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2026 年省丹中高三数学一模卷
2026.3
满分 150 分, 考试用时 120 分钟
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 的元素个数为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 已知复数 在复平面内对应点的坐标为 ，则复数 的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 设 ,则曲线 在点 处的切线的斜率为( )
A. -1 B. -4 C. 1 D. 4
4. 已知 是等比数列,则 “ ” 是 “ 是增数列”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知向量 ，若 ，则 ( ).
A. B. C. D.
6. 从编号 1~10 的 10 张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件 : “第一次抽到的卡片编号数字为 5 的倍数”,事件 : “第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”,则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为 3 的球面上, 当该圆锥的侧面积最大时, 它的体积为 ( )
A. B. C. D.
8. 已知 为椭圆 的左、右焦点, 为椭圆 的上顶点, 为椭圆 的右顶点,连接 交椭圆 于另一点 ,若 ,则椭圆 的离心率为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每个小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的 得 0 分.
9. 在某校文艺汇演中, 六位评委对某小品节目进行打分, 得到一组分值 7.7, 8.1, 8.2,
8.7, 9.4, 9.9, 若去掉一个最高分和一个最低分, 则 ( )
A. 这组分值的极差变小 B. 这组分值的均值变大
C. 这组分值的方差变小 D. 这组分值的第 75 百分位数不变
10. 如图点 是棱长为 2 的正方体 的表面上一个动点, 是线段 的中点, 则 ( )
A. 当 为 的中点时,
B. 当 在面 上,且直线 与 所成的角为 时,点 的轨迹长度为
C. 三棱锥 体积的最大值为
D. 当 平面 时，线段 长度最大值为
11. 数学中有许多美丽的曲线,图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成,曲线 , 上顶点为 ,右顶点为 ,曲线 上的点满足到 和直线 的距离之和为定值 4, 已知两条曲线具有公共的上下顶点,过 作斜率小于 0 的直线 与两曲线从左到右依次交于 且 ，则( )
A. 曲线 由两条抛物线的一部分组成
B. 线段 的长度与 点到直线 的距离相等
C. 若线段 的长度为 ，则直线 的斜率为
D. 若 ,则直线 的斜率为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知随机变量 ,且 ,则 展开式中各项系数之和为_____.
13. 已知 ,若在区间 上存在两个不相等的实数 ,满足 ，则 的最小正整数为_____.
14. 以 间的整数 为分子,以 为分母组成分数集合 ,其所有元素和为 ; 以 间的整数 为分子,以 为分母组成不属于集合 的分数集合 ,其所有元素和为 ,依次类推以 间的整数 为分子,以 为分母组成不属于 的分数集合 ,其所有元素和为 ; 则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. AI 幻觉, 是指 AI 模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象, AI 幻觉率是指 AI 模型产生 AI 幻觉的概率.现抽取了某公司研发的 14 个使用率较高的 AI 模型, 其幻觉率如下表所示:
A I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
模型
幻觉率 1.3 % 1.8 % 2.9 % 1.5 % 1.9 % 2.9 % 0.7 % 0.9 % 1.6 % 2.4 % 0.8 % 1.6 % 2.4 % 2.8 %
(1)从表中提供的 AI 模型中任取一个，求该模型幻觉率小于 2%的概率；
(2)从表中提供的幻觉率小于 2% 的 AI 模型中任取 3 个，用随机变量 表示其中幻觉率小于 1.3% 的模型个数,求随机变量 的分布列和数学期望.
16. 如图,在多面体 中,底面 是平行四边形, , 为 的中点, .
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 在 中，角 所对的边分别为 ，满足 .
(1)求角 ；
(2)若 恒成立，求实数 的最小值.
18. 已知双曲线 的焦距为 ，右顶点为 ，直线 与双曲线 相交于 两点,且与 的一条渐近线相交于点 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)是否存在直线 ，使得 与 的面积相等？若存在，求出直线 的方程；若不存在, 请说明理由;
(3)若直线 分别与 轴相交于 两点,证明: 为定值.
19. 设 .
(1)求证: 在 上恒成立；
(2)若曲线 上存在一点 (不同于坐标原点),使得曲线 在点 处的切线与圆 (其中 ) 相切,求实数 的取值范围;
(3) 设 ,点 在函数 的图像上,且 的横坐标 ,
. 曲线 是由所有的线段 构成的折线图,求证: 对于任意的 ,直线 与 的交点不可能有无穷多个.
