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第6节　函数y=Asin(ωx＋φ)的图象及应用
课标解读　1.了解函数y=Asin(ωx＋φ)的实际意义，能画出y=Asin(ωx＋φ)的图象.
2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
3.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要
数学模型.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 集合的基本概念
考点二 集合间的基本关系
考点三 集合的运算
微点突破
1.[教材改编]函数y=2sin的振幅、频率和初相分别为　 　、 　、 　.
【解析】 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y=2sin的振幅为2，频率为，初相为.
2.[教材改编]将函数f(x)=3sin的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，则
g(x)=　 　.
【解析】 g(x)=f=3sin=3sin.
2
3sin
3.[教材改编]函数f(x)=2sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则点(ω，φ)的
坐标是 　.
【解析】 由题意，T=2×，∴ω=4，又4×＋φ=＋2kπ，k∈Z，∴φ=∈(0，π).
4. (不能确定图象应平移多少个单位长度导致出错)为了得到函数y=2sin的图象，可以将函数y=2sin 5x的图象向　 　平移 　个单位长度.
【解析】 y=2sin=2sin，故将函数y=2sin 5x的图象向右平移个单位长度即可得到.
5. (不能正确理解三角函数图象对称性的特征导致出错)若f(x)=2sin(ωx＋φ)＋m对任意实数x都有f=f，且f=－3，则实数m=　 　.
【解析】 由f=f得直线x=为函数f(x)的图象的一条对称轴，故当x=时，函数f(x)取得最大值或最小值，则－2＋m=－3，或2＋m=－3，解得m=－1，或m=－5.
易错题
易错题
右
－1或－5
6. (不能准确确定函数解析式导致出错)已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(2)=　 　.
【解析】 由题图可得A=2，又T=2×[6－(－2)]=16，∴ω=，∴×6＋φ=2kπ(k∈Z)，得φ=2kπ－(k∈Z)，又|φ|＜π，∴φ=－，∴f(x)=2sin，
∴f(2)=2sin=－2.
易错题
－2
1.用“五点法”画y=Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找的五个关键点
x ωx＋φ y=Asin(ωx＋φ)
　 　 0 0
－ A
π 0
－A
2π 0
－
2.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种途径
|φ|　
3.函数y=Asin(ωx＋φ)的有关概念
y=Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相
A T= f= 　 　 φ
ωx＋φ
[优化拓展]
1.掌握三个解题规律：
(1)若函数y=Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的最大值为M，最小值为m，则A=，k=.
(2)函数y=Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
(3)由y=sin ωx到y=sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
2.解题时规避以下两个易错点：
(1)平移变换中记住“左加右减”“上加下减”的口诀是没有错，但这只能确定平移方向，还需要注意平移的幅度，否则容易出现差错.
(2)在进行三角函数图象变换时，两种变换方式要灵活应用，要注意的是先伸缩后平移时要把x前面的系数提取出来.
考点一　函数y=Asin(ωx＋φ)的图象及变换
(2025·湖北黄冈期中)将函数f(x)=sin xsin ＋cos (π＋x)sin φ的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则φ的值可以为
(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. － B. C. D.
【解析】 f(x)=sin xsin ＋cos (π＋x)sin φ=sin xcos φ－cos xsin φ=sin (x－φ)，将f(x)的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，然后再向左平移个单位长度后，得g(x)=sin ，又g(x)的图象关于y轴对称，∴－φ=kπ＋，k∈Z，∴φ=－kπ＋，k∈Z，当k=1时，φ=.
例 1
B
作函数y=Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图：用“五点法”作y=Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
(2)图象的变换法：由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx＋φ)的图象有“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径.
(1)已知函数f(x)=Asin ＋m(ω＞0，m∈R)的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 由题可知是该函数的周期的整数倍，即×k，k∈Z，解得ω=k，k∈Z，又ω＞0，故其最小值为.
(2)(2025·河北石家庄三模)将函数f(x)=2sin ＋3的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一个对称中心是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【解析】 由题知g(x)=f=2sin ＋3=2sin ＋3. 令2x＋=kπ，k∈Z，解得x=－，k∈Z，∴函数g(x)图象的对称中心，k∈Z，∴当k=0时，为函数g(x)图象的一个对称中心.
跟踪训练1
B
A
考点二　由图象确定函数y=Asin(ωx＋φ)的解析式
(1)函数f(x)=Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象如图
所示，则f=(　 　)
A. 0 B. 2
C. 1－ D. －1
【解析】 由题图可知A==2，b==1，∴f(x)=2sin(ωx＋φ)＋1.∵T==π，解得ω=2，将代入f(x)=2sin(2x＋φ)＋1得0=2sin＋1，结合|φ|＜及函数图象，解得φ=，∴f(x)=2sin＋1，故f=2sin＋1=1－.
例 2
C
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)函数f(x)=sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个
交点，若|AB|=，则f(π)=　 　.
【解析】 依题意设A，B，则x2－x1=，由sin x=可知，x=＋2kπ，k∈Z，或x=π＋2kπ，k∈Z.由图得ωx2＋φ－(ωx1＋φ)=，即ω=，∴ω=4，又ω＋φ=2kπ，k∈Z，∴φ=－＋2kπ，k∈Z，不妨取φ=－，则f(x)=sin，故f(π)=sin=sin=－.
－
确定y=Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A=，b=.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω=.
(3)求φ.常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
(1)已知函数f(x)=Atan (ωx＋φ)，y=f(x)的部分图象如图所示，则f(x)=
　 　.
【解析】 由图象可知，即，∴ω=2，再结合图象，可得2×＋φ=kπ＋，k∈Z，即|φ|=，∴－＜k＜，又k∈Z，∴k=0，∴φ=，又图象过点(0， 1)，代入得Atan =1，∴A=1，函数的解析式为f(x)=tan .
跟踪训练2
tan
(2)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和与它相邻的
一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)=　 　.
【解析】 依题意得=2，则=2，即ω=，∴f(x)=sin，由于该函数图象过点，∴sin(π＋φ)=－，即sin φ=，而－≤φ≤，故φ=，∴f(x)=sin.
sin
考点三　三角函数图象、性质的综合应用
已知函数f(x)=2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx(ω＞0)，且f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；
解：(1)由题意知f(x)=sin 2ωx＋1＋cos 2ωx=2sin＋1，∵周期T==π，∴ω=1，∴f(x)=2sin＋1，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈时，函数g(x)的最大值.
(2)∵g(x)=2sin＋1=2sin＋1，当x∈时，－≤2x－≤，∴当2x－，即x=时，g(x)max=2×1＋1=3.
例 3
考向1 图象与性质的综合应用
图象和性质的综合应用问题的求解思路：
先将y=f(x)化为y=Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再借助y=Asin(ωx＋φ)＋B的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
(多选)函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y=g(x)的图象.下列说法中，正确的有(　 　)
A. 函数g(x)为奇函数
B. 函数g(x)在上单调递减
C. 函数F(x)=xg(x)为偶函数
D. 函数g(x)的图象的对称轴为直线x=kπ＋(k∈Z)
跟踪训练3
ABC
【解析】 由函数f(x)=Asin(ωx＋φ)的图象可知函数f(x)的最小正周期T==π，且f(x)的图象过点，函数f(x)的最大值为3，∴A=3.由T==π，解得ω=2，又f=3sin=3，∴＋φ=2kπ＋(k∈Z)，解得φ=－＋2kπ(k∈Z)，不妨取k=0，则函数f(x)的解析式为f(x)=3sin.将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)=3sin=3sin 2x的图象，∴g(x)=3sin 2x.显然g(x)为奇函数，A正确；当x∈时，2x∈，∵y=sin x在上单调递减，∴g(x)=3sin 2x在上单调递减，B正确；F(x)=xg(x)=3xsin 2x，则F(－x)=3(－x)sin(－2x)=3xsin 2x=F(x)，∴F(x)=xg(x)为偶函数，C正确；令2x=＋kπ(k∈Z)，解得x=(k∈Z)，故g(x)的图象的对称轴为直线x=(k∈Z)，D错误.
已知某摩天轮的半径为60 m，其中心到地面的距离为70 m，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈.已知当游客距离地面超过100 m时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有(　 　)
A. 5分钟 B. 10分钟 C. 15分钟 D. 20分钟
【解析】 设游客到地面的距离为y m，设y关于转动时间t(单位：分钟)的函数关系式为y=Asin(ωt＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，则A=60，－A＋b=10，可得b=70，函数y=Asin(ωt＋φ)＋b的最小正周期为T=30，则ω=.当t=0时，游客位于最低点，可取φ=－，∴y=60sin＋70=－60cos＋70.由y＞100，即－60cos＋70＞100，可得cos＜－，∴2kπ＋＜2kπ＋(k∈N)，解得30k＋10＜t＜30k＋20(k∈N)，∴游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟.
例 4
考向2 三角函数的实际应用
B
1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
2.研究y=Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.如表所示为今年前四个月的统计情况.
选用一个正弦型函数来近似模拟收购价格y(单位：元/斤)与相应月份x之间的函数关系为
　 　.
【解析】 设y=Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，由题意得A=1，B=6，T=4，∵T=，∴ω=，∴y=sin＋6.∵当x=1时，y=6，∴6=sin＋6，结合表中数据得＋φ=2kπ，k∈Z，可取φ=－，∴y=sin＋6.
跟踪训练4
月份x 1 2 3 4
收购价格y 6 7 6 5
y=sin＋6(答案不唯一)
将函数f(x)=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象.若关于x的方程g(x)=m在[0，π]内有两个不同的解，则实数m的取值范围是　 　.
【解析】 依题意，g(x)=2sin =2sin ，则关
于x的方程g(x)=m在[0，π]内有两个不同的解可转化为函数
y=m的图象与函数g(x)=2sin 的图象在[0，π]上有两个
交点. 由x∈[0，π]可得≤x＋≤，取t=x＋，作出函数y=
2sin t在上的大致图象.由图知要使函数y=m的图象与其有两个交点，需使1≤m＜2，即实数m的取值范围是[1，2).
考向3 三角函数的零点(方程的根)问题
例 5
[1，2)
1.研究y=Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性和最值等.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
(1)(多选)已知函数f(x)=sin ωx＋acos ωx(x∈R，ω＞0)的最大值为2，其部分图象如图所示，则
(　 　)
A. a=
B. 函数f为偶函数
C. 满足条件的正实数ω存在且唯一
D. f(x)是周期函数，且最小正周期为π
【解析】 f(x)max==2，∴a=±，∵f(0)=a＞0，∴a=，A正确；f(x)=sin ωx＋cos ωx=2sin ，∵f(x)的图象过点，∴1=2sin ，即sin ，则π＋=2kπ＋π或2kπ＋，k∈Z，ω=8k＋2或8k－，k∈Z，又由题图知，即，则ω＜4，又ω＞0，∴ω=2，C正确；f(x)=2sin ，f=2sin =2sin 2x，是奇函数，B错误；f(x)的最小正周期为π，D正确.
跟踪训练5
ACD
(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1=0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是　 　.
【解析】 方程2sin2x－sin 2x＋m－1=0可转化为m=1－2sin2x＋sin 2x=cos 2x＋sin 2x=2sin，x∈.设2x＋=t，则t∈，∴题目条件可转化为=sin t，t∈有两个不同的实数根，即直线y=和函数y=sin t，t∈的图象有两个不同的交点，作出y=，y=sin t的图象，如图中实线部分所示.
由图象观察知的取值范围是，故m的取值范围是(－2，－1).
(－2，－1)
三角函数中有关ω的范围问题
在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.这里整理了以下几种ω的求法，以供参考.
微点突破
已知函数f(x)=2 025sin(ω＞0)在区间上单调递增，则ω的最大值为(　 　)
A. B. C. 1 D.
【解析】 ∵x∈，且ω＞0，则ωx＋∈，若函数f(x)=2 025sin (ω＞0)在区间上单调递增，注意到∈，则解得0＜ω≤1，∴ω的最大值为1.
例 6
考向1 三角函数的单调性与ω的关系
C
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系，建立不等式，即可求ω的取值范围.
已知函数f(x)=3sin(ωx＋φ)，ω＞0，若f=3，f(π)=0，f(x)在上单调递减，那么ω的取值共有(　 　)
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
【解析】 ∵f=3，f(π)=0，∴π－·T(n∈N*)，T=，∵f(x)在上单调递减，∴≥，∴T≥，即≥，∴2n－1≤10，∴n=1，2，3，4，5，即周期T有5个不同取值，∴ω的取值共有5个.
跟踪训练6
D
(2022·全国甲卷文)将函数f(x)=sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 方法一　将函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度得到y=sin的图象.由所得图象关于y轴对称，得ω＋=kπ＋(k∈Z) ，∴ω=2k＋(k∈Z).∵ω＞0，∴ω的最小值为.
方法二　由曲线C关于y轴对称，可得函数f(x)=sin的图象关于直线x=对称，∴f=sin=±1，然后依次代入各选项验证，C项满足题意.
例 7
考向2 三角函数的对称性与ω的关系
C
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值.
(2025·湖北武汉期末)已知函数f(x)=tan (3x－φ)(0＜φ＜π)，其函数图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则实数φ的最大值为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 f(x)=tan (3x－φ)的函数图象向左平移个单位长度得到f(x)=tan =tan关于原点对称，－φ=(k∈Z)，解得φ=(k∈Z)，∵0＜φ＜π，∴0＜＜π，k∈Z ，解得－＜k＜，k∈Z，故k=0或－1. 当k=0时，φ=；当k=－1时，φ=，故实数φ的最大值为.
跟踪训练7
C
将函数f(x)=sin(2ωx＋φ)(ω＞0，φ∈[0，2π])图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)，函数g(x)的部分图象如图所示，且g(x)在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 由已知得函数g(x)=sin(ωx＋φ)，由g(x)图象过点以及点在图象上的位置，知sin φ=，φ=，∵0≤x≤2π，∴≤ωx＋≤2πω＋，由g(x)在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，∴≤2πω＋，∴≤ω＜.
考向3 三角函数的最值与ω的关系
例 8
C
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围.
为了使函数y=sin ωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　 　)
A. 98π B.
C. D. 100π
【解析】 由题意，在[0，1]上至少出现50次最大值，即在[0，1]上至少需要49个周期，即个周期，
∴T=·≤1，∴ω≥，ω的最小值为.
跟踪训练8
B
(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx－1(ω＞0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　 　.
【解析】 方法一　依题意知cos ωx=1在区间[0，2π]有且仅有3个根，∵ω＞0，x∈[0，2π]，∴ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象可知4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3).
方法二　依题意知cos ωx=1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y=cos x在[0，2π]上的图象可知cos x=1在区间[0，2π]有2个根，则函数y=cos ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即又ω＞0，∴2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3).
方法三　由题意知cos ωx=1，得ωx=2kπ，k∈Z，即x=，k∈Z.∵f(x)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，∴解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3).
考向3 三角函数的零点与ω的关系
例 9
[2，3)
正、余弦函数相邻两个零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值.
(2022·全国甲卷理)设函数f(x)=sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　 　)
A.
B.
C.
D.
【解析】 由题意可得ω＞0，故由x∈(0，π)，得ωx＋∈.根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知＜πω＋≤，得＜ω≤.根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π＜πω＋≤3π，得＜ω≤.综上，ω的取值范围是.
跟踪训练9
C
课时作业
答案速对
第四章 对点练36　函数y=Asin(ωx＋φ)的图象及应用 题号 1 2 3 4 5
答案 D B B D B
题号 6 7 8 13 14
答案 C AD BCD C C
1.为了得到函数y=cos 的图象，只要把正弦函数图象上的所有点(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. 向右平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
D
2.(2024·北京卷)已知f(x)=sin ωx(ω＞0)，f(x1)=－1，f(x2)=1，|x1－x2|min=，则ω=(　 　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
3.(2025·河北邢台三模)已知函数f(x)=sin 2x＋acos 2x的图象过点(0， )，将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则g(x)的图象的对称轴为(　 　)
A. x=，k∈Z
B. x=，k∈Z
C. x=kπ，k∈Z
D. x=kπ，k∈Z
B
4.(2025·湖北武汉模拟)已知函数f(x)的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象对应的函数是(　 　)
A. y=f B. y=f
C. y=f D. y=f(2x－1)
图1 图2
D
5.时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到20 ℃时，时钟酶活跃起来，花朵开始绽放；当气温上升到28 ℃时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内的气温T(5≤T＜17，单位：℃)与时间t(单位：h)近似满足关系式T=20－10sin，则该景区这天时钟花从开始绽放到开始闭合约经历(　 　)
A. 1.4 h B. 2.4 h C. 3.2 h D. 5.6 h
B
6.已知函数f(x)=2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，且满足f(0)=f(x0)=－f=1，则f(x)=(　 　)
A. 2sin
B. 2sin
C. 2sin
D. 2sin
【解析】 设f(x)的最小正周期为T，根据f(x0)=－f及函数图象的对称性知，－x0，∴T=，解得ω=3.由f(0)=1，得sin(3×0＋φ)=，∵|φ|＜，∴φ=，故f(x)=2sin.
C
7.(多选)(2025·广东广州质检)已知函数f(x)=sin xcos x，则(　 　)
A. f
B. f(x)的最大值为1
C. f(x)在上单调递增
D. 将函数f(x)的图象向右平移 π个单位长度后与f(x)的图象重合
【解析】 对于A，B，f(x)=sin xcos x=sin 2x≤，且fsin ，A正确，B错误；fsin ＞fsin ，C错误；将函数f(x)的图象向右平移π个单位长度后的图象所对应的函数为y=sin [2(x－π)]=sin 2x=f(x)，D正确.
AD
8.(多选)(2025·河南五市联考)函数f(x)=2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　 　)
A. ω=2，φ=
B. 不等式f(x)＞1的解集为(k∈Z)
C. 为f(x)的一个零点
D. 若A，B，C为△ABC的内角，且f(A)=f(B)，则A=B，或C=
BCD
【解析】 由题图得，即，∴＜ω＜3，又f(0)=2sin φ=－1，sin φ=－，且|φ|＜，解得φ=－，由f=2sin =2，得ω=2，A错误；由A知，f(x)=2sin ，由f(x)＞1得2kπ＜2x－＜2kππ，k∈Z，即kπ＜x＜kπ，k∈Z，故不等式f(x)＞1的解集为，k∈Z，B正确；f=2sin =0，故为f(x)的一个零点，C正确；由f(A)=f(B)得2sin =2sin ，则2A－=2B－，或2A－2B－=π，则A=B，或A＋B=π，即A=B，或C=，D正确.
9.(2025·江西南昌模拟)已知某弹簧振子的位移y(单位：cm)与时间
t(单位：s)满足y=Asin(ωt＋φ)(ω＞0)，初始时将弹簧振子下压至
－4 cm后松开，经过测量发现弹簧振子每10 s往复振动5次，则在
第45 s时，弹簧振子的位移是　 　 cm.
【解析】 由题意，A=4且最小正周期T==2，即=2，故ω=π，
∴y=4sin(πt＋φ)，且4sin φ=－4，即φ=－2kπ，k∈Z，不妨令φ=－，故y=4sin=－4cos πt，当t=45时，y=－4cos 45π=4.
4
10.已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0)具有下列三个性质：①图象关于直线x=对称；②在区间上单调递减；③最小正周期为 π.则满足条件的一个函数为f(x)=　
　.
【解析】 由性质③可得ω=±2，不妨取ω=2.由性质①可得2×φ=kπ(k∈Z)，则φ=－kπ(k∈Z)，再由性质②可知当x∈时，2x－kπ∈(k∈Z)，则包含于(k，m∈Z)，k为奇数时成立，不妨令k=1，则φ=，不妨取A=1，则满足条件的一个函数为f(x)=sin.
sin(答案不唯一)
11.已知函数f(x)=－cos1－2sin2x.
