＜c＜b
C. c＜a＜b D. c＜b＜a
【解析】 依题意，21.99＞21.98=40.99＞20=1＞ln 2，而函数f(x)=ex在R上单调递增，因此f(21.99)＞f(40.99)＞f(ln 2)，即c＜a＜b.
(2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则下列结论中，一定成立的是(　 　)
A. a＋b≤0 B. a－b≥0
C. a－b≤0 D. a＋b≥0
【解析】 ∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb，令f(x)=ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，即f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0.
跟踪训练2
C
D
考向2 解简单指数方程或不等式
若不等式对任意的x∈(1，4)恒成立，则实数a的取值范围是
(　 　)
A. (－∞，－5) B. (－∞，－5]
C. [－1，＋∞) D. (－∞，－1)
【解析】 ∵，∴，∴x3＋x2＞x2＋x(a＋1)，即x3－4x2＞x(a＋1)，∵x∈(1，4)，∴x2－4x＞a＋1，当x=2时，x2－4x有最小值－4，∴a＋1＜－4 a＜－5.
例 3
A
解指数不等式或方程的方法：
(1)af(x)=ag(x)(a＞0，且a≠1) f(x)=g(x).
(2)af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x).
(3)有些含参数的指数不等式需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题.
(1)已知y=4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是(　 　)
A. [2，4]
B. (－∞，0)
C. (0，1)∪[2，4]
D. (－∞，0]∪[1，2]
【解析】 ∵y=4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，∴1≤4x－3·2x＋3≤7，且2x＞0，
即≤≤，∴0＜2x≤1，或2≤2x≤4，∴x≤0，或1≤x≤2.
(2)已知实数a≠1，函数f(x)=若f(1－a)=f(a－1)，则a的值为 　.
【解析】 当a＜1时，41－a=21，解得a=；当a＞1时，2a－(1－a)=，此方程无解，故a的值为.
跟踪训练3
D
已知函数f(x)=(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数.
(1)求a的值；
解：(1)f(x)=×2x＋，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)，∴＋2x=－，
∴=0，即＋1=0，解得a=－1.
(2)若 x∈[1，2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围.
(2)∵f(x)=－2x，x∈[1，2]，∴≥m，∴m≥＋2x，x∈[1，2]，令t=2x，t∈[2，4]，由于y=t＋在[2，4]上单调递增，∴m≥4＋，则实数m的取值范围是.
例 4
考向3 指数函数性质的综合
指数型函数的应用技巧：
(1)函数y=af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断，其最值要结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解.
(2)对于函数y=f(ax)(a＞0，且a≠1)，一般要通过换元令ax=t，化为函数y=g(t)，再研究其各种性质.
(多选)已知函数f(x)=，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 函数f(x)的定义域为R
B. 函数f(x)的值域为(0，2]
C. 函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递增
D. f()＞f(4)
【解析】 令u=x2＋4x＋3=(x＋2)2－1，则u∈[－1，＋∞). f(x)的定义域为R，A正确；∵y=在u∈[－1，＋∞)的值域为(0，2]，∴函数f(x)的值域为(0，2]，B正确；∵u=x2＋4x＋3=(x＋2)2－1在[－2，＋∞)上单调递增，且y=在u∈[－1，＋∞)上单调递减，∴根据复合函数单调性的法则，得函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，C错误；由于函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，则f()＞f(4)，D正确.
跟踪训练4
ABD
课时作业
答案速对
第二章 对点练16　指数函数 题号 1 2 3 4 5
答案 A A D C D
题号 6 7 8 9 14
答案 C D BD BCD A
1.函数f(x)=的定义域是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. (－∞，0] B. [0，＋∞)
C. (－∞，0) D. R
A
2.(2025·重庆诊断)已知f(x)=为奇函数，则f(1)=(　 　)
A. B. － C. 2 D. －2
A
3.函数y=ax－(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　 　)
A. B. C. D.
D
4.已知函数f(x)=2x|2x－a|，若0≤x≤1时，f(x)≤1，则实数a的取值范围是(　 　)
A. B.
C. D.
C
5.(2025·天津北辰三模)设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　 　)
A. c＜b＜a B. a＜c＜b
C. a＜b＜c D. c＜a＜b
D
6.(2025·甘肃白银二模)已知2 025m=2 024，x=2 024m－2 023，y=2 026m－2 025，则
(　 　)
A. y＜x＜0 B. 0＜x＜y
C. y＜0＜x D. x＜0＜y
【解析】 ∵2 025m=2 024，∴0＜m＜1，∴，又2 025m=
2 024，∴2 024m＞2 023，∴x=2 024m－2 023＞0；又，且2 025m=2 024，∴2 026m＜2 025，∴y=2 026m－2 025＜0，∴y＜0＜x.
C
7.(2025·绍兴二模)已知函数f(x)=，则(　 　)
A. 当λ=1时，f(x)是偶函数，且在区间(0， 1)上单调递增
B. 当λ=1时，f(x)是奇函数，且在区间(0， 1)上单调递减
C. 当λ=－1时，f(x)是偶函数，且在区间(0， 1)上单调递减
D. 当λ=－1时，f(x)是奇函数，且在区间(0， 1)上单调递增
【解析】 对于A，B，当λ=1时，f(x)=，其定义域为R，f(－x)==f(x)，故f(x)为偶函数，又f(x)=，当x∈(0，1)时，令t=ex∈(1，e)，∵y=t在t∈(1，e)上单调递增，t=ex在x∈(0， 1)上单调递增，故y=ex＋e－x在(0， 1)上单调递增，故f(x)=在(0， 1)上单调递减，A，B错误；对于C，D，当λ=－1时，f(x)=，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)==－f(x)，故f(x)为奇函数，又f(x)=，当x∈(0， 1)时，y=e－x，y=－ex均为减函数，故y=e－x－ex为(0， 1)上的减函数，故f(x)=为(0， 1)上的增函数，C错误，D正确.
D
8.(多选)函数f(x)=ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论中，正确的有
(　 　)
A. a＞1
B. 0＜a＜1
C. b＞0
D. b＜0
BD
【解析】 由函数f(x)=ax－b的图象可知，函数f(x)=ax－b在定义域上单调递减，∴0＜a＜1，B正确；分析可知函数f(x)=ax－b的图象由y=ax的图象向左平移所得，如图所示，∴－b＞0，∴b＜0，D正确.
9.(多选)已知函数f(x)=，下列关于函数f(x)的说法，正确的有 (　 　)
A. 函数f(x)的图象关于原点对称
B. 函数f(x)的值域为(0，1)
C. 不等式f(x)＞的解集为(0，＋∞)
D. f(x)是增函数
【解析】 ∵函数f(x)的定义域为R，且f(0)=≠0，∴函数f(x)的图象不关于原点对称，A错误；∵e－x＋1＞1，∴f(x)=∈(0，1)，B正确；由f(x)=，可得e－x＜1，则－x＜0，解得x＞0，C正确；对任意的x∈R，y=1＋e－x＞1，且函数y=1＋e－x在R上单调递减，故函数f(x)是增函数，D正确.
BCD
10.请写出一个满足下列三个性质的函数f(x)= 　.
①若xy＞0，则f(x＋y)=f(x)f(y)；②f(x)=f(－x)；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
【解析】 令f(x)=(a＞1)，f(x＋y)=，f(x)f(y)=·(xy＞0)，∴满足若xy＞0，则f(x＋y)=f(x)f(y).f(－x)==f(x)，即f(x)=f(－x)成立，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
(a＞1)(答案不唯一)
11.对任意实数a＞1，函数y=(a－1)x－1＋1的图象过定点A(m，n)，f(x)=的定义域为[0，2]，g(x)=f(2x)＋f(x)，则g(x)的值域为　 　.
【解析】 令x－1=0，得x=1，此时y=(a－1)0＋1=2，∴函数y=(a－1)x－1＋1的图象过定点A(1，2)，即m=1，n=2，∴f(x)==2x，x∈[0，2]，∴g(x)=f(2x)＋f(x)=22x＋2x，∴得0≤x≤1，∴g(x)的定义域为[0，1].又y=22x，y=2x均是增函数，∴g(x)是增函数，∴g(x)的值域为[2，6].
[2，6]
12.已知定义域为R的函数f(x)=ax－(k－1)·a－x(a＞0，且a≠1)是奇函数.
(1)求实数k的值；
解：(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)=a0－(k－1)·a0=1－(k－1)=0，∴k=2，经检验k=2符合题意.
(2)若f(1)＜0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)＞0，求实数m的取值范围.
(2)由(1)，知f(x)=ax－a－x(a＞0，且a≠1)，∵f(1)＜0，即a－＜0，又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，此时y=ax在R上单调递减，y=－a－x在R上单调递减，故由单调性的性质可判断f(x)=ax－a－x在R上单调递减，不等式f(m2－2)＋f(m)＞0可化为f(m2－2)＞f(－m)，∴m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1，m∈(－2，1).
13.已知函数f(x)=4a·9x＋(8a－3)·3x－1a－(a∈R).
(1)若a=，求f(x)的值域；
解：(1)若a=，则f(x)=9x－3x－1－，令u=3x，u∈(0，＋∞)，令y=u2－，u∈(0，＋∞)，当u=时，ymin=－1，∴f(x)的值域为[－1，＋∞).
(2)若a＞，存在实数m，n(m＜n)，使得当x∈[m，n]时，f(x)的取值范围是[3m＋1，3n＋1]，求实数a的取值范围.
(2)∵a＞，∴f(x)在R上单调递增，∴当x∈[m，n]时，f(x)的取值范围是[f(m)，f(n)]，即∴关于x的方程4a·9x＋(8a－3)·3x－1a－在R上有两个不同的实数解，即4a·9x·3x=0在R上有两个不同的实数解，令t=3x，t∈(0，＋∞)，∴4at2t=0在(0，＋∞)上有两个不同的实数解，
∴－＞0，＞0，Δ=－4×4a·＞0，解得＜a＜1，∴实数a的取值范围是.
14.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=ax(a＞1).若对任意的x∈[0，2t＋1]，均有f(x＋t)≥[f(x)]3，则实数t的最大值是(　 　)
A. － B. － C. 0 D.
【解析】 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=ax(a＞1)，∴f(x)=a|x|(a＞1)，当x≥0时为增函数，∴[f(x)]3=(a|x|)3=a|3x|=f(3x)，则f(x＋t)≥[f(x)]3等价于f(x＋t)≥f(3x)，即|x＋t|≥|3x|，即8x2－2tx－t2≤0对任意x∈[0，2t＋1]恒成立，设g(x)=8x2－2tx－t2，则有即8(2t＋1)2－2t(2t＋1)－t2≤0，且2t＋1＞0，解得－＜t≤－.
A
15.(2025·云南楚雄期中)已知奇函数f(x)=ax＋b·a－x在[－1，1]上的最大值为，则a=
　 　.
【解析】 ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＋f(x)=(b＋1)( ax＋a－x)=0，解得b=－1，即f(x)=ax－a－x.当a＞1时，函数f(x)在[－1，1]上单调递增，则f(1)=a1－a－1=，解得a=2；当0＜a＜1时，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，则f(－1)=a－1－a=，解得a=.综上，a=2或.
2或
16.定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有－M≤f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界.已知f(x)=4x＋a·2x－2.
(1)当a=－2时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由；
解：(1)当a=－2时，f(x)=4x－2×2x－2=(2x－1)2－3，令2x=t，由x∈(0，＋∞)，可得t∈(1，＋∞).令g(t)=(t－1)2－3，t＞1有g(t)＞－3，可得函数f(x)的值域为(－3，＋∞)，故函数f(x)在(0，＋∞)上不是有界函数.
(2)若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围.
(2)由题意，当x∈(－∞，0)时，－2≤4x＋a·2x－2≤2，可化为0≤4x＋a·2x≤4，必有a＋2x≥0，且a≤－2x.令2x=k，由x∈(－∞，0)，可得k∈(0，1)，由a＋2x≥0恒成立，可得a≥0，令h(k)=－k(0＜k＜1)，可知函数h(k)为减函数，h(k)＞h(1)=4－1=3，由a≤－2x恒成立，可得a≤3，若函数f(x)在(0，＋∞)上是以2为上界的有界函数，则实数a的取值范围是[0，3].(共43张PPT)
第12节　函数模型及其应用
课标解读　1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.
2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.
3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的
实际应用.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 利用函数图象刻画实际问题的变化过程
考点二 利用已知函数模型解决实际问题
考点三 构建函数模型解决实际问题
1.[教材改编]某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数解析式为y=3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，且销量等于产量，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 100台 B. 120台
C. 150台 D. 180台
【解析】 设利润为f(x)万元，则f(x)=25x－(3 000＋20x－0.1x2)=0.1x2＋5x－3 000(0＜x＜240，x∈N*).令f(x)≥0，得x≥150，∴不亏本时的最低产量是150台.
C
2.[教材改编]在某个物理实验中，测量出变量x和变量y的几组数据如下表所示：
则对x，y拟合最适合的函数是(　 　)
A. y=2x
B. y=x2－1
C. y=2x－2
D. y=log2x
【解析】 根据x=0.50，y=－0.99，代入各选项计算，可以排除A；根据x=2.01，y=0.98，代入其余各选项计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y=log2x，可知满足题意.