1. C
因为集合 ,
集合 ,
所以 ,
所以 的元素个数为 5 .
故选: C
2. B
由题意知, ,
,
复数 的虚部为 .
故选: B
3. A
因为 ,
所以 ,
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 -1 .
4. B
由数列 是等比数列,可假设 ,
则 ,
可知 ,但数列 不是递增数列,
若数列 是递增等比数列,由定义可知, ,故
" " 是 " 是递增数列"的必要不充分条件
故选: B
5. A
因为 ,所以 .
所以 .
故选: A
6. B
由题意,在 这 10 个数字中,5 的倍数有 5、10,共 2 个,
所以事件 发生的概率 ,
记事件 表示“第一次抽到的卡片编号数字为 5 的倍数且第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”,
若第一次抽到 5 ，那么第二次从剩下 9 张卡片中抽小于 5 的卡片，有 4 种抽法；
若第一次抽到 10 ，那么第二次从剩下 9 张卡片中抽小于 10 的卡片，有 9 种抽法；
所以 .
根据条件概率公式, .
故选: B.
7. D
如图,圆锥顶点为 ,底面圆心为 ,底面圆周与顶点均在球心为 的球面上.
先设参数确定圆锥侧面积,记 ,由 ,圆锥侧面积为
由直角三角形 和直角三角形 可得 ,
于是 ,
令 .
求导 ,令 ,解得 (舍去), ,所以 在 上单调递增; 在 上单调递减.
所以 时, 取得最大值,即圆锥的侧面积最大,
此时 ,所以圆锥体积 .
8. B
如图,连接 ,因为 为椭圆 的上顶点,所以 ,
因为 ,所以 ,故 ,
解得 ,设 ,则 ,
,由余弦定理有 ,
即 ,解得 ,
因为 ,所以 ,
化简得 ,即 ,
整理得 ,解得 ,故 正确.
故选: B.
9. AC
原始数据: 7.7, 8.1, 8.2, 8.7, 9.4, 9.9,
去掉一个最高分和一个最低分后: 8.1, 8.2, 8.7, 9.4,
极差分别为 ,极差变小,故 A 正确;
均值分别为 ,
,均值变小,故 B 错误;
方差分别为
,方差变小,故 正确;
,
第 75 百分位数分别为 ,第 75 百分位数变小,故 错误.
10. ACD
对于 ,当 为 的中点时,
因为 是线段 的中点,所以 ,
在正方体中, 平面 ,
因为 平面 ,所以 ,
因为 ,且 平面 ,
所以 平面 ,
因为 平面 ,所以 ,故 A 正确;
对于 ,连接 ,以 为圆心, 为半径画 ,如图 1 所示,
图1
当点 在弧 上时,直线 与 所成的角为 ,
长度 ，故点 的轨迹长度为 ，故 错误:
对于 ,因为 ,而等边 的面积为定值 ,
要使三棱锥 的体积最大,当且仅当点 到平面 的距离最大,
易知点 是正方体到平面 距离最大的点,
所以 ,此时三棱锥 即为棱长是 的正四面体,
其高为 ,
所以 ,故 正确;
对于 ,取 的中点分别为 , 连接 ,如图 2 所示,
图2
易知 面 平面 ,
故 平面 平面 平面 ,
故 平面 ,又 平面 ,
故平面 平面 ,又 ,
故平面 与平面 是同一个平面,则点 的轨迹为该正六边形,
故 ,故 长度的最大值为 ,故 D 正确.
11. ABD
对于 选项,设曲线 上任意一点 ,
由 定义可知, 满足 ,
移项,平方可得: ,
即 ,为两条抛物线,故 正确;
对于 选项， 和直线 分别为抛物线 的焦点和准线，由抛物线定义可知，
故 正确
对于 选项，设 与 轴夹角为 同时为抛物线 和椭圆的焦点， ，
解得 ,则 ,故 错误.
对于 选项，易知 为抛物线 和 的焦点，
前者 ,后者 分别为两个抛物线的较短的焦半径,因此
,由于 ,
则 ,因此 ,所以 ,故 正确,
故选: ABD
12. 32
因为 ,所以 ,解得 ,
代入可得 ，
令 ,可得 展开式各项系数和为 .
故答案为: 32 .
