资源简介

(共54张PPT)
第3节　平面向量的数量积及其应用
课标解读　1.理解平面向量数量积的含义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.会用向量方法解决简单的平面几何问题.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 数量积的计算
考点二 数量积的应用
考点三 投影向量
微点突破
1.[教材改编]若向量a=(1，2)，b=(－3，4)，则a·b的值等于　 　，a与b夹角的余弦值等于 　.
【解析】 ∵a=(1，2)，b=(－3，4)，∴a·b=－3×1＋2×4=5，|a|=，|b|==5，∴cos＜a，b＞=.
2.[教材改编]已知|a|=6，|b|=8，a·b=－24，则向量a与b的夹角是 　.
【解析】 设a与b的夹角为θ，cos θ==－，又θ∈[0，π]，∴θ=.
3.[教材改编]在△ABC中，C=90°，CA=CB=1，则·=　 　.
【解析】 ∵C=90°，CA=CB=1，∴AB=，A=45°，∴·=||·||cos A=1×=1.
5
1
4. (向量的模与数量积之间的关系掌握不牢致误)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=，|a－2b|=3，则a·b=　 　.
【解析】 依题意，得a2=1，b2=3，又|a－2b|=3，∴a2－4a·b＋4b2=9，∴1－4a·b＋12=9，即a·b=1.
5. (混淆两个向量平行与垂直的坐标表示)设x，y∈R，向量a=(x，1)，b=(1，y)，c=(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. 2 D. 10
【解析】 ∵a⊥c，b∥c，∴2x－4=0，－4－2y=0，解得x=2，y=－2，∴a＋b=(3，－1)，∴|a＋b|=.
易错题
易错题
1
B
6. (忽视向量共线的情形)向量a=(2，t)，b=(－1，3)，若a，b的夹角为钝角，则t的取值范围是(　 　)
A. 　 　B.
C. (－∞，－6)∪ 　　D. (－∞，－6)
【解析】 若a，b的夹角为钝角，则a·b＜0且a，b不反向共线.由a·b=－2＋3t＜0，解得
t＜.向量a=(2，t)，b=(－1，3)共线时，2×3=－t，得t=－6.此时a=－2b，∴t＜，且t≠－6.
易错题
C
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作=a，=b，则　
　(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.　
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量　 　叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=　 　.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a=　 　.
(3)投影向量
如图所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，过点M作直线ON的垂线，
垂足为M1，则 　　就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系
为=|a|cos θ·e.
∠AOB=θ
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
0
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b=|a||b|cos θ=　 　.
(2)模：|a|== 　.
(3)夹角：cos θ== 　.
(4)两个非零向量a⊥b的充要条件：a·b=0 　 　.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时，等号成立) |x1x2＋y1y2|≤·.
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2=0
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a(交换律).
(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c=a·c＋b·c(分配律).
[优化拓展]
1.掌握以下几个公式：
(1)①(a＋b)·(a－b)=a2－b2；②(a＋b)2=a2＋2a·b＋b2；③(a－b)2=a2－2a·b＋b2.
(2)S△ABC=||||sin A=·.
(3)若=λ(λ≠0)，则AP所在直线为∠BAC的平分线.
.
2.已知非零向量a，b：
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0；若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0；若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角或π.
3.平面几何中的向量方法三步曲：
(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
考点一　数量积的计算
(1)(2023·全国乙卷文)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. 3
C. 2 D. 5
【解析】 方法一　由题知||=||=2，=－，∴··=－·=－1＋4=3.
例 1
B
方法二　如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，则=(1，2)，=(－1，2)，∴·=(1，2)·(－1，2)=－1＋4=3.
方法三　由题意可得，ED=EC=，CD=2，在△CDE中，cos ∠DEC=，∴·=||||cos ∠DEC==3.
(2)(2025·天津卷)△ABC中，D为AB边中点，=a，=b，则=_______ 　
(用a，b表示)，若||=5，AE⊥CB，则·=　 　.
【解析】 如图所示，
∵，∴()，
∴.∵D为线段AB的中点，
∴a＋b；又||=5，AE⊥CB，∴a2＋a·b＋b2=25，··(a－b)=a2＋a·b－b2=0，∴a2＋3a·b=4b2，∴a2＋4a·b=180，∴··a2＋a·b－b2=(a2＋2a·b－8b2) =(a2＋2a·b－2a2－6a·b)=(－a2－4a·b)=－15.
a＋b
－15
计算平面向量数量积的主要方法：
(1)利用定义：a·b=|a||b|cos＜a，b＞.
(2)利用坐标运算，若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
已知非零向量a，b满足|a＋b|=|a－b|，则a＋b在a方向上的投影向量为(　 　)
A. a B. b
C. 2a D. 2b
【解析】 由已知条件得|a＋b|2=|a－b|2，即a·b=0，则a＋b在a方向上的投影向量为·(|a＋b|·cos＜a＋b，a＞)=··=a.
跟踪训练1
A
考点二　数量积的应用
(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|=1，|a＋2b|=2，且(b－2a)⊥b，则|b|=(　 　)
A. B.
C. D. 1
【解析】 ∵(b－2a)⊥b，∴(b－2a)·b=0，即b2=2a·b，又|a|=1，|a＋2b|=2，∴1＋4a·b＋4b2=1＋6b2=4，从而|b|=.
例 2
考向1 平面向量的模
B
求平面向量的模的两种方法：
(1)公式法：①a2=a·a=|a|2，或|a|=.②|a±b|=.
③若a=(x，y)，则|a|=.
(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1，1)，b=(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　 　)
A. λ＋μ=1 B. λ＋μ=－1 C. λμ=1 D. λμ=－1
【解析】 ∵a=(1，1)，b=(1，－1)，∴a＋λb=(1＋λ，1－λ)，a＋μb=(1＋μ，1－μ).∵(a＋λb)⊥(a＋μb)，∴(a＋λb)·(a＋μb)=0，∴(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)=0，整理得λμ=－1.
(2)(多选)已知向量a，b满足|a＋b|=，|a－b|=，则a与b的夹角可以为(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵|a＋b|=，∴|a|2＋|b|2＋2a·b=6，∵|a－b|=，∴|a|2＋|b|2－2a·b=2，∴4a·b=4，即a·b=1，∴|a|2＋|b|2=4.∵|a|2＋|b|2≥2|a||b|(当且仅当|a|=|b|时，等号成立)，∴|a||b|≤2，设a与b的夹角为θ(0≤θ≤π)，则cos θ=≥，∴0≤θ≤，则a与b的夹角可以为.
考向2 平面向量的夹角与垂直
例 3
D
AB
1.求平面向量的夹角的方法：
(1)定义法：cos θ=.(2)坐标法.
2.两个向量垂直的充要条件：
a⊥b a·b=0 |a－b|=|a＋b|(其中a≠0，b≠0).
(1)已知向量a=(3，4)，b=(1，0)，c=a＋tb，若＜a，c＞=＜b，c＞，则t=(　 　)
A. －6 B. －5
C. 5 D. 6
【解析】 由题意，得c=a＋tb=(3＋t，4)，∴a·c=3×(3＋t)＋4×4=25＋3t，b·c=1×(3＋t)＋0×4=3＋t.∵＜a，c＞=＜b，c＞，∴cos ＜a，c＞=cos ＜b，c＞，即，即=3＋t，解得t=5.
(2)(2026·湖北武汉开学考试)已知向量a，b满足|a|=2，cos＜a， b＞=，且|a＋b|=，则|b|=　 　.
【解析】 由|a＋b|=，得|a|2＋2a·b＋|b|2=10，即4＋2×2×|b|×＋|b|2=10，整理得|b|2＋|b|－6=0，解得|b|=2，或|b|=－3(舍去).
跟踪训练2
C
2
考点三　投影向量
(2026·广西南宁适应性测试)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2，||=||，则向量在向量上的投影向量为　(　 　)
A. B. C. － D.
【解析】 ∵2，∴O为BC的中点，又O为△ABC的外接圆圆心，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，如图所示，∵||=||，∴△AOC为等边三角形，则∠ACB=60°，∴向量在向量上的投影向量为||·cos 60°··cos 60°·.
例 4
A
投影向量的两种求法：
(1)用几何法作出恰当的垂线，直接得到投影向量.
(2)利用公式，向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos ＜a，b＞·.
(1)(2026·广东深圳模拟)已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a＋λb在向量a上的投影向量为2a，则λ=(　 　)
A. －2 B. 2 C. － D.
【解析】 a＋λb在向量a上的投影向量为a=2a，即=2，即(a＋λb)·a=|a|2＋λ|a|·|b|cos 120°=1－λ=2，解得λ=－2.
(2)(2026·江西南昌模拟)已知向量a=(2， 0)，b=，若向量b在向量a上的投影向量c=，则|a＋b|=(　 　)
A. B. C. 3 D. 7
【解析】 由题可得b在a上的投影向量为·×(2，0)=(sin α， 0). 又b在a上的投影向量c=，∴sin α=，∴b=，∴a＋b=，
∴|a＋b|=.
跟踪训练3
A
B
　平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合.
向量中的最值(范围)问题
微点突破
在△ABC中，F为线段BC上任意一点(不含端点)，若=x＋2y(x＞0，y＞0)，则的最小值为　(　 　)
A. 3 B. 4 C. 8 D. 9
【解析】 ∵F，B，C三点共线，且=x＋2y(x＞0，y＞0)，∴x＋2y=1，故(x＋2y)=1＋4＋≥5＋2=9，当且仅当，即x=y=时，等号成立，故的最小值为9.
例 5
考向1 求参数的最值(范围)
D
此类问题的一般解题步骤：
第一步：利用向量的运算将问题转化为相应的等式关系；
第二步：运用基本不等式或函数的性质求其最值.
如图所示，在△ABC中，点P满足2，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若=x=y(x＞0，y＞0)，则2x＋y的最小值为　 　.