(1)用“五点作图法”在给定的平面直角坐标系中，画出函数f(x)在[0， π]上的图象；
解：(1)f(x)=－cos1－2sin2x=sin 2x＋cos 2x=2sin.列表如下：
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线，函数f(x)在区间[0，π]上的图象如图所示.
(2)先将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心.
(2)将函数f(x)=2sin的图象向右平移个单位长度后得到y=2sin=2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=2sin的图象.由=kπ，k∈Z，得x=2kπ，k∈Z，故g(x)图象的对称中心为，k∈Z.
12.已知函数f(x)=Asin(A＞0，0＜ω＜1)，f=f，且f(x)在上的最大值为.
(1)求f(x)的解析式；
解：(1)∵函数f(x)=Asin(A＞0，0＜ω＜1)，f=f，∴函数f(x)的图象的一条对称轴为x=，∴ω·=kπ，k∈Z，即ω=.∵ω∈(0，1)，∴ω=，∴T=3π，f(x)=Asin.∵x∈，∴x∈，又函数f(x)的最大值为A=，∴f(x)=sin.
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g，求sin 2α的值.
(2)依题意，g(x)=sin.若gsin，则sin，∴sin 2α=－cos=2sin2－1=2×－1=－.
13.(2025·陕西咸阳模拟)音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为|y|=|sin ωx|(0≤x≤2π)，其中[x]表示不超过x的最大整数，如=－3，1＜ω≤3，且ω∈Z，且曲线经过点M，则该条葫芦曲线与直线x=π交点的纵坐标为(　 　)
A. ± B. ± C. ± D. ±
C
【解析】 将点M代入“葫芦曲线”的方程可得=1，即=1，由0＜ω≤3，ω∈Z，可得ω=2，因此曲线方程为|y|=|sin 2x|，当x=π时，可得|y|=，∴交点的纵坐标为±.
14.(2025·重庆模拟)已知ω＞0，函数f(x)=sin满足ff(x)=0，且在区间上恰好存在两条对称轴，则ω的最大值为(　 　)
A. 2 B. 5 C. 8 D. 11
【解析】 函数的最小正周期为T=，则ω=，在区间上恰好存在两条对称轴，，∴≤T，即≤，解得4≤ω＜12，∵ff(x)=0，∴点是函数图象的一个对称中心，则f=sin =0，得=kπ，k∈Z，即ω=3k－1，k∈Z，∵ω＞0，∴k∈N*，且ω随k的增大而增大，当k=4时，ω=11，此时f(x)=sin 在内有三条对称轴，不合题意，当k=3时，ω=8，此时f(x)=sin ，其中8x∈[π，3π]，有两条对称轴，则ω的最大值为8.
C
15.如图所示为函数f(x)=Asin(2x＋φ)的部分图象，对
于任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)=f(x2)，都有f(x1＋x2)=，
则φ= 　.
【解析】 由题意可知A=2，不妨设=m，则x1＋x2=2m，由三角函数的图象及性质可知，2m＋φ=
2kπ(k∈Z)，则f(x1＋x2)=2sin[2(x1＋x2)＋φ]=2sin(2·2m＋φ)=2sin[2·(2m＋φ)－φ]=2sin=2sin(4kπ＋π－φ)=2sin φ=，则sin φ=，结合|φ|≤，得φ=.　
16.已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜ π，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在x=处取到最小值－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
解：(1)由题知函数f(x)的最小正周期为2×，解得ω=4，∴f(x)=Asin(4x＋φ)，又函数f(x)在x=处取到最小值－2，∴A=2，且f=－2，即φ=2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，令k=0可得φ=，∴f(x)=2sin.
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标先伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
(2)函数f(x)=2sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y=2sin，再向左平移个单位长度可得g(x)=2sin=2cos 2x，令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－kπ≤x≤kπ，k∈Z，∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(3)若关于x的方程g(x)=m＋2在x∈上有两个不同的实根，求实数m的取值范围.
(3)函数g(x)=2cos 2x，x∈的图象如图所示，
∵方程g(x)=m＋2在x∈上有两个不同的实根，∴由图可知－2＜m＋2≤，或m＋2=2，解得－4＜m≤－2，或m=0，∴m的取值范围是(－4，－2]∪{0}.(共38张PPT)
第3节　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
课标解读　1.会推导两角差的余弦、正弦、正切公式.
2.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式.
3.能利用两角和与差的三角函数及倍角公式进行三角函数的化简与求值.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 公式的基本应用
考点二 公式的逆用和变形应用
考点三 角的变换
1.[教材改编]sin 75°= 　.
【解析】 sin 75°=sin(45°＋30°)=sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°=.
2.[教材改编]sin 20°cos 40°－cos 160°sin 40°= 　.
【解析】 方法一　sin 20°cos 40°－cos 160°sin 40°=cos 70°cos 40°＋sin 70°sin 40°
=cos(70°－40°)=cos 30°=.
方法二　sin 20°cos 40°－cos 160°sin 40°=sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°=sin(20°＋40°)=sin 60°=.
3.[教材改编]若cos(α－π)=，则sin 2α=　 　.
【解析】 ∵cos(α－π)=cos(π－α)=－cos α=，∴cos α=－，∴sin α=±=±，∴sin 2α=2sin αcos α=2×=±.
4.[教材改编]若tan θ=2，则tan=　 　，tan 2θ=　 　.
【解析】 tan=－3，tan 2θ==－.
±
－3
－
5. (已知角与待求角之间的关系不清致误)若sin，则sin的值
为　 　.
【解析】 ∵sin，∴sin=cos=1－2sin2=1－=－.
6. (混淆两角和与差的正切公式中分子、分母上的符号致误)计算：=
　.
【解析】 =tan(45°－15°)=tan 30°=.
易错题
易错题
－
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)=　 　.
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)=　 　.
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)=　 　.
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)=　 　.
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)= 　.
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)= 　.
cos αcos β＋sin αsin β
cos αcos β－sin αsin β
sin αcos β－cos αsin β
sin αcos β＋cos αsin β
2.辅助角公式
asin α＋bcos α= 　，其中sin φ=，cos φ=.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α=　 　.
(2)公式C2α：cos 2α=　 　=　 　=　 　.
(3)公式T2α：tan 2α= 　.
sin(α＋φ)
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
[优化拓展]
1.两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)=cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)=sin αcos β.
(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β)，
tan αtan β=1－
=－1.
2.降幂公式：cos2α=，
sin2α=，tan2α=.
3.升幂公式：1＋cos 2α=2cos2α，1－cos 2α=2sin2α，1±sin 2α=(sin α±cos α)2.
考点一　公式的基本应用
(1)(2025·新高考Ⅱ卷)已知0＜α＜π，cos ，则sin =(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【解析】 cos α=2cos 2－1=2×－1=－，∵0＜α＜π，则＜α＜π，则sin α=，则sin=sin αcos －cos α·sin .
(2)(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)=m，tan αtan β=2，则cos(α－β)=(　 　)
A. －3m B. － C. D. 3m
【解析】 ∵cos(α＋β)=m，∴cos αcos β－sin αsin β=m，而tan αtan β=2，∴sin αsin β=2cos αcos β，即cos αcos β=－m，从而sin αsin β=－2m，故cos(α－β)=－3m.
例 1
D
A
三角函数公式的应用策略：
(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角和、差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”.
(2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
(1)已知角α的终边经过点P(sin 47°，cos 47°)，则sin(α－13°)=(　 　)
A. B. C. － D. －
【解析】 由三角函数的定义，得sin α=cos 47°，cos α=sin 47°，则sin(α－13°)=sin αcos 13°－cos αsin 13°=cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13°=cos(47°＋13°)=cos 60°=.
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)=，cos αsin β=，则cos(2α＋2β)=(　 　)
A. B. C. － D. －
【解析】 由题意，得∴sin αcos β=，∴sin(α＋β)=sin αcos β＋cos αsin β=，∴cos(2α＋2β)=1－2sin2(α＋β)=1－2×.
跟踪训练1
A
B
考点二　公式的逆用和变形应用
(1)－sin 10°= 　.
【解析】 －sin 10°－2sin 5°cos 5°－(2cos25°－2sin25°)=.
(2)若α，β为锐角，且α＋β=，则(1＋tan α)·(1＋tan β)=　 　.
【解析】 (1＋tan α)(1＋tan β)=1＋tan α＋tan β＋tan αtan β=1＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β=1＋tan(1－tan αtan β)＋tan αtan β=2.
例 2
2
三角函数公式活用技巧：
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，注意公式成立的条件和角之间的关系.
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，应注意公式的逆用和变形使用.
(1)(多选)计算下列各式，结果为的有(　 　)
A. sin 15°＋cos 15°
B. cos215°－sin 15°cos 75°
C.
D.
【解析】 对于A，由辅助角公式得 sin 15°＋cos 15°=2sin(15°＋45°)=2sin 60°=，A正确；对于B，cos215°－sin 15°cos 75°=sin 75°cos 15°－sin 15°cos 75°=sin(75°－15°)=sin 60°=，B错误；对于C，，C错误；对于D，=tan(45°＋15°)=tan 60°=，D正确.
跟踪训练2
AD
(2)(2026·江苏南京开学考试)若=4，则λ= 　.
【解析】 由=4，
可得－4. ∴λ==
.
考点三　角的变换
(1)(2025·河北秦皇岛模拟)已知tan (α＋β)=3，tan (α－β)=1，则sin 4β=(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 由题意有tan 2β=tan ，
∴sin 4β=2sin 2βcos 2β=.
例 3
D
(2)已知sin，α∈，则tan=　 　.
【解析】 ∵α∈，∴α＋∈，
∵sin＞0，∴α＋∈，
∴cos=－=－=
－，∴tan=－，
∴tan=tan=
=－7.
－7
1.三角函数求值中变角的解题思路：
当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，或者利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
2.常用的拆角、配角技巧：
2α=(α＋β)＋(α－β)；α=(α＋β)－β=(α－β)＋β；β==(α＋2β)－(α＋β)；α－β=(α－γ)＋(γ－β)；15°=45°－30°；＋α=等.
(1)已知角α，β满足tan α=，2sin β=sin(2α＋β)，则tan β=(　 　)
A. B. C. 1 D. 2
【解析】 2sin β=sin(2α＋β)=sin 2αcos β＋cos 2αsin β，∴sin β(2－cos 2α)=sin 2αcos β，则tan β=.
(2)若0＜α＜，－＜β＜0，cos，cos，则cos=(　 　)
A. B. － C. D. －
【解析】 由题意，可得＋α＜，∵cos，cos，可得sin，sin，则cos=cos=coscos＋sinsin.
跟踪训练3
B
C
课时作业
答案速对
第四章 对点练33　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式 题号 1 2 3 4 5 7
答案 D B B D B D C
题号 8 9 10 11 15 16
答案 B BC ABC AC B ABC
1.已知α是第三象限角，cos α=－，则sin 2α等于(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. － B.
C. － D.
D
2.化简=(　 　)
A. 1 B. 2
C. D. －1
B
3.(2025·宁波模拟)已知α为锐角，且sin β·cos(α－β)－cos βsin (β－α)=，则tan =(　　)
A. B.
C. D.
B
4.(2025·广西南宁开学考试)已知cos α－sin，则sin =(　 　)
A. － B.
C. － D.
D
5.若，则tan β=(　 　)
A. B.
C. D. 3
B
6.(2025·山东德州三模)已知sin α=sin ，则sin 2α＋cos 2α=(　 　)
A. B. C. － D. －
【解析】 由sin α=sin 得，sin α=sin α－cos α，整理得sin α=－cos α，即tan α=－1，∴sin 2α＋cos 2α=2sin αcos α＋cos 2α==－.
D
7.(2025·山东泰安模拟)若α∈，且5(1＋cos 2α)－10sin 2α=3，则tan 2α=(　 　)
A. －7
B.
C.
D.
【解析】 ∵5(1＋cos 2α)－10sin 2α=3，∴(1＋cos 2α)－sin 2α=，∴cos 2α－2sin αcos α=，∴ 3tan 2α＋20tan α－7=0，∴tan α=(舍)，或tan α=－7，∴tan 2α=.
C
8.(2025·河北保定二模)已知3cos α－3sin α=4，则cos 2α－sin 2α=(　 　)
A. －
B. －
C. －
D.
【解析】 由3cos α－3sin α=4，得cos α－sin α=，∴cos ，
∴cos 2α－sin 2α=2cos =2=2×=－.
B
9.(多选)下列等式中，成立的有(　 　)
A. sin 15°cos 15°=
B. sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°=1
C. cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°=－1
D. sin 15°＋cos 15°=1
【解析】 对于A，sin 15°cos 15°=sin 30°=，A错误；对于B，sin 75°cos 15°＋cos 75°sin 15°=sin(75°＋15°)=sin 90°=1，B正确；对于C，cos 105°cos 75°－sin 105°cos 15°=cos(105°＋75°)=cos 180°=－1，C正确；对于D，sin 15°＋cos 15°=2sin(15°＋30°)=2sin 45°=，D错误.
BC
10.(多选)下列四个选项中，计算结果是的有(　 　)
A. cos215°－sin215°
B. sin 73°cos 13°－sin 17°sin 167°
C. sin
D.
【解析】 对于A，cos215°－sin215°=cos 30°=，A正确；对于B，sin 73°cos 13°－sin 17°sin 167°=cos 17°·cos 13°－sin 17°sin 13°=cos(17°＋13°)=cos 30°=，B正确；对于C，sin=－sin=－sin=－sin=sin，C正确；对于D，×tan，D错误.
ABC
11.(多选)已知α∈，且cos2α－cos 2α=，则(　 　)
A. tan α=－
B. sin 2α=
C. cos 2α=
D. tan 2α=－
【解析】 cos2α－cos 2α=cos2α－(cos2α－sin2α)=sin2α=，∵α∈，∴sin α=，cos α=－=－，∴tan α==－，sin 2α=2sin αcos α=－，cos 2α=1－2sin2α=，tan 2α==－.
AC
12.(2025·北京朝阳区期中)已知角α的终边与单位圆交于点P，点P位于第二象限，且点P的横坐标为－，则sin 2α=　 　.
【解析】 由题易知P，则sin α=，cos α=－，∴sin 2α=2sin αcos α=－.
－
13.已知sin，则sin=　 　.
【解析】 设α=t，则α=t－，sin t=，∴sin=sin=sin=cos 2t=1－2sin2t=1－2×=－.
－
14.已知3cos(2α＋β)＋5cos β=0，则tan(α＋β)·tan α=　 　.
【解析】 由已知得3cos[(α＋β)＋α]＋5cos[(α＋β)－α]=0，∴3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α=0，∴8cos(α＋β)cos α＋2sin(α＋β)sin α=0，∴sin(α＋β)sin α=－4cos(α＋β)cos α，∴·=－4，即tan(α＋β)tan α=－4.
－4
15.设α，β∈[0， π]，且满足sin αcos β－cos αsin β=1，则cos (2α－β)的取值范围是(　 　)
A. [0， 1] B. [－1， 0]
C. [－1， 1] D.
【解析】 ∵α，β∈[0， π]，∴α－β∈[－π， π]. 又sin α·cos β －sin βcos α =sin (α－β)=1，∴α－β=，∴2α－β∈，∴cos (2α－β)∈[－1，0].
B
16.(多选)(2025·山西吕梁模拟)计算下列各式的值，其结果为2的有(　 　)
A. tan 15°＋tan 60°
B.
C. (1＋tan 18°)(1＋tan 27°)
D. 4sin 18°sin 54°
【解析】 对于A，tan 15°＋tan 60°=tan (45°－30°)=2－=2，A正确；对于B，·=2，B正确；对于C，(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)=1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°=1＋tan 18°tan 27°＋tan (18°＋27°)(1－tan 18°tan 27°)=2，C正确；对于D，4sin 18°sin 54°=4sin (90°－72°)sin (90°－36°)=4cos 72°cos 36°==1，D错误.
ABC
17.在平面直角坐标系中，点A(2，1)绕着原点O顺时针旋转60°得到点B，点B的横坐标
为　 　.　
【解析】 由题意得|OA|=，设OA与x轴正半轴的夹角为α，则sin α=，cos α=，则OB与x轴正半轴的夹角为α－60°，故点B的横坐标为cos(α－60°)==1.
1
18.在△ABC中，tan=3tan，则的最小值为　 　.
【解析】 tan=3tan，设m=tan，则tan=3m，显然tan＞0，tan＞0，即m＞0，∴=10m≥2×=4，当且仅当10m=，即m=tan时，等号成立，故的最小值为4.
4(共41张PPT)
第5节　三角函数的图象与性质
课标解读　1.能画出三角函数的图象.
2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 三角函数的定义域和值域
考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
考点三 三角函数的单调性
1.[教材改编]函数y=2＋cos(x∈R)的最大值为　 　，最小正周期为　 　.
【解析】 由y=2＋cos(x∈R)，知ymax=2＋1=3，其最小正周期T==6π.
2.[教材改编]函数f(x)=tan的定义域为 　.
【解析】 ∵x＋≠kπ＋，k∈Z，故函数f(x)的定义域为.
3
6π
3.[教材改编]函数y=2cos的单调递增区间为 　.
【解析】 由2kπ－π≤x＋≤2kπ，k∈，解得2kπ－≤x≤2kπ－，k∈，∴函数的单调递增区间为，k∈.
4.[教材改编]函数y=|sin x|的最小正周期为　 　.
【解析】 y=|sin x|的图象是由y=sin x的图象将x轴下方的部分向上翻折，并保留x轴及其上方的部分得到的，∴y=|sin x|的最小正周期为π.
，k∈
π
5. (忽视正、余弦函数的有界性致误)函数y=－sin2x＋3sin x－1的最大值为
　.
【解析】 ∵y=－sin2x＋3sin x－1=－，sin x∈[－1，1]，∴当sin x=1时，ymax=1.
6. (忽视自变量的取值范围致误)函数f(x)=sin 2x＋cos 2x在上的最大值
是 　.
【解析】 f(x)=sin 2x＋cos 2x=sin，当x∈时，2x＋∈，∴当2x＋，即x=时，f(x)取得最大值.
易错题
易错题
1
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，
　 　， 　，(2π，0).
(2)在余弦函数y=cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，
　 　， 　，(2π，1).
(π，0)
(π，－1)
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(k∈Z)
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义 域 R R
值域 　 　 　 　 　 　
[－1，1]
R
[－1，1]
最小正 周期 2π 　 　 　 　
奇偶性 　 　 　 　 奇函数
单调递 增区间 　 　
单调递 减区间 　 　
对称 中心 　 　
对称轴 方程 　 　 　 　
2π
π
奇函数
偶函数
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
(kπ，0)
x=kπ＋
x=kπ
[优化拓展]
1.掌握对称性与周期性的常用结论：
(1)函数y=Asin(ωx＋φ)和y=Acos(ωx＋φ)的周期T=，函数y=Atan(ωx＋φ)的周期T=.
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是T，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是T，其中T为最小正周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是T，其中T为最小正周期.
2.谨防3个易错点：
(1)要注意函数y=sin x，x∈[0，2π]，y=cos x，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).
(2)要注意求函数y=Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0的情况，避免出现增减区间的混淆.
