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第21章 二次四边形
21.3.1矩形（第2课时）
（人教版）八年级
下
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
经历矩形判定定理的猜想与证明过程，渗透类比思想，体会图形判定探究的一般思路，发展推理能力;
掌握矩形的两个判定定理，能根据不同条件，选取适当的定理进行推理计算，发展应用意识.
02
新知导入
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：对边平行且相等.
角：四个角都是直角.
对角线：对角线相等且互相平分.
02
新知讲解
前面我们研究了矩形的性质，下面我们研究如何判定一个平行四边形或四边形是矩形.
由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形.
除此之外，还有没有其他判定方法呢
与研究平行四边形的方法类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看看它们是否成立.
02
新知讲解
我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
思考
1.对角线相等的平行四边形是矩形.
猜想：
你能证明上述猜想吗？
02
新知讲解
已知：平行四边形ABCD中，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明:
∴ AB=DC.
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）.
∵ AB//CD ,
∴ ∠ABC+∠DCB=180°.
∴ ∠ABC=∠DCB=90°.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形.
∴ ∠ABC=∠DCB.
∵四边形 ABCD是平行四边形，
又∵ AC=DB，BC=CB,
03
新知探究
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
D C
A B
O
符号语言表示：
∵四边形ABCD是平行四边形,且AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
02
新知讲解
工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等. 你知道其中的道理吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
02
新知讲解
我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？
思考
逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形.
成立.
至少有几个角是直角的四边形是矩形？
一个直角
两个直角
三个直角
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
02
新知讲解
证明：有三个角是直角的四边形是矩形.
如图，在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
03
新知探究
矩形的判定定理：
有三个角是直角的四边形是矩形．
符号语言表示：
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
03
新知讲解
例2
如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形．
分析：根据已知条件，容易证明四边形EFGH的一个内角∠F为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形EFGH是矩形.
A
B
D
C
G
F
E
H
03
新知讲解
例2
如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形．
A
B
D
C
G
F
E
H
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°.
又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF+∠ADF = ∠BAD+ ∠ADC = (∠BAD+∠ADC)=90°，
∴∠F=90°.同理∠H=∠AEB=90°，
∴ ∠FEH= ∠AEB =90°.
∴四边形EFGH为矩形.
04
课堂练习
基础题
1. 如图，在 ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 ABCD 是矩形的是（　　）
A．AC = BD B．AC = BC
C．AD = BC D．AB = AD
A
A
D
C
B
O
04
课堂练习
基础题
2. （新情境·日常生活）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC，BD的长就可以判断，其数学依据是（　C　）
A. 三个角都是直角的四边形是矩形
B. 对角线互相平分的四边形是矩形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C
04
课堂练习
基础题
3. 如图，点A在∠MON的边ON上，AB⊥OM于点B，AE＝OB，DE⊥ON于点E，AD＝AO，DC⊥OM于点C. 求证：四边形ABCD是矩形.
解：∵ AB⊥OM，DE⊥ON，
∴ ∠ABC＝∠ABO＝∠DEA＝90°.
在Rt△ABO和Rt△DEA中，
∴ Rt△ABO≌Rt△DEA. ∴ ∠AOB＝∠DAE. ∴ AD∥BC.
∵ AB⊥OM，DC⊥OM，∴ AB∥DC.
∴ 四边形ABCD是平行四边形.
又∵ ∠ABC＝90°，
∴ 四边形ABCD是矩形
04
课堂练习
提升题
1. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA. 添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件可能是（　A　）
B. MB＝MO
C. BD⊥AC
D. ∠AMB＝∠CND
A
04
课堂练习
提升题
2. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点.若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 　12　.
12　
04
课堂练习
拓展题
如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC.
（1） 求证：四边形DFCG是矩形；
解：（1） ∵ D，E分别为AB，AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线.
∴ DE∥BC. ∵ DG＝FC，∴ 四边形DFCG是平行四边形.
又∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFC＝90°.∴ 四边形DFCG是矩形
04
课堂练习
拓展题
（2） 若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长.
（2） ∵ DF⊥BC，∴ ∠DFB＝90°.∵ ∠B＝45°，∴ △BDF是等腰直角三角形.∴ BF＝DF＝3.∵ 易知DG＝FC＝5，∴ BC＝BF＋FC＝3＋5＝8.
由（1），可知DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴ DE＝ BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°.
∴ EG＝DG－DE＝5－4＝1.
∴ 在Rt△CGE中，CE＝ ＝ ＝ .
∵ E为AC的中点，∴ AC＝2CE＝2
05
课堂小结
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
判定定理
06
板书设计
21.3.1矩形（第2课时）
矩形的判定定理：
Thanks!
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