【解析】 由题意知，，又=x=y(x＞0，y＞0)，∴，由M，P，N三点共线，得=1，∴2x＋y=(2x＋y)≥＋2=3，当且仅当x=y时，等号成立，故2x＋y的最小值为3.
跟踪训练4
3
已知O是△ABC所在平面内一点，且||=2，·=－1，·=1，则∠ABC的最大值为
(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 根据·=－1，·=1可得··=()·=2，即可得|AC|=，
即可知点C的轨迹是以A为圆心，半径为的圆，如图所示，由图可知，
当BC与圆相切时，∠ABC取到最大，
由||=2，||=，可知此时∠ABC=.
例 6
考向2 求向量夹角的最值(范围)
B
求夹角的最值(范围)问题要根据夹角余弦值的表达式，采用基本不等式或函数的性质解决.
已知非零向量a，b的夹角为θ，若|a＋b|=2，且|a||b|≥，则夹角θ的最小值为　(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 由|a＋b|2=4，得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|cos θ=4，即4≥2|a|·|b|(1＋cos θ)≥(1＋cos θ)，当且仅当|a|=|b|时，等号成立，解得cos θ≤.又θ∈[0，π]，∴≤θ≤π，∴夹角θ的最小值为.
跟踪训练5
C
(2025·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，||=||=，||=2.设C(3， 4)，则|2|的取值范围是(　 　)
A. [6， 14] B. [6， 12]
C. [8， 14] D. [8， 12]
【解析】 ∵||=||=，||=2，由平方可得，·=0，∴＜， ＞=.2=2()＋－2，||==5，∴|2|2=＋4－4()·=2＋2＋4×25－4()·=104－4()·，又|()·|≤||||=5×=10，即－10≤()·≤10，∴|2|2∈[64， 144]，|2|∈[8， 12].
考向3 求向量模的最值(范围)
例 7
D
求向量模的最值(范围)的方法，通常有：
(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，或通过建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示构造不等式，再利用基本不等式，三角函数等方法求最值.
(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，注意题目中所给的垂直、平行条件，以及其他数量关系，合理地转化，使过程更简单，最后结合动点表示的图形求解.
已知e为单位向量，若向量a满足(a－e)·(a－5e)=0，则|a＋e|的最大值为(　 　)
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
【解析】 可设e=(1，0)，a=(x，y)，则(a－e)·(a－5e)=(x－1，y)·(x－5，y)=x2－6x＋5＋y2=0，即(x－3)2＋y2=4，则1≤x≤5，－2≤y≤2，|a＋e|=，当x=5时，取得最大值6，即|a＋e|的最大值为6.
跟踪训练6
C
已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　 　)
A. (－2，6) B. (－6，2)
C. (－2，4) D. (－4，6)
【解析】 方法一　如图所示，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，F(－1，).
考向4 求向量数量积的最值(范围)
例 8
A
设P(x，y)，则=(x，y)，=(2，0)，且－1＜x＜3，∴·=(x，y)·(2，0)=2x，又－2＜2x＜6，∴·的取值范围是(－2，6).
方法二　设与的夹角为θ，则在上的投影向量的模为||·cos θ，由图可知||cos θ∈(－1，3)，则·=||·||·cos θ∈(－2，6)，即·的取值范围是(－2，6).
数量积最值(范围)的解法：
(1)坐标法：通过建立平面直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理.
(2)向量法：运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决.
在边长为2的正三角形ABC中，M，N分别为边BC，AC上的动点，且CN=BM，则
·的最大值为　 　.
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－1，0)，C(1，0)，A(0，)，则=(2，0)，=(－1，)，设=t(0≤t≤1)，则=t(0≤t≤1)，则M(2t－1，0)，N(1－t，t)，∴=(2t－1，－)，=(2－3t，t)，∴·=(2t－1)×(2－3t)＋(－)×(t)=－6t2＋4t－2=－6，当t=时，·取得最大值－.
跟踪训练7
－
课时作业
答案速对
第五章 对点练44　平面向量的数量积及其应用 题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A A C B C
题号 7 8 9 13 14 答案 D ACD ACD B BCD 1.已知向量a=(2，1)，b=(3，2)，则a·(a－b)=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. －5 B. －3
C. 3 D. 5
B
2.已知向量a在向量b上的投影向量是－·b，且b=(1，1)，则a·b=(　 　)
A. － B. C. － D.
A
3.(2026·北京丰台开学考试)已知两个单位向量a，b的夹角为60o，若a－b＋c=0，则|c|=
(　 　)
A. 1 B. C. 2 D.
A
4.(2025·湖北荆州阶段练习)已知单位向量a，b满足|2a－b|=2，则|a＋2b|=(　 　)
A. 2 B.
C. D. 2
C
5.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|a－b|=，则a与b的夹角为(　 　)
A. B. C. D.
B
6.(2024·全国甲卷理)已知向量a=(x＋1，x)，b=(x，2)，则(　 　)
A. “x=－3”是“a⊥b”的必要条件
B. “x=－3”是“a∥b”的必要条件
C. “x=0”是“a⊥b”的充分条件
D. “x=－1”是“a∥b”的充分条件
【解析】 对于A，当a⊥b时，则a·b=0，∴x·(x＋1)＋2x=0，解得x=0或－3，即必要性不成立，A错误；对于C，当x=0时，a=(1，0)，b=(0，2)，故a·b=0，∴a⊥b，即充分性成立，C正确；对于B，当a∥b时，则2(x＋1)=x2，解得x=1±，即必要性不成立，B错误；对于D，当x=－1时，不满足2(x＋1)=x2，∴a∥b不成立，即充分性不成立，D错误.
C
7.(2025·皖豫名校联考)如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB为其外接圆的直径，且AB=2AD=2，P为边BC的中点，则·=(　 　)
－ B. －2
C. － D. －
【解析】 由题意，∠BAD=60°，建立平面直角坐标系如图所示，
则A(0，0)，B(2，0)，C，
D，∴P，∴，
又，∴·=－.
D
8.(多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的有(　 　)
A. (a＋b)·c=a·c＋b·c
B. (a·b)·c=a·(b·c)
C. a·b≤|a|·|b|
D. |a－b|≤|a|＋|b|
【解析】 根据数量积的分配律可知A正确；B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，B不一定成立；根据数量积的定义可知a·b=|a||b|cos＜a，b＞≤|a|·|b|，C正确；|a－b|2－(|a|＋|b|)2=－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，D正确.
ACD
9.(多选)已知向量a=(－1，2)，b=(1，λ)，若b在a上的投影向量为a，则 (　 　)
A. λ=3
B. a∥b
C. a⊥(b－a)
D. a与b的夹角为45°
【解析】 对于A，∵b在a上的投影向量为a，即·=a，∴=1，即=1，解得λ=3，A正确；对于B，a=(－1，2)，b=(1，3)，∴(－1)×3－2×1≠0，B错误；对于C，a·(b－a)=(－1，2)·(2，1)=－2＋2=0，∴a⊥(b－a)，C正确；对于D，cos ＜a，b＞=，∵0°≤＜a， b＞≤180°，∴a与b的夹角为45°，D正确.
ACD
10.(2025·新高考Ⅱ卷)已知平面向量a=(x， 1)，b=(x－1， 2x)，若a⊥(a－b)，则|a|=
　.
【解析】 a－b=(1， 1－2x)，∵a⊥(a－b)，则a·(a－b)=0，则x＋1－2x=0，解得x=1，则a=(1， 1)，则|a|=.
11.物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就称这个力对物体做了功，功的计算公式：W=F·S(其中W是功，F是力，S是位移).一物体在力F1=(2，4)和F2=(－5，3)的作用下，由点A(1，0)移动到点B(2，4)，在这个过程中这两个力的合力对物体所做的功等于　 　.
【解析】 ∵F1=(2，4)，F2=(－5，3)，∴F1＋F2=(－3，7)，又A(1，0)，B(2，4)，∴=(1，4)，故W=(F1＋F2)·=－3＋7×4=25.
25
12.(2025·北京海淀模拟)在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，·=－4，P是边CD的一个四等分点(靠近点C)，则·=　 　.
【解析】 由题设，得如下示意图，，又，
∴··=－···=－2＋4－3=－1.
－1
13.(2025·广东广州模拟)某货船执行从A港口到B港口的航行任务，B港口在A港口的正北方向.已知河水的速度为向东2 m/s.若货船在静水中的航速为4 m/s，为了使得实际路程最短，船长调整船头的方向航行，则该船完成此段航行的实际速度为(　 　)
A. 2 m/s B. 2 m/s
C. 4 m/s D. 2 m/s
【解析】 设船在静水中的速度为v1，水流速度为v2，船实际航行
速度为v，则|v1|=4，|v2|=2，则v=v1＋v2，设θ=＜ v1，v2＞，由船
需要到达正北方向的点B，得v⊥v2，则v·v2=(v1＋v2)·v2=v1·v2
=4×2cos θ＋22=0，解得cos θ=－，而0≤θ≤π，于是θ=，
|v|==2，
∴该船完成此段航行的实际速度为2m/s.
B
14.(多选)已知向量a，b，c满足|a|=2|b－a|=2|b－c|=2|c|=2，则下列结论中，可能成立的有(　 　)
A. |b|= B. |b|= C. b·c= D. b·c=
【解析】 由题意知|a|=2，|c|=1，|a－b|=|b－c|=1，设=a，=b，
=c，不妨设C(1，0)，如图所示.动点A在以O为圆心，2为半径的圆
上，动点B在以C为圆心，1为半径的圆上，且满足||=1，圆C的方
程是(x－1)2＋y2=1.当点B在圆C上运动时，由|AB|＋|OB|≥|OA|，得
|OB|≥1，当且仅当O，A，B三点共线时取等号.由图易知|OB|≤2，即1≤|b|≤2，故A不可能成立，B可能成立.设B(x，y)，则b·c=(x，y)·(1，0)=x，由
解得∴x≥，又x≤2，∴≤x≤2，∴b·c∈，故C，D均可能成立.