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
D
3.[教材改编]在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S=ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末时未溶解糖块的质量，则k的值为(　 　)
A. ln 2 B. ln 3
C. D.
【解析】 由题意可得，当t=0时，S=a=7，∵在第5分钟末S=3.5，∴3.5=7e－5k，解得k=.
C
4.[教材改编]若某地2025年的GDP比2015年翻一番，则此地GDP平均每年的增长率是
　 .
【解析】 设平均每年的增长率为x，∴(1＋x)10=2，即1＋x=，则x=－1，∴平均每年的增长率是－1.
－1
5. (混淆指、对、幂函数的图象)已知f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中，正确的是(　 　)
A. f(x)＞g(x)＞h(x)
B. g(x)＞f(x)＞h(x)
C. g(x)＞h(x)＞f(x)
D. f(x)＞h(x)＞g(x)
易错题
B
6. (分段函数模型的分界把握不到位)已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，则汽车与A地的距离s(单位：km)关于时间t(单位：h)之间的函数解析式是
　 　.
【解析】 当0≤t≤2.5时，s=60t；当2.5＜t≤3.5时，s=150；当3.5＜t≤6.5时，s=150－50(t－3.5)=325－50t.
易错题
s=
1.几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)=bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0，且a≠1)
对数函数模型 f(x)=blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0，且a≠1)
幂函数模型 f(x)=axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
对勾函数 模型 f(x)=ax＋(ab＞0)
2.三种函数模型的增长差异
函数 性质 y=ax (a＞1) y=logax (a＞1) y=xn
(n＞0)
在(0，＋∞) 上的单调性 单调　 　 单调　 　 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的 变化 随x的增大，逐渐表现为与　 　平行 随x的增大，逐渐表现为与　 　平行_______ 随n值变化而各有不同
递增
递增
y轴
x轴
[优化拓展]
1.理解三个术语：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.解题时，易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证实际问题中数学结果的合理性.
考点一　利用函数图象刻画实际问题的变化过程
某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年的年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量保持不变，则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵前3年年产量的增长速度越来越快，∴当0≤t≤3时，总产量增长速度越来越快，图象上升的速度越来越快.又后3年年产量的增长速度保持不变，∴当3＜t≤6时，图象的上升速度不变，图象为直线型，且c随t的增大而增大，A正确.
例 1
A
判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合的两种方法：
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)验证法：根据实际问题中两个变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，从中排除不符合实际情况的答案，选择出符合实际情况的答案.
(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法，正确的有(　 　)
A. 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B. 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C. 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D. 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
跟踪训练1
ABC
【解析】 从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，当两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第二次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此会发生药物中毒，D错误.
考点二　利用已知函数模型解决实际问题
(2025·北京西城模拟)香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即C=Wlog2，其中C是信道容量，单位bps；W为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频(FHSS)技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5 MHz扩展至100 MHz，为了降低90%以上的敌方干扰，需将信道容量由17.3 Mbps提高至593 Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的(参考数据：23.46≈11，25.93≈60.97)(　 　)
A. 5倍 B. 6倍 C. 7倍 D. 8倍
【解析】 设原始状态信道容量为C1，提升后信道容量为C2，由题意可得C1=W1log2，即17.3=5log2，解得≈10，同理C2=W2log2，即593=100log2，解得≈60，∴大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍.
例 2
B
已知函数模型，解决实际问题的关键：
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
(3)已知该函数模型，借助函数的性质等求解实际问题，并进行检验.
(1)(2025·福建龙岩模拟)声音的等级f(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足f(x)=10×lg .喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB，若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为(　 　)
A. 120 dB B. 100 dB
C. 80 dB D. 60 dB
【解析】 设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1，x2，由题意可得f(x1)=10×lg =140，解得x1=102. ∵=108，∴x2=10－6，故f(10－6)=10×lg =60，∴一般说话时声音的等级约为60 dB.
跟踪训练2
D
(2)(多选)预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn=P0(1＋k)n(k＞－1)，其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口的年增长率，n为预测期间隔年数，则(　 　)
A. 当k∈(－1，0)时，这期间人口数呈下降趋势
B. 当k∈(－1，0)时，这期间人口数呈摆动变化
C. 当k=，Pn≥2P0时，n的最小值为3
D. 当k=－，Pn≤P0时，n的最小值为3
【解析】 易知P0＞0，当k∈(－1，0)时，0＜1＋k＜1，由指数函数的性质可知Pn=P0(1＋k)n随n的增大而减小，即这期间人口数呈下降趋势，A正确，B错误；当k=时，Pn=P0·≥2P0，∴≥2，∴n≥lo2(n∈N＋)，又lo2∈(2，3)，∴n的最小值为3，C正确；当k=－时，Pn=P0·≤P0，∴≤，∴n≥lo(n∈N＋)，∵lo=lo2∈(1，2)，∴n的最小值为2，D错误.
AC
考点三　构建函数模型解决实际问题
绿色、环保是新时代健康生活的理念.某运动场馆准备投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为a，投放后该空气净化剂含量以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于3a时才有净化效果，且至少需要持续净化12个小时才能达到净化目的，现有9瓶该空气净化剂.
(1)如果一次性投放9瓶该空气净化剂，能否达到净化的目的？如果能，请说明理由；如果不能，最多可净化多长时间(结果精确到0.1小时)？
(2)如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案(每次投放的瓶数为整数，投放用时忽略不计，结果精确到0.1小时).
参考数据：lg 3≈0.477，0.96≈0.53.
例 3
解：(1)假设一次性投放9瓶，可持续净化x小时，则9a·(1－10%)x≥3a(x≥0)，∴0.9x≥，两边取常用对数得x·lg 0.9≥lg ，∴x≤≈10.4，∵10.4＜12，∴不能达到净化的目的，最多可净化10.4小时.
(2)设第一次投放n瓶，第二次投放9－n瓶，n∈N*，且n＜9，依据题意，得
由第一个不等式可得，n≥≈5.7，
由第二个不等式可得，n≤≈7.1，
∴5.7≤n≤7.1，又n∈N*，∴n可取6或7，
∴可能的投放方案为第一次投放6瓶，第二次投放3瓶或第一次投放7瓶，第二次投放2瓶.
在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；
(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题的解决方法.
某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销售1份轻食，成本为5元.已知该团队轻食的月销售量为x(x∈N*)万份，该团队每个月保底能够销售5 000份轻食，且当0.5≤x≤4时，月销售收入为万元；当x＞4时，月销售收入为万元.
(1)求该团队的月销售利润f(x)(单位：万元)与月销售量x之间的函数解析式；
解：(1)由题意，当0.5≤x≤4时，f(x)=x＋－5x－2=x＋，当x＞4时，f(x)=log3(18x＋9)＋x－5x－2=log3(18x＋9)＋x－2.
∴f(x)=
跟踪训练3
(2)当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小？最小利润为多少万元？
(2)当0.5≤x≤4时，f(x)=x＋≥2，当且仅当，即x=1时取等号；当x＞4时，f(x)=log3(18x＋9)＋x－2＞log3(18×4＋9)＋×4－2=4＞，∴当月销售量为1万份时，该团队的月销售利润最小，为3.1万元.
课时作业
答案速对
第二章 对点练20　函数模型及其应用 题号 1 2 3 4 5
答案 D D B C C
题号 6 7 8 9 14
答案 C B ABC ACD CD
1.有一组实验数据如下表所示：
则最能体现这组数据关系的函数模型是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. y=2x＋1－1
B. y=x3
C. y=2log2x
D. y=x2－1
x 2.01 3 4.01 5.1 6.12
y 3 8.01 15 23.8 36.04
D
2.如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注
水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升的
高度h与注水时间t之间的函数关系大致是(　 　)
A. B. C. D.
D
3.(2025·贵州贵阳期末)随着环保法的深入实施，我国的生态环境持续得到改善.据统计，第x年某公园鸟类数量y(单位：只)近似满足y=klog3(x＋1)，观测发现第2年有鸟类共500只，估计第5年有鸟类(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　 　)
A. 765只 B. 818只
C. 915只 D. 965只
B
4.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C会按确定的比率衰减(称为衰减率)，C与死亡年数t之间的函数解析式为C=0.(k为常数)，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2024年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于(　 　)
参考数据：log20.85≈－0.23.参考时间轴：
A. 战国 B. 汉
C. 唐 D. 宋
C
5.(2025·福建福州模拟)在一定条件下，大气压强p(单位：百帕)随海拔高度h(单位：米)的变化满足如下函数关系式：p=p0e－kh(p0，k为大于0的常数).已知海拔高度0米处的大气压强为1 000百帕，海拔高度10 000米处的大气压强为250百帕，那么，若大气压强增加1倍，则海拔高度降低(　 　)
A. 100米 B. 2 500米
C. 5 000米 D. 7 500米
C
6.某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产了一种智能产品.该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元，其中ω(x)=若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(　 　)
A. 720万元 B. 800万元 C. 875万元 D. 900万元
【解析】 该企业每年利润
f(x)=当0＜x≤40时，f(x)=－x2＋60x－25=－(x－30)2＋875，当x=30时，f(x)取得最大值875；当x＞40时，f(x)=920－≤920－2=720(当且仅当x=100时，等号成立)，即当x=100时，f(x)取得最大值720.∵875＞720，∴该企业每年利润的最大值为875万元.
C
7.某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°
的等腰梯形(如图所示)，水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100
元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面的面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据：≈1.732)(　 　)
A. 0.58米 B. 0.87米
C. 1.17米 D. 1.73米
【解析】 如图所示，设过水横断面为等腰梯形ABCD，过点B作BE⊥CD于点E，∠BAD=∠ABC=120°，
B
要使过水横断面的面积最大，则此时资金3万元都用完，则100×(AB＋BC＋AD)×100=30 000，解得AB＋BC＋AD=3(米).设BC=x(米)，则AB=3－2x(米)，BE=x(米)，CE=x(米)，CD=3－x(米)，且0＜x＜，则梯形ABCD的面积S=·(－x2＋2x)，当x=1时，Smax=，此时BE=(米)≈0.87(米)，即当过水横断面的面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米.
8.(多选)小菲在学校某节选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，并在绘制图象后拟合了记忆保持量f(x)与时间x(单位：天)之间的函数关系，f(x)=下列说法中，正确的有
(　 　)
A. 随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B. 第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C. 9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D. 26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
【解析】 由函数解析式可知f(x)随着x的增大而减小，A正确；由图象可得B正确；当1＜x≤30时，f(x)=，则f(9)==0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，C正确；f(26)=×2，D错误.
ABC
9.(多选)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费.抽奖结果共分为五个等级，等级x与购物卡的面值y(单位：元)的关系式为y=eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，则 (　 　)
A. a=－ln 5
B. k=15
C. 一等奖的面值为3 130元
D. 三等奖的面值为130元
【解析】 由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，∵100÷20=5，∴=e－a=5，则a=－ln 5，A正确；由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)=e3a＋b(1－ea)=100，可知e3a＋b=125，∵四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，∴e4a＋b＋k=3(e5a＋b＋k)，解得k=5，B错误；则三等奖的面值为e3a＋b＋k=125＋5=130(元)，D正确；由ea＋b＋k=e3a＋b·e－2a＋k=125×25＋5=3 130，故一等奖的面值为3 130元，C正确.
ACD
10.某市拟建造一批外形为长方体的工作房，如图所示.房子的高度为
3 m，占地面积为6 m2，墙体ABFE和DCGH的造价均为800元/m2，
墙体ADHE和BCGF的造价均为1 200元/m2，地面和房顶的造价共
20 000元.则一个这样的工作房的总造价最低为　 　元.
【解析】 设AB=x m，x＞0，则BC= m，这样的一个工作房的总造价为2×3x×800＋2××3×1 200＋20 000=4 800x20 000，∵4 800x20 000≥220 000=48 800，当且仅当4 800x=，即x=3时，等号成立，∴一个这样的工作房的总造价最低为48 800元.
48 800
11.某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元后，奖金y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型：①y=0.2x；②y=log5x；③y=1.02x，则符合该商场要求的模型为　 　(填序号).
【解析】 在同一平面直角坐标系中作出函数y=0.2x，y=log5x，y=1.02x的图象，如图所示.观察图象可知，在区间[5，100]内，函数y=0.2x，y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方，只有函数y=log5x的图象始终在直线y=3和y=0.2x的下方，∴②正确.
②
12.研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0，16)，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y=log0.8(x＋a)＋80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.