(3)对于y=tan x，不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
考点一　三角函数的定义域和值域
(1)(2024·天津卷)已知函数f(x)=3sin (ω＞0)的最小正周期为π.则f(x)在区间上的最小值是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. － B. －
C. 0 D.
【解析】 ∵函数f(x)的最小正周期为π，则T==π，∴ω=2，即f(x)=3sin ，当x∈时，2x＋∈，∴当2x＋，即x=－时，f(x)min=3sin .
例 1
D
(2)函数y=的定义域为　 　.
【解析】 方法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y=sin x和y=cos x的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x≥cos x的x的取值范围是，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，∴原函数的定义域为.
方法二　令sin x－cos x=sin ≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y=sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴定义域为.
1.求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解.对于有限集、无限集求交集，可借助数轴来求解.
2.三角函数值域的不同求法：
(1)把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx＋φ)的形式求值域.
(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.
(3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.
(1)函数y=的定义域为 　.
【解析】 要使函数有意义，则即故函数的定义域为
.
(2)(2025·上海卷)函数y=cos x在上的值域为　 　.
【解析】 由函数y=cos x在上单调递增，在上单调递减，且f=0，f(0)=1，f，故函数y=cos x在上的值域为[0， 1].
跟踪训练1
[0， 1]
考点二　三角函数的周期性、奇偶性、对称性
(1) (2025·天津卷)f(x)=sin (ωx＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜π)，在上单调递增，且x=为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为　(　 　)
A. － B. － C. 1 D. 0
【解析】 ∵函数在上单调递增，且x=为它的一条对称轴，∴当x=时函数取最大值，又是它的一个对称中心，∴(m， k∈Z)，设f(x)的最小正周期为T，由正弦函数的对称性可知(n∈Z)，即，∴ω=4n＋2，又f(x)在上单调递增，则≥，∴≥ 0＜ω≤2，
例 2
A
∴ω=2，则(m， k∈Z)，∵φ∈(－π，π)，∴当k=0，m=1时，φ=，∴f(x)=sin ，当x∈时，
2x＋∈，由正弦函数的单调性可知f(x)min=sin =－.
(2)已知函数f(x)=cos 是奇函数，且φ∈，则φ的值为 　.
【解析】 由已知，得＋φ=kπ＋(k∈Z)，∴φ=kπ＋(k∈Z)，又φ∈，∴当k=0时，φ=符合题意.
有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路：
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式.
(2)三角函数最小正周期的求解方法：
①定义法.
②公式法：函数y=Asin(ωx＋φ)(y=Acos(ωx＋φ))的最小正周期T=，函数y=Atan(ωx＋φ)的最小正周期T=.
③图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期.
(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心.
(1)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2，一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　 　)
A. sin B. cos
C. sin D. cos
【解析】 A中，T==4，B中，T==4，C中，T==8，D中，T==8，排除C，D；对于A，当x=2时，sin =0，故(2，0)是函数的一个对称中心，排除A；对于B，当x=2时，cos =－1，故x=2是函数的一条对称轴.
跟踪训练2
B
(2)(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin ，下列说法中，正确的有(　 　)
A. f(x)与g(x)有相同的零点
B. f(x)与g(x)有相同的最大值
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
【解析】 对于A，令f(x)=0，则x=，k∈Z，又g≠0，A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x=＋kπ，k∈Z，即x=，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＋kπ，k∈Z，即x=，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，D错误.
BC
考点三　三角函数的单调性
(1)(2025·陕西汉中二模)函数f(x)=－sin 的单调递增区间为(　 　)
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. (k∈Z)
D. (k∈Z)
【解析】 依题意，函数f(x)的单调递增区间，即为函数y=sin 的单调递减区间，由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
例 3
A
(2)若tan 2=a，tan 3=b，tan 5=c，则(　 　)
A. a＜b＜c B. b＜c＜a
C. c＜b＜a D. c＜a＜b
【解析】 ∵tan 5=tan(5－π)，＜5－π＜2＜3＜π，且函数y=tan x在区间上单调递增，∴tan(5－π)＜tan 2＜tan 3，∴tan 5＜tan 2＜tan 3，即c＜a＜b.
D
1.已知三角函数解析式求单调区间：
求形如y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
2.比较三角函数值的大小，首先看是否可以直接利用三角函数在某个单调区间上的单调性比较大小，若不能，则利用周期性进行转化求解.
(1)(2025·山东泰安模拟)已知函数f(x)=sin2x－cos2x，则(　 　)
A. f(x)在上单调递减
B. f(x)在上单调递减
C. f(x)在上单调递增
D. f(x)在上单调递减
【解析】 依题意，函数f(x)=－cos 2x，对于A，∵f(0)=－cos 0=－1，f=－cos =－，则f(0)＜f，∴f(x)在上不是单调递减函数，A错误；对于B，∵f(0)=－cos 0=－1，f=－cos ＞－1，则f(0)＜f，∴f(x)在上不是单调递减函数，B错误；对于C，当x∈时，2x∈，余弦函数y=cos x在上单调递减，因此f(x)在上单调递增，C正确；对于D，∵f=－cos ，f=－cos π=1，则f＜f，∴f(x)在上不是单调递减函数，D错误.
跟踪训练3
C
(2)已知函数f(x)=2sin＋1(ω＞0)， x∈R，f(x)≤f，且f(x)在上单调递
增，则ω= 　.
【解析】 依题意，得f=2sin＋1=3，
∴=2kπ＋(k∈Z)，∴ω=4k＋(k∈Z).∵f(x)在上单调递增x∈，∴ωx＋∈，∴≤，∴0＜ω≤，故ω=.
课时作业
答案速对
第四章 对点练35　三角函数的图象与性质 题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B B B D D
题号 7 8 13 14 15 答案 AC AC D B ACD 1.(2025·宁波三模)下列四个函数中，以 π为最小正周期，且在区间上单调递减的是
(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. y=cos x B. y=|sin x|
C. y=tan x D. y=sin
B
2.函数f(x)=sin在区间上的最小值为(　 　)
A. －1 B. － C. D. 0
B
3.(2025·河北保定开学考试)已知函数f(x)=cos ，则f(x)≤－的解集为(　 　)
A. (k∈Z)
B. (k∈Z)
C. (k∈Z)
D. (k∈Z)
B
4.已知函数f(x)=2sin (ω＞0)的最小正周期为 π，则f(x)的图象关于(　 　)
A. 直线x=对称 B. 直线x=对称
C. 点对称 D. 点对称
B
5.(2023·全国乙卷理)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)在区间单调递增，直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f=(　 　)
A.－ B.－ C. D.
D
6.(2025·天津和平一模)关于函数f(x)=sin ，下面结论中成立的是(　 　)
A. f(x)在区间上的最大值为－
B. f(x)在区间上单调递增
C. f(x)=f
D. f(x)的图象关于点对称
【解析】 对于A，∵x∈，∴－2x∈，则sin ∈[－1，0]，即f(x)在区间上的最大值为0，A错误；对于B，∵x∈，则2x－∈，∴y=sin 在上单调递增，f(x)=－sin ，∴f(x)在上单调递减，B错误；对于C，f=sin =－sin 2x≠f(x)，C错误；对于D，当x=时，f(x)=sin =0，∴为f(x)的图象的一个对称中心，D正确.
D
7.(多选)已知函数f(x)=2cos，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. f=f(x)
B. f(x)在上单调
C. 若f(x1)f(x2)=4(x1≠x2)，则| x1－x2|的最小值为
D. 若f(x1)－f(x2)=4，则| x1－x2|的最小值为
【解析】 对于A，由题意可知，函数f(x)的最小正周期T=，∴f=f(x)，A正确；对于B，当x∈时，3x－∈，∴f(x)在上不单调，B错误；对于C，若f(x1)f(x2)=4，则f(x1)=f(x2)=2，或f(x1)=f(x2)=－2，∴| x1－x2|的最小值为T=，C正确；对于D，若f(x1)－f(x2)=4，则f(x1)=2，f(x2)=－2，∴| x1－x2|的最小值为，D错误.　
AC
8.(多选)(2025·湖北荆州模拟)已知函数f(x)=sin sin ，k∈Z，则
(　 　)
A. 函数f为偶函数
B. f(x)的最大值为2
C. f(x)在区间上单调递增
D. 曲线y=f(x)关于(k∈Z)对称
【解析】 f(x)=sin sin ·(sin x＋cos x)(sin x－cos x)=sin x. 对于A，设g(x)=fsin =－cos x，函数的定义域关于原点对称，由g(－x)=－cos (－x)=－cos x=g(x)，可得函数g(x)=f为偶函数，A正确；对于B，由于y=sin x的最大值为1，∴f(x)max=×1=，B错误；对于C，当x∈时，∵y=sin x单调递增，故f(x)=sin x在上单调递增，C正确；对于D，由于曲线y=sin x关于(kπ， 0)(k∈Z)对称，因此曲线y=f(x)关于(kπ， 0)(k∈Z)对称，D错误.
AC
9.(2025·北京房山期中)若函数f(x)=cos(x＋φ)－sin x的最小值为－2，则常数φ的一个取
值为 　.
【解析】 ∵sin x∈[－1，1]，cos (x＋φ)∈[－1，1]，要想f(x)=cos (x＋φ)－sin x的最小值为－2，需要sin x=1，cos (x＋φ)=－1同时成立，由sin x=1得到x=2kπ，k∈Z，不妨取x=，则cos =－1，解得φ=2kπ，k∈Z，取k=0，得φ=.
(答案不唯一)
10.设函数f(x)=cos(ω＞0)，若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值
为 　.
【解析】 ∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，∴f(x)的最大值为f，故f=1，∴ω－=2kπ(k∈Z)，∴ω=8k(k∈Z)，又ω＞0，∴当k=0时，ω取得最小值.
11.已知函数f(x)=sin 2x－cos 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
解：(1)∵函数f(x)=sin，
∴函数f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)讨论函数f(x)在上的单调性.
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减.
12.已知函数f(x)=2sin x·sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
解：(1)f(x)=2sin x·sin=2sin x·=sin xcos xsin2x=sin 2x(1－cos 2x)=sin.令－2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得－kπ≤
x≤kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)若对任意x∈，都有≤，求实数t的取值范围.
(2)依题意，对任意x∈，都有≤，∵2x－∈，
∴－≤2t－，∴0≤t＜，∴实数t的取值范围是.
13.若函数f(x)=sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在上单调递减，则θ的一个值为(　 　)
A. － B. － C. D.
【解析】 由题意得f(x)=sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)=2sin.∵函数f(x)为奇函数，∴θ=kπ，k∈Z，故θ=－kπ，k∈Z.当θ=时，f(x)=－2sin 2x，在上单调递减，符合题意.
D
14.(2025·安徽六安模拟)已知函数f(x)=sin(ω＞0)在区间[0，π]上恰有两条对称轴，则ω的取值范围是(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 ∵0≤x≤π，∴≤ωx≤ωπ.∵函数f(x)=sin(ω＞0)在区间[0，π]上恰有两条对称轴，∴≤ωπ＜，解得≤ω＜.
B
15.(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数.下列说法中，正确的有(　 　)
A. =0
B. 函数y=cos x－[cos x]有3个零点
C. y=[cos x]的最小正周期为2π
D. y=[cos x]的值域为{－1，0，1}
【解析】 由=0，A正确；当x=kπ(k∈Z)时，cos x=0，∴y=cos x－[cos x]在R上有无数个零点，B错误；在区间[0， 2π]上，当y=[cos x]=1时，x=0或2π；当y=[cos x]=0时，x∈∪；当y=[cos x]=－1时，x∈，∴y=[cos x]的最小正周期为2π，值域为{－1，0，1}，C，D都正确.
ACD
16.(2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x＋φ)(0≤φ＜ π)，f(0)=.
(1)求φ；
解：(1)由题意f(0)=cos φ=(0≤φ＜π)，∴φ=.
(2)设函数g(x)=f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间.
(2)由(1)可知f(x)=cos ，∴g(x)=f(x)＋f=cos cos 2x=cos 2x－sin 2x＋cos 2x=cos 2x－sin 2x=cos ，∴函数g(x)的值域为[－， ]，
令2kπ≤2x≤π＋2kπ，k∈Z，解得－kπ≤x≤kπ，k∈Z，令π＋2kπ≤2x≤2π＋2kπ，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ，k∈Z，∴函数g(x)的单调递减区间为
，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z.(共16张PPT)
第四章 单元小卷
1. (2025·湖南邵阳三模)下列区间中，为函数f(x)=3tan的单调递减区间的是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D. (0，π)
【解析】 令kπ－π＜－2x＜kππ，k∈Z，解得－kπ－＜x＜－kπ，k∈Z，令k=0，可得x∈，A正确.
A
2. (2025·山东潍坊二模)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，其终边与圆O交于点A(3，4).若角α终边沿逆时针方向旋转角θ，交圆O于点B，则角θ可能为(　 　)
A. 75° B. 105° C. 375° D. 405°
【解析】 ∵角α的终边与圆O交于点A(3，4)，∴由任意角三角函数定义得cos α=，sin α=，设旋转后的角为β，且旋转后的角交圆O于点B，则由任意三角函数的定义得cos β=－，sin β=，得到sin θ=sin(β－α)=，cos θ=cos(β－α)=，故θ=45°＋2k·180°，k∈Z，当k=1时，θ=405°，D正确.
D
3. (2025·金华模拟)已知tan，则sin α·cos α等于(　 　)
A. B.
C. － D.
【解析】 由tan得，即，解得tan α=，∴sin α·cos α=.
B
4. (2025·绍兴二模)已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，y=f(x)的图象与y轴交于点C，D(5，0)，B(2，A)，且·=0，则f(4)等于(　 　)
A. 4
B. 2
C.
D. 4
【解析】 由题图可知=5－2=3，则T=12，∴ω=，∴f(x)=Asin，由f(5)=Asin=0得φ=kπ＋π，k∈Z，即φ=kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=，则f(x)=Asin.又f(0)=Asin，则C，又，∴·=－10，解得A=2(负根舍去)，∴f(x)=2sin，∴f(4)=，C正确.
C
5. (2025·河北石家庄一模)如图所示，在△ABC中，已知∠CBA=45°，D是BC边上一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB等于(　 　)
A. 4
B. 5
C. 2
D.
【解析】 在△ACD中，由余弦定理得cos C=，又C∈(0，π)，∴sin C=，在△ABC中，由正弦定理得，即，解得AB=.
D
6. (2025·湖北武汉二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且C=，c=6，△ABC的面积为，D为边AB上一点，CD是∠ACB的角平分线，则CD等于(　 　)
A. B. 1 C. D.
【解析】 在△ABC中，C=，c=6，由余弦定理可得c2=b2＋a2－2bacos C，∴62=b2＋a2－2bacos，∴36=b2＋a2－ba，又△ABC的面积为，∴basin，∴ba=4，∴36=b2＋a2－ba=(a＋b)2－3×4，∴a＋b=4，∵CD是∠ACB的角平分线，C=，∴∠ACD=∠DCB=，∵S△ACD＋S△BCD=S△ABC，∴AC·CD·sin∠ACDCD·CBsin∠DCB=AC·CBsin∠ACB，∴b·CDsina·CDsinbasin，∴b·CD＋a·CD=4，∴(b＋a)CD=4，∴CD=1.
B
7. (多选)已知函数f(x)=|sin x|－cos x，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. f(x)是偶函数
B. f(x)的最小正周期是π
C. f(x)的值域为[－，2]
D. f(x)在上单调递增
【解析】 函数的定义域为R，且f(－x)=|sin(－x)|－cos(－x)=|sin x|－cos x=f(x)，∴f(x)是偶函数，A正确；当x≥0时，(x)=k∈N，f(x)在，k∈N上单调递增，在，k∈N上单调递减，f(x)在，
AC
k∈N上单调递增，在，k∈N上单调递减，函数的部分图象如下(注意偶函数的对称性).
由图知，f(x)的最小正周期为2π，值域为[－，2]，B错误，C正确；由f=2sin=2，且＜π，结合图知f(x)在上不单调，D错误.
8. (多选)(2025·河北沧州一模)在△ABC中，若内角A，B，C满足sin2A∶sin2B∶sin2C=4∶9∶10，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. cos B= B. 60°＜C＜75°
C. tan(A＋C)=－ D. tan B＋tan 3A=0
【解析】 设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由sin2A∶sin2B∶sin2C=4∶9∶10，得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=2∶3∶，不妨令a=2，b=3，c=，对于A，题得cos B=，A正确；对于B，cos C=，cos 75°=cos(45°＋30°)=，C＞75°，B错误；对于C，cos B=，B∈(0，π)，则sin B=，tan(A＋C)=－tan B=－=－，C正确；对于D，cos A=，cos 2A=2cos2A－1=2×－1==cos C，又2A，C∈，则2A=C，由A＋B＋C=π，得3A＋B=π，即B=π－3A，因此tan B＋tan 3A=0，D正确.
ACD
9. (2025·湖南长沙二模)已知函数f(x)=sincos ωx(ω＞0)，f(x1)=0，f(x2)=，且|x1－x2|的最小值为，则ω=　 　.
【解析】 f(x)=sincos ωx=sin ωxcos ωx＋cos ωx=sin ωxcos ωx=sin，∵f(x1)=0，f(x2)=，且|x1－x2|的最小值为，∴函数f(x)的最小正周期T=4×=2π，由T=，∴ω=1.
1
10. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=　 　；若a∶b=∶1，则△ABC面积的最大值为 　.
【解析】 ①方法一　∵，∴bsin C=2cos Asin C＋2sin Acos C=2sin(A＋C)=2sin B，由正弦定理可得bc=2b，∴c=2.
方法二　∵，由正弦定理可得，由余弦定理得，化简得，bc－，即bc=2b，∴c=2.
②方法一　由a∶b=∶1可得a=b，由余弦定理可得cos C=，且S△ABC=absin C=sin C，∴S2=sin2C=(1－cos2C)==－2b2－1，∴当b2=4，即b=2时，S2取最大值，最大值为3，∴△ABC面积的最大值为.
2
方法二　以AB边所在直线为x轴，以边AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设C(x，y)，∵a∶b=∶1，∴，化简得(x＋2)2＋y2=3(y≠0)，即顶点C在以(－2，0)为圆心，为半径的圆(除去与x轴的交点)上，∴△ABC的AB边上的高最大值为，∴△ABC面积的最大值Smax=·AB=.
11. (2025·山东潍坊一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos C＋b=0，b=c.
(1)求cos C；
解：(1)∵acos C＋b=0，∴a·b=0，即a2＋3b2－c2=0，∵b=c，∴c=2b，即a2＋3b2－8b2=0，故a=b，由余弦定理可得cos C==－.

(2)若△ABC的面积为，D是BC上的点，且∠ADB=，求CD的长.
(2)∵cos C=－，∴sin C=，∵S△ABC=absin C=ab=，∴ab=，∵a=b，c=2b，∴a=，b=，c=，
D是BC上的点，且∠ADB=，则∠CAD=－C，∠ADC=，∴sin∠CAD=sin=sincos C－cossin C=，在△ACD中，由正弦定理得，故CD=.
12. (2025·江苏南通一模)已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，5(asin A－bsin B)=3csin C.
(1)证明：tan A=4tan B.
(1)证明：由正弦定理得5(a2－b2)=3c2，∴cos B=，∴5acos B=4c.∴5sin Acos B=4sin C=4sin(A＋B)=4sin Acos B＋4cos Asin B，∴sin Acos B=4cos A·sin B，∴tan A=4tan B.
(2)若B∈，求tan C的取值范围.