BCD
15.(2025·湖南长沙模拟)在△ABC中，=a，=b，D是AC的中点，=2，用a，b
表示为 　 ，若⊥，则∠ACB的最大值为 　.
【解析】 b－a；=b－a，由⊥得(3b－a)·(b－a)=0，即3b2＋a2=4a·b，∴cos ∠ACB=≥，当且仅当|a|=|b|时取等号，而0＜∠ACB＜π，∴∠ACB∈.
b－a
16.如图所示，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且=λ·=－.
(1)求实数λ的值；
解：(1)∵=λ，∴AD∥BC，又∠B=60°，∴∠DAB=120°，∴·=6λ×3×
cos 120°=－，∴λ=.
(2)若M，N是边BC上的动点，且||=1，求·的最小值.
(2)过点A作AO⊥BC，垂足为O，则OB=，OC=，AO=.以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D.设M(x，0)，则N(x＋1，0)，－≤x≤，∴，∴·=x2－x，∴当x=时，·取得最小值.(共14张PPT)
第五章 单元小卷
1. (2025·福建福州模拟)已知复数z满足(1＋2i)z=3＋4i，则复数z的共轭复数的虚部是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. －i B. － C. i D.
【解析】 复数z满足(1＋2i)z=3＋4i，则z=i，∴z=i，故复数z的共轭复数的虚部是.
D
2. (2025·河北秦皇岛二模)已知向量a=(1，2)，b=(－2，2)，若c=(x，y)，且满足(c＋a)∥b，则x＋y等于(　 　)
A. －3 B. －2 C. 2 D. 4
【解析】 ∵a=(1，2)，b=(－2，2)，c=(x，y)，∴c＋a=(x＋1，y＋2)，又(c＋a)∥b，则－2(y＋2)=2(x＋1)，整理得x＋y=－3.
A
3. (2025·福建莆田三模)已知向量a，b满足|a|=1，|b|=3，且a在b上的投影向量为－b，则a与b的夹角为(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 依题意，a在b上的投影向量为b=－b，则a·b=－|b|2=－，∴cos＜a，b＞==－，又＜a，b＞∈[0，π]，∴＜a，b＞=，即a与b的夹角为.
D
4. (2025·山东临沂一模)在△ABC中，D是AB的中点，点P在CD上，若=λ，则λ的值为(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 由题意D是AB的中点，∴，又=λ，∴=λ()，解得λ，又点P在CD上，∴，解得λ=.
B
5. (2025·福建泉州模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|=1，b·c=0，a·b=1，a·c=－1，则|b＋c|的最小值为(　 　)
A. 1 B. C. 2 D. 4
【解析】 在平面直角坐标系xOy中，不妨设a=(1，0)，b=(x1，y1)，c=(x2，y2)，则a·b=x1=1，a·c=x2=－1，b·c= x1x2＋y1y2=y1y2－1=0，∴|b＋c|==|y1＋y2|==|y1|≥2=2，当且仅当y1=±1时，等号成立，∴|b＋c|的最小值为2.
C
6. (2025·河北保定一模)在△ABC中，∠BAC=120°，D为边BC的中点，且AD=1，则2AB＋AC的最大值为(　 　)
A. 3 B. 3 C. D. 2
【解析】 ∵D为BC的中点，∴()，两边平方可得(2·)，∵∠BAC=120°，AD=1，则·=||||cos 120°=－||·||，∴1=(||2－||||＋||2)，即4=||2－||·||＋||2，设AB=c，AC=b，则4=c2－bc＋b2，令t=2c＋b，则b=t－2c，代入4=c2－bc＋b2可得，4=c2－c(t－2c)＋(t－2c)2=c2－ct＋2c2＋t2－4tc＋4c2=7c2－5tc＋t2，将其看作关于c的一元二次方程7c2－5tc＋t2－4=0，∵c存在，∴判别式Δ=(－5t)2－4×7×(t2－4)≥0，即25t2－28t2＋112≥0，∴t2≤，解得t≤，故2AB＋AC的最大值为.
C
7. (多选)(2025·广东湛江模拟)已知a和b为单位向量，且|a－3b|=，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. a⊥b
B. a·(2a－b)=2
C. a与b的夹角为60°
D. a＋b在b方向上的投影向量为b
【解析】 对于A，C，∵a和b为单位向量，且|a－3b|=，则|a－3b|2=a2＋9b2－6a·b=10－6a·b=10，则a·b=0，故a⊥b，A正确，C错误；对于B，a·(2a－b)=2a2－a·b=2－0=2，B正确；对于D，由平面向量数量积的运算性质可得(a＋b)·b=a·b＋b2=
0＋1=1，∴a＋b在b方向上的投影向量为|a＋b|cos＜a＋b，b＞·=|a＋b|···b=b，D正确.
ABD
8. (多选)(2025·河南焦作三模)在△OAB中，若=(1－，1)，=(1，1)，点C在边OA上，点D在边AB上，且·=0，=λ，λ∈R，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. ||= B. ∠AOB= C. ||=6 D. ||=
【解析】 对于A，||=||=，A正确；对于B，∵cos∠AOB=，∴∠AOB=，B错误；对于C，∵·=0，∴BC为边OA上的高，△OAB的面积S=||·||sin∠AOB=sin，∴||=，C错误；对于D，∵=λ，∴OD平分∠AOB，即∠BOD=，又·=0，∴OB⊥AB，∴||=，D正确.
AD
9. (2025·湖南郴州三模)已知复数z是关于x的方程x2－4x＋5=0的一个根，则|z|= 　.
【解析】 由题意得(x－2)2=－1，则x－2=±i，∴x=2±i，∴|z|=.
10. 平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠A=120°，点N是DC边上的点，且=3，
M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则·的最大值为 　.
【解析】 如图所示，根据数量积的几何意义知，当点M与点C重合时，在上的投影向量与同向，且长度最长，∴此时·最大.∵，∴··()=·×4＋4×2×2×，∴·的最大值为.
11. 已知AB=10，C是以AB为直径的圆上一点，BC=6，D为AC的中点，求·的值.
解：如图所示，∵AB=10，C是以AB为直径的圆上一点，BC=6，∴AC=8，cos∠A=，又D为AC的中点，∴·=()·=－·=－·=－×10×8××82=－16.　
12. (2025·河北廊坊模拟预测)如图所示，在△ABC中，
∠ACB=90°，∠ABC=30°，点P在以BC为直径的半圆(△ABC外)
内及边界上运动，若=λμ，记2λ＋μ的最大值与最小值
分别为m，n，求m＋n的值.
解：设E为AB的中点，连接CE，设O为BC的中点，即点O为以
BC为直径的半圆的圆心，则=λμ=2λμ，当点
P在CE上时，由三点共线可得2λ＋μ=1，此时点P与点C重合，
2λ＋μ最小，即n=1，做直线l与CE平行，且与半圆相切，连接
点A与切点P，此时2λ＋μ最大，即由三点共线知点P在直线l上时，2λ＋μ最大，设直线l与AB的延长线相交于点M，连接OP，则OP⊥l，延长AC与l相交于点N，∵AC⊥BC，
∴AC为半圆的一条切线，∴NC=NP，由CE=AE=EB，∠CAE=60°得∠CEA=∠PMB=60°，∠ECB=∠EBC=30°，可得△AMN为等边三角形，AN=MN，∴AC=PM，由得PC∥AM，又CE∥l，∴四边形PCEM为平行四边形，∴PC=EM，∠PCE=∠AMP=60°，设CE=1，则AE=1，BC=，由∠CPB=90°，∠ECB=30°得∠PCB=30°，EM=PC=PB=BC=，可得AM=AE＋EM=，∴=λμ=2λμ=2λ×μ×，∵N，P，M三点共线，∴2λ×μ×=1，可得2λ＋μ=，∴2λ＋μ的最大值为m=，则m＋n=1.(共14张PPT)
拓展视野 等和线
能力训练
知识拓展
课时作业
内
容
索
引
等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图所示，由三点共线结论可知，若=λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k，k∈R，使得=k，则=k=kλ＋kμ，又=x＋y(x，y∈R)，∴x＋y=k(λ＋μ)=k；反之也成立.
(2)平面内一组基底及任一向量=λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P'在直线A'B'上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.
给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示，
点C在以O为圆心的圆弧上运动，若=x＋y，其中x，y∈R，
则x＋y的最大值为　 　.
【解析】 方法一　由已知可设OA为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系(图略).其中A(1，0)，B，C(cos θ，sin θ).则有=(cos θ，sin θ)=x(1，0)＋y，即得x=sin θ＋cos θ，y=sin θ，x＋y=sin θ＋cos θ＋sin θ=sin θ＋cos θ=2sin，其中0≤θ≤，∴(x＋y)max=2，当且仅当θ=时取得.
例 1
2
方法二　如图所示，连接AB交OC于点D，
设=t，由于=x＋y，∴=t(x＋y).∵D，A，B三点在同一直线上，∴tx＋ty=1，x＋y=，由于||=t||=t，当OD⊥AB时t取到最小值，当点D与点A或点B重合时t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值为2.
方法三(等和线法)　连接AB，过点C作直线l∥AB，则直线l为以
为基底的平面向量基本定理系数的等和线，显然当l与
圆弧相切于点C1时，定值最大，
∵∠AOB=120°，∴，∴x＋y的最大值为2.
如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的一点，M为AH的中点，若=λ＋μ，则λ＋
μ= 　.
【解析】 由等和线定理知λ＋μ=.
跟踪训练1
如图所示，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上一点，若=x＋y，则2x＋2y的最大值为(　 　)
A. B. 2
C. D. 1
【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交
于点E，与直线AC相交于点F，设=λ＋μ，
则λ＋μ=1，∵BC∥EF，∴设=k，则k∈，
∴=k=k=λ＋μ=λk＋μk，
∴x=λk，y=μk，∴2x＋2y=2(λ＋μ)k=2k≤.