(1)求函数y=f(x)的解析式；
解：(1)当x∈[0，16]时，设函数f(x)=b(x－12)2＋84(b＜0)，
∵f(16)=b(16－12)2＋84=80，∴b=－，∴f(x)=－(x－12)2＋84；
当x∈[16，40]时，f(x)=log0.8(x＋a)＋80，由f(16)=log0.8
(16＋a)＋80=80，解得a=－15，∴f(x)=log0.8(x－15)＋80，综上，f(x)=
(2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长(结果精确到1分钟，参考数据：0.8－12≈14.6)？
(2)当x∈[0，16)时，令f(x)=－(x－12)2＋84≤68，即(x－12)2≥64，
解得x≤4，或x≥20(舍去)，∴x∈[0，4]；当x∈[16，40]时，令f(x)=log0.8(x－15)＋80≤68，得x≥15＋0.8－12≈29.6≈30，∴x∈[30，40]，∴学生处于“欠佳听课状态”的时长约为4－0＋40－30=14(分钟).
13.近年来，城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车现象.电动自行车凭借其体型小、灵活性强、易操作的优点，成为市民出行的常用交通工具.据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q(单位：千辆/小时)与电动自行车的平均速度v(单位：千米/小时)(注：国家规定电动自行车最大设计时速为25千米/小时)具有以下函数关系：
Q(v)=(0＜v≤25).
(1)欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，求v的取值范围；
解：(1)电动自行车流量不少于10千辆/小时，即Q(v)=≥10，化简可得v2－58v＋400≤0，解得8≤v≤50.又最高设计时速为25千米/小时，故8≤v≤25，∴欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，v的取值范围应是[8，25].
(2)当电动自行车流量Q最大时，求v的值并估计最大流量(结果精确到0.1).
(2)Q(v)=，由基本不等式可得v≥2=2=40，当且仅当v=，即v=20时取等号，此时电动自行车流量有最大值，最大值为Q(v)=≈14.3，故当平均速度为20千米/小时时，电动自行车流量最大，最大值约为14.3千辆/小时.
14.(多选)甲、乙、丙、丁4个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i=1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数解析式分别为f1(x)=2x－1，f2(x)=x2，f3(x)=x，f4(x)=log2(x＋1)，则下列结论中， 正确的有(　 　)
A. 当x＞1时，甲走在最前面
B. 当x＞1时，乙走在最前面
C. 当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面
D. 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
【解析】 甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i=1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数解析式分别为f1(x)=2x－1，f2(x)=x2，f3(x)=x，f4(x)=log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型.当x=2时，f1(2)=3，f2(2)=4，A错误；当x=5时，f1(5)=31，f2(5)=25，B错误；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x=1时，甲、乙、丙、丁4个物体走过的路程相等，从而可知，当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面，C正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，D正确.
CD
15.“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激励活动，它能在短时间内最大限度地激发一个人的潜能，使其在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大.现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化情况，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)，增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)=，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)=P.现有某学生在高考前100天的最
后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为　 　(结果保留整数，lg 61≈1.79，lg 1.01近似为0).
【解析】 由题意得，f(60)=≈P，∴k==0.465，∴f(100)=≈=62，∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62=462.
462
16.我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变，物理学中称为“声压”，用P表示(单位：Pa)，声压级SPL(单位：dB)表示声压的相对大小，已知SPL=klg(k是常数).当声压级SPL提高60 dB时，声压P会变为原来的1 000倍.
(1)求声压级SPL关于声压P的函数解析式；
解：(1)由题意可得，klg60=klg，则klg60=k，∴3k=60，解得k=20，故声压级SPL关于声压P的函数解析式为SPL=20lg.
(2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压P=，一般当声压级SPL＜45 dB时人类是可以正常学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40 dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？请说明理由.(参考数据：lg 2≈0.3)
(2)不会干扰我们的学习，理由如下：当SPL=40时，由20lg=40，即lg=2，可得P1=P2=2×10－3，∴P=P1=2×10－3，将其代入SPL=20lg可得SPL=20lg=20lg(×102)=40＋10lg 2≈43＜45，故不会干扰我们的学习.(共39张PPT)
第7节　指数、对数运算
课标解读　　1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2.理解对数的概念和运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用
对数.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 指数幂的运算
考点二 对数式的化简与求值
考点三 指数、对数运算的实际应用
1.[教材改编]化简4=　 　(a＞0，b＞0).
【解析】 4=
4×=－6a.
2.[教材改编]化简logab·logbc·logca(a＞0，b＞0，c＞0，a≠1，b≠1，c≠1)=　 　.
【解析】 ∵a＞0，b＞0，c＞0，a≠1，b≠1，c≠1，∴logab·logbc·logca=··=1.
3.[教材改编]设a=lg 2，b=lg 3，则log1210= 　.
【解析】 log1210=.
－6a
1
4. (化简(a∈R)时忽略n的范围)计算=　 　.
【解析】 =1＋－1=2.　
5. (不熟悉对数的运算性质)有下列结论：①lg(lg 10)=0；②lg(ln e)=0；③若lg x=1，则x=10；④若log22=x，则x=1；⑤若logmn·log3m=2，则n=9.其中正确结论的序号是　 　.
易错题
易错题
2
①②③④⑤
6. (忽视真数大于零)已知lg x＋lg y=2lg(x－2y)，则=　 　.
【解析】 ∵lg x＋lg y=2lg(x－2y)，∴lg(xy)=lg(x－2y)2，∴xy=(x－2y)2，整理可得x2－5xy＋4y2=0，
∴－5＋4=0，解得=4，或=1(舍去).
易错题
4
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子叫做　 　，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：
①　 　没有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，记作=　 　.
③()n=　 　(n∈N*，且n＞1).
④=a(n为大于1的奇数).
⑤=|a|=(n为大于1的偶数).
根式
负数
0
a
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是= 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是= 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂　 　.
3.有理数指数幂的运算性质
aras=　 　；(ar)s=　 　；(ab)r=　 　，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q.
4.对数的概念
一般地，如果ax=N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=　 　，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
没有意义
ar＋s
ars
arbr
logaN
5.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质
①=　 　.②logaab=b(a＞0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
①loga(MN)=　 　.
②loga=　 　.
③logaMn=　 　(n∈R).
(3)换底公式
logab=　 (a＞0，且a≠1，b＞0，c＞0，且c≠1).
N
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM

[优化拓展]
换底公式的两个重要结论：
(1)logab=(a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1).
(2)lobn=logab(a＞0，且a≠1；b＞0；m，n∈R，且m≠0).
考点一　指数幂的运算
(1)计算：＋0.2.
解： (1)原式=－4－1＋=－.
(2)已知=2，求的值.
(2)由=2，得x＋＋2=6，x2＋=(x＋)2－2=34，
∴.
例 1
指数幂的运算：
(1)运算顺序：有括号的先算括号内的，没有括号的先进行指数的乘方、开方，再乘除后加减，底数是负数的要先确定符号.
(2)运算的基本原则：①化负指数为正指数.②化根式为分数指数幂.③化小数为分数，化带分数为假分数.
化简与求值：
(1)＋(0.027；
解：(1)原式=＋(0.3＋0.09=－0.16.
(2)(a＞0，b＞0).
(2)原式==
÷(ab)=.
跟踪训练1
考点二　对数式的化简与求值
(1)已知2m=9n=6，则的值等于(　 　)
A. B. 3
C. 1 D. 2
【解析】 ∵2m=9n=6，∴m=log26，n=log96，∴=log62，=log69，∴=log62＋log69=log6=1.
(2)log381－log98·log23－＋lg ＋lg =　 　.
【解析】 原式=log334－log32·log23－3＋lg=4－－3＋=0.
例 2
C
0
本例(1)中，若将条件“2m=9n=6”改为“2m=9n=”，试求的值等于　 　.
【解析】 ∵2m=9n=，∴m=log2，n=log9，∴=lo2，=lo9，∴=lo2＋lo9=lo18=－1.
[变式拓展]
－1
对数式化简与求值的基本原则和方法：
(1)基本原则：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选择的化简方法应取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
(2)两种常用的方法：
①“收”：将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数.
②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差).
(1)(2025·安徽黄山三模)已知a，b＞0，log2a=1.7，log2=－0.15，则=　 　.　
【解析】 ∵log2log2b=－0.15，则log2b=－0.3，又log2a=1.7，∴log2=log 2a－log2b=1.7－(－0.3)=2，∴=4.
跟踪训练2
4
(2)计算下列各式：
①log225·log3(2)·log59；
②；
③log23·log38＋(.
解：①方法一　log225·log3(2)·log59=log252·log3·log532=6log25·log32·log53=6.
方法二　log225·log3(2)·log59=····=6.
②原式==1.
③原式=·=3＋=3＋2=5.
考点三　指数、对数运算的实际应用
(1)酒驾最新标准规定：100 mL血液中酒精含量达到20 mg的驾驶员即为酒后驾车，达到80 mg及以上认定为醉酒驾车.如果某驾驶员酒后血液中酒精浓度为1.2 mg/mL，从此刻起停止饮酒，血液中酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　 　)
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
【解析】 设至少经过t个小时，得1.2(1－25%)t＜0.2，即，两边取对数可得，t＞≈=6.224，故至少经过7个小时才能驾驶.
例 3
B
(2)(2025·北京卷)一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N(单位：h)，其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20 h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(　 　)
A. 2 h B. 4 h
C. 20 h D. 40 h
【解析】 设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，T1=klog2106=6klog210，T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10＋6log210)，T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12＋6log210)，∵T2－T1=k(10＋6log210)－6klog210=10k=20，∴k=2，∴T3－T2=k(12＋6log210)－k(10＋6log210)=2k=4，∴当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4 h.
B
解决指数、对数运算实际应用问题的步骤：
(1)理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系；
(2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求.
(1)(2025·绍兴三模)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8＋1.5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生的里氏8.0级地震的(精确到1，注：≈1.414，≈3.162)(　 　)
A. 30倍 B. 31倍
C. 32倍 D. 33倍
【解析】 设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是E1和E2，由题意得lg E1=4.8＋1.5×9.0，lg E2=4.8＋1.5×8.0.于是lg =lg E1－lg E2=(4.8＋1.5×9.0)－(4.8＋1.5×8.0)=1.5，∴=101.5=1=10≈10×3.162=31.62≈32.
跟踪训练3
C
(2)果农采摘水果时，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去的新鲜度h与其采摘后的时间t(单位：天)之间满足的函数解析式为h=m·at.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%，则采摘下来的这种水果失去40%新鲜度需要的天数为(　 　)
A. 25 B. 30
C. 35 D. 40
【解析】 依题意，得解得m=，a10=2.∴当h=40%时，40%=·at，即40%=·a10·at－10，解得at－10=4=(a10)2=a20，于是得t－10=20，解得t=30，∴采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.
B
课时作业
答案速对
第二章 对点练15　指数、对数运算 题号 1 2 3 4 5
答案 C A C D B
题号 6 7 8 9 14
答案 A A AB BCD C
1.(2025·北京大兴三模)已知2a=3，log25=b，则2a－b的值为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. 15 B. C. D. －2
C
2.(2025·河南新乡二模)=(　 　)
A. 16 B. 8
C. 32 D. 16
A
3.(2025·河北邯郸模拟)某金融产品的价格增长模型遵循连续复利模型，公式为P(t)=P0·ert，其中r为年收益率，t为投资时间(单位：年)，e为自然对数的底数，P0为初始资金，P(t)为t年后的资金，已知某产品年收益率r=5%，则使初始资金翻倍至少需要(参考数据：ln 2≈0.693 1)(　 　)
A. 12年 B. 13年
C. 14年 D. 15年
C
4.已知ab≠1，logam=2，logbm=3，则logabm=(　 　)
A. B.
C. D.
D
5.(2025·贵州黔东南三模)在人工智能芯片的性能测试中，若芯片处理数据的错误率E与芯片的运算速度v(单位：TOPS)满足函数关系E=0.006＋0.2lg ，则当芯片处理数据的运算速度为128 TOPS时，芯片处理数据的错误率约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　 　)
A. 0.030 B. 0.031
C. 0.032 D. 0.033
B
6.(2025·湖北阶段练习)如今科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的两种用作神经网络的激活函数，Tanh函数的解析式为tanh x=，经过某次测试得知tanh，则当把变量增加一倍时，tanh x0=(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵tanh ，解得=3；；∴将x=x0代入得tanh x0=.
A
7.(2025·湖南长沙模拟)已知x=0，－y=0，则的值为
(　 　)
A. B.
C. 1 D. －1
【解析】 令log6x=m，log4y=n，则x=6m，y=4n，由x=0，－y=0，得9m－4m＋6m=0，9n＋6n－4n=0，则－1=0，－1=0，则均为方程t2＋t－1=0(t＞0)的根，则，即m=n，∴.
A
8.(多选)下列运算中，正确的有(　 　)
A. =－2
B. 若a=14，则=4
C. 若log73=a，log74=b，则log742=1
D. 若4a=6b=9c，则
【解析】 =－2，A正确；若a=14，则=4，B正确；若log73=a，log74=b，则log742=log77＋log73＋log72=1＋log73log74=1＋a，C错误；当a=b=c=0时，4a=6b=9c成立，但无意义，D错误.
AB
9.(多选)已知a=log23，3b=4，2c=log23＋1，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. a＜c B. ab=2
C. abc=a＋1 D. 2bc=b＋2
【解析】 ∵a=log23＞1，∴2c=log23＋1=a＋1＜2a，则c＜a，A错误；∵b=log34=2log32=，∴ab=2，B正确；由ab=2可知，abc=2c=a＋1，C正确；由abc=a＋1和ab=2可知ab2c=ab＋b，则2bc=b＋2，D正确.