(2)解：tan C=－tan(A＋B)=－=－，∵＜B＜，∴＜tan B＜1，令tan B=t，∴＜t＜1，tan C=，令y=4t－，由于y1=4t，y2=－在t∈上单调递增，则原函数也是在t∈上单调递增，∴＜4t－＜3，∴＜tan C＜5，即tan C的取值范围是.(共31张PPT)
内
容
索
引
关键能力提升
考点一 利用正、余弦定理解三角形
考点二 判断三角形的形状
考点三 三角形的面积、周长
第1课时　正弦定理和余弦定理
考点一　利用正、余弦定理解三角形
(1)(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1＋，AB=，则A=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°
【解析】 由题意得cos A=，又0°＜A＜180°，∴A=45°.
(2)(2025·安徽蚌埠模拟)在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边长. 若a∶b∶c=4∶5∶6，则=(　 　)
A. B. 1 C. D. 2
【解析】 由a∶b∶c=4∶5∶6，设a=4k，k＞0，则b=5k，c=6k，由余弦定理知 cos A=，由正弦定理，sin A∶sin C=a∶c=2∶3，=2××cos A=2×=1.
例 1
A
B
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
(1)(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A=c，且C=，则B=(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 方法一　∵acos B－bcos A=c，
∴sin Acos B－sin Bcos A=sin C，即sin(A－B)=sin C，∴A－B=C，或A－B＋C=π(舍).
∵C=，A＋B＋C=π，∴B=.
方法二　a·－b·=c，即a2=b2＋c2，∴△ABC为直角三角形，且A=，C=，∴B=.
跟踪训练1
C
(2)(2026·河北保定开学考试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则b=(　 　)
A. B. C. 1 D. 2
【解析】 ∵，由正、余弦定理得，即a2＋c2－b2＋a2＋b2－c2=2a×2ab，化简得b=.
A
考点二　判断三角形的形状
(多选)(2025·重庆诊断)在△ABC中，下列说法中，正确的有(　 　)
A. 若acos A=bcos B，则△ABC为直角三角形
B. 若a=40，b=20，B=25°，则△ABC必有两个解
C. 若△ABC是锐角三角形，则sin A＞cos B
D. 若cos 2A＋cos 2B－cos 2C＜1，则△ABC为锐角三角形
【解析】 对于A，由正弦定理可得sin Acos A=sin B·cos B，∴sin 2A=sin 2B，∴A=B，或2A＋2B=180°，即A=B，或A＋B=90°，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，A错误；对于B，asin B=40sin 25°＜40sin 30°=40×=20，即asin B＜b＜a，∴△ABC必有两解，B正确；对于C，∵△ABC是锐角三角形，∴0°＜A＜90°，0°＜B＜90°，180°＞A＋B＞90°，即90°＞A＞90°－B＞0°，∴sin A＞sin (90°－B)=cos B，C正确；对于D，由题意及二倍角的余弦公式知1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C＜1，即sin2A＋sin2B－sin2C＞0，即a2＋b2－c2＞0，∴cos C＞0，即C为锐角，但不能说明△ABC为锐角三角形，D错误.
例 2
BC
1.判断三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系.
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.解题注意点：
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
(1)(2026·江苏盐城期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2sin2，则该三角形一定是(　 　)
A. 正三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
【解析】 由2sin2=1－cos B=，则cos B=1－，∴，可得a2=b2＋c2，不能确定b=c是否成立，∴△ABC一定是直角三角形.
跟踪训练2
B
(2)(2025·黑龙江齐齐哈尔调研)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且2sin2，则△ABC的形状为(　 　)
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角或钝角三角形
D. 锐角三角形
【解析】 由2sin2得1－cos (B＋C)＞，即1＋cos A＞，∵C∈(0， π)，∴sin C＞0，则sin C＋cos Asin C＞sin B＋sin C，即cos A·sin C＞sin B，即cos Asin C＞sin (A＋C)，即cos A·sin C＞sin Acos C＋cos Asin C，即sin A·cos C＜0，又A∈(0， π)，∴sin A＞0，∴cos C＜0，∴角C为钝角，故△ABC为钝角三角形.
B
考点三　三角形的面积、周长
(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，a2＋b2－c2=ab.
(1)求B；
解：(1)cos C=，
∵C∈(0，π)，∴sin C＞0，从而sin C=，又sin C=cos B，即cos B=，B∈(0，π)，∴B=.
例 3
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
(2)由(1)可得B=，cos C=，C∈(0，π)，从而C=，A=π－，而sin A=sin=sin，由，得a=·c=c，b=·c=c，
∴S△ABC=absin C=·c·c··c2=3＋，可得c2=3＋，∴c=2.
三角形面积公式的应用原则：
(1)对于面积公式S=absin C=acsin B= bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
(2026·湖南长沙开学考试)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，且.
(1)求A；
解：(1)由条件及正弦定理得，
整理得sin Csin B=cos Ccos B＋2cos 2A，∴cos (B＋C)=－2cos 2A， ∴cos (π－A)=－2cos 2A，即cos A=2cos 2A.
又A为锐角，cos A≠0，∴cos A=，故A=.
(2)设D为AB的中点，若CD=BC，且b＋c=10，求△ABC的面积.
(2)在△ACD中，由余弦定理得CD2=AC2＋AD2－2AC·ADcos A，即a2=b2＋①，
在△ABC中由余弦定理得a2=b2＋c2－bc②，
由①②消去a，得3c2=2bc，即b=c.
∵b＋c=10，∴b=6，c=4，∴S△ABC=bcsin A=×6×4×=6.
跟踪训练3
课时作业
答案速对
第四章 对点练37　正弦定理和余弦定理 题号 1 2 3 4 5
答案 C C B A B
题号 6 7 8 13 14
答案 A AD AC D AC
1.(2025·安徽合肥三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=3，b=，c=7，则cos (A＋B)=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. － B. －
C. D.
C
2.(2025·湖南郴州三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A=，b=3，△ABC的面积为6，则a=(　 　)
A. 65 B. 17
C. D.
C
3.(2025·江西南昌模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A=(　 　)
A. B. C. D.
B
4.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足b－a=2bsin2，则△ABC为
(　 　)
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形或等腰三角形
D. 等腰直角三角形
A
5.(2025·内蒙古包头模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B－bcos A=c，且C=，则B=(　 　)
A. B. C. D.
B
6.(2025·广西南宁开学考试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＋c=14，cos B=，cos C=，则△ABC的面积是(　 　)
A. B.
C. 9 D. 18
【解析】 ∵cos B=，cos C=，且0＜B＜π，0＜C＜π，∴sin B=，sin C=，∴=6，即b=6c.∵b＋c=14，∴b=12，c=2. ∵A＋B＋C=π，∴sin A=sin (B＋C)=sin Bcos C＋cos Bsin C=，则△ABC的面积是bcsin A=×12×2×.
A
7.(多选)(2025·湖北武汉模拟)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin =cos B，b=2，c=3，则(　 　)
A. C=
B. a=
C. sin A=
D. △ABC的面积为
【解析】 ∵sin =cos B，且△ABC为锐角三角形，∴A－B= A＋B=.∴C=，A正确；由余弦定理得c2=a2＋b2－2abcos =a2＋b2－ab，∴9=a2＋4－2a.整理得a2－2a－5=0，又a＞0，∴a==1，B错误；由正弦定理得 sin A=，C错误；S△ABC=absin C=×(1)×2×，D正确.
AD
8.(多选)(2025·甘肃金昌三模)在△ABC中，AB=，AC=1，M为BC的中点，∠MAC=60°，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. AM= B. BC=4
C. cos B= D. C为钝角
【解析】 在△ABM和△ACM中，设BM=CM=x，AM=y，则cos ∠AMB=，cos ∠AMC=，又cos ∠AMB=－cos ∠AMC，可得=－，∴x2＋y2=4①，在△ACM中，cos 60°=②，由①②，可得x=，y=，∴AM=，BC=，在△ABC中，cos B=，又cos C=＞0，∴C为锐角.
AC
9.(2025·河南郑州模拟)在△ABC中，A=，BC=2，△ABC的面积为6，则△ABC的周长为　 　.
【解析】 ∵S△ABC=AB·ACsin A=6，∴AB·AC=24.由余弦定理可得BC2=AB2＋AC2－2AB·AC·cos A=AB2＋AC2－AB·AC=(AB＋AC)2－3AB·AC=(AB＋AC)2－72=28.则AB＋AC=10，∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC=10＋2.
10＋2
10.已知△ABC的面积为S=(b2＋c2)(其中b，c为△ABC的边长)，则△ABC的形状为
　 　.
【解析】 依题意，△ABC的面积为S=(b2＋c2)，则bcsin A=(b2＋c2)，即2bcsin A=b2＋c2，由于0＜A＜π，∴0＜sin A≤1，∴0＜2bcsin A≤2bc，由基本不等式可知b2＋c2≥2bc，当且仅当b=c时，等号成立，∴sin A=1，即A=，∴△ABC是等腰直角三角形.
等腰直角三角形
11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2cos A－3cos 2A=3.
(1)求cos A的值；
解：(1)由题可得2cos A－3(2cos2A－1)=3，即3cos2A－cos A=0，解得cos A=，或cos A=0.
(2)如果△ABC为锐角三角形，2b=3c，求sin C的值.
(2)方法一　∵2b=3c，∴2sin B=3sin C，即2sin (A＋C)=3sin C，即2sin Acos C＋2sin Ccos A=3sin C，∵cos A=，∴sin A=，∴cos Csin C=3sin C，又sin2C＋cos2C=1，且△ABC为锐角三角形，解得sin C=.
方法二　cos A=，∵2b=3c，∴，即c2=a2，∴c=a，∴sin C=sin A，又cos A=，∴sin A=，∴sin C=sin A=.
12.(2025·北京二模)在△ABC中，sin A＋2sin 2=2.
(1)求A的大小；
解：(1)由sin A＋2sin 2=2，得2sin cos =2cos 2.由A∈(0，π)，得cos ≠0，故tan ，∴A=.
(2)设D为AB的中点，且sin ∠ADC=，AC=2，求△ABC的面积.
(2)由正弦定理得，，即CD=.由余弦定理得，CD2=AC2＋AD2－2AC·AD·cos A，
即=22＋AD2－2×2×AD×cos ，解得AD=3，或AD=－1(舍)，∴AB=2AD=6，故S△ABC=AC×AB×sin A=×2×6×sin =3.
13.(2025·江西新余模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=b，且=2(1sin C)，则=(　 　)
A. 2 B. 3
C. －1 D.
【解析】 由=2(1sin C)及正弦定理可得=2(1sin C)，c2=2b2(1sin C)，由a=b及余弦定理可得c2=a2＋b2－2abcos C=2b2(1－cos C)，∴2b2(1sin C)=2b2(1－cos C)，∴sin C=－cos C，故tan C=－，又0＜C＜π，故C=，∴c2=2b2(1－cos C)=b2(2)，∴=2，∴.
D
14.(多选)(2025·温州检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下各条件中，能得出△ABC为等边三角形的有(　 　)
A. 已知a＋b=2c，且A＋B=2C B. 已知sin A=，且b=c
C. 已知a＋b=2c，且a2＋b2=2c2 D. 已知，且A=
【解析】 对于A，∵A＋B=2C，∴C=，由余弦定理得c2=a2＋b2－2abcos C=a2＋b2－ab，又a＋b=2c，=a2＋b2－ab，∴3(a－b)2=0，∴a=b，∴A=B=C=，∴△ABC为等边三角形，A正确；对于B，∵sin A=，0＜A＜π，∴A=，或A=.当A=时，∵b=c，∴A=B=C=，∴△ABC为等边三角形；当A=时，∵b=c，∴B=C=，∴△ABC为等腰三角形，B错误；对于C，∵a＋b=2c，且a2＋b2=2c2，∴a2＋b2=(a＋b)2，∴(a－b)2=0，∴a=b，又a＋b=2c，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形，C正确；对于D，∵，∴，即sin Acos A=sin Bcos B，∴sin 2A=sin 2B，∴2A=2B，或2A＋2B=π，∴A=B，或A＋B=. 当A=B时，∵A=，∴A=B=C=，∴△ABC为等边三角形；当A＋B=时，∵A=，∴B=，C=，∴△ABC为直角三角形，D错误.
AC
15.(2025·湖北黄冈三模)在△ABC中，∠BAC=，设∠BAD=α1，∠DAE=α2，∠EAC=α3，则=　 　.
【解析】 记S△ABC=3S ，则|AB||AD|sin α1=|AD|·|AE|sin α2=|AE||AC|sin α3=2S，|AB||AC|sin =6S，∵=3，∴=3，∴=2.
2
16.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足sin B＋sin C=2sin Acos B.
(1)证明：a2－b2=bc.
(1)证明：∵sin B＋sin C=2sin Acos B，∴b＋c=2acos B，
由余弦定理得b＋c=2a·，∴a2－b2=bc.
(2)如图所示，点D在线段AB的延长线上，|AB|=3，|BD|=1，
当点C运动时，探究|CD|－|CA|是否为定值？
(2)解：由图知，cos ∠ABC＋cos ∠CBD=0，结合余弦定理可得=0，
∵c=|AB|=3，|BD|=1，则=0，整理得4a2－b2＋12－3|CD|2=0，又a2=b2＋bc=b2＋3b，则|CD|2=a2－b2＋4=(b2＋3b)－b2＋4=b2＋4b＋4=(b＋2)2，从而|CD|=b＋2，故|CD|－|CA|=2为定值.(共15张PPT)
拓展视野 射影定理
能力训练
知识拓展
课时作业
内
容
索
引
射影定理
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a=bcos C＋ccos B，b=ccos A＋acos C，c=acos B＋bcos A.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a=3，b=4，c=6，则bccos A＋accos B＋abcos C的值
为 　.
【解析】 由射影定理，bccos A＋accos B＋abcos C=c(bcos A＋acos B)＋abcos C=c2＋abcos C=c2＋.
例 1
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若ccos B＋bcos C=asin A，S=(b2＋a2－c2)，则B=(　 　)
A. 90° B. 60°
C. 45° D. 30°
【解析】 在△ABC中，由射影定理a=ccos B＋bcos C，得asin A=a，解得sin A=1，而0°＜A＜180°，则A=90°.cos C=，而S=absin C，∴cos C=sin C，即tan C=.又0°＜C＜180°，则C=30°，∴B=180°－A－C=60°.
跟踪训练1
B
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A=acos C.
(1)求角A；
解：(1)在△ABC中，(2b－c)cos A=acos C，由射影定理ccos A＋acos C=b，得2bcos A=b，于是得cos A=，而0＜A＜π，则A=.
(2)已知b＋c=2，求△ABC周长的取值范围.
(2)∵a2=b2＋c2－2bccos A，∴a2=b2＋c2－bc=(b＋c)2－3bc=(b＋c)2－3·≥，而b＋c=2，则a2≥1，即a≥1，当且仅当b=c=1时取等号，又a＜b＋c=2，∴3≤a＋b＋c＜4，∴△ABC的周长的取值范围是[3，4).
例 2
已知函数f(x)= 2cos2 x＋ 2sin xcos x.　
(1)求方程f(x)=0在区间[－π，π]的解集；
解：(1)由题意，f(x)=sin 2x＋cos 2x＋1=2 sin＋1，则方程f(x)=0化为sin=－，而x∈[－π，π]，即2x＋∈，解得x=－，或x=－，或x=，或x=，∴方程f(x)=0在区间[－π，π]的解集为.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a＋c)cos B=－bcos C，求f(A)的取值范围.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，∵(2a＋c)cos B=－bcos C，即2acos B=－(bcos C＋ccos B)，∴2acos B=－a，即cos B=－，而0＜B＜π，则有B=，于是得A＋C=，又A＞0，C＞0，∴0＜A＜＜2A＋，则＜sin≤1，由(1)知f(A)=2sin＋1∈(2，3]，∴f(A)的取值范围是(2，3].
跟踪训练2
课时作业
答案速对
第四章 对点练41　射影定理 题号 1 2 3 4 5
答案 B A B A ABD
1.在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足2bcos B=acos C＋ccos A，则B的大小为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【解析】 2bcos B=acos C＋ccos A，即2bcos B=b，
解得cos B=，又B∈(0，π)，∴B=.
B
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，asin Bcos C＋csin Bcos A=b，且a＞b，则B=(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 由射影定理，asin Bcos C＋csin Bcos A=sin B·(acos C＋ccos A)=bsin B=b，故sin B=.又a＞b，∴A＞B，即B为锐角，故B=.
A
3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B=asin A，则△ABC的形状为(　 　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 不确定
【解析】 bcos C＋ccos B=a=asin A sin A=1 A=，即△ABC为直角三角形.
B
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)=2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式中，成立的是(　 　)
A. a=2b B. b=2a
C. A=2B D. B=2A
【解析】 sin B(1＋2cos C)=2sin Acos C＋cos Asin C b(1＋2cos C)=2acos C＋ccos A=acos C＋(acos C＋ccos A)=acos C＋b，∴b(1＋2cos C)=acos C＋b.即2bcos C=acos C，∵△ABC为锐角三角形，∴cos C＞0，故2b=a.
A
5.(多选)若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中，正确的有
(　 　)
A. 若A＞B，则sin A＞sin B
B. 若acos B－bcos A=c，则△ABC为直角三角形
C. 若acos A=bcos B，则△ABC为等腰三角形
D. 若cos 2，则△ABC为直角三角形
【解析】 对于A，在△ABC中，正弦定理=2R，A＞B a＞b 2Rsin A＞2Rsin B sin A＞sin B，A正确；对于B，由射影定理得acos B＋bcos A=c，又acos B－bcos A=c，即bcos A=0，而b≠0，则cos A=0，A=，△ABC为直角三角形，B正确；对于C，由正弦定理可得2Rsin Acos A=2Rsin Bcos B，即sin 2A=sin 2B，而2A＋2B∈(0，2π)，则有2A=2B，或2A＋2B=π，即A=B，或A＋B=，△ABC为等腰三角形或直角三角形，C错误；对于D，cos 2 ccos A=b，由射影定理得，acos C=0，而a≠0，则cos C=0，C=，△ABC为直角三角形，D正确.
ABD
6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(1－cos C)=ccos A.
(1)证明：△ABC是等腰三角形.
(1)证明：在△ABC中，a(1－cos C)=ccos A a=acos C＋ccos A，由射影定理得a=b，∴△ABC是等腰三角形.
(2)若△ABC的面积为，且cos C=，求△ABC的周长.
(2)解：在△ABC中，∵cos C=，且C∈(0，π)，∴sin C=，又S△ABC=absin C=，即ab=2，由(1)知a=b，则有a=b=，在△ABC中，由余弦定理得c2=a2＋b2－2abcos C=2＋2－2×，解得c=，又a=b=，则a，b，c能构成三角形，符合题意，a＋b＋c=2，∴△ABC的周长为2.
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2a－c=2bcos C.
(1)求角B的大小；
解：(1)在△ABC中，由射影定理得2(bcos C＋ccos B)－c=2bcos C，整理得2ccos B=c，而c＞0，解得cos B=，又0＜B＜π，得B=，∴角B的大小为.
(2)若b=2，c=2，求△ABC的面积.
(2)在△ABC中，由余弦定理得(2)2=a2＋22－2a·2cos ，整理得a2－2a－48=0，而a＞0，解得a=8，则S△ABC=acsin B=×8×2×sin =4，∴△ABC的面积为4.(共32张PPT)
内
容
索
引
关键能力提升
考点一 多边形中的解三角形问题
考点二 三角形中的最值(范围)问题
考点三 解三角形与三角函数的综合应用
微点突破
第2课时　解三角形的综合问题
考点一　多边形中的解三角形问题
如图所示，在四边形ABCD中，AB=2AD=4，BD=BC，∠DBC=，
∠DAB=θ，sin θ＋cos θ=.