例 2
A
已知O是△ABC内一点，且=0，点M在△OBC内(不含边界)，若=λ＋μ，
则λ＋2μ的取值范围是(　 　)
A. B. (1，2)
C. D.
【解析】 ∵O是△ABC内一点，且=0，∴O为△ABC的重心，M在△OBC内(不含边界)，且当M与O重合时，λ＋2μ最小，此时=λ＋μ，∴λ=，μ=，即λ＋2μ=1；当M与C重合时，λ＋2μ最大，此时，∴λ=0，μ=1，即λ＋2μ=2.又M在△OBC内且不含边界，∴取开区间，即λ＋2μ∈(1，2).
跟踪训练2
B
课时作业
答案速对
第五章 对点练46　等和线 题号 1 4
答案 A C
1.在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λμ，则λ＋μ的最大值为(　 　)
A. 3 B. 2 C. 2 D. 4
【解析】 如图所示，以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建
立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，D(0，1)，
C(1，1)，∵动点P在以C为圆心，且与BD相切的圆上，设圆的半径
为r，∵BC=1，CD=1，∴BD=∴r=，∴圆的方程为
(x－1)2＋(y－1)2=，设点P的坐标为，
∵=λμ，即=λ(1，0)＋μ(0，1)=(λ，μ)，∴cos θ＋1=λ，sin θ＋1=μ，∴λ＋μ=cos θ＋1sin θ＋1=sin2，∵－1≤sin≤1，∴1≤λ＋μ≤3，故λ＋μ的最大值为3.
A
2.如图所示，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延
长线上，且AD=1，P是△BCD(含边界)内的动点，设=λ
μ，则λ＋μ的最大值为 　.
【解析】 当点P位于点B时，过点B作GH∥DC，交OC，OD的延长线于点G，H，由等和线定理知，此时λ＋μ为最大值，则=xy，且x＋y=1，∵△GCB∽△COD，∴，∴=xyx·y·=λμ，∴λ=x，μ=y λ＋μ=xy=.
3.在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上的动点，若=xy，则3x＋y的取值范围是　 　.
【解析】 如图所示，取OA的三等分点D，使得OD=OA，
过点A作直线l，使得l∥BD，则=xy=3x
y=3xy，由等和线定理知，当点C位于直线BD上
时(即点C与点B重合时)，3x＋y取得最小值1；当点C与点A
重合时，3x＋y取最大值3，∴3x＋y的取值范围是[1，3].
[1，3]
4.如图所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=1，AB=2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设=λμ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　 　)
A. (1，2) B. (0，3) C. [1，2] D. [1，2)
C
【解析】 以A为原点建立平面直角坐标系，则D(0，1)，C(1，1)，B(2，0)，直线BD：y=1 x＋2y－2=0，∴圆C的半径r=，∴☉C：(x－1)2＋(y－1)2=.设P(x，y)，由=λμ可得∵点P在圆C内或圆上移动，∴(2μ－1)2＋(λ－1)2≤.
设θ∈[0，2π)，r∈，则∴λ＋μ=rcos θ＋rsin θrsin，其中tan φ=.由θ∈[0，2π)，r∈可知，λ＋μ≤r≤=2，且λ＋μ≥－r≥－=1，∴λ＋μ∈[1，2].(共16张PPT)
拓展视野 极化恒等式
能力训练
知识拓展
课时作业
内
容
索
引
极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)证明过程：如图所示，
设=a，=b，则=a＋b，=a－b.=(a＋b)2=|a|2＋2a·b＋|b|2，||2=(a－b)2=|a|2－2a·b＋|b|2，两式相减得a·b=[(a＋b)2－(a－b)2]，即为极化恒等式.
(2)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的.
(1)如图所示，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·=4，
·=－1，则·的值为 　.
【解析】 设=a，=b，·=||2－||2=9b2－a2=4，·=||2－||2=b2－a2=－1，解得b2=，a2=，∴·=||2－||2=4b2－a2=.
例 1
(2)已知点A，B，C均在半径为的圆上，若|AB|=2，则·的最大值为
　 　.
【解析】 设A，B，C三点所在圆的圆心为O，取AB中点D，故··－1，∵A，B，C三点在圆上，∴CD长度最大为r＋d，其中d为圆心O到弦AB的距离，故最大值为1＋，∴－1的最大值为(1＋)2－1=2＋2.
2＋2
如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，E，O，F为线段BD的四等分点，则·=
　 　.
【解析】 BD==12，∴AO=6，OE=3，∴由极化恒等式知·=27.
跟踪训练1
27
如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为B，则·的取值范围是　 　.
【解析】 由向量极化恒等式知·=||2－||2=||2－9.又△ABC是边长为8的等边三角形，∴当点P位于点A或点C时，||取最大值8.当点P位于AC的中点时，||取最小值，即||min=8sin =4，∴||的取值范围是[4，8]，∴·的取值范围是[39，55].
例 2
[39，55]
(2022·北京卷)在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则·的取值范围是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. [－5，3] B. [－3，5] C. [－6，4] D. [－4，6]
【解析】 方法一
依题意，如图所示建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(3，0)，
B(0，4)，∵PC=1，∴P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，
设P(cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π]，∴=(3－cos θ，－sin θ)，
=(－cos θ，4－sin θ)，∴·=(－cos θ)×(3－cos θ)＋
(4－sin θ)×(－sin θ)=cos 2θ－3cos θ－4sin θ＋sin2θ=1－3cos θ
－4sin θ=1－5sin(θ＋φ)，其中sin φ=，cos φ=，又－1≤
sin(θ＋φ)≤1，∴－4≤1－5sin(θ＋φ)≤6，即·∈[－4，6].
跟踪训练2
D
方法二　如图所示，∵|PC|=1，∴点P在以C为圆心，1为半径的圆上运动.
设AB的中点为Q，由极化恒等式，·= |PQ|2－|AQ|2=|PQ|2－①.由题意，|CQ|=|AB|=，∴|PQ|min=|CQ|－1=，|PQ|max=|CQ|＋1=，结合①可得－4≤·≤6.
课时作业
答案速对
第五章 对点练47　极化恒等式 题号 1 2 3 4
答案 D B D A
1.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2AB=2BC=2，P为梯形ABCD四条边上的一个动点，则·的取值范围是　(　 　)
A. B. C. [－1，4] D.
【解析】 如图所示，取AB中点O，则由极化恒等式知，·=PO2－OA2
=PO2－，要求·的取值范围，只需要求PO2最大，最小即可.由图，可
知PO2最大时，P在D点，即PO2=DO2=AD2＋AO2=，此时·=PO2－=4；
PO2最小时，P在O点，即PO2=0，此时·=PO2－=－.综上，·的
取值范围是.
D
2.(2025·江苏常州模拟)已知图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则·的取值范围是(　 　)
A. [12，16]
B. [11，15]
C. [12，15]
D. [8，12]
【解析】 ∵正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，
∴正六边形ABCDEF的内切圆的半径为r=OAsin 60°=4sin 60°=2，外接圆的半径为R=4，由极化恒等式知，·－1，又r≤||≤R，即||∈[2，4]，可得－1∈[11，15]，∴·的取值范围是[11，15].
B
3.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=2，M为线
段AB上的动点(包含端点)，D为AC的中点.将线段AC绕着点
D旋转得到线段EF，则·的最小值为(　 　)
A. －2 B. －
C. －1 D. －
【解析】 依题意BC=，D为线段EF的中点，EF=AC=2，
则=2，由极化恒等式知，
·－()2]=，
由于=4，∴·的最小值为－.
D
4.(2023·全国乙卷理)已知☉O的半径为1，直线PA与☉O相切于点A，直线PB与☉O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=，则·的最大值为(　 　)
A.
B.
C. 1
D. 2
A
【解析】 ∵|PO|=，∴设P(，0)，☉O的方程为：x2＋y2=1，如图所示，连接OA，∵|OA|=1，直线PA与☉O相切，∴|PA|=1，∠OPA=，
连接OD，∵D为BC的中点，∴OD⊥DP，设∠OPD=α，
α∈，则|PD|=cos α，当点A和点D在x轴同侧时
可得，·=||·||cos =1·cos α·
coscos，
又α∈，∴2α－∈，当α=时，cos有最大值，∴·的最大值为； 当点A和点D在x轴异侧时可得，·=||·||·cos=1·cos α·coscos，
又α∈，∴2α∈，当α=0时，cos有最大值，∴·的最大值为1.
综上，·的最大值为.(共42张PPT)
第4节　复数
课标解读　1.通过方程的解，认识复数，理解复数的代数表示及其几何意义.
2.掌握复数的实部、虚部及共轭复数、复数的模等概念.
3.结合复数的运算法则，会做复数的加、减、乘、除运算.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 复数的概念
考点二 复数的四则运算
考点三 复数的几何意义
考点四 复数与方程
1.[教材改编]若复数z=m2－1＋(m－1)i为纯虚数，则m=　 　.
【解析】 由题意知解得m=－1.
2.[教材改编]在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是　 　.
【解析】 ∵，∴在复平面内对应的复数为－1－3i－(2＋i)=－3－4i.
3.[教材改编]已知复数z满足=1＋i，则z= 　，|z|= 　.
【解析】 ∵=1＋i，∴z=i，∴|z|=.
－1
－3－4i
i
4. (忽视复数相等的充要条件)如果(1－i)＋(2＋3i)=a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a－b等于(　 　)
A. 5 B. 1
C. 0 D. －3
【解析】 ∵(1－i)＋(2＋3i)=a＋bi，即3＋2i=a＋bi，∴a=3，b=2，∴a－b=1.
5. (对复数的虚部理解不正确)i为虚数单位，若复数(1＋mi)(i＋2)是纯虚数，则实数m=　 　.
【解析】 ∵(1＋mi)(i＋2)=2－m＋(1＋2m)i是纯虚数，∴2－m=0，且1＋2m≠0，解得m=2.
