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淮阴中学初中集团校2025—2026学年度第一学期期中考试
初三数学
一．选择题（请将你的答案填在答题纸上，本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．已知⊙O的半径是5，点P在⊙O内，则线段OP的长可能是 （　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是 （　　）
A． B． C． D．
第2题 第4题 第5题
3．若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝4cm，则d＝（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠D＝50°，则∠B的度数是（　　）
A．130° B．125° C．120° D．110°
5．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（　　）
A．5x2＝6 B．5（1+x2）＝6 C．x（5﹣x）＝6 D．5（1+x）2＝6
6．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝6，CE的长为（　　）
A．2 B．4 C．3 D．5
7．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（4，y3）在抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+k（k为常数）上，则下列结论正确的是（　　）
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y3＞y1
8．某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．则纸杯杯底的直径为（　　）
A．6cm B．5.2cm C．5cm D．4.8cm
第6题 第8题
二．填空题（请将你的答案填在答题纸上，本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．比较大小：sin47° 　 　 sin43°．（填“＞”，“＝”或“＜”）
10．二次函数y＝x2﹣1的图象与y轴的交点坐标是 ．
11．若用半径为10cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的侧面积为 　 　 cm2．
12．如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则 ．
第12题 第13题 第14题
13．如图，将两个全等的边长为6的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为O1O2，连接O1O2，则O1O2的长为 ．
14．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列结论：①a＞0；②c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＞0；⑤当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．其中，正确结论的有 个．
15．四个完全一样的矩形如图所示摆放着，夹角为15°，AB=，则CD= ．
16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°cos∠BAC=，AC=BD=10，CE⊥BD于点E，则CE的最小值是 ．
第15题 第16题
三．解答题：（本大题共11小题，共102分）
17．（本题8分）计算：
（1）2cos30°﹣sin45°cos45°； （2）+﹣|tan60°-1|．
18．（本题8分）解方程：
（1）x2＝2x； （2）x2﹣x﹣4＝0．
19．（本题8分）某校团委在八、九年级各抽取50名团员开展知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．成绩如图所示：
平均数 众数 中位数 方差
八年级竞赛成绩 7 b 1.88
九年级竞赛成绩 8 a 8 1.56
（1）请计算出八年级竞赛成绩的平均成绩；
（2）请根据图表中的信息，回答下列问题．
①表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ；
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？
20．（本题8分）如图，四边形ABCD的点B，C，D都在⊙O上，AB，AD分别与⊙O相切于B，D两点，∠A＝84°，求∠C的度数．
21．（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣3＝0（m为常数）．
（1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
22．（本题8分）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．图1所示是一款智能送货机器人，图2是其侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为20cm，上部显示屏EF的长度为44cm，侧面支架EC的长度为150cm，∠ECD＝80°，∠FEC＝130°，求该机器人的最高点F距地面AB的高度．（参考数据sin80°≈0.98，cos80°＝0.17，tan80°≈5.67）
23．（本题10分）已知抛物线y=x2与直线y=-2x+3交于点A、B，如图所示.
（1）点A的坐标为 ，B的坐标为 ；
（2）连接AO，BO，求△AOB的面积；
（3）已知点C（-1，-5），D（4，-5），连接CD，若抛物线y=x2向下平移k（k＞0）个单位长度时，与线段CD只有一个公共点，请直接写出k的取值范围 ．
24．（本题10分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠CAD＝∠BAD，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，G为AB下方的半圆弧AB的中点，DG交AB于点H，连接DB，GB．
（1）试判断EF和⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知AO＝10，BH＝8，求GH的长．
25．（本题8分）爱思考的源源发现碗橱里的碗壁近似呈抛物线形，碗底MN与碗口AB平行，CM⊥MN，DN⊥MN，经过测量发现碗口AB＝10cm，碗底MN＝2cm，CM＝DN=1cm，以MN所在直线为x轴，过点A且垂直于MN的直线为y轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式ybx+c（b、c为常数）．
（1）求点B的坐标；
（2）向碗中倒入一些水，水面EF∥AB，且EF与AB之间的距离为cm，求水面的宽度EF．
26．（本题12分）若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足a1=ka2，|b1|=|b2|，则称函数y1与函数y2互为“友好函数”，函数y1与函数y2的顶点分别是点A，点B，请回答下列问题：
（1）函数y1＝x2+4x+4与二次函数y2＝a2x2+b2x+c2互为“友好函数”，且k=，b1=b2，顶点A、B都在x轴上，则a2＝ 　 　 ，c2＝ 　 　 ；
（2）函数y1与函数y2互为“友好函数”
①当a1=a2=1，b1=-b2，函数y1与函数y2的一个交点P（0，3），△APB为等腰直角三角形，求b1的值；
②顶点A、B都在x轴上，且k=，点Q的坐标是（-2，-3），当∠AQB=90°，则= ．
27.(本题14分）折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支。某些折纸活动蕴含着丰富的数学内容。李老师在数学实验课上提出了这样的问题：如何在一张半径为10cm的圆形纸片上折出一个等边三角形呢？
【初步尝试】
轩轩思考后，他先将圆形纸片对折一次得到直径AD，再将点A与点D重合对折一次得到直径EF，两条直径交于点O，将点D与点O重合再次对折得到折痕BC，依次连接AB、BC、AC，得到等边三角形ABC，如图1所示。（虚线为折痕）
（1）下面是部分证明过程，请你补充完整：
证明：连接BO、OC，由翻折可得，OG=GD=OD，
又∵OB=OD，∴=，即cos∠BOG=，
∴∠BOG= °，
同理∠COG60°，
∴∠BOC=120°，
由 ∠BOG=∠COG=60° 得∠AOB=∠AOC=120°，
∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°，（依据是 ）
∴AB=AC=BC，故△ABC是等边三角形。
（2）如图2，若折痕EF与AB、AC的交点为P、Q，则PQ= cm；
【深入探究】
如图3，将圆片沿着BC折叠，使与直径EF相交于点M和点N，且FM=MN=NE，则折痕BC的长为 cm.