求：(1)△ABD的面积；
解：(1)∵sin θ＋cos θ=①，∴(sin θ＋cos θ)2=，∴2sin θcos θ=－＜0.∵θ为△ABD的内角，∴sin θ＞0，cos θ＜0，∴(sin θ－cos θ)2=1－2sin θcos θ=，∴sin θ－cos θ=②，联立①②，得sin θ=，cos θ=，
∴S△ABD=AB·AD·sin θ=×2×4×.
例 1
(2)线段AC的长度.
(2)由(1)知cos θ=，sin θ=，由余弦定理，得BC2=BD2=AD2＋AB2－2AD·AB·cos θ=22＋42－2×2×4×=30－2.设∠ABD=α.，∴sin α=，∴cos ∠ABC=cos=－sin α=－.AC2=AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC=16＋30－2－2×4·BD·=46－2＋16sin θ=46－2＋16×=56，∴AC=2.
平面几何中解三角形问题的求解思路：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
如图所示，平面四边形ABCD内接于一个圆，且AB=5，BD=3，A为钝角，
sin A=.
(1)求cos ∠ADB；
解：(1)∵AB=5，BD=3，sin A=，∴，即，解得sin ∠ADB=.又A为钝角，∴∠ADB为锐角，则cos ∠ADB=.
(2)若BC=5，求△BCD的面积.
(2)由平面四边形ABCD内接于一个圆可得A＋C=π，∴sin C=.又A为钝角，∴C为锐角，则cos C=.
∴BD2=BC2＋CD2－2·BC·CD·cos C，即(3)2=52＋CD2－2×5×CD×，整理得CD2－8CD－20=0，解得CD=10(舍负)，则△BCD的面积为S△BCD=×10×5×=15.
跟踪训练1
考点二　三角形中的最值(范围)问题
(2026·湖南常德开学考试)在△ABC中，已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且sin A－cos A－1=0.
(1)求角A；
解：(1)∵sin A－cos A－1=0，∴sin ，又A∈(0，π)，A－∈，∴A－，故A=.
(2)若a=6，求△ABC面积的最大值.
(2)由余弦定理，b2＋c2－2bccos A=a2，∴b2＋c2－bc=36.　
又b2＋c2≥2bc，∴36=b2＋c2－bc≥bc，即bc≤36，当且仅当b=c=6时取等号.
∴△ABC的面积S=bcsin A=bc≤9，∴△ABC面积的最大值为9.
例 2
1.求解三角形中的最值(范围)问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a＋b，ab，a2＋b2之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.
2.解决三角形中的某个量的最值或范围问题，除了利用基本不等式外，再一个思路就是利用正弦定理、余弦定理，把该量转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解，此时要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.
(2026·湖南郴州模拟)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csin Acos B=bsin C(1＋cos A).
(1)证明：A=2B.
证明：(1) 由csin Acos B=bsin C(1＋cos A)，
结合正弦定理得，sin Csin Acos B=sin Csin B(1＋cos A)，
∵sin C≠0，∴sin Acos B－cos Asin B=sin B，
∴sin (A－B)=sin B，∴A－B=B，或(A－B)＋B=π(舍去)，∴A=2B.
跟踪训练2
(2)求的取值范围.
解：(2)在锐角三角形ABC中，即＜B＜，∴＜cos B＜.
由正弦定理结合(1)得=2cos B－.
令cos B=t，则=2t－，t∈，
∵函数y=2t－在上单调递增，
∴y＞，y＜，
∴∈.
考点三　解三角形与三角函数的综合应用
(2025·天津卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin B=bcos A，c－2b=1，a=.
(1)求A的值；
解：(1)已知asin B=bcos A，由正弦定理，
得asin B=bsin A=bcos A，显然cos A≠0，得tan A=，由0＜A＜π，故A=.
(2)求c的值；
(2)由(1)知cos A=，且c=2b＋1，a=，
由余弦定理a2=b2＋c2－2bccos A，
则7=b2＋(2b＋1)2－2×b(2b＋1)=3b2＋3b＋1，解得b=1 (b=－2舍去)，∴c=2b＋1=3.
例 3
(3)求sin (A＋2B)的值.
(3)由正弦定理，且b=1，a=，sin A=，得sin B=，且a＞b，则B为锐角，故cos B=，故sin 2B=2sin Bcos B=，且cos 2B=1－2sin 2B=1－2×，故sin (A＋2B)=sin Acos 2B＋cos Asin 2B=.
设△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asin=b＋c.
(1)求A；
解：(1)∵2asin=b＋c，可得asin C＋acos C=b＋c，即sin Asin C＋sin Acos C=sin B＋sin C，又B=π－(A＋C)，可得sin B=sin(A＋C)=sin Acos C＋cos Asin C，∴sin Asin C＋sin Acos C=sin Acos C＋cos Asin C＋sin C，即sin Asin C=cos Asin C＋sin C，∵C∈(0，π)，可得sin C＞0，∴sin A=cos A＋1，即sin A－cos A=1，可得sin A－cos A=2sin=1，即sin，∵A∈(0，π)，∴A－，解得A=.
(2)若a=2，△ABC的周长为6＋2，求△ABC的面积.
(2)∵a=2，△ABC的周长为6＋2，可得b＋c=6，由(1)知A=，由余弦定理得a2=b2＋c2－2bccos A，可得=b2＋c2－bc=(b＋c)2－3bc=62－3bc，解得bc=4，∴△ABC的面积为S=bcsin A=×4×sin.
跟踪训练3
　　解三角形是高考数学的必考内容，其中在三角形中增加高线、中线、角平分线以及其他等分点条件在最近几年的高考题中出现的频率很高，这类问题一般需要综合使用正弦定理和余弦定理来解决.
三角形高线、中线、角平分线的计算
微点突破
(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B=3C，2sin(A－C)=sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB=5，求AB边上的高.
解：方法一　(1)∵A＋B=π－C，且A＋B=3C，∴3C=π－C，∴C=.∵2sin(A－C)=sin B，∴2sin=sin，展开并整理得(sin A－cos A)=·(cos A＋sin A)，得sin A=3cos A，又sin2A＋cos2A=1，且sin A＞0，∴sin A=.
(2)由正弦定理，得BC=·sin A==3.由余弦定理AB2=AC2＋BC2－2AC·BCcos C，得52=AC2＋(3)2－2AC·3cos，整理得AC2－3AC＋20=0，解得AC=，或AC=2.由(1)，得tan A=3＞，∴＜A＜，又A＋B=，∴B＞，即C＜B，∴AB＜AC，∴AC=2.设AB边上的高为h，则·AB·h=·AC·BCsin C，即5h=2×3，解得h=6，∴AB边上的高为6.
例 4
考向1 三角形的高线问题
方法二　(1)在△ABC中，A＋B=π－C，∵A＋B=3C，∴3C=π－C，∴C=.∵2sin(A－C)=sin B，∴2sin(A－C)=sin[π－(A＋C)]=sin(A＋C)，∴2sin Acos C－2cos Asin C=sin Acos C＋cos Asin C，∴sin Acos C=3cos Asin C，易得cos Acos C≠0，∴tan A=3tan C=3tan=3，又sin A＞0，∴sin A=.
(2)由(1)知tan A=3＞0，∴A为锐角，又sin A=，
∴cos A=，∴sin B=sin(cos A＋sin A)=.由正弦定理，得AC==2，故AB边上的高为AC·sin A=2=6.
高线问题的处理策略：
(1)等面积法：AD·BC=AB·AC·sin ∠BAC.
(2)AD=AB·sin ∠ABD=AC·sin ∠ACD.
(3)a=c·cos B＋b·cos C.
在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，AH为△ABC的高线，则·=(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°=7，即BC=，∴S△ABC=·AB·ACsin 120°=BC·AH，∴AH=，由向量数量积的几何意义得·=||2=.
跟踪训练4
C
记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin C=sin C＋cos C，A=.
(1)求c；
解：(1)由bsin C=sin C＋cos C及正弦定理，得csin B=2sin，
∵A=，A＋B＋C=π，∴csin B=2sin (π－B)=2sin B，　
又sin B≠0，∴c=2.
例 5
考向2 三角形的中线问题
(2)在下列两个条件中选择一个作为补充条件，判断△ABC是否存在？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，说明理由.
①BC边上的中线长为；②AB边上的中线长为.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(2)选①，方法一　设BC边上的中线为AD，则AD=，BD=CD=a.
由cos ∠ADB=－cos ∠ADC及余弦定理的推论得，=－，即－4=－，化简，得a2=2b2＋6，
由余弦定理，得a2=b2＋c2－2bccos ∠BAC，即a2=b2－2b＋4，∴b2＋2b＋2=0，该方程无实数解，
故符合条件的△ABC不存在.
方法二　设BC边上的中线为AD，则()，
两边平方得(＋2·)，即，
即b2＋2b＋2=0，易知该方程无实数解，故符合条件的△ABC不存在.
选②，设AB边上的中线为CF，则CF=，AF=BF=AB=1.在△ACF中，由余弦定理CF2=AF2＋AC2－2AC·AF·cos A，得7=1＋b2－2b·cos ，整理得b2－b－6=0，
解得b=3，或b=－2(舍去).
故△ABC的面积S=bcsin A=×3×2×.
中线问题的处理策略：在△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC及角A，求中线AD的长.
(1)倍长中线：构造全等，再用余弦定理即可.
(2)向量法：()，平方即可.
(3)余弦定理：邻补角余弦值互为相反数，即cos ∠ADB＋cos ∠ADC=0.
补充：若将条件“AD为BC的中线”换为“=λ”，则可以考虑方法(2)或方法(3).
(多选)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A=acos C，b=2，若边BC的中线AD=3，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. A= B. A=
C. ·=6 D. △ABC的面积为3
【解析】 由(2b－c)cos A=acos C，得2sin Bcos A－sin Ccos A=sin Acos C，得2sin Bcos A=sin Acos C＋sin Ccos A=sin(A＋C)=sin(π－B)=sin B，∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，∴2cos A=1，得cos A=，∵A∈(0，π)，∴A=，A正确，B错误；∵AD是中线，∴由()，得4＋2·，得36=c2＋12＋2×2c，得c=2，或c=－4(舍去)，∴·=2×2=6，C正确；S△ABC=bc·sin A=×2×2=3，D正确.
跟踪训练5
ACD
(2026·江西新余模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积S=(a2＋c2－b2)sin B.
(1)求角B；
解：(1)在△ABC中，S=acsin B=(a2＋c2－b2)·sin B，而0＜B＜π，即sin B＞0，a2＋c2－b2=ac，
由余弦定理得cos B=，∴B=.
(2)若∠ABC的平分线交AC于点D，a=3，c=4，求BD的长.
(2)如图所示，在△ABC中，由等面积法得S△ABC=S△BAD＋S△BCD，
即BC·BA·sin ∠ABC=BA·BD·sin BC·BD·sin ，即×3×4××4·BD·×3·BD·，∴BD=.
例 6
考向3 三角形的角平分线问题
角平分线问题在△ABC中，BD平分∠ABC的处理策略：
(1)角平分线定理：.
(2)利用两个小三角形的面积和等于大三角形的面积来处理.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B＋bcos A=2ccos B.
(1)求角B；
解：(1)∵acos B＋bcos A=2ccos B，∴sin Acos B＋sin Bcos A=2sin Ccos B，∴sin(A＋B)=2sin Ccos B，即sin C=2sin Ccos B，∵0＜C＜π，∴sin C＞0，故cos B=，∵0＜B＜π，∴B=.
(2)若A=，角B的平分线交AC于点D，BD=，求CD的长.
(2)由(1)可知∠ABD=∠CBD=，
又A=，∴∠ADB=，∠CDB=，∠BCD=，
∴BC=BD=，在△BCD中，由余弦定理可得CD2=BD2＋BC2－2BD·BCcos ∠CBD，即CD2=2＋2－2×=4－2=(－1)2，
解得CD=－1.
跟踪训练6
课时作业
1.(2025·甘肃白银模拟)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=2，且sin 2A＋sin (C－B)=asin Ccos B.
(1)求A.
解：(1)∵a=2，∴sin 2A=asin Ccos B－sin (C－B)=
2sin Ccos B－sin Ccos B＋sin Bcos C=sin (B＋C)=sin (π－A)=sin A，即2sin Acos A=sin A.又A∈(0， π)，则sin A≠0，∴cos A=.∵A∈(0， π)，∴A=.
(2)求△ABC面积的最大值.
(2)解：由余弦定理可得a2=b2＋c2－2bccos A.
∴4=b2＋c2－bc≥2bc－bc=bc，当且仅当b=c=2时取等号，
∴△ABC的面积S=bcsin A≤×4sin ，即△ABC面积的最大值为.
(3)证明：b＋c≤4.
(3)证明：由余弦定理得a2=b2＋c2－bc=(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2.即b＋c≤2a=4，当且仅当b=c=2时取等号.
2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m=，n=，f(A)=m·n，A∈.
(1)求函数f(A)的最小值；
解：(1)f(A)=m·n=4sin A·coscos A＋sin·2cos 2A=sin 2A－cos 2A=2sin，
∵A∈，∴2A－∈，∴当2A－，即A=时，f(A)有最小值－.
(2)若f(A)=0，a=，sin B＋sin C=，求△ABC的面积.
(2)∵f(A)=0，∴2sin=0，∴2A－=kπ，k∈Z，∵A∈，∴A=，∵=2，∴sin B=，sin C=.又sin B＋sin C=，∴，得b＋c=，又a2=b2＋c2－2bccos A，∴bc=3，∴S△ABC=bcsin A=×3×.
3.(2025·广东深圳开学考试)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sin.
(1)求角A；
解：(1)∵2sin ，∴=cos Csin C，又=cos Csin C，∴sin B＋sin C=sin Acos Csin Asin C，sin Acos C＋cos Asin C＋sin C= sin Acos Csin Asin C，∴cos Asin C＋sin C=sin Asin C，cos A＋1=sin A，即sin ，又A∈(0，π)，则－＜A－，∴A－，则A=.
(2)若b=1，△ABC为锐角三角形，求c的取值范围.
(2)由(1)知A=，由正弦定理得，
∴c=·，∵＜B＜，
∴tan B＞，∴0＜，∴·＜2，则c的取值范围是.
4.如图所示，P为△ABC内一点，记∠BAP=α，∠ABP=β，且α，β在△ABP中的对边分别记为m，n，(2m＋n)sin β=ncos β，α，β∈.
(1)求∠APB；
解：(1)∵(2m＋n)sin β=ncos β，∴(2sin α＋sin β)sin β=sin βcos β，∵sin β≠0.
∴2sin α＋sin β=cos β.即sin α=cos β－sin β，∴sin α=sin.∵α，β∈，则－β∈，∴α=－β，则α＋β=.∴∠APB=π－(α＋β)=.
(2)若AB=2，BP=2，PC=，记∠APC=θ，求线段AP的长和△ABC面积的最大值.
(2)在△APB中，AB2=AP2＋BP2－2AP·BP·cos ∠APB，即12=AP2＋4＋2AP，又AP＞0，∴AP=2.∵∠APB＋∠BPC＋∠APC=2π，∴∠BPC=2π－－θ=－θ.S△ABC=S△APB＋S△APC＋S△BPC=×AP×BP×sin ∠APB×AP×CP×sin ∠APC×BP×CP×sin ∠BPC=×2×2×sin×2××sin θ×2××sin3sin，0＜θ＜π.又－＜θ－，∴当θ－，即θ=时，△ABC的面积有最大值3.(共45张PPT)
第四章
三角函数与解三角形
第1节　任意角和弧度制、三角函数的概念
课标解读　1.了解任意角和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 象限角及终边相同的角
考点二 弧度制及其应用
考点三 三角函数的定义及应用
1.[教材改编]角－863°的终边所在的象限是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】 －863°=－2×360°－143°，角－863°和角－143°的终边相同，故角－863°的终边在第三象限.
2.[教材改编]图内一条弦的长度等于该圆半径，这条弦所对的圆心角等于 　弧度.
【解析】 由题意，这条弦与圆的相应两条半径组成等边三角形，所对的圆心角是60°，即弧度.
C
3.[教材改编]已知sin A＞0，且tan A＜0，则角A的终边在第　 　象限.
【解析】 ∵sin A＞0，∴角A的终边在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上.又tan A＜0，∴角A的终边在第二象限.
4.[教材改编]已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ=　 　.
【解析】 由三角函数的定义可得sin θ＋cos θ==－.
二
－
5. (忽视扇形公式中的α是弧度制)已知60°的圆心角所对的弧长为2，则该弧所
在圆的半径为 　.
【解析】 60°=，由l=|α|r可得，r=.
6. (忽视对参数的讨论而致错)已知角α的终边与单位圆的交点为P，
则sin α=　 　.
【解析】 由题意得，|OP|==1(O为坐标原点)，∴m=±，即sin α=±.
易错题
易错题
±
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的　 　旋转所形成的图形.
(2)分
类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=_________________
　 　.
端点
{β|β=α＋k·360°，
k∈Z}
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：长度等于　 　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|=(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°= rad；1 rad=
弧长公式 弧长l=　 　
扇形面积公式 S= 　= 　
°
|α|r
lr
|α|r2
半径长
3.任意角的三角函数
(1)单位圆定义法
如图所示，设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α=　 　，cos
α=　 　，tan α= 　(x≠0).
(2)终边上任意点定义法
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，点P与原点O的距离r=|OP|=，则sin
α= 　，cos α= 　，tan α= 　(x≠0).
y
x
(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
[优化拓展]
1.掌握5个常用结论：
(1)若α∈，则tan α＞α＞sin α.
(2)α，β终边相同 β=α＋2kπ，k∈Z.
(3)α，β终边关于x轴对称 β=－α＋2kπ，k∈Z.
(4)α，β终边关于y轴对称 β=π－α＋2kπ，k∈Z.
(5)α，β终边关于原点对称 β=π＋α＋2kπ，k∈Z.
2.解题时注意以下几个易错点：
(1)角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.
(2)已知三角函数值的符号确定角的终边位置，不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
(3)在利用定义求三角函数值时，若角α的终边上点的坐标是以参数形式给出的，要根据实际情况对参数进行分类讨论.
(4)解题时注意题目中的隐含条件，把取值范围定在最小的区间，才能准确得出α所在的象限或参数的值.
考点一　象限角及终边相同的角
(1)(2025·天津红桥模拟)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是
(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 当k=2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤的终边一样，当k=2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋的终边一样.
例 1
C
(2)(多选)下列命题中，正确的有(　 　)
A. 终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α=2kπ，k∈Z}
B. 终边落在y轴上的角的集合为{α|α=90°＋kπ，k∈Z}
C. 第三象限角的集合为
D. 在－720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
【解析】 A显然正确；对于B，终边落在y轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，B错误；对于C，第三象限角的集合为，C错误；对于D，所有与45°角终边相同的角可表示为β=45°＋k·360°，k∈，令－720°≤45°＋k·360°＜0°(k∈)，解得－≤k＜－(k∈)，从而当k=－2时，β=－675°；当k=－1时，β=－315°，D正确.
AD
1.角α(0≤α＜2π)与角2kπ＋α(k∈Z)的终边相同.
2.要求角β的终边所在的象限，只需将角β表示成2kπ＋α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式，则角α的终边所在的象限即为角β的终边所在的象限.
(1)(多选)下列四个命题中，正确的有(　 　)
A. －是第二象限角
B. 是第三象限角
C. －400°是第四象限角
D. －315°是第一象限角
【解析】 －是第三象限角，A错误；=π＋，∴是第三象限角，B正确；－400°=－360°－40°，∴－400°是第四象限角，C正确；－315°=－360°＋45°，∴－315°是第一象限角，D正确.