易错题
易错题
B
2
6. (不理解模的几何意义致误)满足1≤|z－1＋i|≤的复数z在复平面内对应的点构成的图形的面积为　 　.
【解析】 设z=a＋bi(a，b∈R)，由1≤|z－1＋i|≤可得1≤(a－1)2＋(b＋1)2≤3，即复数z在复平面内对应的点构成的图形是以(1，－1)为圆心，分别以1，为半径的圆所夹的圆环，其面积为3π－π=2π.
易错题
2π
1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C={a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的　 　，b叫做复数z的　 　(i为虚数单位).
(2)分类：
(3)复数相等：a＋bi=c＋di 　 　(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 　 　(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做复数z=a＋bi的模，记作　 　或　 　，即|z|=|a＋bi|=__________ 　
(a，b∈R).
复数的 分类 满足条件(a，b为实数)
a＋bi为实数 　 　
a＋bi为虚数 　 　
a＋bi为纯虚数 　 　
实部
虚部
b=0
b≠0
a=0，且b≠0
a=c，且b=d
a=c，且b=－d
|a＋bi|
|z|
2.复数的几何意义
复数z=a＋bi与复平面内的点　 　及平面向量=(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
Z(a，b)
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1=a＋bi，z2=c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图所示的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法
的几何意义，即= 　，　 .
z1±z2 (a＋bi)±(c＋di)=　 　
z1·z2 (a＋bi)(c＋di)=　 　
= 　(c＋di≠0)
(a±c)＋(b±d)i
(ac－bd)＋(bc＋ad)i
i
=
[优化拓展]
1.利用复数相等a＋bi=c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
2.掌握复数运算的常用结论：
(1)(1±i)2=±2i，=i，=－i.
(2)i4n=1，i4n＋1=i，i4n＋2=－1，i4n＋3=－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3=0(n∈N*).
(3)|z1·z2|=|z1|·|z2|，，|zn|=|z|n.
(4)复数的模与共轭复数的关系z·=|z|2=||2.
3.实系数一元二次方程虚根成对：若实系数一元二次方程有虚根，则两根互为共轭复数.
4.复数z的方程在复平面内表示的图形：
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，a和b为半径的两圆所夹的圆环.
(2)|z－(a＋bi)|=r(r＞0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.
考点一　复数的概念
(1)(2025·新高考Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. －1 B. 0 C. 1 D. 6
【解析】 ∵(1＋5i)i=i＋5i2=－5＋i，∴其虚部为1.
(2)已知z=1－2i，且z＋a＋b=0，其中a，b为实数，则(　 　)
A. a=1，b=－2 B. a=－1，b=2
C. a=1，b=2 D. a=－1，b=－2
【解析】 由题意知=1＋2i，∴z＋a＋b=1－2i＋a(1＋2i)＋b=a＋b＋1＋(2a－2)i，又z＋a＋b=0，∴a＋b＋1＋(2a－2)i=0，∴解得
例 1
C
A
解决复数概念问题的方法及注意事项：
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
(1)已知复数z1=a－3i，z2=2＋i(i为虚数单位).若z1z2是纯虚数，则实数a=(　 　)
A. － B. C. －6 D. 6
【解析】 ∵z1z2=(a－3i)(2＋i)=(2a＋3)＋(a－6)i是纯虚数，∴2a＋3=0，且a－6≠0，∴a=－.
(2)(多选)若复数z满足(－1＋i)·z=1＋5i(i是虚数单位)，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. z的虚部为－3i
B. z的模为
C. z的共轭复数为3－2i
D. z在复平面内对应的点位于第四象限
【解析】 由(－1＋i)·z=1＋5i，得z==2－3i.z的虚部为－3，A错误；z的模为，B正确；z的共轭复数为2＋3i，C错误；z在复平面内对应的点为(2，－3)，位于第四象限，D正确.
跟踪训练1
A
BD
考点二　复数的四则运算
(1)(2025·新高考Ⅱ卷)已知z=1＋i，则=(　 　)
A. －i B. I C. －1 D. 1
【解析】 ∵z=1＋i，∴=－i.
(2)(2025·北京卷)已知复数z满足i·z＋2=2i，则|z|=(　 　)
A. B. 2 C. 4 D. 8
【解析】 由i·z＋2=2i可得，z==2＋2i，
∴|z|==2.
(3)(2023·全国乙卷理)设z=，则=(　 　)
A. 1－2i B. 1＋2i C. 2－i D. 2＋i
【解析】 ∵z==1－2i，∴=1＋2i.
例 2
A
B
B
1.复数的乘法类似于多项式的乘法运算.
2.复数的除法关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数.
(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=，则z－=(　 　)
A. －i B. i
C. 0 D. 1
【解析】 ∵z==－，∴，∴z－=－=－i.
(2)设复数z满足2＋z=(2－z)i，则z=(　 　)
A. 2i B. －2i
C. 2＋2i D. 2－2i
【解析】 ∵2＋z=(2－z)i，即2＋z=2i－zi，∴(1＋i)·z=－2＋2i，∴z==2i.
跟踪训练2
A
A
(3)已知复数z=，则z＋z2＋z3＋…＋z2 023=(　 　)
A. －1 B. 1
C. －i D. i
【解析】 依题意，z==i，∴z2=－1，z3=－i，z4=1，得z＋z2＋z3＋z4=0，∴z＋z2＋z3＋…＋z2 023=505×0＋z＋z2＋z3=－1.
(4)已知i为虚数单位，则=　 　.
【解析】 =－i.
A
－i
考点三　复数的几何意义
(1)(2026·广西南宁开学考试)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－2，－1)，则z的共轭复数的虚部为(　 　)
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
【解析】 已知复数z对应的点的坐标是(－2，－1)，∴z=－2－i，∴=－2＋i，∴=－2＋i的虚部为1.
例 3
A
(2)(2025·上海卷)已知复数z满足z2=，|z|≤1，则|z－2－3i|的最小值是　 　.
【解析】 设z=a＋bi(a，b∈R)，∴=a－bi，由题意可知z2=a2＋2abi－b2=()2=a2－2abi－b2，则ab=0，又|z|=≤1，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Z(a， b)在单位圆内部(含边界)的坐标轴上运动，如图所示，即点Z(a，b)在线段AB，CD上运动，设E(2， 3)，则|z－2－3i|=|ZE|，由图象可知|BE|=＞|CE|=2，∴|ZE|min=2.
2
复数的几何意义及应用：
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z=a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) =(a，b).
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.
(1)已知复数z满足z(1－i)=|1＋i|2，则z在复平面内对应的点位于(　 　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 ∵z(1－i)=|1＋i|2=2，∴z==1＋i，∴z对应的点为(1， 1)，位于第一象限.　
(2)如图所示，已知复数z在复平面内所对应的向量是，图中每个小正方形
网格的边长均为1，则=(　 　)
A. 1＋2i B. 1＋3i
C. 3＋i D. 2＋i
【解析】 由题图可知=(3，1)，则z=3＋i，=3－i，∴=2＋i.
跟踪训练3
A
D
(3)18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义.例如，|z|=|OZ|，即复数z的模的几何意义为z在复平面内对应的点Z到原点的距离.在复平面内，若复数z1=对应的点为Z1，Z为曲线|z－3|=1上的动点，则Z1与Z之间的最小距离为　 　.
【解析】 ∵z1==－4i，∴Z1(0，－4)，又曲线|z－3|=1表示以A(3，0)为圆心，1为半径的圆，∴|AZ1|=5，故Z1与Z之间的最小距离为5－1=4.
4
考点四　复数与方程
已知x=－1＋i是方程x2＋ax＋b=0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
解：(1)把x=－1＋i代入方程x2＋ax＋b=0，得(－a＋b)＋(a－2)i=0，∴
解得
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2=0.设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2=－2，∴x2=－1－i.把x2=－1－i代入方程x2＋2x＋2=0，则(－1－i)2＋2(－1－i)＋2=0，∴x2=－1－i是方程的另一个根.

例 4
1.对实系数二次方程来说，求根公式、根与系数的关系、判别式的功能没有变化，仍然适用.
2.对复系数(至少有一个系数为虚数)方程来说，判别式判断根的功能无法适用，其他仍适用.
在复数集内解方程x2－ix＋i－1=0.
解：∵a=1，b=－i，c=i－1，∴Δ=(－i)2－4×1·(i－1)=3－4i.设(m＋ni)2=3－4i，则解得或=±(2－i)，∴x=，得x1==1，x2==－1＋i，即原方程的根为x1=1，x2=－1＋i.
跟踪训练4
课时作业
答案速对
第五章 对点练45　复数 题号 1 2 3 4 5 6
答案 C A B C A A
题号 7 8 9 13 14 15
答案 A BCD BCD C AD ABD
1.(2024·新高考Ⅱ卷)已知z=－1－i，则=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. 0 B. 1 C. D. 2
C
2.(2024·全国甲卷理)若z=5＋i，则i(z)=(　 　)
A. 10i B. 2i
C. 10 D. 2
A
3.(2025·山东临沂开学考试)在复平面内，复数z=3i＋2i2＋i3对应的点位于(　 　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
B
4.(2025·江西开学考试)若复数z=(a，b∈R)为纯虚数，则=(　 　)
A. 2 B. 1
C. －2 D. －3
C
5.(2025·安徽合肥开学考试)已知复数z满足z(1＋i)=|1－i|2，则z的虚部为(　 　)
A. －1 B. －2
C. 1 D. 2
A
6.(2025·安徽蚌埠开学考试)已知i为虚数单位，复数z满足(1＋i)z=3－i，则|z|=(　 　)
A. B. 5
C. 2 D.
【解析】 z==1－2i，故|z|=.
A
7.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=(2＋ai)i(a∈R)为“等部复数”，则复数－2ai在复平面内对应的点位于(　 　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 ∵z=(2＋ai)i=－a＋2i，∴－a=2，解得a=－2，∴z=2＋2i，∴=2－2i，∴－2ai=2＋2i，∴复数－2ai在复平面内对应的点为(2，2)，位于第一象限.
