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九年级下学期3月学情自测数学试卷
一、单选题
1．四个有理数，0，，4，其中最小的有理数是（ ）
A． B．0 C． D．4
2．计算所得结果是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，把一副三角板叠合在一起，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一个正方形的四周恰好被四个正边形（阴影部分为正边形的一部分）无缝铺满，则（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10
6．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有实数根 D．没有实数根
7．已知点和都在反比例函数的图像上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．“千门万户曈曈日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是( )
A． B． C． D．
9．《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值金，每只羊值金，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在矩形中进行如下操作：①以点为圆心，长为半径作弧交于点，连接；②再以为圆心，长为半径作弧交于点，连接．下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在正方形中，，点，分别为，上的点，，交于点，．若四边形与的面积分别为，，则与的函数关系为（ ）

正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
二、填空题
12．因式分解___________．
13．已知一组数据，，，，的平均数为2，方差为3，则数据，，，，的方差为______．
14．如图，在菱形中，，点在上，若，则__________．
15．已知顶角为的等腰三角形是黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（阴影部分），已知，则的长为______．
三、解答题
16．化简：
17．解方程：．
18．解不等式．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
20．如图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离h（精确到）．（参考数据：，）
21．吉林省教育厅为了推进冰雪运动在学校的普及，计划在年底前实现全省中小学校冰雪体育课全面普及，并将冰雪运动纳入中考体育测试选项．为了响应省厅精神，某九年级研究小组展开主题为“推测滑行距离与滑行时间关系”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题：
【研究对象】推测滑行距离与滑行时间有什么关系？
【数据收集】一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离与滑行时间（单位：）之间的关系式，测得一些数据（如下表）．
滑行时间
滑行距离
【数据分析】如图，小组成员以表中各对应的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
【数学建模】请你结合所学知识解答下列问题：
(1)观察上述各点分布规律，可得关于的函数类型是___________．（填“一次函数”或“二次函数”）
(2)求出关于的函数解析式．
(3)当滑行距离为时，直接写出滑行时间．
22．阅读与证明
三大作图问题之三等分角三等分任意角是古希腊学者们于公元前5世纪提出并研究的三大作图问题之一．两千多年以来，数学家们为此耗费了许多心血．直到1837年，法国数学家闻脱兹尔证明了，只使用直尺和圆规无法三等分一个任意角，至此人类才走出了这座数学迷宫，在探究过程中发现，有些特殊度数的角如 角， 角， 角等可用尺规三等分，任意角采用特殊的工具也可三等分．
如图（1），，下面是两种三等分角的方法．
(1)阿基米德创设的方法是：在图（2）中，预先在直尺上作了一个记号点P，点O为直尺的端点，以B为圆心，为半径作半圆，与边和分别交于点N和M；移动直尺，使直尺上的点O在边的反向延长线上移动，点P在圆周上，当直尺正好经过点N时，过点B画的平行线．求证：；
(2)用“有刻度的勾尺”的方法是：在图（3）中，勾尺的直角顶点为点P，于点Q，．画直线，并且与之间的距离等于，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在上，使勾尺的边经过点B，同时让点R落在边上．求证：．
23．3月份是安全教育月，某校七、八年级各有学生400人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下：
选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育考试，测试成绩（百分制）如下：
七年级
八年级
分组整理，描述数据：

（说明：成绩分及以上为优秀，为良好，分以下为不合格）
分析数据：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级
八年级 a
得出结论，说明理由．
(1)______，______；
(2)请补全八年级名学生安全教育频数分布直方图；
(3)哪个年级的整体成绩较好 （至少从两个不同的角度说明合理性）．
24．如图，是的内接三角形，是的直径，过C点作的切线，且，直线与直径的反向延长线交于P点．

(1)探究与之间的数量关系，并说明理由．
(2)若，，求的长．
25．综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，．
．
【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：；
【解决问题】如图2，连结，求线段的长．
【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是
26．在平面直角坐标系中，点不在坐标轴上，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，称为点P的“关联三角形”．
(1)已知点，求点的“关联三角形”的面积；
(2)如图，已知点，的圆心为，半径为2．若点的“关联三角形”与有公共点，直接写出的取值范围；
(3)已知的半径为，若点的“关联三角形”与有四个公共点，直接写出的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B C C A C A C
题号 11
答案 B
11．B
12．
13．3
14．115°/115度
15．/
16．
17．
18．
19．（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
，
，，
反比例函数解析式为：，
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数解析式为：．
（2）在一次函数中，令，则，
，
；
（3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或．
20．解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则，
∵，
∴，
∴是矩形，
，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
，
∵，
，
在中，，
，
，
答：台灯的旋钮到桌面的距离约为．
21．（1）解：由图上三点不在同一直线（一次函数图像是直线）可知函数类型为二次函数，故答案为：二次函数；
（2）设函数解析式为，把，，，
，
解得：，
∴关于的函数解析式为：；
（3）把代入解析式得：，
解得：，（不符合题意的根舍去）
∴当滑行距离为时，滑行时间为：．
22．（1）证明：∵，
∴，，
∵是 POB的外角，是的外角，
∴，．
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，连接，过点P作于点F，
∵于点Q，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，并且与间的距离等于，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∴，
∴．
23．（1）解：八年级名学生安全教育考试成绩按从小到大的顺序排列为：
∴中位数分；
∵分出现的次数最多，故众数为分；
故答案为：，；
，
（2）补全八年级 名学生安全教育频数分布直方图如图所示，
.
（3）整体成绩较好的年级为八年级，理由为八年级的中位数和优秀率都高于七年级．
24．（1）解：，理由如下，
连接，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴， ，
∵，
∴，，
∴，
；
（2）解：过B作，
∵是的切线，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
在与中根据勾股定理可得，
，，
∴，
∵，，
∴；
25．数学思考：证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，
，，
，
，
，
，
，
；
解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接
，
，
矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，
，，
，
，
，
，
∴ ADE是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
拓展研究：解：当线段与交于点时，作于，
是的中点，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
当的延长线交于点时，由上知，
，
，
综上所述，的面积是或．
26．（1）解：∵点关于x轴的对称点为，点A关于y轴的对称点为，
点的“关联三角形”的面积；
（2）解：如图，作的外切四边形，点、是点D关于坐标轴对称的点，
的圆心为，半径为2．
，

如图，连接交于D，点、是点D关于坐标轴对称的点，
的圆心为，半径为2，
∴，与x轴的夹角为，
∴，
∴点D的横坐标为，
∵点的“关联三角形”与有公共点，且点，
∴；
（3）解：当与相切于点E时，如图：
，
，
，
，
∴当时，点的“关联三角形”与有四个公共点；
当与相切于点F时，如图：
，
，
∴当时，点的“关联三角形”与有四个公共点；
综上，点P的“关联三角形”与有四个公共点，的取值范围为：或．
答案第1页，共2页
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