跟踪训练1
BCD
(2)(人A必修一P176习题第7题改编)已知α为第三象限角，则是第　 　象限角，2α是　 　的角.
【解析】 ∵α是第三象限角，即2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，∴kπ＋＜kπ＋，k∈Z，4kπ＋2π＜2α＜4kπ＋3π，k∈Z.当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角，而2α的终边落在第一、第二象限或y轴的非负半轴上.
二、四
第一、第二象限或y轴的非负半轴上
考点二　弧度制及其应用
已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解：(1)由已知，得l＋2R=20，∴S=lR=(20－2R)·R=10R－R2=－(R－5)2＋25，∴当R=5 cm时，S取得最大值，此时l=10 cm，α=2.
(2)若α=，R=2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.
(2)设弓形面积为S弓形，由题意知l= cm，∴S弓形=×2－×22×sincm2.
例 2
应用弧度制解决问题的注意点：
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题来解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
(1)(2025·广东深圳模拟)一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形的圆心角的弧度数为
(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D. 2
【解析】 设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则解得
跟踪训练2
C
(2)(人A必修一P176习题第10题改编)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长AB与弧长之比为(　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 设扇形的半径为r，如图所示，取AB的中点D，连接OD，圆心角α为，则∠AOD=，∴弦长AB=2AD=2rsin r.又弧长r，∴弦长AB与弧长之比为.
C
考点三　三角函数的定义及应用
(1)(2025·安徽马鞍山一模)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线y=－x对称.若sin α=，则cos β=(　 　)
A. B. － C. D. －
【解析】 若角α的终边在第一象限，设终边上一点P(x， y)，则P关于y=－x的对称点P'(－y，－x)在β终边上，此时cos β==－sin α=－；若角α的终边在第二象限，设终边上一点Q(x， y)，则Q关于y=－x的对称点Q'(－y，－x)在β终边上，此时cos β==－sin α=－.
例 3
考向1 三角函数的定义
B
(2)(多选)已知角θ的终边经过点(2，－)，且角θ与角α的终边关于原点对称，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. sin θ=－
B. α为钝角
C. cos α=－
D. 点(tan θ，sin α)在第二象限
【解析】 ∵角θ的终边经过点(2，－)，∴sin θ=－，A正确；∵角θ与角α的终边关于原点对称，∴角α的终边经过点(－2，)，∴α为第二象限角，但不一定为钝角，B错误；cos α=－，C正确；∵tan θ=－＜0，sin α=＞0，∴点(tan θ，sin α)在第二象限，D正确.
ACD
1.已知角α的终边上的一点P的坐标，先求|OP|(O为坐标原点)，再用三角函数的定义求三角函数值.
2.已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标.
如果θ是第三象限角，则(　 　)
A. sin 2θ＞0，且tan 2θ＞0
B. sin ＞0，且tan 2θ＞0
C. sin 2θ＞0，且tan ＜0
D. sin ＞0，且tan ＞0
【解析】 ∵θ是第三象限角，则2kπ＋π＜θ＜＋2kπ，k∈Z，∴kπ＋＋kπ，k∈Z，∴是第二或第四象限角，则sin ＞0或sin ＜0，tan ＜0，B，D错误.又4kπ＋2π＜2θ＜3π＋4kπ，k∈Z，∴2θ的终边在第一、第二象限或在y轴的非负半轴上，则sin 2θ＞0，当2θ的终边在y轴的非负半轴上时，tan 2θ无意义，A错误.
例 4
考向2 三角函数值符号的判断
C
要判定三角函数值的符号，关键是要确定三角函数中的角是第几象限角，再根据三角函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.
(1)(2025·河北保定一模)设α是第二象限角，P(x， 1)为其终边上一点，且cos α=x，则tan α=
(　 　)
A. B. － C. D. －
【解析】 由题意得，cos α=x，∵x≠0，∴=2，x=±，又α是第二象限角，∴x=－，∴tan α==－.
(2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　 　)
A. 小于0 B. 大于0 C. 等于0 D. 不存在
【解析】 ∵＜2＜3＜π＜4＜，∴sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，∴sin 2·cos 3·tan 4＜0.
跟踪训练3
D
A
(3)(2025·河南部分学校大联考)已知在平面直角坐标系中，角α(0≤α＜2π)的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点P为角α终边上的一点，则α=(　 )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意可知点P坐标为，tan α=，又角α是第一象限角，∴0＜α＜，∴α=.
D
课时作业
答案速对
第四章 对点练31　任意角和弧度制、三角函数的概念 题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B D D D A
题号 7 8 9 10 14 15
答案 D D BD BD C C
1.一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. － C. D. －
B
2.(2025·安徽黄山阶段练习)若=2，则α的终边位于(　 　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
B
3.(2025·内蒙古包头二模)已知角α的终边经过点P(－1， )，则(　 　)
A. cos α= B. tan α=－
C. sin α=－ D. cos α=－
D
4.若sin θ·cos θ＜0，＞0，则θ是(　 　)
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
D
5.若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　 　)
A.
B.
C.
D. (k∈Z)
D
6.(2025·河北衡水模拟)点P从(1， 0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为 (　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 点P运动的弧长所对圆心角的弧度数为，由三角函数定义可知点Q的坐标(x，y)满足x=cos =－，y=sin .
A
7.我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400千米，已知月球半径约为1 738千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为(取 π≈3.14)(　 　)
A. 1 069千米 B. 1 119千米
C. 2 138千米 D. 2 238千米
【解析】 ∵嫦娥五号绕月飞行半径为400＋1 738=2 138(千米)，∴嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为l=αr=×2 138≈×2 138≈2 238(千米).　
D
8.在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，规定：比值叫做α的正余混弦，记作sch α.若sch α=(0＜α＜π)，则tan α=
(　 　)
A. － B.
C. － D.
【解析】 由题意得sch α=(0＜α＜π)，∴25(y－x)2=x2＋y2，即24－5024=0，且y＞x，解得，∴tan α=.
D
9.(多选)(2025·江西赣州期中)已知α=，则(　 　)
A. α是第一象限角
B. tan α＞0
C. 与α终边相同的最大负角是－
D. 在(2π，4π)内与α终边相同的角只有1个
【解析】 对于A，B，=4π是第三象限角，tan α＞0，A错误，B正确；对于C，D，与α终边相同的角β=2kπ，k∈Z，取k=－1，得最大负角为－，C错误；取k=1可得β=π与α终边相同，D正确.
BD
10.(多选)(2025·北京昌平区质检)已知角α是第二象限角，则下列不等式中，一定成立的有(　 　)
A.sin＜0 B.tan＞0
C.sin＞cos D.
【解析】 由题设，2kπ＜α＜2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＜kπ，k∈Z，当k=2n，n∈Z时，2nπ＜2nπ，n∈Z，则角的终边在第一象限左上部分(不含边界)；当k=2n＋1，n∈Z时，2nπ＜2nπ，n∈Z，则角的终边在第三象限右下部分(不含边界)；∴角的终边在第一象限左上部分或第三象限右下部分(不含边界)；∴sin符号不确定，且与cos大小关系不确定，tan＞0，.B，D正确.
BD
11.(2025·上海阶段练习)已知α的顶点位于坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若α=3，则α是第　 　象限角.
【解析】 α=3=3×°≈171.89°，α是第二象限角.
二
12.(2025·福建漳州模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边
过点(3， －6)，则sin a＋cos α=　 　.
【解析】 已知角 α 的终边过点(3， －6)，则 x=3 ，y=－6 .计算半径 r==3 .利用三角函数定义：sin α==－， cos α=，∴sin α＋cos α=－=－.
－
13.若P(cos θ，sin θ)与Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ
值： 　 .
【解析】 由题意知，点P，Q都在单位圆上，且θ＋θ=π＋2kπ，k∈Z，∴θ=kπ，k∈Z.
14.(2025·安徽合肥模拟)已知a=，b=sin ，c=tan ，则(　 　)
A. c＜b＜a B. b＜c＜a C. b＜a＜c D. a＜b＜c
【解析】 如图所示，角x∈的终边与单位圆圆O交于点B，
单位圆与x轴正半轴交于点A，过点A作AD⊥x轴，交角x的终边于
点D，则B(cos x， sin x)，D(1， tan x)，则S△OAB=×1×sin x=
，扇形OAB的面积为x，S△OAD=×1×tan x=，由三者的
大小关系可知，，即sin x＜x＜tan x，x∈，∵0＜，
∴sin ＜tan ，即b＜a＜c.
C
15.如图所示为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧)，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为(　 　)
A. 14π B. 18π
C. 24π D. 30π
C
【解析】 由题意知，每段圆弧的圆心角均为，第一段圆弧长度为×1=，第二段圆弧长度为×(1＋1)=，第三段圆弧长度为×3=2π，第四段圆弧长度为×4=，第五段圆弧长度为×5=，第六段圆弧长度为×6=4π，第七段圆弧长度为×7=，第八段圆弧长度为×8=，故得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为2π4π=24π.
16.若角α的终边落在直线y=x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin αcos β＜0，
则cos αsin β=　 　.
【解析】 由角β的终边与单位圆交于点，得cos β=，又由sin αcos β＜0，知sin α＜0，∵角α的终边落在直线y=x上，∴角α只能是第三象限角.记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x＜0，y＜0)，又由y=x，得x=－，y=－，∴cos α=x=－.∵点在单位圆上，∴m2=1，解得m=±，∴sin β=±，∴cos αsin β=±.
±(共17张PPT)
拓展视野 万能公式及应用
能力训练
知识拓展
课时作业
内
容
索
引
万能公式
sin α=，cos α=，
tan α=.
注意：(1)上述三个公式统称为万能公式.(2)上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小了.
已知α，β∈(0，π)，tan，sin(α－β)=，则cos β= 　.
【解析】 ∵tan，∴sin α=，cos α=，∵α，β∈(0，π)，cos α＞0，∴α∈，∴α－β∈，∵sin(α－β)=＞0，∴α－β∈，∴cos(α－β)=，∴cos β=cos(－β)=cos(α－β－α)=cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α=.
例 1
(1)已知2cos 2α＋sin 2α=2且α≠kπ(k∈Z)，则tan α=(　 　)
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【解析】 由cos 2α=，sin 2α=
，∴2cos 2α＋sin 2α==2，即
=0，又α≠kπ(k∈Z)，可得tan α=.
(2)已知sin 2x=－＜x＜π，那么tan x=　 　.
【解析】 sin 2x==－，解得tan x=－，或tan x=－，又x∈，∴tan x∈(－1，0)，tan x=－.　
跟踪训练1
D
－
已知sin θ＋cos θ=，θ∈(0，π)，则tan θ的值为　 　.
【解析】 令tan=t，由万能公式，得，整理得3t2－5t－2=0，
解得t=2，或t=－.∵θ∈(0，π)，∴∈，∴tan =2，∴tan θ==－.
例 2
－
已知tan，tan αtan β=，求cos(α－β)的值.
解： cos(α＋β)==－，则有cos αcos β－sin αsin β=－①；又·，从而有7sin αsin β－13cos αcos β=0②，联立①②可得cos αcos β=，sin αsin β=，∴cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β=.
跟踪训练2
课时作业
答案速对
第四章 对点练40　万能公式及应用 题号 1 2 3 4 5
答案 A D A B B
1.已知tan( π＋α)=3，则cos=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
【解析】 tan(π＋α)=3 tan α=3，cos =sin 2α=.
A
2.已知第二象限角α满足tan α·tan ，则cos 2α=(　 　)
A. － B.
C. D. －
【解析】 ∵tan α·tan =tan α·，∴3tan 2α＋5tan α－2=0，解得tan α=－2，或tan α=(舍去)，∴cos 2α=cos 2α－sin 2α==－.
D
3.已知sin α=－，α∈，则tan 等于(　 　)
A. －2 B.
C. －或2 D. －2或
【解析】 ∵sin α=－，α∈，∴cos α=－，∴tan α=，∵α∈，∴∈，∴tan ＜0，tan α=，即 2tan 23tan －2=0， 解得 tan =－2，或 tan (舍去).
A
4.已知0＜a＜1，=1，则x的解的个数为(　 　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 无穷多个
【解析】 令a=tan ，α∈，则=sin α，=cos α，则=1转化为cos xα＋sin xα=1，又cos 2α＋sin 2α=1，∴x=2.
B
5.已知动直线l的方程为(1－a2)x＋2ay－3a2－3=0，a∈R，P(，1)，O为坐标原点，过点O作直线l的垂线，垂足为Q，则线段PQ长度的取值范围是(　 　)
A. (0，5] B. [1，5]
C. [5，＋∞) D. (0，3]
【解析】 由(1－a2)x＋2ay－3a2－3=0可得xy－3=0，令a=tan ，由万能公式可得cos θ=，sin θ=，∴直线l的方程为xcos θ＋ysin θ－3=0①， 由题意可知过原点与直线l垂直的直线方程是xsin θ－ycos θ=0②， ①2＋②2可得x2＋y2=9，即表示点Q的轨迹为圆心为(0，0)，半径为3的圆，于是线段PQ长度的取值范围是[r－PO，r＋PO]，∵|PO|=2，∴线段PQ长度的取值范围是[1， 5].
B
6. 已知α∈，tan α=－2，则sin(π＋2α)= 　.
【解析】 sin(π＋2α)=－sin 2α=.
7.已知cos 2α=－，且角2α是第二象限角，则tan α= 　.
【解析】 由cos 2α==－，解得tan 2α=3，∵2α是第二象限角，则 2kπ＜2α＜π＋2kπ(k∈Z)，∴kπ＜α＜kπ(k∈Z)，则tan α＞0，故tan α=.
8. “无字证明”就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请观察图，根据半圆中所给出的量，补全三角恒等式tan θ=，第一个括号为 　，第二个括号为　 　.
1＋cos 2θ
1－cos 2θ
【解析】 如图所示，CM=sin 2θ，
在直角三角形AMC中，
tan θ=，
在直角三角形CMB中，
tan θ=.(共46张PPT)
第8节　解三角形的实际应用
课标解读　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际
问题.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 测量距离问题
考点二 测量高度问题
考点三 测量角度问题
1.[教材改编]如图所示，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术
人员已测得隧道两端点A，B到点C的距离AC=BC=1 km，且C=120°，
则A，B两点间的距离为 　 km.
【解析】 在△ABC中，易得A=30°，由正弦定理得，则AB= km.
2.[教材改编]如图所示，山脚下有一座小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角
为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB=20 m，则山高
CD=　 　 m.
【解析】 如图所示，过点C作CE∥DB，与BA的延长线交于点E，
则∠ACE=45°，∠DBC=60°.设CD=x m，则AE=(x－20)m.∵tan 60°=，∴CE=BD= m.在△AEC中，AE=CE，故x－20=，解得x=10(3＋).
10(3＋)
3.[教材改编]如图所示，船A在灯塔C北偏东80°方向上，且A，C间的距离为2 km，船B在灯塔C北偏西40°方向上，且A，B两船间的距离为3 km，则B，C间的距离为_______ 　
km.
【解析】 由题意知∠ACB=80°＋40°=120°，设BC=x km，则由余弦定理知9=x2＋4－4xcos 120°，∵x＞0，∴x=－1.　　　　　　　　　　　　　　
－1
4.[教材改编]如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　 　)
A.(30＋30) m B.(15＋30) m
C.(30＋15) m D.(15＋15) m
【解析】 在△ABP中，∠APB=45°－30°=15°，∴sin ∠APB=sin 15°=，由正弦定理得PB==30() m，∴该树的高度为30()sin 45°=(30＋30) m.
A
6. (仰角、俯角的概念不清致误)若某人在点A处测得塔顶
端的仰角为30°，此人往塔的方向走了80米到达点B处，测得塔顶
端的仰角为45°，则塔的高度约为　 　米(忽略人的身高，结果
保留整数，≈1.732).
【解析】 如图所示，设CD为塔，由题知AB=80(米).设CD=h(米)，则BC=h(米)，则由已知得(80＋h)×tan 30°=h，解得h=40(＋1)≈109.
易错题
5. (混淆方向角与方位角)点A在点B的南偏西20°方向上，若以点B为基点，则点A的方位角是　 　.
【解析】 根据方位角的概念可得点A的方位角为200°.
易错题
200°
109
1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的叫仰角，目标视线在水平视线下方的叫俯角(如图1所示).
图1

2.方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如点B的方位角为α(如图2所示).
图2
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.
4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.
[优化拓展]
1.准确理解各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系混淆.
2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各个量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.
考点一　测量距离问题
(2025·山东临沂模拟)在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向北偏西－θ方向发射炮弹，B向北偏东－θ的方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两枚炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A改向北偏西方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M，则B炮台与弹着点M的距离为(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 7公里 B. 8公里
C. 9公里 D. 10公里
例 1
D
【解析】 设炮弹第一次命中点为C，根据题意画出示意图，如图所示.
由题意知AC=BC=18(公里)，AB=14(公里)，AM=18(公里)，过点C作CD⊥AB，垂足为D. 在Rt△ACD中，cos ∠CAB=cos θ=，则cos ，在△ABM中，
由余弦定理得BM==10，即B炮台与弹着点M的距离为10公里.
求解距离问题的2个注意事项：
(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.
(1)已知一个足球场地呈南北走向.在一次进攻时，某运动员从A处开始带球沿正北方向行进16米到达B处，再转向北偏东60°方向行进了24米到达C处，然后射门，则A，C两点的距离为(　 　)
A. 8米 B. 8米
C. 32米 D. 8米
【解析】 如图所示，
根据题意可知AB=16，BC=24，∠ABC=120°.根据余弦定理可得AC2=
AB2＋BC2－2AB·BC·cos 120°=162＋242－2×16×24×，解得
AC=8(米).
跟踪训练1
D
(2)(2026·福建厦门模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40 km的速度沿东偏南50°方向直线航行，30 min后到达B处. 在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　 　)
A. 10 km B. 10 km
C. 20 km D. 20 km
【解析】 依题意，如图所示，在△ABC中，
∠BAC=50°－20°=30°，∠ABC=40°＋65°=105°，
则∠ACB=45°，AB=40×=20 km，由正弦定理得
，即，因此BC==10 km，
∴B，C两点间的距离是10 km.
A
考点二　测量高度问题
(2026·江西上饶调研)矗立在上饶市市民公园(如图1所示)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方. 某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共线的三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为，且AB=BC=20 m，如图2所示，则四门通天的高度为
(　 　)
A. 15 m B. 10 m
C. 6 m D. 5 m
例 2
图1 图2
B
【解析】 设OP=h，则OA=h，OB=h，OC=h，在△ABO中，由余弦定理得cos ∠ABO=，在△BCO中，由余弦定理得cos ∠OBC=，∵∠ABO＋∠OBC=π，∴=0，即800－h2=0，解得h=10，∴四门通天的高度为10 m.
求解高度问题的3个注意事项：
(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形：一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来解题思路会更清晰.
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
(1)学校兴趣小组为了测量市民活动中心广场一圆柱状建筑物的高度，在地面上选取相距120米的两点M，N，若在M，N处分别测得圆柱状建筑物的最大仰角为60°和30°，则该圆柱状建筑物的高度约为(　 　)
A. 60米
B. 60米
C. 30米
D. 30米
【解析】 设圆柱状建筑物的高度为h米，则有=120，即h=120，∴h=60.