A
8.(多选)已知复数z=，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 复数z在复平面内对应的点在第四象限
B. 复数z的虚部为－6
C. 复数z的共轭复数=－8＋6i
D. 复数z的模|z|=10
【解析】 z==－8－6i，∴复数z在复平面内对应的点在第三象限，A错误；虚部为－6，B正确；复数z的共轭复数=－8＋6i，C正确；复数z的模|z|==10，D正确.
BCD
9.(多选)已知复数z，w均不为0，则(　 　)
A. z2=|z|2
B.
C.
D.
【解析】 设z=i，则z2=－1≠|z|2=1，A错误；，B正确；，C正确；，D正确.
BCD
10.(2025·天津卷)已知i是虚数单位，则= 　.
【解析】 先由题得=－i(3＋i)=1－3i，∴.
11.若2－3i是方程x2－4x＋a=0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是　 　，a=　 　.
【解析】 设方程的另外一个根为x，则x＋2－3i=4，故x=2＋3i，a=(2－3i)(2＋3i)=13.
2＋3i
13
12.(2024·上海卷)已知虚数z，其实部为1，且z=m(m∈R)，则实数m=　 　.
【解析】 设z=1＋bi，b∈R，且b≠0，则z=1＋bii=m，∵m∈R，∴=m，且=0，解得m=2.
2
13.(2025·温州模拟)在复数范围内，已知ω是方程x2＋x＋1=0的根，则1＋ω＋ω2＋…＋
ω2 023=(　 　)
A. 0 B. ±1
C. i D. －i
【解析】 ∵ω是方程x2＋x＋1=0的根，∴ω2＋ω＋1=0，即ω2＋ω=－1，∴ω3=－(ω2＋ω)=－(－1)=1，∴1＋ω＋ω2＋…＋ω2 023=1＋(ω＋ω2＋ω3)＋ω3(ω＋ω2＋ω3)＋…＋(ω3)673(ω＋ω2＋ω3)＋(ω3)674ω=1＋ω.∵ω=－i，∴1＋ω＋ω2＋…＋ω2 023=i.
C
14.设复数z1=2－i，z2=2i(i为虚数单位)，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. z2是纯虚数
B. z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限
C. |z1＋z2|=3
D. =2＋i
【解析】 对于A，z2=2i，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；对于B，z1－z2=2－3i，其在复平面内对应的点为(2，－3)，位于第四象限，B错误；对于C，z1＋z2=2＋i，则|z1＋z2|=，C错误；对于D，z1=2－i，则=2＋i，D正确.
AD
15.(2025·湘豫名校联考)一般地，对于复数z=a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，在平面直角坐标系中，设|z|=||=r(r≥0)，经过点Z的终边的对应角为θ，则根据三角函数的定义可知a=rcos θ，b=rsin θ，因此z=r(cos θ＋isin θ)，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，θ称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，满足0≤θ＜2π的辐角θ的值叫做辐角的主值.已知复数z满足|z－1|≤r，r∈(0，1)，Re(z)为z的实部，θ为z的辐角的主值，则(　 　)
A. |z－2i|的最大值为r＋3
B. |z－2i|的最小值为3－r
C. cos θ≤
D. Re≥(1－r2)
ABD
【解析】 |z－1|≤r，r∈(0，1)的几何意义是点Z在以(1，0)为圆心、r为半径的圆上或圆内，如图所示，
对于A，B，|z－2i|的几何意义是点Z与点(0，2)的距离，其最大值为r=r＋3. 同理可知|z－2i|的最小值为3－r，∴A，B正确；对于C，∵图中辐角的余弦值不小于，∴C错误；对于D，设z=x＋yi(x，y∈R)，有Re·cos2θ(其中θ是z的辅角的主值)，∵cos θ≥，∴Recos2θ≥(1－r2)=(1－r2)，D正确.
16.复数z1与z2在复平面上对应的向量分别为与，已知z1=i，⊥，且||=||，则复数z2=　 　.
【解析】 依题意，=(，1)，设=(x，y)，由⊥得·x＋y=0.由||=||得x2＋y2=4，联立解得或即=(1，－)，或=(－1，)，∴z2=1－i，或z2=－1i.
1－i或－1i(共40张PPT)
第2节　平面向量基本定理及坐标表示
课标解读　1.理解平面向量基本定理及其意义.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 平面向量基本定理
考点二 平面向量的坐标运算
考点三 平面向量共线的坐标表示
1.[教材改编]已知A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则2=　 　.
【解析】 依题意得=(2，1)，=(5，5)，∴2=2(2，1)＋(5，5)=(9，7).
2.[教材改编]已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为
　 　.
【解析】 设D(x，y)，∵，∴(3－(－1)，－1－(－2))=(4，1)=(5－x，6－y)，即4=5－x，1=6－y，解得x=1，y=5，即D(1，5).
3.[教材改编]在△ABC中，点M，N满足=2.若=x＋y，则x＋y= 　.
【解析】 ()=，又=x＋y，∴x=，y=－，∴x＋y=.
(9，7)
(1，5)
4. (忽视平面向量基本定理的成立条件)下列各组向量中，可以作为基底的是
(　 　)
A. a=(0，0)，b=(1，－2)
B. a=(－1，2)，b=(5，7)
C. a=(3，5)，b=(6，10)
D. a=(2，－3)，b=(4，－6)
5. (两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢致误)已知向量a=(1，－2)，b=(－1，m)，若a∥b，则m的值为　 　.
【解析】 1×m－(－2)×(－1)=0，解得m=2.
易错题
易错题
B
2
6. (求点的坐标时，忽视分类讨论)设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在直线AB上，且||=2||，则点P的坐标为(　 　)
A. (3，1)
B. (1，－1)
C. (3，1)或(1，－1)
D. (3，1)或(1，1)
【解析】 ∵A(2，0)，B(4，2)，∴=(2，2)，依题意，=2，或=－2，故=(1，1)，或=(－1，－1)，故点P的坐标为(3，1)或(1，－1).
易错题
C
1.平面向量的基本定理
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个　 　的向量，叫做把向量作正交分解.
条件 e1，e2是同一平面内的两个　 　
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=　 　
基底 若e1，e2　 　，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
不共线向量
λ1e1＋λ2e2
不共线
互相垂直
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则
a＋b=　 　，a－b=　 　，
λa=　 　，|a|= 　.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=　 　，||= 　.
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是　 　.
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
(x2－x1，y2－y1)
x1y2－x2y1=0
[优化拓展]
1.灵活应用3个常用结论：
(1)若a与b不共线，且λa＋μb=0，则λ=μ=0.
(2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为.
(3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.
2.两个注意点：
(1)a∥b的充要条件不能表示为，因为x2，y2有可能为0.
(2)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
考点一　平面向量基本定理
(1)在 ABCD中，G为△ABC的重心，且=x＋y(x，y∈R)，则x＋2y=(　 　)
A. B.
C. 0 D. －1
【解析】 设AC与BD相交于点O，则O为AC，BD的中点，∵G为△ABC的重心，∴()，∴()=，又=x＋y，∴x=，y=，∴x＋2y=＋2×.
例 1
A
(2)在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，DE=EC，CF=2BF，设=m，=n，则=(　 　)
A. m＋n B. m＋n
C. m＋n D. m＋n
【解析】 由题意，，而=x＋y.由对应系数相等得＋y=1，x＋=1，∴x=，y=，∴m＋n.
D
1.应用平面向量基本定理表示向量，实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.　
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决问题.
(1)在正六边形ABCDEF中，用和表示，则=(　 　)
A. － B. －
C. － D. －
【解析】 设正六边形的边长为2，如图所示，设AD与EC交于点O，则有OD=1，AO=3，∴()＋()=－.
跟踪训练1
B
(2)(2025·甘肃甘南模拟预测)如图所示，在△ABC中，=2，N为线段AM上一点，且=(1－λ)，则实数λ的值为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵=2，则，故()=，又A，N，M三点共线，故设=t，则，∵=(1－λ)，∴解得λ=.
D
考点二　平面向量的坐标运算
(1)在平行四边形ABCD中，=(3，7)，=(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵在平行四边形ABCD中，=(3，7)，=(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，∴=－=－()=.
例 2
C
(2)在正方形ABCD中，M是BC的中点.若=λ＋μ，则λ＋μ的值为(　 　)
A. B.
C. D. 2
【解析】 在正方形ABCD中，以A为原点，直线AB，AD分别为x轴，
y轴建立平面直角坐标系.如图所示，
令||=2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，=(2，2)，
=(2，1)，=(－2，2)，λ＋μ=(2λ－2μ，λ＋2μ).
∵=λ＋μ，于是得∴λ=，μ=，∴λ＋μ的值为.
B
平面向量坐标运算的技巧：
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等，其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
(1)(2026·河北保定模拟)已知向量a=(2，－3)，b=(1， 2)，c=(9， 4)，若正实数m，n满足c=ma＋nb，则=(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵a=(2，－3)，b=(1， 2)，c=(9， 4)，∴c=ma＋nb=(2m＋n，－3m＋2n)=(9， 4)，
∴解得.
跟踪训练2
A
(2)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，用基底{a，b}表示c，则(　 　)
A. c=2a－3b
B. c=－2a－3b
C. c=－3a＋2b
D. c=3a－2b
【解析】 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，
则A(1，0)，B(2，1)，C(0，4)，D(7，1)，∴a=(1，1)，b=(－2，3)，c=(7，－3)，设向量c=ma＋nb，则c=ma＋nb=(m－2n，m＋3n)=(7，－3)，则解得∴c=3a－2b.
D
考点三　平面向量共线的坐标表示
(1)平面向量a=(m，2)，b=(－2，4)，若a∥(a－b)，则m=(　 　)
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
【解析】 a－b=(m＋2，－2)，由于a∥(a－b)，
∴－2m=2(m＋2)，解得m=－1.
