资源简介

第二十章 勾股定理
（本试卷满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 已知直角三角形两直角边的长分别为6，8，则斜边的长是（　　）
A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
2.下列各组数中，是勾股数的为（　　）
A. 1，1，2 B. 1.5，2，2.5
C. 5，12，13 D. 2，3，
3.下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A. 3，4，5 B. 1，2，
C. 1，2， D．7，9，11
4. 如果梯子的底端离建筑物底部8米，则17米长的梯子可以到达建筑物的高度是（　　）
A. 12米 B. 13米
C. 14米 D. 15米
5. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A. ∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5 B. ∠C=∠A-∠B
C. a2+c2=b2 D. a2-c2=b2
6.【数学文化】我国是最早了解勾股定理的国家之一. 据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能验证勾股定理的是（　　）
A B C D
7.下列各图是以直角三角形的各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数字及字母S表示所在正方形的面积. 其中S的值恰好等于10的是（　　）
A B C D
8.葛藤是一种多年生草本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着树干底部沿最短路线盘旋而上. 如图1，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是3尺，当一段葛藤从点A绕树干盘旋1圈升高4尺至点B处时，这段葛藤的长为（　　）
A. 4尺 B. 5尺
C. 6尺 D. 7尺
图1 图2 图3
9. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动. 如图2，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20 cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（　　）
A. 15 cm B. 18 cm
C. 21 cm D. 24 cm
10. 如图3，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3. 将两个小正方形的边延长交于点D，得到长方形ABDC.若S3+S2-S1=18，则图中阴影部分的面积为（　　）
A. 6 B.
C. 5 D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，已知点M的坐标为（-7，24），则点M到原点的距离是 .
12. 若直角三角形的三边长为3，4，m，则m的值为 .
13. 如图4，在△ABC中，AC=9，BC=12，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，BD=6，则∠ACB=_________°.
图4 图5 图6 图7
14. 如图5，货车车高AC=4 m，卸货时后面挡板AB折落在地面A1处，已知点A，B，C在一条直线上，AC⊥A1C，经测量，A1C=2 m，则BC= 　 m.
15. 如图6，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上（也称格点），若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的点C有　 　　个.
16. 包装纸箱是我们生活中常见的物品. 如图7-①，创意DIY小组的同学将一个10 cm×30 cm×40 cm的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图7-②所示的简易书架. 若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发，沿书架内壁爬行到顶点B处，则它爬行的最短距离为 　cm.
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17.（5分）写出命题“如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”的逆命题，并判断其真假.
18.（6分）如图8，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=5，DB=3，求CD和AD的长.
图8
19. （6分）如图9，正方形网格的每个小方格边长均为1，△ABC的顶点在格点上. 判断△ABC的形状，并说明理由.
图9
20.（7分）如图10，∠B=∠OAF=90°，BO=3 cm，AB=4 cm，AF=12 cm，求图中半圆的面积.（结果保留π）
图10
21.（8分）某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离BC的长为15米.
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米.
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米（BE=CD=1.7米）.
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD. 请完成以下任务.
（1）如上图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15米，AB=17米. 求线段AD的长；
（2）若风筝沿DA方向再上升12米，BC的长度不变，则小明应该再放出多少米线？
22.（9分）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射圆满成功，中国航天迭代创新延续精彩.某社区为进一步宣传中国航天精神，开辟了一块四边形空地，如图11，社区计划将其布置成展区，陈列有关中国航天图片.现测得AB=AD=13 m，BC=8 m，CD=6 m，且BD=10 m.
（1）试说明∠BCD=90°；
（2）求四边形展区（阴影部分）的面积．
图11
23.（11分）如图12-①是某区域仓储配送中心的部分图，图12-②为部分平面示意图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区. 已知B，C两个配送中心区相距250 m，A，B区相距200 m，A，C区相距150 m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案.
甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区；
乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区（接缝忽略不计）.
（1）请判断此平面图形△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）甲、乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明.
① ②
图12
附加题（20分，不计入总分）
综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力. 勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因验证方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷.
【验证方法】如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即ab×4+（b-a）2，从而得到等式c2=ab×4+（b a）2，化简便得结论a2+b2=c2. 这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.

