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孝儿中学2025年秋期九年级数学期中考试题
一、选择题（36分）
1.下列二次根式中，与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程的根为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是( )
A. B. C. D.
4.如图，直线，直线AC和DF被，，所截，如果，，，那么DE的长是( )
A. 2
B.
C. 1
D.
5.下列说法中，正确的是( )
A. 如果，那么
B.
C. 方程的根是，
D.
6.若关于x的一元二次方程配方后得到方程，则c的值为( )
A. B. 0 C. 3 D. 9
7.已知一元二次方程的两根为，，则的值为( )
A. 2 B. C. 8 D.
8.小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子如图如果这个无盖的长方体底面积为，那么剪去的正方形边长为( )
A. 2cm B. 1cm C. D. 或
9.如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面积为时，则点P运动的时间是( )
A. 2s B. 4s C. 2s或6s D. 6s
10.有两人同时患了流感，经过两轮传染后共有200人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )
A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人
11.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是( )
A. B. a C. D. b
12.已知关于a的代数式，判断下列说法正确的有( )
①存在实数a，使得；
②若，则；
③已知代数式A、B、C满足，，则
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题（18分）
13.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
14.若，则______.
15.已知，则的值为______.
16.已知、是方程的两个根，则 .
17.对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较小值，如：按照这个规定，方程的解为 .
18.在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如将化成分数，设，则有，得到，解得，类比上述方法及思想则 .
三、解答题（66分）
19.计算及解方程：
；
20.如图在平面直角坐标系中，与是关于点P为位似中心的位似图形.
在图中标出点P的位置并写出点P的坐标；
以点O为位似中心，在y轴的右侧画出的另一个位似，使它与的相似比为2：1；
设点为内一点，则依上述变换后点M在，内的对应点的坐标是______.
21.如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且
求证：∽；
若，，求与的面积的比？
22.2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个.
若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？
商场改变销售策略，在不改变的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率.
23.已知 关于x的一元二次方程
求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
当的斜边长，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求的周长．
24.项目主题：课桌挂钩顶端到地面距离的计算.
项目背景：同学们利用课桌挂钩方便放置自己的物品，数学活动实践小组以“课桌挂钩顶端到地面距离的计算”为主题展开项目化学习.
驱动任务：根据报告内容计算挂钩顶端到地面的距离.
研究步骤：如图，这是某校新购进的一批课桌便携式挂钩，他们完成了如下实践探究，形成了如下实验报告：
调查主题 课桌挂钩顶端到地面距离的计算
调查方式 测量，查看说明书
测量图示
元素 EF AB BC CD
数据 78cm
已知地面MN为水平面，桌面AE是水平面，，EF为课桌的高度，挂钩顶端D到地面的距离为DG，最后通过勾股定理及二次根式的有关知识，计算后得出结论.
试验数据：
问题解决：请根据此项目实施的材料，求课桌挂钩顶端D到地面的距离
25.配方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们定义：一个整数能表示成、b是整数的形式，则称这个数为“完美数”.
解决问题：
已知10是“完美数”，请将它写成、b是整数的形式______；
已知，则______；
探究问题：
已知、y是整数，k是常数，要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
拓展结论：
已知实数x、y满足，求的最值.
参考答案
一、选择题
1.C
2.D
3.D
4.B
5.A
6.C
7.C
8.C
9.A
10.B
11.D
12.A
二、填空题
13.
14.3
15.
16.2025
17.或
18.3
三、解答题
19.解：原式
；
，
，，，
，
，
，
20.解：如图所示，点P的位置，由图可知：；
如图，即为所求；
点为内一点，则依上述变换后点M在内的对应点的坐标是，
故答案为：
21.证明：四边形ABCD是平行四边形，，
，
又，
∽；
解：∽，，，
，即，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
∽，

22.解：设售价应定为x元，
由题意可得：，
，
解得：，，
更大优惠让利消费者，
，
答：售价应定为40元；
设这两周的平均增长率为y，
由题意：，
解得：，不合题意舍去，
答：这两周的平均增长率为
23.解：关于x的一元二次方程，
恒成立，
故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
根据勾股定理得：①
因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，
则②，③，
因为，
即，
整理得：，即，
解得：，，
即即，
舍去，
则，
又因为，
则的周长
24.解：连接AC，交DP于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
答：课桌挂钩顶端D到地面的距离DG为
25.解：已知10是“完美数”，
将它写成、b是整数的形式为
故答案为：；
，
，
，，
，，解得，，
故答案为：；
答案不唯一，如：当时，S为“完美数”，理由如下：
，
、y是整数，
、也是整数，
当时，S为“完美数”；
，
，
，
，
，
，
，
当时，的值最大，为

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