(2)若A(－2，3)，B(3，2)，C三点共线，则实数m的值为(　 　)
A. 2 B. －2 C. D. －
【解析】 ∵A(－2，3)，B(3，2)，C三点共线，∴方向向量=(5，－1)与共线，∴5(m－3)－(－1)×=0，解得m=.
例 3
考向1 利用向量共线求参数
A
C
(人A必修二P33探究改编)已知A(2， 3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且||=||，则点P的坐标为　 　.
【解析】 由点P在线段AB的延长线上，||=||，知=－. 设P(x， y)，则(x－2，y－3)=－(4－x，－3－y)，即解得故点P的坐标为(10，－21).
例 4
考向2 利用向量共线求向量或点的坐标
(10，－21)
1.两个平面向量共线的充要条件有两种形式：
(1)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1=0.
(2)若a∥b(b≠0)，则a=λb.
2.向量共线的坐标表示既可以判定两个向量是否平行，也可以由平行求参数.当两个向量的坐标均不为零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
(1)已知两个非零向量a=(1，x)，b=(x2，4x)，则“x=2”是“a∥b”的(　 　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 由a=(1，x)，b=(x2，4x)且a∥b，可得x3=4x，解得x=±2，或x=0.又b为非零向量，∴x=±2，故“x=2”是“a∥b”的充分不必要条件.
(2)与向量a=(－6，8)共线的单位向量的坐标为　(　 　)
A. (8，6)或(－8，－6)
B. (－6，8)或(6，－8)
C. 或
D. 或
【解析】 设与向量a共线的单位向量为b= (cos α，sin α)，利用向量之间的共线关系，得－6sin α－8cos α=0，化简得tan α=－，利用的关系，分别验证各选项，D正确.
跟踪训练3
A
D
(3)在△ABC中，已知点O(0， 0)，A(0， 5)，B(4， 3)，，AD与BC
交于点M，则点M的坐标为　 　.
【解析】 ∵点O(0， 0)，A(0， 5)，B(4， 3)，∴点C，同理点D.设点M的坐标为(x， y)，则=(x， y－5)，而. ∵A，M，D三点共线，∴与共线，∴－x－2(y－5)=0，即7x＋4y=20.而，∵C，M，B三点共线，∴与共线，∴x－4=0，即7x－16y=－20. 由得∴点M的坐标为.
课时作业
答案速对
第五章 对点练43　平面向量基本定理及坐标表示 题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B B B C A
题号 7 8 9 13 14 答案 C ACD AC B BD 1.已知=(5，－2)，=(－4，－3)，且=0，其中O为坐标原点，则点P的坐标为
(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. (－9，－1) B.
C. (1，－5) D.
B
2.(2025·嘉兴模拟)已知向量a=(－1，2)，b=(m，1).若a＋2b与2a－b平行，则实数m=
(　 　)
A. － B. －
C. D.
B
3.在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AE上靠近E的三等分点，则向量=(　 　)
A. B.
C. D.
B
4.(2025·安徽开学考试)设m，n是两个不共线的向量，且a=m＋n，b=m－n，c=2m－4n，则c=(　 　)
A. －2a＋4b B. －a＋3b
C. 2a－4b D. a－3b
B
5.若点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v=(4， －3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位). 设开始时点P的坐标为(－10， 10)，则5秒后点P的坐标为
(　 　)
A. (－2， 4) B. (－30， 25)
C. (10，－5) D. (5，－10)
C
6.在A=90°的等腰直角三角形ABC中，E为AB的中点，F为BC的中点，=λμ，则λ= (　 　)
A. － B. －
C. － D. －1
【解析】 以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设B(2，0)，
C(0，2)，则F(1，1)，E(1，0)，则=(－2，2)，=(1，－2)，
λμ=λ(1，1)＋μ(1，－2)=(λ＋μ，λ－2μ)，∴解得λ=－.
A
7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，若m=(c－，a－b)，n=(a－b，c)，且m∥n，则△ABC的面积为(　 　)
A. 3 B.
C. D. 3
【解析】 ∵m=(c－，a－b)，n=(a－b，c)，且m∥n，∴(a－b)2=(c－) (c)，即a2＋b2－c2=2ab－6，∴cos C=，解得ab=6，
∴S△ABC=absin C=×6×.
C
8.(多选)设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内的一个基底的有(　 　)
A. a=e1＋e2，b=e1
B. a=2e1＋e2，b=e1e2
C. a=e1＋e2，b=e1－e2
D. a=e1－2e2，b=－e1＋4e2
【解析】 对于A，C，D，a不能用b表示，故a，b不共线，∴符合题意；对于B，b=a，∴a，b共线，∴不符合题意.
ACD
9.(多选)已知等边三角形ABC内接于☉O，D为线段OA的中点，E为BC的中点，则=
(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 如图所示，则
()=.
AC
10.(2024·上海卷)已知k∈R，a=(2，5)，b=(6，k)，且a∥b，则k的值为　 　.
【解析】 ∵a∥b，∴2k=5×6，解得k=15.
15
11.已知A(2， 3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且||=||，则点P的坐标为
　 　.
【解析】 ∵点P在线段AB的延长线上，且||=||，∴，∴2=(4，－3)＋2(2，－6)=(8，－15)，∴点P的坐标为(8，－15).
(8，－15)
12.若{α，β}是平面内的一个基底，向量γ=xα＋yβ(x， y∈R)，则称(x， y)为向量γ在基底{α， β}下的坐标. 现已知向量a在基底{p， q}，p=(1，－1)，q=(2， 1)下的坐标为(－2， 2)，则a在基底{m， n}，m=(－1，1)，n=(1， 2)下的坐标为　 　.
【解析】 ∵a在基底{p， q}下的坐标为(－2， 2)，∴a=－2p＋2q=(2， 4)，令a=xm＋yn=(－x＋y， x＋2y)，∴即∴a在基底{m， n}下的坐标为(0， 2).
(0， 2)
13.如图所示，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，=m=n(mn≠0)，若∥，则=(　 　)
A. 1 B. 2
C. D. －2
【解析】 设=λ，则=－mn=λ()=λ，
即－mn=－λλ，∴－m=－λ，n=λ，∴=2.
B
14.(多选)在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为BD上一点，且满足=λμ(λ，μ为正实数)，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. λμ的最小值为16
B. λμ的最大值为
C. 的最大值为16
D. 的最小值为4
【解析】 ∵D为AC上一点且满足，∴=4，∵=λμ，∴=λ4μ，∵P为BD上一点，∴B，P，D三点共线，则有λ＋4μ=1，由基本不等式可得1=
λ＋4μ≥2=4，解得λμ≤，当且仅当λ=4μ=时取等号，故λμ的最大值为，A错误，B正确；(λ＋4μ)=2≥2＋2=4，当且仅当λ=4μ=时取等号，故的最小值为4，C错误，D正确.
BD
15.(2025·湖北武汉模拟)在平行四边形ABCD中，点A(0，0)，B(－4，4)，D(2，6).若AC
与BD的交点为M，则DM的中点E的坐标为 　.
【解析】 在平行四边形ABCD中，∵AC与BD的交点为M，且E为DM的中点，∴()=(2，6)(－4，4)=，又A(0，0)，∴点E的坐标为.
16.已知C为扇形AOB的弧AB(包括端点)上任意一点，且∠AOB=，若=λμ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是　 　.
【解析】 设扇形AOB的半径为1，以OB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系(图略)，则A，B(1，0)，C(cos θ，sin θ).由=λμ(λ，μ∈R)，得－λ＋μ=cos θ，λ=sin θ，则λ=，μ=cos θ，则λ＋μ=sin θ＋
cos θ=2sin，又0≤θ≤，∴λ＋μ的取值范围是[1，2].
[1，2](共41张PPT)
第五章
平面向量、复数
第1节　平面向量的概念及线性运算
课标解读　1.了解向量的实际背景.
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.
3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 平面向量的基本概念
考点二 平面向量的线性运算
考点三 共线向量的应用
1.[教材改编]=　 .
【解析】 .
2.[教材改编]已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta与a－b共线，则实数t=　 .
【解析】 由题意知，存在实数λ，使得b－ta=λ，则解得t=.
3.[教材改编]在平行四边形ABCD中，BC的中点为M，且=a，=b，用a，b表示=　 　.
【解析】 =a＋b.

a＋b

4. (忽视零向量)(多选)下列命题中，正确的有(　 　)
A. 向量的长度与向量的长度相等
B. 向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C. 两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
D. 零向量与任意数的乘积都为零
易错题
AC
5. (忽视向量共线的方向性)已知向量a，b不共线，且c=λa＋b，d=a＋(2λ－1)b，
若c与d反向共线，则实数λ的值为　 　.
【解析】 由于c与d反向共线，则存在实数k使得c=kd(k＜0)，则有λa＋b=ka＋(2λ－1)kb，∴即2λ2－λ－1=0，又λ＜0，∴λ=－.
6. (忽视向量相等的条件)若四边形ABCD满足∥且||=||，则四边形ABCD的形状是　 　 .
【解析】 当||=||时，四边形ABCD是平行四边形；当||≠||时，四边形ABCD是等腰梯形.
易错题
易错题
－
平行四边形或等腰梯形
1.向量的有关概念
(1)向量：既有　 　又有　 　的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的　 　(或称模)，记作　 　.
(2)零向量：　 　的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于　 　长度的向量.　
(4)平行向量(共线向量)：方向　 　或　 　的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任意向量　 　.
(5)相等向量：长度　 　且方向　 　的向量.
(6)相反向量：长度　 　且方向　 　的向量.