① ② ③ ④
（1）【方法应用】千百年来，人们对勾股定理的验证趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者. 向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形ABC和直角三角形EDA如图②放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD.
如图②，连接BD，CD，请用含a，b或c的代数式分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理a2+b2=c2；
（2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图②，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值；
（3）【定理应用】2002年在北京召开的国际数学家大会会标和2021年在上海召开的国际数学教育大会会标，都包含了赵爽的弦图. 如图③，如果大正方形的面积为18，直角三角形中较短直角边长为a，较长直角边长为b，且a2+b2=ab+10，那么小正方形的面积为 .
第二十章 勾股定理 参考答案
(
答案速览
一、1.
B 2.
C
3.
D
4.
D
5.
A
6.
C 7.
D
8.
B
9.
A
10. B
二、
11. 25
12. 5或
13.
90
14.
1.5
15. 3
1
6
.
50
三、
解答题见“答案详解”
)
答案详解
10. B 解析：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2+AB2=BC2，即S1+S2=S3.因为S3+S2-S1=18，所以S1+S2+S2-S1=18.解得S2=9.由四边形ABCD是长方形可知AB=CD.所以S阴影部分=S2=.
16. 50 解析：把书架侧面展开如图1所示，连接AB，则蜘蛛爬行的最短距离为AB的长.由图形可知OA=30+10=40（cm），OB=40-10=30（cm）.在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2=402+302=502.所以AB=50 cm.所以蜘蛛爬行的最短距离为50 cm.
图1
三、17. 解：逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；真命题.
18. 解：（1）因为CD⊥AB，所以∠ADC=∠BDC=90°.
在Rt△BDC中，CD2=BC2-DB2=52-32=16.所以CD=4.
（2）在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD2=82-42=48.
19. 解：（1）△ABC是直角三角形.理由如下：
因为AB2=22+42=20，BC2=22+12=5，AC2=32+42=25，所以AB2+BC2=25=AC2.
所以△ABC是直角三角形.
20. 解：在Rt△ABO中，由勾股定理，得AO2=BO2+AB2=25.
在Rt△AFO中，由勾股定理，得FO2=AO2+AF2=169.
所以图中半圆的面积为π×=（cm2）.
21. 解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2=AB2-BC2=172-152=64.所以AC=8米.
所以AD=AC+CD=8+1.7=9.7（米）.所以线段AD的长为9.7米.
（2）风筝沿DA方向再上升12米后，设风筝上升到达的点为点M，则CM=20米.
根据勾股定理，得BM2=BC2+CM2=625.所以BM=25米.
25-17=8（米）.
所以小明应该再放出8米的线.
22. 解：（1）因为BC2+CD2=82+62=100=BD2，所以△BCD是直角三角形，∠BCD=90°.
（2）如图2，过点A作AE⊥BD于点E，则∠AEB=90°.
因为AB=AD，AE⊥BD，所以BE=DE=BD=5 m.
在Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2=132-52=144.所以AE=12 m.
所以S△ABD=BD·AE=×10×12=60（m2）.
又因为S△BCD=BC·CD=×8×6=24（m2），所以S阴影部分=S△ABD-S△BCD=60-24=36（m2）.
23. 解：（1）△ABC是直角三角形.理由如下：
由题意，得BC=250 m，AB=200 m，AC=150 m.
因为2002+1502=2502，所以AB2+AC2=BC2.
所以△ABC是直角三角形，∠BAC=90°.
（2）甲种方案所搭建的传送带较短.理由如下：
由（1）知，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°.
因为AD⊥BC，所以S△ABC=BC AD=AB AC.
所以AD===120（m）.
所以AD+DB+DC=AD+BC=120+250=370（m）.
因为AB+AC=200+150=350（m）＜370 m，所以AB+AC＜AD+DB+DC.
所以甲种方案所搭建的传送带较短.
附加题
解：（1）因为S四边形ABDC=S△ABD+S△ACD=AD·BF+AD·CF=AD（BF+CF）=AD·BC=c2，S梯形AEDC=（b+a）b，S△BED=（a-b）a，S四边形ABDC=S梯形AEDC+S△BED，所以c2=（b+a）b+（a-b）a.
所以a2+b2=c2.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=42-x2=16-x2.
因为BD+CD=BC=6，所以CD=BC-BD=6-x.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-CD2=52-（6-x）2=-11+12x-x2.
所以16-x2=-11+12x-x2.解得x=.
（3）2 解析：设大正方形的边长为c.因为大正方形的面积是18，所以c2=18.所以a2+b2=c2=18.
因为a2+b2=ab+10，所以ab+10=18.所以ab=8.所以S小正方形=（b-a）2=a2+b2-2ab=18-2×8=2.

展开更多......

收起↑