跟踪训练2
B
(2)某学生为测量某酒店的高度，在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D，如图所示，现测得∠BCD=45°，∠BDC=105°，CD=100米，在点C处测得酒店顶端A的仰角∠ACB=28°，则酒店的高度约为(参考数据：≈1.4，≈2.4，tan 28°≈0.53)(　 　)
A. 91米 B. 101米
C. 111米 D. 121米
【解析】 由题知∠CBD=30°，在△BCD中，，∵sin ∠BDC=sin 105°=sin(60°＋45°)=sin 60°·cos 45°＋cos 60°sin 45°=，∴BC==50()，AB=BCtan ∠ACB=50()×tan 28°≈101(米).
B
考点三　测量角度问题
已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘
走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方
向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
参考数据：sin 38°≈，sin 22°≈.
解：如图所示，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私
艇的速度为每小时x海里，则BC=0.5x，AC=5，依题意，AB=3，∠BAC=180°
－38°－22°=120°，由余弦定理可得BC2=AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
∴BC2=49，∴BC=0.5x=7，解得x=14.又由正弦定理得sin ∠ABC=
，∴∠ABC=38°，又∠BAD=38°，∴BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.
例 3
解三角形应用问题的要点：
(1)从实际问题中抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素.
(2)利用正弦定理、余弦定理解三角形，得到实际问题的解.
(1)某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，如图所示，CP为土坡顶部一根旗杆，在坡脚A处测得∠PAC=15°，沿土坡向坡顶前进25 m后到达D处，测得∠PDC=45°.已知旗杆CP=10 m，PB⊥AB，设土坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ=(　 　)
A. －1
B. －1
C.
D.
【解析】 在△ADP中，由正弦定理可得AP==25，在Rt△ABP中，易知AB=25cos(θ＋15°)，PB=25sin(θ＋15°)，则tan θ=，整理可得cos θ=sin 15°=.
跟踪训练3
D
(2)(多选)一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处的(　 　)
A. 北偏东75°方向 B. 南偏东15°方向
C. 东北方向 D. 东南方向
【解析】 画出示意图如图所示，客船半小时航行的路程为32×=16 n mile，∴AB=16 n mile.又BS=8 n mile，∠BAS=30°，∴，∴sin ∠ASB=，∴∠ASB=45°，或∠ASB=135°. 当船在B处时，∠ASB=45°，∠B'BS=75°；当船在B'处时，∠ASB'=135°，∠AB'S=15°.综上，灯塔S在B处的北偏东75°方向或南偏东15°方向.
AB
课时作业
答案速对
第四章 对点练39　解三角形的实际应用 题号 1 2 3 4 5
答案 D C B A B
题号 6 7 8 13 14
答案 A ACD AC B C
1.如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(　 　)
A. 北偏东10°方向上
B. 北偏西10°方向上
C. 南偏东80°方向上
D. 南偏西80°方向上
【解析】 由条件及题图可知，△ABC为等腰三角形，∴∠BAC=∠ABC=40°，又∠BCD=60°，∴∠CBD=30°，∴∠DBA=10°，∴灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.
D
2.如图所示，在高速公路建设中，要确定隧道AB的长度，工程人员测
得隧道两端的A，B两点到C点的距离分别为AC=3 km，BC=4 km，且
∠ACB=60°，则隧道AB的长度为(　 　)
A. 3 km B. 4 km
C. km D. km
【解析】 由余弦定理得AB== km.
C
3.(2025·江西宜春模拟)如图所示，一架飞机从A地飞往B
地，两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云
层，从A处起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°
角的方向飞行，飞行到途中C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B处.这样飞机的飞行路程比原来的路程(500 km)大约多飞了(sin 12°≈0.21，sin 18°≈0.31)(　 　)
A. 10 km B. 20 km C. 30 km D. 40 km
【解析】 在△ABC中，由∠A=12°，∠B=18°，得∠C=150°，由正弦定理得，∴≈≈，∴AC≈310 km，BC≈210 km，∴AC＋BC－AB≈20 km.
B
4.如图所示，在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为(　 　)
A. m
B. m
C. m
D. m
【解析】 设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点B(图略)，则易得AB=，BD=AB·tan 30°=·tan 30°= m，∴CD=BC－BD=200－ m.
A
5.《墨经·经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射.下者之人也高，高者之人也下.足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成景于下.在远近有端，与于光，故景库内也.”这对小孔成像有了第一次的描述.如图所示为一次小孔成像实验，已知物距∶像距=6∶1，OA=OB=12，cos ∠A'OB'=，则像高为(　 　)
A. 1 B. C. D.
【解析】 由cos ∠A'OB'=，则cos ∠AOB=，又OA=OB=12，
则AB2=OA2＋OB2－2OA·OB·=81，即AB=9，又物距∶像距=
6∶1，即A'B'=·AB=，即像高为.
B
6.(2025·江西联考)《孔雀东南飞》中写道“十三能织素，十四学裁衣，十
五弹箜篌，十六诵诗书”.箜篌历史悠久、源远流长，其音域宽广、音色柔
美清澈，表现力强.如图所示为箜篌的一种形制，对其进行绘制，发现其近
似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线AC=
99.9 cm，BC=100.1 cm，AB=180 cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆
心角的余弦值为(　 　)
0.62 B. 0.56
C. －0.56 D. －0.62
【解析】 如图所示，由题意可知∠OAC=∠OBC=90°，∴∠AOB＋∠ACB=180°.
∵切线AC=99.9 cm，BC=100.1 cm，根据切线长定理，不妨取AC=BC=100 cm，又AB=180 cm，由余弦定理的推论得cos ∠ACB==－0.62，∴cos ∠AOB=cos (180°－∠ACB)=－cos ∠ACB=0.62.
A
7.(多选)如图所示，为了测量障碍物两侧A，B两物体之间的距离，一定能根据以下数据确定AB长度的有(　 　)
A. a，b，γ
B. α，β，γ
C. a，β，γ
D. α，β，b
【解析】 对于A，由余弦定理可知AB2=a2＋b2－2ab·cos γ，可求得AB的长度，A正确；对于B，只知三个内角的大小，此时AB的长度不确定，B错误；对于C，由正弦定理可知，则AB=，C正确；对于D，由正弦定理可知，则AB=，D正确.
ACD
8.(多选)在学习了三角形的知识后，为了锻炼自身的实践能力，某同学进行了一次实地测量活动.他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点A处测得河对岸点B位于点A的南偏西45°方向上，由于受到地势的限制，他又选了点C，D，E，使点B，C，D共线，点B位于点D的正西方向上，点C位于点D的正东方向上，测得CD=CE=100 m，∠BAD=75°，∠AEC=120°，AE=200 m，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. AD=200 m
B. △ADC的面积为1 000 m2
C. AB=100 m
D. 点A在点C的北偏西30°方向上
AC
【解析】 对于A，∵∠BAD=75°，点B位于点A的南偏西45°方向上，∴B=45°，∴∠ADB=60°，∠ADC=120°，又∠AEC=120°，CD=CE=100 m，AE=200 m，∴AC2=AE2＋CE2－2AE·CEcos 120°=CD2＋AD2－2AD·CD·cos 120°，∴AD=200 m，A正确；对于B，△ADC的面积为·AD·CD·sin ∠ADC=×200×100×=5 000 m2，B错误；对于C，在△ABD中，由正弦定理，得，∴AB==100 m，C正确；对于D，过点A作AG⊥BC于点G，易知∠DAG=30°，∴∠CAG＞30°，D错误.
9.如图所示，在救灾现场，搜救人员从A处出发沿正北方向行进x米到
达B处，探测到一个生命迹象，然后从B处沿南偏东75°方向行进30米
到达C处，探测到另一个生命迹象，如果C处恰好在A处的北偏东60°
方向上，那么x=　 　.
【解析】 依题意得C=180°－A－B=45°，由正弦定理，得，且BC=30，∴x=AB=10.
10
10.海轮“和谐号”从A处以21海里/时的速度出发，海轮“奋斗号”在A处北偏东45°方向且与A相距10海里的C处沿南偏东75°的方向以9海里/时的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为 　小时.
【解析】 设相遇所需的最短时间为x小时，且在B处相遇，如图所示.由已知得，在△ABC中，AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理得(21x)2=102＋(9x)2－2×10·9x·cos 120°，整理得36x2－9x－10=0，解得x=－(舍去)，或x=，∴相遇所需的最短时间为小时.
11.为了测出图中草坪边缘A，B两点间的距离，找到草坪边缘的
另外两个点C与D(A，B，C，D四点共面)，测得AC=1.6 m，
CD=2 m，BD=1.8 m，已知cos ∠BDC=－，tan ∠ACD=3.
(1)求△ACD的面积；
解：(1)如图所示，∵tan ∠ACD=3，可得
sin ∠ACD=，∴S△ACD=AC·CD·sin ∠ACD= m2.
(2)求A，B两点间的距离.
(2)∵tan ∠ACD=3，∴cos ∠ACD=，∴AD2=1.62＋22－2×1.6×2×=5.76，则AD=2.4，
又cos ∠ADC=，∴sin ∠ADC=
，又cos ∠BDC=－，∴∠ADB=，∴AB==3 m.
12.汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，
该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首.如图所示，某测
绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度AB，选取了与塔底B在同一水平面
内的三个测量基点C，D，E，现测得∠BCD=30°，∠BDC=70°，
∠BED=120°，BE=17.2 m，DE=10.32 m，在点C测得塔顶A的仰角为62°.
(1)求BD；
参考数据：tan 62°≈1.88，sin 70°≈0.94，=12.04.
解：(1)BD2=BE2＋DE2－2BE·DE·cos ∠BED，则BD=
=
=2=2×12.04=24.08 m.
(2)求塔高AB(结果精确到1 m).
(2)在△BCD中，由正弦定理得，则BC=≈45.27 m，在Rt△ABC中，∠ACB=62°，∴AB=BC·tan ∠ACB≈45.27×1.88=85.107 6≈85 m，故塔高AB为85 m.
13.如图所示，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方
向600 km的A处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方
向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该
码头将受到热带风暴影响的时间为(　 　)
A. 14 h　 　B. 15 h　　
C. 16 h　　 D. 17 h
【解析】 设t h后热带风暴中心到达点B位置，在△OAB中，OA=600 km，AB=20t km，∠OAB=45°，由余弦定理得OB2=6002＋400t2－2×20t×600×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0，解得≤t≤，∴该码头将受到热带风暴影响的时间为=15 h.
B
14.(2025·四川内江模拟)位于某市的观星台相当于一个测量日影的圭表.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.如图所示为根据该市的地理位置设计的圭表的示意图，已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)约为32.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)约为79.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为14 m，则表高(即AC的长)约为(　 　)
A. 9.27 m
B. 9.33 m
C. 9.45 m
D. 9.51 m
C
【解析】 由题意得，∠ABC=32.5°，∠ADC=79.5°，DB=14，设表高AC=h，则由题知，tan ∠ABC=.tan ∠ADC=，∴BC=，CD=. ∵tan 32.5°≈，tan 79.5°≈，DB=14，∴h－h=14，解得h=×14==9.45，故表高(即AC的长)约为9.45 m.
15.游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线路1是从A
沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿
直线步行到C.现有甲、乙2位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处.经测量，AB=1 040 m，BC=500 m，则
sin ∠BAC等于 　.
【解析】 依题意，设乙的速度为x m/s，则甲的速度为x m/s，∵AB=1 040 m，BC=500 m，∴，解得AC=1 260 m.在△ABC中，由余弦定理，得cos ∠BAC=，∴sin ∠BAC=.
16.天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界市永定区大庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原的余脉.为了测量天门山的海拔，某人站在海拔600米的点A处，遥控无人机从点A起飞，垂直向上飞行400米到达点B处，测得天门山的最高点C处的仰角为45°，又遥控无人机从点B处移动到点D处(BD平行于地平面)，已知B与D之间的距离为518米，从点D处测得天门山的最高点C处的仰角为α(tan α=2).
(1)设平面β过BD且平行于地平面，点C到平面β的距离为h米，求BC与CD的长(用h表示)；
解：(1)如图所示，过点C作CO⊥β，垂足为O，连接OB，OD，则CO=h
(米)，∠CBO=45°，∠CDO=α.在Rt△COB中，BC=h(米).
在Rt△COD中，CD=(米)，∵tan α=2，∴sin α=，∴CD=(米).
(2)已知cos ∠BCD=，求天门山的海拔.
(2)在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2＋CD2－2BC·CDcos ∠BCD，由(1)得5182=2h2h2－h2·，整理得5182=h2，∴h=518，∴天门山的海拔为600＋400＋518=1 518(米).(共39张PPT)
第4节　简单的三角恒等变换
课标解读　1.会根据相关公式进行化简和求值.
2.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 三角函数式的化简
考点二 三角函数求值问题
考点三 三角恒等变换的综合应用
1.[教材改编]cos 75°－sin 75°的值是　 　.
【解析】 原式=2×=
2(sin 30°cos 75°－cos 30°sin 75°)=2sin(30°－75°)=
2sin(－45°)=－.
2.[教材改编]已知f(x)=sin2x－(x∈R)，则f(x)的最小正周期是　 　.
【解析】 f(x)=sin2x－=－，故f(x)的最小正周期T==π.
3.[教材改编]若cos α=，α∈(0，π)，则cos的值为 　.
【解析】 由α∈(0，π)，得∈，∴cos＞0，∴cos.
－
π
4. (公式的结构套用错误)(cos 15°＋sin 15°)的值为 　.
【解析】 (cos 15°＋sin 15°)=sin(45°＋15°)=sin 60°=.
5. (已知三角函数值求角时范围不清致误)已知α，β均为锐角，且tan α=7，tan
β=，则α＋β= 　.
【解析】 tan(α＋β)==－1，∵α，β均为锐角，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β=.
6. (asin α＋bcos α=sin(α＋φ)中φ的值确定错误)sin x－cos x=2sin(x
－φ)中的φ=　 　 .
【解析】 sin x－cos x=2×，则cos φ=，sin φ=，∴φ=2kπ＋，k∈Z.
易错题
易错题
易错题
2kπ＋，k∈Z
1.半角公式
(1)公式：sin=±.
(2)公式：cos=±.
(3)公式：tan=±.
(符号由角的范围确定)
2.常用的部分三角公式
(1)1－cos α=　 　，
1＋cos α=　 　(升幂公式).
(2)1±sin α= 　(升幂公式).
(3)sin α=，cos α= 　，tan α= 　(万能公式).
(4)asin α＋bcos α= 　，其中sin φ=，cos φ=(辅助角公式).
2sin2
2cos2
sin(α＋φ)
[优化拓展]
三角恒等变换的基本技巧：
(1)变换函数名称：使用诱导公式.
(2)升幂、降幂：使用倍角公式.
(3)常数代换：如1=sin2α＋cos2α=tan.
(4)变换角：使用角的代数变换、各类三角函数公式.
考点一　三角函数式的化简
(1)化简：·；
解：(1)原式=tan (90°－2α)···.
例 1
(2)已知α∈(0， π)，化简：
.
(2)∵α∈(0， π)，∴∈，
∴原式=
=
==cos α.
三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
(1)化简：= 　.
【解析】 原式=cos 2x
(2)已知＜α＜2π，化简=　 　.
【解析】 ∵＜α＜2π，∴＜π，∴cos α＞0，cos ＜0，则=－cos .
跟踪训练1
cos 2x
－cos
考点二　三角函数求值问题
(1)；
解：(1)原式==－=
－=－1.
(2)sin 50°(1＋tan 10°).
(2)原式=sin 50°=sin 50°·=sin 50°·=1.
例 2
考向1 给角求值
　(1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α=，则sin=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
【解析】 方法一　∵α为锐角，也为锐角，∴由半角公式得sin.
方法二　在如图所示的黄金三角形中，由三角形相似，得，
即x2＋x－1=0，解得x=(负值已舍去).由余弦定理得cos 72°
=，cos 36°=，∴α=36°，则sin =sin 18°
=cos 72°=.
例 3
考向2 给值(式)求值
D
(2)已知sin，则sin 2α=(　 　)
A. － B.
C. ± D. －
【解析】 方法一　∵sin，∴sin αcos＋cos αsin，∴sin α＋cos α=，∴sin α＋cos α=，∴(sin α＋cos α)2=，∴sin2α＋2sin αcos α＋cos2α=，即1＋2sin αcos α=，∴sin 2α=－.
方法二　sin 2α=－cos=－=2sin2－1=2×－1=－.
A
(2025·江西九江二模)已知α，β∈，cos (α－β)=，tan αtan β=，则α＋β=(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 ∵cos (α－β)=，tan αtan β=，
∴
解得∴cos (α＋β)=cos αcos β－sin αsin β=，又α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β=.
例 4
考向3 给值求角
A
1.给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.
2.给值(角)求值问题的一般步骤：
(1)化简条件式子或待求式子；
(2)观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.
(1)已知sin θ＋sin=1，则sin=(　 　)
A. － B. － C. D.
【解析】 ∵sin θ＋sin =sin θ＋sin θ－cos θ=sin θ－cos θ=sin =1，
∴sin ，故sin =sin =
－sin =－.
(2)(2025·湖北十堰三模)已知2sin αcos α=cos 2β，cos 2α=cos 2，则tan (α－β)=(　 　)
A. 1 B. 2 C. D.
【解析】 ∵2sin αcos α=cos 2β，∴sin 2α=cos 2β=sin ，∵cos 2α=cos 2，∴，故cos 2α=cos ，∴2α=2β＋＋2kπ(k∈Z)，即α－β=＋kπ(k∈Z)，故tan (α－β)=1.
跟踪训练2
B
A
考点三　三角恒等变换的综合应用
已知函数f(x)=sin·cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
解：(1)∵f(x)=sincossin=－sin，易得sin∈，
∴－sin∈，∴函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
例 5
(2)若cos θ=，θ∈，求f的值.
(2)∵cos θ=，θ∈，sin θ=－=－，∴sin 2θ=2sin θcos θ=－，cos 2θ=cos2θ－sin2θ=，∴f=－sin=－sin=－(cos 2θ－sin 2θ)=.
1.进行三角恒等变换要抓住变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系，注意公式的逆用和变形使用.
2.形如y=asin x＋bcos x化为y=·sin (x＋φ)，可进一步研究函数的性质.
已知f(x)=sin＋2sincos.
(1)求f的值；
解：(1)由题意得f(x)=sin＋
2sincos=
sin－2sincos=
sin－2sincos=
sinsin=
sin 2xcos－cos 2xsincos 2x=
sin 2x＋cos 2x=sin，
故f=sin=0.
跟踪训练3
(2)若锐角α满足f(α)=，求sin 2α的值.
(2)∵α∈，∴2α＋∈，
∵f(α)=，∴f(α)=sin，
∵sin，∴2α＋∈，
∴cos=－=－，
∴sin 2α=sin=sincos－cossin.
课时作业
答案速对
第四章 对点练34　简单的三角恒等变换 题号 1 2 3 4 5
答案 D A D A C
题号 6 7 8 13 14
答案 B BD BC B BCD
1.已知tan α=，则=(　 　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. －2 B. －
C. D. 2
D
2.(2025·宁波模拟)若α为锐角，sin α=，则sin =(　 　)
A. B.
C. D.
A
3.已知第二象限角α满足sin(π＋α)=－，则sin 2β－2sin(α＋β)cos(α－β)的值为(　 　)
A. － B. －
C. D.
D
4.若cos α=－，α是第三象限角，则等于(　 　)
A. － B.
C. 2 D. －2
A
5.(2025·呼和浩特联考)若α为锐角，且sin α·(tan 50°－1)=1，则α=(　 　)
A. 10° B. 20° C. 70° D. 80°
C
6.我国古代天文学家僧一行在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤180°)的对应数表，这是世界上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l=htan θ.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次的太阳天顶距分别为α，β，且tan(α－β)=，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的(　 　)
A. 1倍 B. 2倍
C. 3倍 D. 4倍
【解析】 依题意，tan β=1，则tan α=tan[(α－β)＋β]==2，∴第一次的“晷影长”是“表高”的2倍.