BCD
10.(2024·全国甲卷理)已知a＞1，且=－，则a=　 　.
【解析】 由题log2a=－，整理得(log2a)2－5log2a－6=0，解得log2a=－1，或log2a=6，又a＞1，∴log2a=6=log226，故a=26=64.
64
11.(2025·安徽合肥期末)已知正实数a，b满足logab=2logba＋1，且aa=bb，则ba= 　.
【解析】 ∵正实数a，b满足logab=2logba＋1，且aa=bb①，两边取对数则logaaa=logabb，∴blogab=a，即得logab=，∴1，∴a2－ab－2b2=0，(a－2b)(a＋b)=0，∴a=2b，代入①有(2b=bb，即得=b－b，∴b=，a=，ba=.
12.计算下列各式：
(1)(lg 2)2＋lg 5·lg 20；
解：(1)原式=(lg 2)2＋lg 5·lg(4×5)=(lg 2)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 5)2=(lg 2＋lg 5)2=1.
(2)lo4－log23·lo8；
(2)原式=4log22＋3log23·log32=4＋3=7.
(3)(1.5)－4·－[(－2)4.
(3)原式=2＋1－4=－.
13.某工厂产生的废气需要在过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P=P0e－kt，其中P0，k是大于0的常数.如果在前5 h消除了10%的污染物，求：
(1)10 h后还剩百分之几的污染物？
解：(1)由P=P0e－kt可知，当t=0时，P=P0；当t=5时，P=(1－10%)P0，于是有(1－10%)P0=P0e－5k，解得k=－ln 0.9，那么P=P0·0.，∴当t=10时，P=0.81P0，即10 h后还剩下81%的污染物.
(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
(2)由题意，0.5P0=P0·0.，解得t=5log0.90.5=－5log0.92=－5×=－5×≈33，即污染物减少50%大约需要花33 h.
14.研究表明，地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8＋1.5M.2023年12月18日在甘肃积石山县发生了里氏6.2级地震，2024年1月4日在斐济群岛发生了里氏5.7级地震，若前后这两个地震释放的能量之比是n，则n的整数部分为(　 　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】 设前后两次地震释放的能量分别为E1，E2，由已知得两式相减得lg=1.5×0.5=0.75，则n==100.75=1，又54＜1 000＜64，则5＜＜6，∴n的整数部分为5.
C
15.(2025·江苏南京模拟)“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》以此来勉励人们专心学习.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1＋1%)365=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是(1－1%)365=0.99365，一年后“进步”的是“退步”的≈1 481倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20%，那么“进步”的是“退步”的1 000倍需要经过的时间大约是　 　天(四舍五入精确到1).(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
【解析】 设经过x天“进步”的是“退步”的1 000倍，则1 000×(1－0.2)x=1.2x，即=1 000，故x=lo1 000=≈≈17.
17
16.已知函数f(x)=，g(x)=.　
(1)分别计算f(4)－5f(2)·g(2)，f(9)－5f(3)·g(3)的值；
解：(1)f(4)－5f(2)·g(2)=－5×=0，f(9)－5f(3)·g(3)=－5×=0.
(2)根据(1)的计算过程，写出关于函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明.
(2)f(x2)－5f(x)·g(x)=0，证明如下：f(x2)－5f(x)g(x)=－5×·=0，∴等式成立.(共49张PPT)
第10节　函数的图象
课标解读　1.在实际问题中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数.
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 作函数的图象
考点二 函数图象的识别
考点三 函数图象的应用
1.[教材改编]已知a＞0，且a≠1，则函数y=ax与y=的图象关于直线　 　对称.
【解析】 y==a－x，故两个函数的图象关于y轴，即直线x=0对称.
2.[教材改编]已知a＞0，且a≠1，则函数y=logax与函数y=lox的图象关于直线　 　对称.
【解析】 y=lox=－logax，故两个函数的图象关于x轴，即直线y=0对称.
x=0
y=0
3.[教材改编]已知函数y=f(x)是二次函数，y=g(x)是一次函数，它们的部分图象如图所示，则不等式f(x)≤g(x)的解集为　 　.
【解析】 由图象可知，当x∈[－1，2]时，函数y=f(x)的图象位于y=g(x)图象的下方，∴不等式f(x)≤g(x)的解集为[－1，2].
[－1，2]
4. (忽略平移规则)将函数y=log2(2x＋2)的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=(　 　)
A. log2(2x＋1)－1
B. log2(2x＋1)＋1
C. log2x－1
D. log2x
【解析】 将函数y=log2(2x＋2)的图象向下平移1个单位长度，可得函数y=log2(2x＋2)－1的图象，再向右平移1个单位长度，可得函数y=log2[2(x－1)＋2]－1=log2(2x)－1的图象，∴g(x)=log2(2x)－1=log2x.
易错题
D
5. (混淆分段函数的分类标准)已知函数f(x)=则函数f(1＋2x)的图象是(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 由题意得，当1＋2x≥0，即x≥－时，f(1＋2x)=2＋2x；当1＋2x＜0，即x＜－时，f(1＋2x)=－2x－1.
易错题
B
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点：零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
平移 变换 y=f(x)的图象 y=f(x＋a)的图象
y=f(x)的图象 y=f(x－a)的图象
y=f(x)的图象 y=f(x)＋h的图象
y=f(x)的图象 y=f(x)－h的图象
对称 变换 y=f(x)的图象 y=－f(x)的图象
y=f(x)的图象 y=f(－x)的图象
y=f(x)的图象 y=f(x)的反函数的图象
y=f(x)的图象 y=－f(－x)的图象
翻折 变换 y=f(x)的图象 y=|f(x)|的图象
y=f(x)的图象 y=f(|x|)的图象
伸缩 变换 y=f(x)的图象 y=f(ax)的图象
y=f(x)的图象 y=Af(x)的图象
[优化拓展]
1.左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只是x本身，利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换.
2.函数图象自身的对称关系：
(1)若函数y=f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)=f(b－x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称.
(2)函数y=f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称 f(a＋x)=2b－f(a－x) f(x)=2b－f(2a－x).
3.两个函数图象之间的对称关系：
(1)函数y=f(x)与y=f(2a－x)的图象关于直线x=a对称.
(2)函数y=f(x)与y=2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称.
考点一　作函数的图象
作出下列函数的图象：
(1)y=；
解：(1)先作出y=的图象，保留y=图象中x≥0的部分，再作出y=的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y=的图象，如图①所示(实线部分).
例 1
(2)y=|log2(x＋1)|；
(2)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log2(x＋1)|的图象，如图②所示.
(3)y=x2－2|x|－1.
(3)y=易知函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得y=x2－2|x|－1的图象，如图③所示.
图① 图② 图③
函数图象的画法：
(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象.
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可先去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象.
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序；对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形.应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
作出下列函数的图象：
(1)y=2x＋1－1；
解：(1)将y=2x的图象向左平移1个单位长度，得到y=2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y=2x＋1－1的图象，如图①所示.
(2)y=|lg (x－1)|.
(2)首先作出y=lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y=lg (x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y=|lg (x－1)|的图象，如图②所示(实线部分).
跟踪训练1
图① 图②
考点二　函数图象的识别
(1)(2024·全国甲卷理)函数f(x)=－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]上的大致图象为(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 f(－x)=－x2＋(e－x－ex)sin(－x)=－x2＋(ex－e－x)sin x=f(x)，∴该函数为偶函数，可排除A，C；又f(1)=－1＋sin 1＞－1＋sin－1－＞0，可排除D.
例 2
B
(2)(2025·天津卷)已知函数y=f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为(　 　)
A. f(x)= B. f(x)=
C. f(x)= D. f(x)=
【解析】 由图可知函数为偶函数，而函数f(x)=和函数f(x)=为奇函数，故排除A，B；又当x∈(0， 1)时1－x2＞0，x2－1＜0，此时f(x)=＞0，f(x)=＜0，由图可知当x∈(0，1)时，f(x)＜0，排除C.
D
有关函数图象识别问题的解题思路：
(1)关注函数的定义域，判断图象的左右位置.
(2)关注函数的值域，判断图象的上下位置.
(3)关注函数的单调性，判断图象的变化趋势.
(4)关注函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(5)关注函数图象中的特殊点，排除不符合要求的图象.
(1)(2025·浙江二模)下列图象中，可以作为方程x3＋y3=4xy的图象的是(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 当x＜0时，x3=4xy－y3=y(4x－y2)＜0，若y＜0，则4x－y2＞0，即y2＜4x＜0，不符合，故x＜0，y＜0不可能同时成立，A，B，C错误.
跟踪训练2
D
(2)函数f(x)=xln x的图象如图所示，则函数y=f(1－x)的大致图象为(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由1－x＞0得x＜1，即函数y=f(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，C.f(1－x)=(1－x)ln(1－x)，设g(x)=f(1－x)=(1－x)·ln(1－x)，则g(－1)=2ln 2＞0，排除B.
D
考点三　函数图象的应用
(多选)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)=f(x－1)，已知当x∈[0，1]时，f(x)=，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. 2是函数f(x)的周期
B. 函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增
C. 函数f(x)的最大值是1，最小值是0
D. 当x∈(3，4)时，f(x)=
例 3
考向1 利用图象研究函数的性质
ABD
【解析】 由已知条件得f(x＋2)=f(x)，则f(x)是以2为周期的周期函数，A正确；当－1≤x≤0时，0≤－x≤1，f(x)=f(－x)=，画出函数y=f(x)的部分图象如图所示，由图象知B正确，C错误；当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，f(x)=f(x－4)=，D正确.
利用图象研究函数性质问题的思路：
(2025·河南郑州三模)已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)满足f(x)=f(4－x)，f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，f(4)＋f(0)=0，则关于x的不等式＜0的解集为(　 　)
A. (0，2) B. (0，2)∪(2，4)
C. (2，4) D. (0，2)∪(4，＋∞)
【解析】 由f(x)=f(4－x)得f(x)的图象关于直线x=2对称，又f(0)=f(4)，
得f(4)＋f(0)=2f(4)=0，解得f(4)=f(0)=0，由f(x)在(－∞， 2)上单调递减，
可知f(x)在(2，＋∞)上单调递增，画出f(x)的大致图象如图所示.
结合图象及＜0可得或解得0＜x＜2，
或x＞4，∴不等式＜0的解集为(0，2)∪(4，＋∞).
例 4
考向2 利用图象解不等式
D
利用函数的图象解不等式的基本思路：
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两个函数图象的位置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解.
已知函数f(x)=若实数a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a＋b＋c的取值范围是　 　.
【解析】 函数f(x)=的图象如图所示，
不妨令a＜b＜c，由正弦曲线的对称性可知a＋b=1，而1＜c＜2 024，∴2＜a＋b＋c＜2 025.
例 5
考向3 利用图象求参数的取值范围
(2，2 025)
求解函数图象应用问题的流程：
(1)已知函数f(x)=2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集为(　 　)
A. (－1，1)
B. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
C. (0，1)
D. (－∞，0)∪(1，＋∞)
【解析】 函数f(x)=2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集即2x＞x＋1的解集，在同一平面直角坐标系中画出函数h(x)=2x，g(x)=x＋1的图象，结合图象易得2x＞x＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).
跟踪训练3
D
(2)如图所示分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图象，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集为 (　 　)
A. (－∞，－1)∪(－1，0)
B. (－∞，－1)∪(0，1)
C. (－1，0)∪(1，＋∞)
D. (0，1)∪(1，＋∞)
【解析】 由题意及题图，知当f(x)＞0时，x∈(－1，0)∪(1，＋∞)，此时需满足g(x)＜0，即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故x∈(1，＋∞)；当f(x)＜0时，x∈(－∞，－1)∪(0，1)，此时需满足g(x)＞0，即x∈(－1， 1)，故x∈(0，1).综上，x∈(0， 1)∪(1，＋∞).
D
(3)(多选)(2025·四川雅安模拟)已知函数f(x)=x2－2|x|，下列命题中，正确的有(　 　)
A. f(x)是偶函数
B. 若 x∈R，f(x)≥a，则a的取值范围是(－∞，－1)
C. f(x)＞3的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D. 若直线y=m与f(x)的图象有4个交点，则m的取值范围是(－1，0]
【解析】 对于A，函数f(x)的定义域为R，f(－x)=(－x)2－2|－x|=f(x)，
∴f(x)是偶函数，A正确；对于B，由 x∈R，f(x)≥a，
可知a≤f(x)min，函数f(x)=x2－2|x|=的图
象如图所示.
当x=±1时，f(x)min=－1，∴a≤－1，B错误；对于C，当x≥0时，由x2－2x＞3，解得x＞3，当x＜0时，由x2＋2x＞3，解得x＜－3，故f(x)＞3的解集为(－∞，－3)∪(3，＋∞)，C正确；对于D，若直线y=m与f(x)的图象有4个交点，则－1＜m＜0，D错误.