大小
方向
长度
||
长度为0
1个单位
相同
相反
平行
相等
相同
相等
相反
2.向量的线性运算
向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律
加法 求两个 向量和 的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律：a＋b=
　 　；
(2)结合律：(a＋b)＋c=
　 　
减法 求两个 向量差 的运算 三角形法则 a－b=a＋(－b)
数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (3)|λa|=　 　； (4)当λ＞0时，λa的方向与a的方向　 　 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向　 　；当λ=0时，λa=　 　 (5)λ(μa)=　 　；
(λ＋μ)a=　 　；
λ(a＋b)=　 　
b＋a
a＋(b＋c)
|λ||a|
相同
相反
0
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使　 　.
[优化拓展]
1.掌握5个常用结论：
(1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则().
(2)O为△ABC重心的充要条件为=0.
(3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则=2.
(4)=λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ=1.
(5)对于任意两个向量a，b，都有|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
2.解决向量的概念问题要注意两点：
(1)不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向.
(2)考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
b=λa
考点一　平面向量的基本概念
(1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. a=－b B. a∥b
C. a=2b D. a∥b，且|a|=|b|
【解析】 ∵向量与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且，∴向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a=2b时，，故a=2b是成立的充分条件.
例 1
C
(2)(多选)下列命题中，正确的有(　 　)
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 零向量是唯一没有方向的向量
C. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D. “若A，B，C，D是不共线的四点，且” “四边形ABCD是平行四边形”
【解析】 方向相反的两个非零向量必定平行，即一定共线，A正确；零向量是有方向的，其方向是任意的，B错误；两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，C错误；A，B，C，D是不共线的点，，即模相等且方向相同，即为平行四边形ABCD，反之也成立，D正确.
AD
有关平行向量的概念的四个重点：
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.
(1)如图所示，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中，成立的是 (　 　)
A.
B.
C.
D.
【解析】 根据相等向量的定义，分析可得与不平行，与不平行，∴A，B均错误；与平行，但方向相反，只有与方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，∴C错误，D正确.
跟踪训练1
D
(2)(多选)下列命题中，正确的有(　 　)
A. 方向为南偏东40°的向量与北偏西40°的向量不是共线向量
B. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点B与C不重合
C. a=b的必要条件是|a|=|b|，且a∥b
D. 两个相等向量的模相等
【解析】 A错误，方向为南偏东40 ℃的向量与北偏西40 ℃的向量方向相反，是共线向量；B正确，∵与起点相同，且≠，∴B与C不重合；C正确，由a=b可推出|a|=|b|且a∥b；D正确，两个相等向量的模一定相等.
BCD
考点二　平面向量的线性运算
(1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，若点O满足=2，则=(　 　)
A. － B.
C. D. －
【解析】 如图所示，∵D为BC的中点，∴()，∵=2，∴，∴=－.
例 2
A
(2)(人A必修二P14例6改编)在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若=a，=b，则=(　 　)
A. a＋b B. a＋b
C. a＋b D. a＋b
【解析】 如图所示，作OG∥FE交DC于点G，由DE=EO，得DF=FG，又由AO=OC，得FG=GC，于是，∴a＋b.
B
平面向量的线性运算的求解策略：
(1)在△ABC中，，若=a，=b，则=(　 　)
A. a＋b B. a＋b
C. a－b D. a－b
【解析】 方法一　如图所示，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于
点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，
∴.∵，∴，
∴a＋b.
方法二　()=a＋b.
跟踪训练2
A
(2)在△ABC中，边BC上的中线与边AC上的中线的交点为E，若=λ＋μ，则λ＋μ=
(　 　)
A. 1 B. －1
C. D. －
【解析】 由题可知E为三角形的重心，则()=()=，∴λ=，μ=－，∴λ＋μ=－.
D
考点三　共线向量的应用
(1)已知平面向量e1，e2不共线，a=(2k－1)e1＋2e2，b=e1－e2，且a∥b，则k= (　 　)
A. － B. 0
C. 1 D.
【解析】 ∵a=(2k－1)e1＋2e2，b=e1－e2且a∥b，∴a=tb，即(2k－1)e1＋2e2=t(e1－e2).又e1，e2不共线，∴解得
例 3
A
(2)已知M为△ABC中BC边上的中点，点N满足，过点N的直线与AB，AC分别交于P，Q两点，且设=x=y，则的值为(　 　)
A. 5 B. 6
C. 9 D. 10
【解析】 根据题意，得()=()=.∵P，N，Q三点共线，∴=1，即=10.
D
利用共线向量基本定理解题的策略：
(1)a∥b a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两个向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 共线.
(3)若a与b不共线，且λa=μb，则λ=μ=0.
(4)=λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ=1.
(1)已知a，b为不共线的非零向量，=a＋5b，=－2a＋8b，=3a－3b，则(　 　)
A. A，B，C三点共线
B. A，B，D三点共线
C. B，C，D三点共线
D. A，C，D三点共线
【解析】 a，b为不共线的非零向量，=a＋5b，=－2a＋8b，=3a－3b，则=a＋5b，∵，∴与共线，∴A，B，D三点共线.
跟踪训练3
B
(2)(2026·山东青岛调研)在△ABC中，=3=2，E是AB的中点，EF与AD交于点P.若=m＋n(m，n∈R)，则m＋n=(　 　)
A. B. C. D. 1
【解析】 如图所示，∵=3，∴，
则()=.∵A，P，D三点共线，
∴=λλλ(λ∈0，1).∵=2，∴.
∵E是边AB的中点，∴. ∵E，P，F三点共线，∴=k＋(1－k)k(k∈R)，则 解得k=，从而m=，n=，故m＋n=.
A
课时作业
答案速对
第五章 对点练42　平面向量的概念及线性运算 题号 1 2 3 4 5
答案 B B B B D
题号 6 7 8 9 13
答案 D A AD CD B
1.下列说法中，正确的是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. 若|a|=|b|，则a=±b
B. 零向量的长度是0
C. 长度相等的向量叫做相等向量
D. 共线向量是在同一条直线上的向量
B
2.化简2(a－3b)－3(a＋b)(　 　)
A. a＋4b B. －a－9b
C. 2a＋b D. a－3b
B
3.在边长为1的正方形ABCD中，设=a，=b，=c，则|a－b＋c|等于(　 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
4.已知不共线的平面向量a，b满足(a＋λb)∥(λa＋2b)，则正数λ=(　 　)
A. 1 B. C. D. 2
B
5.设D为线段BC的中点，且=－6，则下列结论中，正确的是(　 　)
A. =2 B. =3
C. =2 D. =3
D
6.(2025·重庆模拟)在△ABC中，M是AC边上一点，且，N是BM上一点，若m，则实数m的值为(　 　)
A. － B. － C. D.
【解析】 由，得出=3，由m得m()=－m－m，∵B，N，M三点共线，∴(－m)=1，解得m=.
D
7.(2025·河南郑州联考)在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是CD的中点，DE与BF相交于点G，则=(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 连接BD，GC，如图所示，
由题意可知，G为△BCD的重心，设AC∩BD=O，则O为AC的中点，A，O，G，C四点共线，且AO=OC=3OG，∴()=.
A
8.(多选)已知P是△ABC所在平面内一点，且满足||－|－2|=0，则△ABC不可能是(　 　)
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【解析】 设D为BC的中点，则=2，由已知得||=|2－2|=2||，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC为直角.
AD
9.(多选)已知P为△ABC所在平面内一点，且23=0.若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. 向量与可能平行
B. 点P在线段EF的延长线上
C. 点P在线段EF上
D. PE∶PF=2∶1
【解析】 P为△ABC所在平面内一点，E为AC的中点，F为BC的中点，则=2=2，而23=0，即()＋2()=0，于是得24=0，即=2，∴点P在线段EF上，且PE∶PF=2∶1，∴点P，A，C不共线，则向量与不可能平行，A，B错误，C，D正确.
CD
10.已知单位向量e1，e2，…，e2 026，则|e1＋e2＋…＋e2 026|的最大值为　 　，最小值为　 　.
【解析】 当单位向量e1，e2，…，e2 026方向相同时，|e1＋e2＋…＋e2 026|取得最大值，此时|e1＋e2＋…＋e2 026|=|e1|＋|e2|＋…＋|e2 026|=2 026；当单位向量e1，e2，…，e2 026首尾相连时，e1＋e2＋…＋e2 026=0，∴|e1＋e2＋…＋e2 026|的最小值为0.
2 026
0
11.已知P是平行四边形ABCD对角线上一点，且=λμ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，
1]，写出满足条件的λ与μ的一组(λ，μ)的值：______________________________________
　 .
【解析】 ∵，若点P在AC上，则∥，又=λμ，∴λ=μ；若点P在BD上，即P，B，D三点共线，又=λμ，∴λ＋μ=1.
(答案不唯一，满足λ＋μ=1，或λ=μ
即可)
12.(2025·江苏南京模拟)已知O是△ABC内一点，且2=0，则=　 　.
【解析】 取AB的中点D，连接OD(图略)，则()，又2=0，∴=－，即O为CD的中点.又D为AB的中点，∴S△AOC=S△ADC=S△ABC，故=4.
4
13.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若=a，=b，=3，则=(　 　)
A. ab
B. ab
C. ab
D. ab
【解析】 由题得()=，解得，即ab.
B
14.在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=30°，AB=2，BC=2，点E在线段CD上，若
μ，则μ的取值范围是 　.
【解析】 由题意，得AD=1，CD=，∴=2.∵点E在线段CD上，∴=λ(0≤λ≤1).又，且μ2μ，∴=1，即μ=.又0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范围是.
15.已知O，A，B，C为平面α内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线AB外，且 ，其中x＞0，y＞0，则x＋8y的最小值为　 　.
【解析】 由题意可得=1，∴x＋8y=(x＋8y)·=116≥17＋2=25，当且仅当x=5，y=时，等号成立.
25
16.在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，且，O是线段MN上异于端点的一点，且满足λ34=0(λ≠0)，则λ=　 　.
【解析】 ∵，∴()，()，即=3，∵λ34=0，∴λ3(3)＋4=0，即(λ＋7)=69，即，又M，O，N三点共线，∴=1，解得λ=8.
8

展开更多......

收起↑