13. 5
因为 ,所以 ,
又函数 在区间 上存在两个不相等的实数 使得
且 ,
所以函数在区间 上至少存在两个最大值点,
所以 ,解得 ,
所以 的最小正整数为: 5 .
14.
由题意
15.(1)14 个 AI 模型, 幻觉率高于 2% 的有 2.9%, 2.9%, 2.4%, 2.4%, 2.8%，共有 5 个,
所以幻觉率低于 2% 的概率为 .
(2)幻觉率低于 2% 的 AI 模型中共 9 个，其中低于 1.3% 的模型有 3 个，故
故分布列为
0 1 2 3
20 84 45
故 .
16.(1) 在 中, ,
由余弦定理可得 ,
所以 ,所以 ,所以 ,
又因为 平面 ,
所以 平面 .
(2)由(1)知 平面 ， 平面 . 所以 ，
由于 ,所以四边形 为平行四边形,所以 ,
因为 ,所以 ,
又因为 平面 ,
所以 平面 ，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 , ,
易知平面 的一个法向量 ,
设平面 的一个法向量 ,
因为 ,
所以 ,令 ,则 ,
所以 ,
设平面 与平面 夹角为 ,
所以 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17.
(2)
(1) 由 ,
由正弦定理得, ,
又 ,
所以 ,
即 ,
又因为 ,所以 ,所以 ,
又 ,所以 .
(2) 恒成立，
即 恒成立,即求 的最大值,
由余弦定理得 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以 ,
所以实数 的最小值为 .
18. (1)由题,设双曲线 的焦距为 ,则 ,即 ,
根据双曲线的性质可知,点 在渐近线 上,
所以 ,即 ①,
又 ，所以 ②
又①②解得 ，
所以 的标准方程为 .
(2)不存在, 理由如下:
假设存在直线 ,使得 与 的面积相等,
则点 为 的中点,设 ,代入 的方程得: 两式作差得 ,
因为点 为 的中点,所以 ,
故 ,即直线 的斜率为 ,
故直线 ,即 ,
此时,直线 与 的渐近线重合,与 没有交点,与已知矛盾,
所以不存在直线 ,使得 与 的面积相等
(3)证明:由题可知，直线 的斜率存在，设直线 ，与 的方程联立
由题, ,得 ,且 ,
设 ,则 ,
设 ,又 ,所以 ,
令 得 ,同理可得 ,
故 ,
又
,
,所以
所以 的中点为 ,
因为 ,所以 ,
所以 为定值. 得证.
另解: 设 ,又 ,所以 ,
令 得 ,同理可得 ,
双曲线的方程化为: ,即 ,
设直线 ,即 ,
联立得 ,
所以 ,
等式两边同时除以 得: ,
设 ,易得 满足方程 ,
则 为方程 两根,由韦达定理可得
,故 ,
所以 的中点为 ,
因为 ,所以 ,
所以 为定值. 得证
19.(1) 令 , 在 上为单调递增函数, , ,所以 在 上恒成立,即 在 上恒成立.
(2) 在曲线 上， ， ， 设 ，
不同于坐标原点, ,
曲线 在点 处的切线的斜率为 ,
切线方程为 ,即 ,
圆 的圆心为 ,半径为 ,
曲线 在点 处的切线与圆 相切,
圆心 到切线方程 的距离 ,
即 ,
令 ,解得 ,
则 时 取最大值,且最大值为 ,
实数 的取值范围 .
(3) ,
当 时, ; 当 时, ;
则点 在曲线 上,点 在 上,
当 ,
,
线段 的方程为 ,
即 ,
在 上任取一点 ,
设 ,
,
,
在 上是单调递增函数,
,
线段 均在曲线 下方,
直线 与 的交点都在 轴的上方.
令 ,则 ,
当 时， ，则 在 上是单调递增函数，
当 时, ,则 在 上是单调递减函数,
当 时, 取最小值,且最小值为 .
当 时, ,故 ,即直线 在曲线 上方,与折线段无交点;
当 时直线 与曲线 相切于点 ,与折线段无交点;
当 时, ,在 范围内的根不影响交点个数,
故存在唯一 使得 .
当 时,直线 在曲线 上方,与折线段无交点;
当 时,在这段区间上 只有有限条线段,交点个数有限.
综上,直线 与 的交点不可能有无穷多个.

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