AC
课时作业
答案速对
第二章 对点练18　函数的图象 题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C B B D B
题号 7 8 9 10 14 15
答案 B BCD AC ABD C C
1.为了得到函数y=2x－3－1的图象，只需把函数y=2x的图象(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
A
2.(2025·重庆开学考试)函数f(x)=的图象大致为(　 　)
A. B. C. D.
C
3.(2025·山东潍坊一模)已知a＞0，且a≠1，ay与x成正比例关系，其图象如图所示，且y=logax＋1，则a=(　 　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
B
4.(2025·福建宁德模拟)已知函数y=f(2x－1)的图象关于点(1，－1)对称，则下列函数中，为奇函数的是(　 　)
A. y=f(2x)＋1 B. y=f(2x＋1)＋1
C. y=f(2x)－1 D. y=f(2x＋1)－1
B
5.(2025·甘肃兰州模拟)已知函数f(x)=|2x－1|关于x的方程f(x)=k有两个不等实数根，则实数k的取值范围是(　 　)
A. (1，＋∞) B. [1，＋∞)
C. [0，1] D. (0，1)
D
6.(2025·广东深圳期末)已知函数f(x)=则f(x)的图象上关于原点对称的点有(　 　)
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
【解析】 如图所示，当x≥0时，f(x)=，其关于原点
对称后的图象为y=－=－2x(x≤0)，
易知y=－2x(x≤0)与f(x)=－|x＋2|(x＜0)有两个交点，
即f(x)=－|x＋2|(x＜0)上有两个点，中心对称后在f(x)=(x≥0)上.
B
7.研究表明在受噪声干扰的信道中，当通信带宽不变时，最大信息传递速率C(单位：b/s)取决于平均信号功率S(单位：W)与平均噪声功率N(单位：W).在一定条件下，当S一定时，C随N增大而减小；当N一定时，C随S增大而增大.下图描述了C与N及S的关系，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. S＜e10，N＜4时，C＜15 000
B. S＜2e10，N＞5时，C＜30 000
C. C＜60 000，N＜4时，S＞3e10
D. C＜60 000时，＜e10
B
【解析】 如图所示，对于A，由S＜e10，N＜4时，图中存在点满足C=30 000＞15 000，A错误；对于B，由S＜2e10，N＞5时，图中所有点满足C＜30 000，B正确；对于C，由C＜60 000，N＜4时，图中存在点满足S＜3e10，C错误；对于D，由C＜60 000时，当C=30 000时，取N=3，S≈3e10，存在＞e10，D错误.
8.(多选)函数f(x)=的图象如图所示，则下列结论中，一定成立的有(　 　)
A. a＜0
B. b＜0
C. c＞0
D. abc＜0
【解析】 由图知f(0)=＞0，∴b＜0，B正确；当x=－c时，函数f(x)无意义，由图知－c＜0，∴c＞0，C正确；令f(x)=0，解得x=，由图知＜0，又b＜0，∴a＞0，A错误；综上，a＞0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，D正确.
BCD
9.(多选)关于函数f(x)=lg(|x－2|＋1)，下列说法中正确的有(　 　)
A. f(x＋2)是偶函数
B. f(x＋2)是奇函数
C. f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D. f(x)没有最小值
【解析】 f(x＋2)=lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误；作出f(x)的大致
图象如图所示，可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递
增，由图象可知函数存在最小值0，C正确，D错误.
AC
10.(多选)(2025·安徽合肥一模)函数f(x)=x3－(m∈R)的图象可能是(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 由题意可知，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，当m＞0时，f'(x)=3x2＞0，函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递增，B正确；当m=0时，f(x)=x3，f'(x)=3x2＞0，∴f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，D正确；当m＜0时，若x＞0时，则f(x)=x3－＞0；若x＜0时，则f(x)=x3－＜0，A正确，C错误.
ABD
11.(2022·浙江卷)已知函数f(x)=则f= 　；若当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是　 　.
【解析】 f=f=－1=.当f(x)=x－1=3时，x=2，作出f(x)的图象如图所示，由图可知，当1≤f(x)≤3时，－1≤a≤1，b=2，则b－a的最大值为3.
3
12.将函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则f(0)＋f(2)=　 　.
【解析】 由函数f(x)的图象先向左平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到函数g(x)的图象，可得g(x)=f(x＋1)＋1，故f(x)=g(x－1)－1，∴f(0)＋f(2)=g(－1)－1＋g(1)－1=－g(1)＋g(1)－2=－2.
－2
13.已知函数f(x)=
(1)作出函数f(x)的图象；
解：(1)当x≤0时，0＜2x≤1，则f(x)=|2x－2|=
2－2x∈[1，2)，作出函数f(x)的图象，如图所示.
(2)讨论方程f(x)－m=0根的情况.
(2)由f(x)－m=0可得m=f(x)，则方程f(x)－m=0的根
的个数，即为直线y=m与函数y=f(x)图象的交点个数，如图所示.当m≤0时，方程f(x)－m=0无实根；当0＜m＜1，或m≥2时，方程f(x)－m=0只有一个实根；当1≤m＜2时，方程f(x)－m=0有两个不相等的实根.
14.(2025·河北保定一模)已知f(x)是定义在R上的函数，且有f(x＋1)= f(x)＋1，当0＜x≤1时，f(x)=3x＋1，则方程f(x)=4的根的个数为(　 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】 f(x)是定义在R上的函数，且有f(x＋1)=f(x)＋1，当0＜x≤1时，
f(x)=3x＋1，则－1＜x≤0时，0＜x＋1≤1，则f(x)= f(x＋1)－1=3x＋3，
1＜x≤2时，0＜x－1≤1，f(x)= f(x－1)＋1=3x－1，2＜x≤3时，
0＜x－2≤1，f(x)= f(x－2)＋2=3x－3，3＜x≤4时，0＜x－3≤1，
f(x)= f(x－3)＋3=3x－5，画出函数f(x)与函数y=4的图象，如图所示.
由图象可知方程f(x)=4的根的个数为3.
C
15.若关于x的不等式x2－loga(x＋1)＜2x－1(a＞0，且a≠1)在上恒成立，则实数a的取值范围是(　 　)
A. B.
C. D.
C
【解析】 x2－loga(x＋1)＜2x－1变形为x2－2x＋1＜loga(x＋1)，
即(x－1)2＜loga(x＋1)在上恒成立，构造g(x)=(x－1)2，
f(x)=loga(x＋1)，若0＜a＜1，此时f(x)=loga(x＋1)在上
单调递减，f(x)=loga(x＋1)＜loga＜0，而当x∈时，
g(x)=(x－1)2＞0，显然不合题意；若a＞1，画出两个函数的图象
(如图所示)，要想满足(x－1)2＜loga(x＋1)在上恒成立，
只需f≥g，即loga≥，解得a≤.综上，
实数a的取值范围是.
16.已知函数f(x)=
(1)若函数f(x)=在区间(0，2)内恰有两个零点，求实数m的取值范围；
解：(1)如图①所示，当m=0时，符合题意；当m＞0时，不符合题意；如图②所示，当m=－1时，不符合题意，当－1＜m＜0时，符合题意，∴符合题意的实数m的取值范围是(－1，0].
图① 图②
(2)若函数f(x)为R上的奇函数，求函数F(x)=f(x)－sin x，x∈[－ π， π]的零点个数.
(2)∵函数f(x)为R上的奇函数，∴f(0)=0，从而m=－1，f(x)的图象如图③所示，∴F(x)的零点个数为9.
图③(共16张PPT)
第二章 单元小卷
(2025·浙江二模)下列可以作为方程x3＋y3=4xy的图象的是(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 当x＜0时，x3=4xy－y3=y(4x－y2)＜0，若y＜0，则4x－y2＞0，即y2＜4x＜0，不符合，故x＜0，y＜0不可能同时成立，A，B，C错误，D正确.
D
2. (2025·广东汕头预测)用二分法求函数f(x)=ln x＋2x－6在(2，3)内的零点近似值，若精确度要求为0.1，则需重复相同步骤的次数至少为(　 　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】 原始区间长度为3－2=1，第一次，区间长度减半，为0.5＞0.1，第二次，区间长度减半，为0.25＞0.1，第三次，区间长度减半，为0.125＞0.1，第四次，区间长度减半，为0.062 5＜0.1，故至少需要重复四次.
B
3. (2025·山东潍坊一模)已知函数f(x)=则f(f(－1))等于(　 　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】 将x=－1代入，得到f(－1)=(－1)2＋(－1)=0，∴f(f(－1))=f(0)，将x=0代入，得到f(0)=e0＋ln 1=1，∴f(f(－1))=f(0)=1.
B
4. “区块链技术”作为一种新型的信息技术，已经广泛地应用于人们的生活中.在区块链技术中，若密码的长度为128比特，则密码一共有2128种可能性，因此为了破译此密码，最多需要进行2128次运算.现在有一台机器，每秒能进行×1010次运算，假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长度为128比特的密码所需要的最长时间约为(参考数据：lg 2≈0.301，100.13≈1.349)(　 　)
A. 1027×1.349秒 B. 1028×1.349秒
C. 1029×1.349秒 D. 1030×1.349秒
【解析】 设所需时间为t秒，则t·×1010=2128，则lg t＋lg 5－lg 2＋10=128lg 2，即lg t=130lg 2－11≈130×0.301－11=28.13，∴t≈1028.13=1028×100.13=1028×1.349(秒).
B
5. (2025·杭州模拟)已知函数f(x)=2x＋m·2－x(m∈R)是奇函数，则下列关系中，正确的是(　 　)
A. f(1) ＜f(2)
B. f(1) ＞f(2)
C. f(2)=2f(1)
D. f(2)=f(1)
【解析】 ∵f(x)=2x＋m·2－x(m∈R)是奇函数，定义域为R，∴f(0)=1＋m=0，∴m=－1，∴f(x)=2x－2－x，f(－x)=2－x－2x=－f(x)，满足题意，f(1)=2－，f(2)=4－，A正确.
A
6. (2025·安徽芜湖模拟)已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)－1为奇函数，y=f(x＋1)为偶函数，若f(2 025)=2，则f(3)等于(　 　)
A. 1 B. －1
C. 0 D. －3
【解析】 由y=f(x)－1为奇函数有f(－x)＋f(x)=2，y=f(x＋1)为偶函数有f(1－x)=f(1＋x) f(x)=f(2－x)，∴f(－x)＋f(2－x)=2，即f(x)＋f(2＋x)=2 f(x＋2)＋f(x＋4)=2，∴f(x＋4)=f(x)，即函数f(x)的周期T=4，∴f(2 025)=f(4×506＋1)=f(1)=2，又f(1)＋f(3)=2，∴f(3)=0.
C
7. (多选)(2025·广东深圳三模)已知函数f(x)的定义域为R，f(f(x＋y))=f(x)＋f(y)，f(1)=1，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. f(0)=0
B. f(x)的图象关于点(0，0)对称
C. f(x)的图象关于直线x=对称
D. f(2 025)=2 025
【解析】 对于A，令x=1，y=0，则f(f(1))=f(1)＋f(0)，∵f(1)=1，∴f(1)=f(1)＋f(0)，解得f(0)=0，A正确；对于B，令y=－x，则f(f(x－x))=f(x)＋f(－x)，得f(f(0))=f(x)＋f(－x)，由A可知f(0)=0，∴f(0)=f(x)＋f(－x)=0，即f(－x)=－f(x)，∴f(x)的图象关于点(0，0)对称，B正确；对于C，令y=1－x，则f(f(x＋1－x))=f(x)＋f(1－x)=f(f(1))=f(1)=1，即f(x)＋f(1－x)=1.假设f(x)的图象关于直线x=对称，则有f(x)=f(1－x)，与f(1)=1矛盾，∴假设不成立，f(x)的图象不关于直线x=对称，C错误；对于D，由于f(x)＋f(1－x)=1，且f(－x)=－f(x)，则有f(x)－f(x－1)=1，即f(x)=f(x－1)＋1，∴f(2)=f(1)＋1=2，f(3)=f(2)＋1=3，…，f(2 025)=2 025，D正确.
ABD
8. (多选)已知定义在R上的函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x＋2k)=(k＋1)·f(x)(k∈Z)，且f(x)=x|x－a|，a＞0，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. f(2)=0
B. 若a=2，则f(－99)=－50
C. 若a=1，则g(x)=f(x)－(x＋1)在[－6，6]上恰有5个零点
D. 若 k∈N*，f(x)在区间[2k－2，2k]上有最大值，则4－4≤a＜4
【解析】 对于A，由题意可知：当x=0，k=1时，有f(2)=2f(0)=0·|0－a|=0，A正确；对于B，当x=1，k=－50时，有f(－99)=－49×f(1)=－49×(1·|1－a|)，又a=2，∴f(－99)=－49×(1·|1－2|)=－49，B错误；对于C，当a=1时，f(x)=x|x－1|=
ACD
当x∈[0，2)时，由于f(x＋2)=2f(x)，f(x＋4)=3f(x)，f(x－2)=0×f(x)=0，f(x－4)=－f(x)，f(x－6)=－2f(x)，∴f(x)=0(x∈[－2，0))，作出分段函数f(x)和函数y=(x＋1)的图象如下，
由于f(2)=0，直线y=(x＋1)经过点(2，2)，而函数f(x)不经过点(2，2)，则由图象可得，它们只有5个交点，即g(x)=f(x)－(x＋1)在[－6，6]上恰有5个零点，C正确；
对于D，根据当x∈[0，2)时，由于f(x＋2)=2f(x)，f(x＋4)=3f(x)，…要满足对 k∈N*，f(x)在区间[2k－2，2k]有最大值，则只需要f(x)=x|x－a|在x∈[0，2)上存在最大值，即满足1≤＜2，或解得2≤a＜4，或4－4≤a＜2，综上，4－4≤a＜4，D正确.