如图4，将圆片沿着BE折叠，当 ∠FEB=15°时，图中阴影部分的面积为 cm2；
图3 图4 图5
【思维进阶】
（5）如图5，点B是半圆O上的一个动点，将圆片沿着BE折叠，与直径EF交于点M，点P是的中点，则OP的最小值是 cm.
参考答案与试题解析
一．选择题（请将你的答案填在答题纸上，本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．A． 2．B． 3．D． 4．A． 5．C．
6．B． 7．D． 8．C．
二、填空题
9．＞． 10．（0，﹣1）， 11．50π． 12．
13．， 14．4 15．2 16．4.8
三、解答题
17．解：（1）2cos30°+sin45°cos45°
＝2
（2）+﹣|tan60°-1|．
=4+3-+1
=5+2
18．（1）x2﹣4x＝0
解：x（x-4）=0
x1=0; x2=4
（2）x2﹣x﹣4＝0．
解：等式两边同乘2得
x2-2x-8=0
配方得x2-2x+1=9
（x-1）2=9
x-1=±3
x1=4; x2=-2
19．解：（1）∵
（2）①由折线统计图可知，a＝8，b＝8，
故答案为：8，8；
②如果从众数角度看，八年级的众数为7分，九年级的众数为8分，所以应该给九年级颁奖；
如果从方差角度看，八年级的方差为1.88，九年级的方差为1.56，
∵1.56＜1.88，
∴应该给九年级颁奖；
（3）八年级的获奖率，
九年级的获奖率，
∵66%＞56%，
∴九年级的获奖率高．
20．解：∵AB，AD分别与⊙O相切于B，D两点，
∴∠ABO+∠ADO＝90°+90°＝180°，
∵∠A＝84°，
∴∠BOD＝360°﹣180°﹣84°＝96°，
∴，
故答案为：48°．
21．解：（1）把x＝1代入方程可得1﹣（m+1）+2m﹣3＝0，
解得m＝3，
当m＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0
解得x1＝1，x2＝3，
即方程的另一根为3；
（2）∵a＝1，b＝﹣（m+1），c＝2m﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[＝﹣（m+1）]2﹣4×1×（2m﹣3）＝（m﹣3）2+4＞0，
∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．
22．解：过点E，F分别 作EH⊥CD，FN⊥CD，垂足为H，N，过点E作EM⊥FN，垂足为M，
则：四边形EMNH为矩形，MN＝EH，EM＝HN，
在Rt△EHC中，，
∴EH≈147cm，
∵∠EHC＝90°，∠HCE＝80°，
∴∠CEH＝10°，
∴∠FEM＝∠FEC﹣∠MEH﹣∠CEH＝130°﹣90°﹣10°＝30°，
∴，
∴点F到CD的高度为MN+FM＝EH+FM≈169cm，
∵矩形底座ABCD的高BC为20cm，
∴点F到底面的高度约为169+20＝189cm．
23．（1）（-3，9），（1，1） ；
（3）k=5或6＜k≤21
24．（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠BAD，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，交AC的延长线于点E，
∴∠ODF＝∠E＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且EF⊥OD于点D，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：连接GO，则GO＝BO＝AO＝10，
∵BH＝8，
∴OH＝BO﹣BH＝10﹣8＝2，
∵G为AB下方的半圆弧AB的中点，
∴，
∴∠BOG＝∠AOG180°＝90°，
∴GH2，
∴GH的长是2．
25．解：（1）∵AB＝10，
∴，
解得b＝﹣．
∵MN＝2cm，，CM⊥MN，DN⊥MN，
∴
∴．
将点代入，得c＝7，
∴抛物线解析式为7，
在7中，当x＝10时，7，
∴点B的坐标为（10，7）．
（2）点E与点F的纵坐标为．
令，得，
解得x1＝1，x2＝9，
∴9﹣1＝8（cm），
即水面的宽度EF为8cm．
26．
27.（1）下面是部分证明过程，请你补充完整：
证明：连接BO、OC，由翻折可得，OG=GD=OD，
又∵OB=OD，∴=，即cos∠BOG=，
∴∠BOG= 60 °，
同理∠COG=60°，
∴∠BOC=120°，
由∠BOG=∠COG=60°得∠AOB=∠AOC=120°，
∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°，（依据是 等量代换 ）
∴AB=AC=BC，故△ABC是等边三角形。
（2）如图2，若折痕EF与AB、AC的交点为P、Q，则PQ= cm；
【深入探究】
（3）如图3，将圆片沿着BC折叠，使与直径EF相交于点M和点N，且FM=MN=NE，则折痕BC的长为 cm.
（4）如图4，将圆片沿着BE折叠，当 ∠FEB=15°时，图中阴影部分的面积为 π-25 cm2；
图3 图4 图5
【思维进阶】
（5）如图5，点B是半圆O上的一个动点，将圆片沿着BE折叠，与直径EF交于点M，点P是的中点，则OP的最小值是 10 -10 cm.

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