B
7.(多选)(2025·安徽合肥模拟)下列计算结果中，正确的有(　 　)
A. cos(－15°)=
B. sin 15°sin 30°sin 75°=
C. cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)=－
D. 2sin 18°cos 36°=
【解析】 对于A，cos(－15°)=cos 15°=cos(45°－30°)=cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°=，A错误；对于B，sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°sin 30°cos 15°=sin 30°=，B正确；对于C，cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)=cos[(α－35°)－(25°＋α)]=cos(－60°)=，C错误；对于D，2sin 18°cos 36°=2cos 72°cos 36°=2×，D正确.
BD
8.(多选)下列各式中，与tan α相等的有(　 　)
A.
B. ·(α∈(0， π))
C.
D.
【解析】 对于A，=|tan α|；对于B，∵α∈(0，π)，∴原式=·=tan α；对于C，=tan α；对于D，.
BC
9.求值：=　 　.
【解析】 原式==8.
8
10.(2025·湖南长沙模拟)已知α，β∈，sin α=cos β，tan α=3tan β，则sin (α－
β)= 　.
【解析】 由α，β∈及sin α=cos β，得α＋β=.又由tan α=3tan β，得，得sin 2α=3cos 2α，∴cos 2α=，而sin (α－β)=－cos 2α=1－2cos 2α=.
11.已知sin 2α=－sin α，α∈.求：
(1)tan 2α；
解：(1)2sin αcos α=－sin α，α∈，∴cos α=－，故sin α=，∴tan α==－，∴tan 2α=.
(2)cos.
(2)由(1)知cos α=－，sin α=，∴cos 2α=2cos2α－1=－，sin 2α=2sin αcos α=－，∴cos=　coscos 2α＋sinsin 2α=－.
12.已知2sin α=2sin2－1.
(1)求sin αcos α＋cos 2α的值；
解：由已知得2sin α=－cos α，∴tan α=－.
(1)sin αcos α＋cos 2α==
.
(2)已知α∈(0， π)，β∈，且tan2β－6tan β=1，求α＋2β的值.
(2)由tan2β－6tan β=1，可得tan 2β==－，
则tan(α＋2β)==－1.∵β∈，∴2β∈(0，π)，又tan 2β=－＞－，则2β∈，∵α∈(0，π)，tan α=－＞－，则α∈，则α＋2β∈，∴α＋2β=.
13.(2025·湖北武汉模拟)若tan θ=2tan α，sin (θ－α)=，则cos[2(θ＋α)]=(　 　)
A. － B. － C. D.
【解析】 ∵tan θ=2tan α sin θcos α=2sin αcos θ. 又sin θcos α－cos θsin α=，∴sin αcos θ=，sin θcos α=，∴sin (θ＋α)=sin θcos α＋cos θsin α=，∴cos[2(θ＋α)]=1－2sin 2(θ＋α)=1－2×=－.
B
14.(多选)已知sin αsin=3cos α·sin，则(　 　)
A. tan α=tan 　 B. tan α=－
C. tan=－ 　 D. cos
【解析】 sin αsin=sin αsin=sin αcos=3cos αsin，∴tan α=3tan，∴A错误；又tan α=3×，∴tan2α＋2tan α＋3=0，则tan α=－，故tan=－，∴B，C正确；由cos，D正确.
BCD
15.(2025·江西南昌模拟)使等式=2成立的一个α的值为___________
　.
【解析】 由===2，
得sin=sin，∴=(2k＋1)π(k∈Z)，解得α=kπ(k∈Z)，
∴可取α=(答案不唯一).
(答案不
唯一)
16.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐
标原点，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，
将角α的终边绕原点逆时针方向旋转，交单位圆O于点B(x2，y2).
(1)若x1=，求x2的值；
解：(1)由已知得cos α=x1=，sin α=，
∴x2=cos=cos αcos－sin αsin.
(2)分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为C，D，记△AOC，△BOD的面积分别为S1，S2.若S1=2S2，求角α的大小.
(2)根据条件知S1=sin αcos α=sin 2α，S2=－sincos=－sin.∵S1=2S2，∴sin 2α=－2sin=－2=sin 2α－
cos 2α，于是cos 2α=0，∵＜α＜，∴＜2α＜π，∴2α=，解得α=.(共8张PPT)
第7节　正、余弦定理与解三角形
课标解读　掌握正弦定理、余弦定理及其变形，并能解决一些简单的三角形度量问题.
内
容
索
引
必备知识巩固
教考衔接
知识梳理
1.[教材改编]在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC= 　.
【解析】 在△ABC中，设AB=c=5，AC=b=3，BC=a=7，则由余弦定理得cos∠BAC==－，∴∠BAC=.
2.[教材改编]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，a=2，B=30°，则c=　 　.
【解析】 由S△ABC=acsin B=×2c×=4，得c=8.
8
3.[教材改编]在△ABC中，已知b=2，A=45°，C=75°，则c= 　.
【解析】 B=180°－45°－75°=60°，由正弦定理，得，得c=.
4.[教材改编]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，且cos C=，
则B= 　.
【解析】 由余弦定理可得cos C=，化简整理得a2＋c2－4=ac，则cos B=，又B∈(0，π)，∴B=.
5. (将三角形中角与角的正弦的关系弄错)在△ABC中，若sin A=sin B，则角A，B的大小关系为　 　；若sin A＞sin B，则角A，B的大小关系为　 　.
6. (利用正弦定理求角时将解的个数弄错)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=30°，b=，c=2，则C=　 　.
【解析】 由正弦定理得sin C=，∵c＞b，B=30°，∴C=45°，或C=135°.
易错题
易错题
A=B
A＞B
45°或135°
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2=　 　； b2=　 　； c2=　 　 = 　= 　=2R
常见 变形 cos A= 　； cos B= 　； cos C= (1)a=2Rsin A，b=　 　，c=　 　；
(2)sin A=，sin B= 　 ，sin C=；
(3)a∶b∶c=　 　；
(4)asin B=bsin A，
bsin C=csin B，
asin C=csin A
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
2Rsin B
2Rsin C
sin A∶sin B∶sin C
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下
A为锐角 A为钝角 或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A＜ a＜b a≥b a＞b a≤b
解的 个数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S=a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S=absin C=acsin B=bcsin A=(R为外接圆半径).
(3)S=r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
[优化拓展]
1.掌握三角形中的常用结论：
(1)大边对大角，大角对大边，如a＞b A＞B sin A＞sin B.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(3)sin(A＋B)=sin C；cos(A＋B)=－cos C；tan(A＋B)=－tan C；sin=cos；cos=sin.
(4)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列 B=，A＋C=.
(5)在斜三角形ABC中，tan A＋tan B＋tan C=tan A·tan B·tan C.
2.关注使用正弦定理的易错点：
(1)使用正弦定理时易忽视比值仍等于2R，即=2R(R为△ABC外接圆半径).
(2)在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.(共40张PPT)
第2节　同角三角函数的基本关系及诱导公式
课标解读　1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x=1，=tan x(cos x≠0).
2.能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
内
容
索
引
必备知识巩固
关键能力提升
教考衔接
知识梳理
考点一 同角三角函数基本关系的应用
考点二 诱导公式及其应用
考点三 基本关系与诱导公式的综合应用
1.[教材改编]已知cos α=－，且α为第三象限角，则sin α=　 　，tan α= 　.
【解析】 ∵cos α=－，且α为第三象限角，∴sin α=－=－，∴tan α=.
2.[教材改编]已知=－5，那么tan α的值为　 　.
【解析】 由=－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，可得=－5，解得tan α=－.
3.[教材改编]已知cos(π＋α)=－，则sin=　 　.
【解析】 ∵cos(π＋α)=－cos α=－，∴cos α=，∴sin=－cos α=－.
－
－
－
4. (忽略kπ中对k的分类讨论)已知A=(k∈Z)，则A的值构成的集合是(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. {1，－1，2，－2} B. {－1，1}
C. {2，－2} D. {1，－1，0，2，－2}
【解析】 当k为偶数时，A==2；当k为奇数时，A==－2.
易错题
C
5. (忽视诱导公式变名、变号的条件)计算下列各式的值：
(1)sin= 　；(2)tan= 　.
6. (忽视角所在的象限)已知tan α=，α∈，则cos α的值为　 　.
【解析】 由tan α=，可得，又sin2α＋cos2α=1，可得cos2α＋cos2α=1，解得cos2α=，∵α∈，∴cos α=－.
易错题
易错题
－
1.同角三角函数的基本关系式
2.三角函数的诱导公式
平方关系 sin2α＋cos2α=　 　
商数关系 tan α=
角 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α _______ －sin α sin α cos α _______
余弦 cos α －cos α cos α ________ ________ －sin α
正切 tan α tan α ________ _________ ________ _________
记忆 口诀 奇变偶不变，符号看象限
1
－sin α
cos α
－cos α
sin α
－tan α
－tan α
cot α
－cot α
[优化拓展]
1.同角三角函数关系式的常用变形：
(1)sin2α=1－cos2α=(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α=1－sin2α=(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
(2)sin α=tan αcos α；
cos α=.
(3)sin2α=；
cos2α=；
sin αcos α=，
其中α≠＋kπ，k∈Z.
2.诱导公式的记忆口诀：
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.
3.谨防以下易错点：
(1)利用平方关系求正弦或余弦时，涉及开方运算，运算的结果有正有负，若不能确定角的范围，则应根据角所在象限进行分类讨论.
(2)当三角函数中含有kπ±α，±α(k∈Z)时，若不讨论k的奇偶性，会造成解题缺失.
(3)在诱导公式中，含的都要变名，符号看原来的角所在的象限.
考点一　同角三角函数基本关系的应用
(2026·广东广州开学考试)已知锐角α满足5cos α=1，则2tan α＋3sin α=(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 由锐角α满足5cos α=1，即cos α=，∴sin α=，∴tan α==2，∴2tan α＋3sin α=2×2＋3×.
例 1
考向1 “弦”“切”互化
C
考向2 “sin α，cos α”的齐次式问题
已知tan θ=，则=(　 　)
A. 6 B.
C. D. 2
【解析】 .
例 2
C
利用“齐次化切”求齐次式的值的方法：
(1)若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos α的n次幂，将分式的分子与分母化为关于tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
(2)若齐次式为二次整式，可将其视为分母为1的分式，然后将分母1用sin2α＋cos2α替换，再将分子与分母同除以cos2α，化为只含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
(2025·北京西城模拟)已知sin θ＋cos θ=，θ∈(0， π)，则下列等式中，正确的是(　 　)
A. sin θcos θ=
B. sin θ－cos θ=－
C. tan θ=－
D. sin2θ－cos2θ=
考向3 “sin α±cos α，sin αcos α”之间的关系
例 3
D
【解析】 对于A，由sin θ＋cos θ=，式子两边同时平方，得(sin θ＋cos θ)2=，即sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θcos θ=，又sin2θ＋cos2θ=1，∴上式化为sin θcos θ=－，A错误；对于B，∵θ∈(0， π)，则sin θ＞0，∵sin θcos θ=－＜0，∴cos θ＜0，即sin θ－cos θ＞0，∵(sin θ－cos θ)2= sin2θ＋cos2θ－2sin θcos θ=1－2sin θcos θ=1＋，∴sin θ－cos θ=，B错误；对于C，由解得∴tan θ=－，C错误；对于D，sin2θ－cos2θ=(sin θ－cos θ)·(sin θ＋cos θ)=，D正确.
“sin α±cos α，sin αcos α”的应用：
sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α，sin αcos α=.
(1)(2025·山西太原模拟)若α是第三象限角，且sin α－2cos α=1，则tan α=(　 　)
A. B. C. D.
【解析】 由已知可得sin α=2cos α＋1，代入sin 2α＋cos 2α=1可得5cos 2α＋4cos α=0，解得cos α=
－，或cos α=0，∵α是第三象限角，∴cos α=－，sin α=2×＋1=－，∴tan α=，B正确.
(2)已知=5，则cos2α＋sin 2α等于(　 　)
A. B. － C. －3 D. 3
【解析】 由=5，得=5，可得tan α=2，则cos2α＋sin 2α=cos2α＋sin αcos α=.
跟踪训练1
B
A
(3)已知sin α＋cos α=sin αcos α，则sin α＋cos α=(　 　)
A. B.
C. － D. －
【解析】 ∵sin αcos α=，∴sin α＋cos α=，化简得3(sin α＋cos α)2－8(sin α＋cos α)－3=0，解得sin α＋cos α=－，或sin α＋cos α=3(舍去，sin α＋cos α≤1＋1=2，且等号不能成立).
D
考点二　诱导公式及其应用
(1)的值为(　 　)
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
【解析】 原式==－·=－1.
(2)已知sin，则cos等于(　 　)
A. B. C. － D. －
【解析】 ∵sin，∴cos=sin=sin.
例 4
B
B
诱导公式的3个应用：
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(3)应用技巧：常见的互余关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等；常见的互补关系有－α与＋α，＋α与－α，＋α与－α等.
(1)已知sin，则cos(π－α)的值为(　 　)
A. B. C. － D. －
【解析】 ∵sin=sin=sin=sin=－sin=－cos α=，∴cos(π－α)=－cos α=.
(2)已知sin=－，则sin＋cos=　 　.
【解析】 sin=sin=sin=－，cos=sin=sin=－，∴原式=－.
跟踪训练2
B
－
考点三　基本关系与诱导公式的综合应用
已知：
f(α)=，α≠，k∈Z.
(1)化简f(α)；
解：(1)f(α)==cos α，∴f(α)=cos α，α≠，k∈Z.
(2)若β为第三象限角，且cos，求f(β)的值.
(2)∵cos=－sin β，∴sin β=－，∵β为第三象限角，∴cos β=－=－，∴f(β)的值为－.
例 5
1.利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
(1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5=0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1=0，则sin α的值为 (　 　)
A. B.
C. D.
【解析】 由已知得消去sin β，得tan α=3，∴sin α=3cos α，又sin2α＋cos2α=1，∴sin2α=.∵α为锐角，∴sin α=.
跟踪训练3
C
(2)(2025·丽水模拟)已知sin ，那么tan =(　 　)
A. － B. ±2
C. D. 2
【解析】 ∵sin ，∴cos =cos =sin ，则sin =±=±，∴tan =±2.
B
课时作业
答案速对
第四章 对点练32　同角三角函数的基本关系及诱导公式 题号 1 2 3 4 5
答案 A C B D D
题号 6 7 8 13 14
答案 D AC ABD A AC
1. cos( π－x)＋sin=(　 　)　　　　　　　　　　　　　　　
A. －2cos x B. 0
C. －2sin x D. cos x－sin x
A
2.(2025·湖北武汉二模)若sin α=cos α，则tan α=(　 　)
A. B. C. D.
C
3.(2025·山东济宁开学考)记cos(－80°)=k，则tan 100°=(　 　)
A. B. －
C. D. －
B
4.(2025·河北衡水模拟)已知sin cos ( π－α)=sin α，则2sin2α－sin αcos α=
(　 　)
A. B.
C. D. 2
D
5.(2025·辽宁大连模拟)已知α是钝角，，则cos α=(　 　)
A. － B. －
C. － D. －
D
6.“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串，重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则sin等于(　 　)
A. B. － C. D. －
【解析】 根据“数字黑洞”的定义，任取数字2 025，经过第一步之后变为314，经过第二步之后变为123，再变为123，∴“数字黑洞”为123，即a=123，
∴sin=sin=sin=－cos=－.
D
7.(多选)已知角α的终边与单位圆交于点，则的值可能为(　 　)
A. B. －
C. － D.
【解析】 ∵角α的终边与单位圆交于点，∴=1，∴y0=±，
∴tan α==±，∴或－.
AC
8.(多选)下列结论中，正确的有(　 　)
A. sin=cos
B. cossin=0
C. sin2(15°－α)＋cos2(75°＋α)=1
D. sin2(15°－α)＋sin2(75°＋α)=1
【解析】 sin=sin=cos=cos，A正确；∵cos=－sin=－sin=－sin，∴cossin=0，B正确；∵sin(15°－α)=sin[90°－(75°＋α)]=cos(75°＋α)，∴sin2(15°－α)＋cos2(75°＋α)=2cos2(75°＋α)≠1，C错误；sin2(15°－α)＋sin2(75°＋α)=cos2(75°＋α)＋sin2(75°＋α)=1，D正确.
ABD
9.(2025·广东深圳开学考试)= 　.
【解析】 =sin 22.5°cos 22.5°=sin 45°=.
10.(2025·江苏苏州模拟)已知x∈(0， π)，若，则= 　.
【解析】 由知1－cos x≠0，则有.
11.已知sin(3π＋α)=2sin，求下列各式的值：
(1)；
解：由已知得sin α=2cos α.
(1)原式==－.
(2)sin2α＋sin 2α.
(2)原式=.
12.(2025·天津南开模拟)已知＜α＜ π，tan α=－.
(1)求tan α的值；
解：(1)由题意得3tan2α＋10tan α＋3=0，解得tan α=－3或－，∵＜α＜π，∴－1＜tan α＜0，则tan α=－.
(2)求的值；
(2)=－.
(3)求2sin2α－sin αcos α－3cos2α的值.
(3)2sin2α－sin αcos α－3cos2α=
=－.
13.(2025·青海西宁模拟)已知sin α＋cos α=3cos αtan α，则cos2αtan α－1等于(　 　)
A. － B. －
C. － D. －
【解析】 ∵sin α＋cos α=3cos αtan α=3sin α，∴tan α=，可得cos2αtan α=cos αsin α=，∴cos2αtan α－1=－1=－.
A
14.(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ=2kπ，k∈Z，则称θ与φ广义互余.若 sin ( π＋α)=－，则下列角β中，可能与角α广义互余的有(　 　)
A. sin β= B. cos ( π＋β)=
C. tan β= D. tan β=
【解析】 若α与β广义互余，则α＋β=2kπ(k∈Z)，即β=2kπ－α(k∈Z).又由sin (π＋α)=－，可得sin α=.若α与β广义互余，则sin β=sin =cos α=±=±，A正确；若α与β广义互余，则cos β=cos =sin α=，而由cos (π＋β)=，可得cos β=－，B错误；由A，B的分析可知sin β=±，cos β=，∴tan β==±，C正确，D错误.
AC
15.已知cos (75°＋α)=，则cos (105°－α)＋sin (15°－α)=　 　.
【解析】 ∵(105°－α)＋(75°＋α)=180°，(15°－α)＋(75°＋α)=90°，∴cos (105°－α)=cos [180°－(75°＋α)]=－cos (75°＋α)=－，sin (15°－α)=sin [90°－(75°＋α)]=cos (75°＋α)=，∴cos (105°－α)＋sin (15°－α)=－=0.
0
16.是否存在α∈，β∈(0， π)，使等式sin(3π－α)=coscos(－α)=－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.
解：假设存在α，β满足条件，则由已知条件可得由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α=2.∵sin2α＋cos2α=1，∴sin2α=，∴sin α=±.
∵α∈，∴α=±.当α=时，由②式知cos β=，又β∈(0，π)，∴β=，此时①式成立；当α=－时，由②式知cos β=，又β∈(0，π)，∴β=，此时①式不成立，故舍去.综上，存在α=，β=满足条件.

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