9. (2025·浙江三模)已知函数f(x)=为奇函数，则a＋b=　 　.
【解析】 ∵函数f(x)=为奇函数，∴当x＜0时，－x＞0，f(－x)=e－x－a=－f(x)=－be－x＋2，∴a=－2，b=－1，∴a＋b=－3.
－3
10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(－∞，0)上单调递增，设a=，b=，c=，则f(a)，f(b)，则f(c)的大小关系是　 　.
【解析】 ∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，又 a==c，b==c，∴b＞c＞a＞0，则f(a)＞f(c)＞f(b).
f(a)＞f(c)＞f(b)
11. (2025·绍兴三模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋xy且f(1)=1，求f(100)的值.
解：令y=1，∴f(x＋1)=f(x)＋f(1)＋x，∴f(x＋1)－f(x)=1＋x，即f(x)－f(x－1)=x(x∈N*)，f(x－1)－f(x－2)=x－1，…，∴f(2)－f(1)=2，f(3)－f(2)=3…以上式子相加得f(x)－f(1)=2＋3＋…＋x，∴f(x)=1＋2＋3＋…＋x=，x∈N*，∴f(100)==5 050.
12. 已知函数f(x)=若存在实数a，b，c(a＜b＜c)，使得f(|a|)=f(|b|)=f(|c|)，且a，b，c成等差数列，求b－a=的值.
解：∵f(x)=函数f(|x|)的图象是保留函数f(x)在[0，＋∞)上的图象，并去除函数f(x)在(－∞，0)上的图象，再将函数f(x)在[0，＋∞)上的图象关于y轴翻折，可得到函数f(|x|)的图象，如下图所示，
当t∈(0，4)时，方程f(|x|)=t的解分别为x1，x2，x3，x4(x1＜x2＜x3＜x4)，∵f(|a|)=f(|b|)=f(|c|)，∴a，b，c为x1，x2，x3，x4中的三个数，∵a，b，c成等差数列，且x2－x1=x4－x3，∴a，b，c对应的数为x1，x2，x3或x2，x3，x4，根据对称性，不妨取a，b，c为对应的x2，x3，x4，∵x3=－x2，∴b=－a，∵a＋c=2b，∴c=3b，∵6x3－2=，∴6b－2=23－3b，令3b－1=m，则2m=22－m，∵函数g(m)=22－m－2m为减函数，且g(1)=0，∴方程2m=22－m的解为m=1，即3b－1=1，解得b=，a=－，故b－a=.(共39张PPT)
课标解读　1.会利用函数的单调性比较函数值的大小，解函数不等式.
2.会求函数的最值或值域.
内
容
索
引
关键能力提升
考点一 比较函数值的大小
考点二 利用函数单调性解不等式问题
考点三 求函数的最值(值域)
微点突破
第3节 函数单调性的应用
考点一　比较函数值的大小
(1)(2025·天津模拟)已知a，b∈(0，＋∞)，则“a＞b”是“a－＞b－”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】 令f(x)=x－(x＞0)，∵y=x，y=－在(0，＋∞)上都单调递增，∴f(x)=x－在(0，＋∞)上单调递增，又a，b∈(0，＋∞)，∴a＞b f(a)＞f(b)，即“a＞b”是“a－＞b－”的充要条件.
例 1
C
(2)若a=ln 3，b=lg 5，c=log126，则(　 　)
A. a＞b＞c B. b＞c＞a
C. c＞b＞a D. a＞c＞b
【解析】 ∵a=ln 3＞ln e=1，b=lg 5＜lg 10=1，c=log126＜log1212=1，∴a＞b，a＞c.∵lg 5=，log126=，∴构造函数f(x)==1－(x＞0)，显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又0＜log25＜log26，∴f(log25)＜f(log26)，即lg 5＜log126，∴a＞c＞b.
D
1.若题目条件中有具体的函数，则先判断已知函数的单调性，利用其单调性比较大小.
2.若题目条件中无具体函数，则需根据数值的结构特征构造函数，再利用其单调性比较大小.
(1)已知函数f(x)=lg x－，f(m)=1，且0＜p＜m＜n，则(　 　)
A. f(n)＜1，且f(p)＞1 B. f(n)＞1，且f(p)＞1
C. f(n)＞1，且f(p)＜1 D. f(n)＜1，且f(p)＜1
【解析】 ∵函数y1=lg x，y2=－在(0，＋∞)上均单调递增，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又0＜p＜m＜n，且f(m)=1，∴f(p)＜f(m)=1＜f(n).
(2)(2025·河北承德模拟)已知f(x)=2x－，a=f()，b=f()，c=f()，则(　 　)
A. a＞b＞c B. a＞c＞b
C. c＞a＞b D. c＞b＞a
【解析】 易知函数y=2x和y=－在(1，＋∞)上单调递增，∴f(x)=2x－在(1，＋∞)上单调递增，又，故f()＞f()＞f()，即c＞b＞a.
跟踪训练1
C
D
考点二　利用函数单调性解不等式问题
(1)已知函数f(x)=则不等式f(a)＜f(3a－1)的解集为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵f(x)=当x＜0时，f(x)=－3x＋3，函数f(x)单调递减，且f(x)＞－3×0＋3=3；当x≥0时，f(x)=e－x＋1，函数f(x)单调递减，且f(0)=e0＋1=2＜3，∴函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴不等式f(a)＜f(3a－1)等价于a＞3a－1，解得a＜，即不等式的解集为.
例 2
C
(2)定义在(0，＋∞)上的减函数f(x)满足条件：对任意x，y∈(0，＋∞)，总有f(xy)=f(x)＋f(y)－1，则不等式f(log2x－1)＞1的解集为(　 　)
A. (0，4) B. (4，＋∞)
C. (1，4) D. (2，4)
【解析】 在f(xy)=f(x)＋f(y)－1中，令x=y=1，得f(1)=f(1)＋f(1)－1，即f(1)=1，∴f(log2x－1)＞f(1)，又函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，∴log2x－1＞0，log2x－1＜1，解得2＜x＜4.
D
利用函数单调性解不等式的具体步骤：
(1)将不等式转化成f(x1)＞f(x2)(或f(x1)＜f(x2))的形式；
(2)确定函数f(x)的单调性；
(3)根据函数f(x)的单调性去掉符号“f”，转化为形如“x1＞x2”或“x1＜x2”的常规不等式，从而得解.
(2025·山东烟台三模)已知函数f(x)=ln x＋2x，若f(2t)＜2，则实数t的取值范围是 　.
【解析】 已知f(x)=ln x＋2x，其中y=ln x和y=2x均为增函数，且y=ln x的定义域为(0，＋∞)，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)=ln 1＋21=2，可得f(2t)＜f(1)，0＜2t＜1，解得0＜t＜.
跟踪训练2
考点三　求函数的最值(值域)
(多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 当x∈[0，3)时，函数y=x2－2x＋3的值域为[2，6)
B. 函数y=的值域为R
C. 函数y=2x－的值域为
D. 函数y=的值域为[，＋∞)
【解析】 对于A(配方法)，y=x2－2x＋3=(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6)，A正确；
例 3
ACD
对于B(分离常数法)，y==2＋，显然≠0，∴y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，B错误；对于C(换元法)，设t=，则x=t2＋1，且t≥0，∴y=2(t2＋1)－t=2，由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为，C正确；对于D(单调性法)，函数的定义域为[1，＋∞)，∵y=与y=在[1，＋∞)上均单调递增，∴y=在[1，＋∞)上为增函数，∴当x=1时，ymin=，即函数的值域为[，＋∞)，D正确.
图① 图②
求函数最值(值域)的几种方法：
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求最值问题.
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的最值.
(3)数形结合法：作出函数的图象，观察其最高点、最低点，从而求出最值.
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，进行“变量代换”.
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.
(1)已知函数f(x)=x2＋bx＋c的两个零点分别是－1和3，函数g(x)=，则函数g(x)在x∈[1， 3]上的值域为(　 　)
A. [0，4] B. [－4，0]
C. [－4，4] D. [－1，3]
【解析】 由题意得－1＋3=－b，－1×3=c，解得b=－2，c=－3，故g(x)==x－－2，由于y=x与y=－在x∈[1，3]上单调递增，故g(x)=x－－2在x∈[1，3]上单调递增，故g(x)min=g(1)=1－3－2=－4，g(x)max=g(3)=3－1－2=0，故g(x)在x∈[1，3]上的值域为[－4，0].
跟踪训练3
B
(2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}=设函数f(x)=－x＋3，g(x)=log2x，则函数h(x)=min{f(x)，g(x)}的最大值是　 　.
【解析】 方法一(数形结合法)　在同一平面直角坐标系中，分别作
出函数f(x)，g(x)的图象，
由题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.易知A(2，1)为图象的
最高点，∴h(x)的最大值为h(2)=1.
方法二(单调性法)　由题意，h(x)=当0＜x≤2时，h(x)=log2x单调递增；当x＞2时，h(x)=3－x单调递减，∴h(x)在x=2时取得最大值h(2)=1.
1
1.复合函数的单调性的判定原则：同增异减.
2.设复合函数y=f(g(x))，A是y=f(g(x))定义域的某个区间，B是u=g(x)的值域：
(1)若u=g(x)在A上是增(或减)函数，y=f(u)在B上也是增(或减)函数，则函数y=f(g(x))在A上是增函数；
(2)若u=g(x)在A上是增(或减)函数，而y=f(u)在B上是减(或增)函数，则函数y=f(g(x))在A上是减函数.
微点突破
复合函数的单调性
函数y=的单调递增区间为　 　.
【解析】 由x2＋2x＋4=(x＋1)2＋3≠0得，函数的定义域为R，设u=x2＋2x＋4，则u在(－∞，－1]上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，∵y=在定义域上是减函数，∴该函数的单调递增区间是(－∞，－1].
例 4
考向1 求复合函数的单调区间
(－∞，－1]
设f(x)=x2＋1，g(x)=f(f(x))，F(x)=g(x)－λf(x).问是否存在实数λ，使F(x)在区间上单调递减且在区间
上单调递增？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
解：假设存在满足条件的实数λ，f(x)=x2＋1，g(x)=f(f(x))，得g(x)=(x2＋1)2＋1.
∴F(x)=g(x)－λf(x)=x4＋(2－λ)x2＋2－λ.
令t=x2，则t=x2在(－∞，0)上单调递减，且当x∈时，t＞；当x∈时，0＜t＜.
例 5
考向2 由复合函数的单调性求参数
若F(x)在上单调递减，在上单调递增，则函数φ(t)=t2＋(2－λ)t＋2－λ在上单调递增，在上单调递减，∴函数φ(t)=t2＋(2－λ)t＋2－λ的图象的对称轴t=为直线t=，即，则λ=3.故存在满足条件的实数λ=3，使F(x)在区间上单调递减且在区间上单调递增.
(1)已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. y=－f(x)在R上是减函数
B. y=在R上是减函数
C. y=[f(x)]2在R上是增函数
D. y=af(x)(a为实数)在R上是增函数
【解析】 对于A，∵函数f(x)在R上是增函数，∴y=－f(x)在R上是减函数，A正确；对于B，函数f(x)在R上是增函数，但y=在R上不一定是减函数，如f(x)=x在R上是增函数，但y=在R上不是减函数，B错误；对于C，函数f(x)在R上是增函数，但y=[f(x)]2在R上不一定是减函数，如f(x)=x在R上是增函数，但y=[f(x)]2=x2在R上不是减函数，C错误；对于D，函数f(x)在R上是增函数，但y=af(x)(a为实数)在R上不一定是增函数，例如f(x)=x在R上是增函数，但f(x)=－2x在R上不是增函数，D错误.
跟踪训练4
A
(2)已知函数f(x)=log0.5在(3，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是(　 　)
A. (－∞，0) B. [－3，0)
C. [－2，0) D. (－3，0)
【解析】 ∵y=log0.5t为减函数，∴要使f(x)=log0.5在(3，＋∞)上单调递减，则需要t=＋2在(3，＋∞)上单调递增且恒大于0，即解得－2≤a＜0，∴a的取值范围是[－2，0).
C
课时作业
答案速对
第二章 对点练11　函数单调性的应用 题号 1 2 3 4 5
答案 B C A D D
题号 6 7 8 9 14
答案 A A BD CD D
1.已知f(x)是定义在(－∞，0]上的增函数，且f(－2)=－1，则满足f(2x) ＜－1的实数x的取值范围是
(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. (－1，＋∞) B. (－∞，－1)
C. [－2，－1) D. (－1，0]
B
2.已知函数f(x)=，则f(x)在区间[2，6]上的最大值为(　 　)
A. B. 3
C. 4 D. 5
C
3.(2025·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=ex，0＜a＜b.若p=f()，q=f，r=，则下列关系式中，正确的是(　 　)
A. p＜q=r
B. p＜q＜r
C. r＜q＜p
D. r=p＜q
A
4.函数f(x)=的值域为(　 　)
A. ∪
B. ∪
C. ∪
D. ∪
D
5.(2025·湖北武汉模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)=f(4－x)，且当x≤2时，f(x)=ex，则(　 　)
A. f(2)＜f(－3)＜f(4)
B. f(2)＜f(4)＜f(－3)
C. f(4)＜f(2)＜f(－3)
D. f(－3)＜f(4)＜f(2)
D
6.(2025·江苏南通模拟)已知函数f(x)=若a=50.01，b=log32，c=log20.9，则有(　 　)
A. f(a)＞f(b)＞f(c)
B. f(b)＞f(a)＞f(c)
C. f(a)＞f(c)＞f(b)
D. f(c)＞f(a)＞f(b)
【解析】 ∵y=ex是增函数，y=－e－x是增函数，∴在(0，＋∞)上y=ex－e－x单调递增，且此时f(x)＞0；又f(x)=－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，∴f(x)在R上单调递增.又c=log20.9＜0，0＜b=log32＜1，a=50.01＞1，即a＞b＞c，∴f(a)＞f(b)＞f(c).
A
7.已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m，n都是实数.如果不等式f(m)－f(n)＞f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式中，成立的是(　 　)
A. m－n＜0
B. m－n＞0
C. m＋n＜0
D. m＋n＞0
【解析】 设F(x)=f(x)－f(－x)，由于f(x)是R上的减函数，∴f(－x)是R上的增函数，－f(－x)是R上的减函数，∴F(x)是R上的减函数，∴当m＜n时，有F(m)＞F(n)，即f(m)－f(－m)＞f(n)－f(－n)成立，∴当原不等式成立时，不等式m－n＜0一定成立.
A
8.(多选)(2025·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)=x＋1，g(x)=(x＋1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. M(2)=3
B. x≥1，M(x)≥4
C. M(x)有最大值
D. M(x)最小值为0
【解析】 令g(x)＞f(x)，即(x＋1)2＞x＋1，解得x＜－1，或x＞0，∴M(x)=max{f(x)，g(x)}=∴M(2)=(2＋1)2=9，A错误；对 x≥1，M(x)=(x＋1)2≥(1＋1)2=4，B正确；当x＜－1，或x＞0时，M(x)=(x＋1)2，易知函数M(x)无最大值，C错误；当x＜－1，或x＞0时，M(x)＞0，当－1≤x≤0时，0≤M(x)≤1，∴M(x)的最小值为0，D正确.
BD
9.(多选)已知函数f(x)=|x|＋sin2x，设x1，x2∈R，则使f(x1)＞f(x2)成立的一个充分条件可以是(　 　)
A. |x1|＞x2 B. x1＋x2＞0
C. D. |x1|＞|x2|
【解析】 函数f(x)=|x|＋sin2x的定义域为R，且f(－x)=|－x|＋sin2(－x)=|x|＋sin2x=f(x)，
∴函数f(x)是R上的偶函数.当x≥0时，f(x)=x＋sin2x，则f'(x)=1＋2sin xcos x=1＋sin 2x≥0，∴函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增.对于A，取x1=2，x2=－3，满足|x1|＞x2，而f(2)＜f(3)=f(－3)，A错误；对于B，取x1=1，x2=2，满足x1＋x2＞0，而f(1)＜f(2)，B错误；对于C，D， |x1|＞|x2|，则f(|x1|)＞f(|x2|)，又函数f(x)是偶函数，∴f(x1)＞f(x2)，C，D正确.
CD
10.(2025·广东肇庆二模)已知函数f(x)=则f(x)的最小值是
　 　.
【解析】 当x＜1时，f(x)单调递减，∴f(x)＞2－1＋1=；当x≥1时，f(x)在区间[1，3)上单调递减，在区间[3，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(3)=－5.综上，f(x)的最小值是－5.
－5
11.(2025·陕西安康模拟)已知函数f(x)的图象关于(2，0)中心对称，且f(x)在[2，＋∞)上单调递减，若f(3－2a)＋ f(4a＋5)＞0，则实数a的取值范围是　 　.
【解析】 由函数f(x)的图象关于(2，0)中心对称，则f(4－x)=－f(x). 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴x∈[2，＋∞)时，f(x)≤0，且f(x)在(－∞，2)上单调递减，且f(x)＞0，可得f(x)在R上单调递减.又f(3－2a)=－f(1＋2a)，∴f(3－2a)＋ f(4a＋5)＞0，可得f(4a＋5)＞ f(1＋2a)，则4a＋5＜1＋2a，得a＜－2.
(－∞，－2)
12.已知函数f(x)=|x|(x－2).
(1)作出函数f(x)的图象；
解：(1)f(x)=|x|(x－2)=作出函数图象，
如图所示.
(2)写出函数f(x)的单调区间；
(2)由图可得函数的单调递增区间为(－∞，0)，[1，＋∞)，单调递减区间为[0，1).
(3)当x∈[0，1]时，求f(x)的值域.
(3)∵函数在x∈[0，1]上单调递减，∴当x∈[0，1]时，f(x)max=f(0)=0，f(x)min=f(1)=－1，∴当x∈[0，1]时，f(x)的值域为[－1，0].
13.已知函数f(x)=.
(1)试判断f(x)在[1，2]上的单调性；
解：(1) x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)=，∵x1，x2∈[1，2]，∴x2－3＜0，x1－3＜0，x1x2－3(x1＋x2)＜0，又x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴＜0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[1，2]上为减函数.
(2)求函数f(x)在[1，2]上的最值.
(2)由(1)知f(x)在[1，2]上为减函数，∴f(x)min=f(2)==－4，f(x)max=f(1)==－.
14.(2025·北京阶段练习)定义在D上的函数f(x)，若满足：存在常数M＞0，对任意x∈D，都有| f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，下列函数中，在其定义域上是有界函数的为(　 　)
A. y=tan
B. y=2x
C. y=
D. y=x－[x] ([x]表示不大于x的最大整数)
【解析】 在内，x→，|y|→＋∞，A错误；y=2x无界，x→＋∞，y→＋∞，B错误；y=无界，函数在(0，＋∞)内，x→0，y→＋∞， C错误；y=x－[x]有界，∵y=x－[x]∈[0，1)，对任意x∈D，都有|y|≤1成立，D正确.
D
15.已知函数f(x)在R上是减函数，且f(x)＋f(－x)=0.若f(1)=－1，则满足|f(x－2)|≤1的x的取值范围是　 　.
【解析】 ∵f(x)＋f(－x)=0，∴f(－x)=－f(x)，又f(1)=－1，∴f(－1)=－f(1)=1.由|f(x－2)|≤1，得－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1).∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，得1≤x≤3.
[1，3]
16.定义在R上的函数f(x)满足：对于任意x，y∈R，都有f(x＋y)=f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0恒成立.
(1)求f(0)的值；
解：(1)令x=y=0，则f(0＋0)=f(0)＋f(0)，可得f(0)=0.
(2)判断并证明f(x)的单调性；
(2)f(x)在R上单调递减，证明如下：对于任意x，y∈R，f(x＋y)=f(x)＋f(y)，f(0)=0，令y=－x，则f(x－x)=f(x)＋f(－x)=0，∴对于任意x∈R，有f(－x)=－f(x)，∴f(x)是奇函数.任取x1，x2∈R且x1＜x2，则x1－x2＜0，由已知得f(x1－x2)＞0，∴f(x1)＋f(－x2)=f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在R上单调递减.
(3)当a＞0时，解关于x的不等式f(ax2)－f(x)＞－f(－a2x)＋f(－a).
(3)∵f(ax2)－f(x)＞－f(－a2x)＋f(－a)，
∴f(ax2)－f(x)＞f(a2x)－f(a)，∴f(ax2)－f(a2x)＞2[f(x)－f(a)]，即f(ax2－a2x)＞2f(x－a)=f(2x－2a)，∵f(x)在R上单调递减，∴ax2－a2x＜2(x－a)，即(x－a)(ax－2)＜0，又a＞0，∴(x－a)＜0，当0＜a＜，即0＜a＜时，原不等式的解集为；当0＜a=，即a=时，原不等式的解集为 ；当0＜＜a，即a＞时，原不等式的解集为.(共43张PPT)
第9节　对数函数
课标解读　1.通过实例，了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的
图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
2.知道指数函数y=ax与对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 对数函数的图象及应用
考点二 对数函数的性质及应用
1.[教材改编]图中曲线是对数函数y=logax的图象，已知a取四个值，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵，∴由图象可知，C1，C2，C3，C4的a值依次为.
A
2.[教材改编]已知f(x)=|lg x|，若a=f，b=f，c=f(2)，则(　 　)
A. a＜b＜c B. b＜c＜a
C. c＜a＜b D. c＜b＜a
【解析】 ∵f(x)=|lg x|=∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∵f(2)=lg 2=－lg=f，0＜＜1，∴f＞f＞f=f(2)，∴c＜b＜a.
3.[教材改编]函数y=的定义域为 　.
【解析】 要使函数有意义，则需满足解得＜x≤1.
D
4. (忽视对底数的讨论)若函数y=logax(a＞0，且a≠1)在[2，4]上的最大值与最
小值的差是1，则a=　 　.
【解析】 当a＞1时，有loga4－loga2=1，解得a=2；当0＜a＜1时，有loga2－loga4=1，解得a=.综上，a=2或.
易错题
2或
5. (不能充分运用对数函数的性质致错)函数y=lo(x2－1)的单调递增区间是
　 　.
【解析】 ∵0＜＜1，∴函数y=lox在定义域内单调递减.由x2－1＞0，得x＜－1，或x＞1，又函数y=x2－1在(－∞，－1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴函数y=lo(x2－1)的单调递增区间是(－∞，－1).
易错题
(－∞，－1)
1.对数函数的概念
一般地，函数y=logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).
2.对数函数的图象与性质
项目 a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 　 　 值域 R 性质 过定点　 　，即x=　 　时，y=　 　 当x＞1时，　 　； 当0＜x＜1时，　 　 当x＞1时，　 　；
当0＜x＜1时，　 　
在(0，＋∞)上是　 　 在(0，＋∞)上是　 　
(0，＋∞)
(1，0)
1
0
y＞0
y＜0
增函数
y＜0
y＞0
减函数
3.反函数
一般地，指数函数y=ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于直线　 　对称.
y=x
[优化拓展]
1.掌握对数函数图象的3个特点：
(1)无论a＞1还是0＜a＜1，对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)的图象都无限靠近y轴，但不会与y轴相交.
(2)无论a＞1还是0＜a＜1，对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)的大致图象.
(3)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，其中图象(C1，C2，C3，C4对应的底数依次为a，b，c，d)的相对位置与底数大小有关，图中0＜c＜d＜1＜a＜b.
2.谨防2个易错点：
(1)凡涉及对数型函数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在解决对数型复合函数时，当底数a的范围没有明确时，必须分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论.
考点一　对数函数的图象及应用
(1)(2025·湖南长沙一模)已知lg a＋lg b=0(a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1)，则函数f(x)=a－x与g(x)=logbx的图象可能是(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 由lg a＋lg b=0可知，=b，故f(x)=a－x=bx，故函数f(x)=a－x与函数g(x)=logbx的单调性相同.
例 1
B
(2)已知函数f(x)=|ln x|.若0＜a＜b，且f(a)=f(b)，则a＋4b的取值范围是　 　.
【解析】 由f(a)=f(b)得|ln a|=|ln b|.如图所示，根据函数y=|ln x|的图象及0＜a＜b，得－ln a=ln b，0＜a＜1＜b，∴=b.
令g(b)=a＋4b=4b＋，根据对勾函数的性质易得g(b)在(1，＋∞)上单调递增，∴g(b)＞g(1)=5，故a＋4b＞5.
(5，＋∞)
1.在研究对数函数的图象时一定要注意其定义域，善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)解题.
2.一些对数型方程、不等式问题可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合求解.
(1)已知函数y=loga(x＋c)(a，c是常数，其中a＞0，且a≠1)的大致图象如图所示，下列关于a，c的表述，正确的是(　 　)
A. a＞1，c＞1
B. a＞1，0＜c＜1
C. 0＜a＜1，c＞1
D. 0＜a＜1，0＜c＜1
【解析】 由题图得0＜a＜1，logac＞0，loga(1＋c)＜0，∴0＜c＜1，0＜a＜1.
跟踪训练1
D
(2)若关于x的方程x＋log5x=4与x＋5x=4的根分别为m，n，则m＋n=　 　.
【解析】 由题意，可知log5x=－x＋4，5x=－x＋4，且函数y=log5x与y=5x互为反函数，对应的图象关于直线y=x对称，如图所示，直线y=x与y=－x＋4垂直，∴两个函数的图象与直线y=－x＋4的交点A，B关于直线y=x对称，设直线y=x与y=－x＋4的交点为C，则C(2，2)，A，B两点的横坐标分别为m，n，∴m＋n=4.
4
考点二　对数函数的性质及应用
(2025·福建厦门模拟)已知a=log169，b=log2516，c=e－2，则(　 　)
A. b＞a＞c B. b＞c＞a
C. c＞b＞a D. c＞a＞b
【解析】 ∵a=log169=lo32=log43＞0，b=log2516=lo42=log54＞0，∴=log43×log45＜=1，∴a＜b，又a=log43＞log42=lo2=＞e－2=c，∴b＞a＞c.
例 2
考向1 比较大小
A
比较对数函数值大小的方法：
(1)若底数相同，则利用对数函数的单调性比较.
(2)若真数相同，则利用图象法转化为同底数的对数的倒数比较.
(3)若底数、真数均不同，则引入中间量(如－1，0，1等)进行“比较传递”.
(2025·贵州贵阳二模)已知f(x)为偶函数，当x＞0时，f(x)=ln x2，且f(0)=0，则不等式f(x)＜2的解集为(　 　)
A. (－e2，e2)
B. (－e，e)
C. (－∞，－e)∪(e，＋∞)
D. (－e，0)∪(0，e)
【解析】 当x＞0时，f(x)=ln x2，若f(x)＜2，则ln x2＜2，0＜x2＜e2，∴0＜x＜e；当x=0时，f(0)=0＜2成立；当x＜0时，∵f(x)为偶函数，∴f(x)＜2，即f(－x)＜2，ln (－x)2＜2，0＜x2＜e2，∴－e＜x＜0.综上，x∈(－e， e).
例 3
考向2 解对数不等式
B
解不同类型的对数不等式的方法：
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y=logax的单调性求解.如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论.
(2)形如logax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解.
(多选)已知函数f(x)=log4(1＋4x)－x，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 函数f(x)的图象关于原点对称
B. 函数f(x)的图象关于y轴对称
C. 函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减
D. 函数f(x)的值域为
【解析】 易知f(x)的定义域为R，f(x)=log4(1＋4x)－log4=log4=log4(2－x＋2x)，又f(－x)=log4(2x＋2－x)=f(x)，∴f(x)为偶函数，A错误，B正确；令t=2x，则y=log4，令s=t＋，则y=log4s，当x∈[0，＋∞)时，t∈[1，＋∞)，∴s=t＋为增函数，又y=log4s为增函数，∴y=log4为增函数，又t=2x为增函数，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，C错误；又f(x)为R上的偶函数，∴f(x)≥f(0)=，∴f(x)的值域为，D正确.
例 4
考向3 对数函数性质的综合
BD
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论.
(2)底数与1的大小关系.
(3)复合函数的构成，即由哪些基本初等函数复合而成.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
(1)(2025·海南儋州模拟)已知函数f(x)=|ln x|，设a=f，b=f(3)，c=f(5)，则(　 　)
A. b＜a＜c B. b＜c＜a
C. c＜a＜b D. a＜b＜c
【解析】 ∵当x≥1时，f(x)=|ln x|=ln x为(1，＋∞)上的增函数，又a=f=ln 4，∴ln 3＜ln 4＜ln 5，即b＜a＜c.
(2)已知函数f(x)=lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　 　)
A. (2，＋∞) B. [2，＋∞)
C. (5，＋∞) D. [5，＋∞)
【解析】 由x2－4x－5＞0，得x＞5，或x＜－1，∴f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)，又y=x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，∴f(x)=lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，∴a≥5.
跟踪训练2
A
D
(3)(2025·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=log2＋sin x，则不等式f(x)＋f(2x＋1)＜0的解集为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 由题知＞0，即－1＜x＜1，又f(－x)=log2＋sin(－x)=log2－sin x=－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，又函数y=log2=log2和y=sin x在(－1，1)上都单调递增，∴f(x)在(－1，1)上单调递增，∴由f(x)＋f(2x＋1)＜0，可得f(x)＜－f(2x＋1)=f(－2x－1)，则－1＜x＜－2x－1＜1，解得－1＜x＜－.
B
(4)(多选)(2025·山东临沂模拟)已知函数f(x)=ln，则下列说法中，正确的有
(　 　)
A. f(x)为奇函数
B. f(x)为偶函数
C. f(x)在上单调递减
D. f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)
【解析】 f(x)=ln ，令＞0，解得x＞，或x＜－，∴f(x)的定义域为∪，又f(－x)=ln =ln =ln=－ln =－f(x)，∴f(x)为奇函数，A正确，B错误；又f(x)=ln =ln，令t=1＋，t＞0，且t≠1，∴y=ln t，又t=1＋在上单调递减，且y=ln t为增函数，∴f(x)在上单调递减，C正确；f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，D正确.
ACD
课时作业
答案速对
第二章 对点练17　对数函数 题号 1 2 3 4 5
答案 C A A C C
题号 6 7 8 9 14
答案 B D AB ACD ACD
1.(2025·温州三模)已知集合A={－1，1，2，3}，B={x|ln x＜1}，则A∩B=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. {1} B. {－1，1}
C. {1，2} D. {－1，1，2}
C
2.函数f(x)=log2(|x|－1)的图象为(　 　)
A. B. C. D.
A
3.(2025·辽宁辽阳一模)若a=－log0.220，b=log624，c=log312，则(　 　)
A. c＞a＞b B. b＞a＞c
C. a＞b＞c D. c＞b＞a
A
4.(2025·江苏镇江模拟)已知A，B，C是函数f(x)=|log2x|的图象上的三点，且A在x轴上，BC∥x轴，BC=，则·=(　 　)
A. B. C. D. －
C
5.(2025·福建福州模拟)在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.其中ex=1＋x…，ln (x＋1)=x－….
通过这些公式可以计算一些无理数的近似值.将该公式运用到计算工具中，当计算的项足够多时，可以确保显示值的精确性，已知a=0.1e0.1，b=－ln 0.9，c=0.111.根据以上公式，这三个数的大小关系为(　 　)
A. a＞c＞b
B. a＞b＞c
C. c＞a＞b
D. c＞b＞a
C
6.(2025·陕西榆林二模)已知函数f(x)=ex＋3(x＜0)，g(x)=2ln (x＋m).若存在x0＞0，使得f(－x0)=g(x0)，则m的取值范围是(　 　)
A. (－∞，e) B. (－∞，e2)
C. D.
【解析】 根据题意知f(－x)－g(x)=0在(0，＋∞)上有解，因
此e－x＋3=2ln (x＋m)在(0，＋∞)上有解，故函数y=e－x＋3
(x＞0)与y=2ln (x＋m)的图象在(0，＋∞)上有交点，函数y=
e－x＋3(x＞0)的图象过点(0，4)，将点(0，4)代入y=2ln (x＋
m)，得m=e2，令2ln (x＋m)=0，得x=1－m，由图象可知1－m＞1－e2，解得m＜e2.
B
7.(2025·安徽合肥三模)已知f(x)=|ln (x－a)|，其中a＞0，若f(x1)= f(x2)，x1≠x2，a(x1＋x2)＜x1x2，则a的取值范围是(　 　)
A. (1，＋∞) B. (2，＋∞)
C. (1，2) D. (0，1)
【解析】 函数f(x)的定义域为(a，＋∞)，∵f(x)=|ln (x－a)|=∴可作出函数f(x)的大致图象如图所示.
D
则f(x)在(a＋1，＋∞)上单调递增，在(a，a＋1)上单调递减，不妨设0＜a＜x1＜x2，又f(x1)= f(x2)，则f(x1)=－ln(x1－a)，f(x2)=ln (x2－a)，则－ln (x1－a)=ln (x2－a)，即(x2－a)(x1－a)=1，则x1x2－a(x1＋x2)＋a2=1，∵a(x1＋x2)＜x1x2，∴1－a2＞0，得－1＜a＜1，则0＜a＜1，故a的取值范围是(0， 1).
8.(多选)(2025·安徽合肥三模)已知m＞0，且m≠1，则函数f(x)=lo3的图象一定经过(　 　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 由f(x)=lo3=2logm3，m＞0，且m≠1，则f(0)=2logm3=1，即函数f(x)过点(0，1)，当m＞1时，函数f(x)单调递增，过第一、二、三象限；当0＜m＜1时，函数f(x)单调递减，过第一、二、四象限.
AB
9.(多选)关于函数f(x)=lg，下列说法中，正确的有(　 　)
A. f(x)的定义域为(－1，1)
B. f(x)的函数图象关于y轴对称
C. f(x)的函数图象关于原点对称
D. f(x)在(0，1)上单调递增
【解析】 ∵f(x)=lg=lg，∴＞0，解得－1＜x＜1，∴f(x)的定义域为(－1，1)，A正确；∵f(－x)=lg=－f(x)，即f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，B错误，C正确；∵y=－1在(0，1)上单调递增，y=lg x在(0，＋∞)上单调递增，∴f(x)=lg在(0，1)上单调递增，D正确.
ACD
10.(2025·安徽滁州一模)已知函数f(x)=loga(3x＋4)＋2x恒过定点(m，n)，则m＋n=
　 　.
【解析】 令3x＋4=1，则x=－1，又f(－1)=－2，∴f(x)过定点(－1，－2)，即m=－1，n=－2，∴m＋n=－3.
－3
11.已知函数f(x)=的定义域为，值域为[0，1]，则m的取值范围是
　 　.
【解析】 作出f(x)=的图象如图所示，可知f=f(2)=1，f(1)=0，由题意结合图象知1≤m≤2.
[1，2]
12.已知f(x)=lo(x2－ax＋5a).
(1)若a=2，求f(x)的值域；
解：(1)当a=2时，f(x)=lo(x2－2x＋10)，令t=x2－2x＋10=(x－1)2＋9，∴t≥9，f(x)≤lo9=－2，∴f(x)的值域为(－∞，－2].
(2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.
(2)令u=x2－ax＋5a，∵y=lou为减函数，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴u=x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，∴≤1，1＋4a≥0，解得－≤a≤2.
13.已知函数y=f(x)，其中f(x)=lo.
(1)证明：y=f(x)是奇函数.
(1)证明：函数y=lo的定义域为D=(－∞，－2)∪(2，＋∞)，在D中任取一个实数x，都有－x∈D，并且f(－x)=lo=lo=lo=－f(x)，∴y=lo是奇函数.
(2)若关于x的方程f(x)=lo(x＋k)在区间[3，4]上有解，求实数k的取值范围.
(2)解：f(x)=lo(x＋k)等价于x＋k=，即k=－x=－x＋1在[3，4]上有解.记g(x)=－x＋1，∵g(x)在[3，4]上为严格减函数，∴g(x)max=g(3)=2，g(x)min=g(4)=－1，∴g(x)的值域为[－1，2]，∴实数k的取值范围是[－1，2].
14.(多选)已知函数f(x)=ln(e2x＋1)－x，则(　 　)
A. f(ln 2)=ln
B. f(x)是奇函数
C. f(x)在(0，＋∞)上单调递增
D. f(x)的最小值为ln 2
【解析】 f(ln 2)=ln(e2ln 2＋1)－ln 2=ln，A正确；f(x)=ln(e2x＋1)－x=ln(e2x＋1)－ln ex=ln=ln(ex＋e－x)，∴f(－x)=ln(ex＋e－x)=f(x)，∴f(x)为偶函数，B错误；当x＞0时，y=ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，∴y=ln(ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确；∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，∴f(x)在(－∞，0]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(0)=ln 2，D正确.
ACD
15.(2025·河北石家庄模拟)已知a＞0，且a≠1，若关于x的不等式4logax＞(x－1)2恰有1个整数解，则a的取值范围是　 　.
【解析】 不等式4logax＞(x－1)2恰有1个解时，logax＞0，当0＜a＜1时，0＜x＜1，不等式4logax＞(x－1)2无整数解；当a＞1时，x＞1，随着x的增大，函数y=(x－1)2比y=4logax增长更快，∴2是不等式4logax＞(x－1)2的唯一整数解，则解得3≤a＜16，∴a的取值范围是3≤a＜16.
[3，16)
16.已知函数f(x)=3－2log2x，g(x)=log2x.
(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)=[f(x)＋1]·g(x)的值域；
解：(1)由题意可知h(x)=(4－2log2x)log2x=2－2(log2x－1)2.∵x∈[1，4]，∴log2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2].
(2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()＞k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围.
(2)由f(x2)·f()＞k·g(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x，令t=log2x，∵x∈[1，4]，∴t=log2x∈[0，2]，∴(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0，2]恒成立，①当t=0时，k∈R；②当t∈(0，2]时，k＜恒成立，即k＜4t－15，∵4t≥12，当且仅当4t=，即t=时，取等号，∴4t－15的最小值为－3，∴k＜－3.综上，实数k的取值范围是(－∞，－3).

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