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中华中学 2026 届高三年级适应性练习 数 学
本卷考试时间:120 分钟 总分:150 分
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B.
C. D.
2. 已知复数 ( 为虚数单位),则 等于( )
A. -1 B. 1 C. -i D. i
3. 已知向量 满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 若 ，则 ( )
A. B. C. D.
5. 的展开式中 的系数为( )
A. 88 B. 89 C. 90 D. 91
6. 已知正数 成等差数列,则 的最小值为 ( )
A. B. C. 6 D. 4
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,离心率为 ,过点 且与该双曲线的一条渐近线平行的直线与 相交于点 ,则 ( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
8. 若函数 满足 ,设 的导函数为 ,当 时, ,则
A. 65 B. 70 C. 75 D. 80
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有错选 得 0 分.
9. 下列说法正确的是( )
A. 数据28,13,15,31,16,18,20,24的中位数是 19
B. 若 两组成对数据的样本相关系数分别为 ,则 组数据比 组数据的线性相关性更强
C. 从小到大顺序排列的数据 ,其极差与平均数相等,则方差为 6
D. 数据 的平均数为 ,数据 的平均数为 ,则有
10. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体, “等腰四面体”就是其中之一, 所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体. 关于 等腰四面体”，以下结论正确的是( )
A. “等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形
B. “等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形
C. 三组对棱长度分别为5,6,7的“等腰四面体”的体积为
D. 三组对棱长度分别为 的“等腰四面体”的外接球直径为
11. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,若 , 则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 方程 有两个解
D. 在区间 上单调递增
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知数列 的通项公式为 ,函数 ,求
13. 若曲线 与圆 有公共点 ,且在点 处的切线相同，则实数 _____.
14. 已知项数为 10 的数列 中任一项均为集合 中的元素,且相邻两项满足 . 若 中任意两项都不相等,则满足条件的数列 有_____个.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤.
15. 的内角 的对边分别为 ,已知 . (1)若 ，求 的面积；
(2)若角 为钝角，求 的取值范围.
16. 如图,点 是以 为直径的半圆上的动点,已知 ，且 ，平面 平面
(1)证明: ；
(2)若线段 上存在一点 满足 ，当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子(点数为1,2,3,4,5,6)玩游戏，游戏规则如下: 每次由 1 人投掷手中的两颗骰子，在一次投掷后，若掷出的点数之和为 4 的倍数，则由原来投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是 4 的倍数，则由对方接着投掷。
(1)求小明在一次投掷后，掷出的点数之和是 4 的倍数的概率；
(2)规定第一次从小明开始，在游戏的前 4 次投掷中，设小芳投掷的次数为随机变量 ，求 的分布列和均值;
(3)若第一次从小芳开始，求第 次由小芳投掷的概率 .
18. 已知 分别为椭圆 的左，右焦点， 为 的上顶点，点 为椭圆 上的一个动点,且三角形 面积的最大值为 1,焦距为 2 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，过点 ， 作两直线 ， 分别与椭圆 相交于点 ， 和点 ， .
(i) 若点 不在坐标轴上,且 ,求直线 的方程;
(ii) 若直线 斜率都存在,且 ,求四边形 面积的最小值.
19. 已知函数 .
(1)若函数 为增函数，求 的取值范围；
(2)已知 .
(i) 证明: ;
(ii) 若 ,证明: .
1. C
由 或 ,又 ,
故选:
2. A
因为 ,
所以 .
故选: A.
3. C
解: 因为 ,
所以, ,
所以, .
又 ,
所以 .
故选: C
4. D
由 ,得 ,
两边平方,得 ,即 .
所以 .
故选: D.
5. D
的通项公式为 ,
且 ,
当 时, ;
当 时, ,
故 的系数为 .
故选: D
6. A
由题意可知 ,即 ,则 , 由基本不等式可知 ,当且仅当 时,即 时取等号, 则 ,所以 ,当且仅当 ,即 时取等号,
综上所述,当 时, 取得最小值 .
7. C
已知双曲线 离心率 ,所以: , 又 ,代入 得: , 故渐近线方程为 ,
取右焦点 ,并作平行于渐近线 的直线: ,
联立直线与双曲线方程得: ,
化简: ,
分子: ,
所以 ,
代入直线方程求 ,
因此 ,点 位于双曲线右支,
故 ,
由双曲线定义 ,得: ,
故 .
故选:
8. A
由 ,知函数关于 点对称, 结合当 时, ,作出函数图象如图,
为向上攀爬的类周期函数,由图象可得 ,
由 可得 ,
由 可得 ,
所以 ,则有 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
故选:A.
9. ABD
对于 ,从小到大排序如下:13,15,16,18,20,24,28,31,
故中位数为 ,正确,
对于 ,所以 组数据比 组数据的线性相关性更强,正确,
对于 ,由题意可知: 极差为 ,平均数为 , 则 ,解得 ,所以平均数为 7,
方差为 ,错误;
对于 ,因为 ,所以 , 则 ,正确;
故选: ABD
10.
如图, 将“等腰四面体”补成一个长方体.
设此“等腰四面体”的对棱棱长分别为 ，
与之对应的长方体的长宽高分别为 ,
则 得 .
结合图形, 容易判断出 AB 都是正确的;
对于 ,由 ,得 ,
因为“等腰四面体”的体积是对应长方体的体积减去四个小三棱锥的体积，
所以“等腰四面体”的体积为 ,故 正确；
对于 ,三组对棱长度分别为 的“等腰四面体”的外接球直径为 ,故 D 不正确.
故选: ABC
11. ACD
设 ,则 ,
设 恒成立,故函数单调递增, ,
当 时, ,当 时, ,
故当 时, ,当 时, ,
函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
故 ,即 ,即 ,选项 正确;
,故 ,选项 错误;
设 ,则 ,
设 ,
则当 时， ；
当 时, ,且 ,故 ;
当 时, ,
当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,
又 ,使得 ,
即当 时, ,当 时, ;
综上:
当 时, ,即 单调递增;
当 时, ,即 单调递减,
,当 时, ,当 时, ,
且当 趋于正无穷时, 趋于 0,又 ,
方程 有两个解,即方程 有两个解,选项 正确;
由 可得 ,
令 ,则
由以上分析可知,当 时, ,即 单调递增,
,故 在区间 上单调递增,选项 D 正确.
故选: ACD
12.
因为 ,
所以
所以
故答案为:
13.
由 知定义域为 ,则 ,
此时曲线在点 处的切线斜率为: ,
又圆 的圆心 与点 所在直线的斜率为: ,
所以圆在点 处的切线斜率为: ,
由题意知 ,①
又 在圆上所以: ,
将①代入②中得: ，
化简得: ,解得: 或 (舍去),
又由题意知 ,所以 ,此时 ,所以 ,
将 代入 中有: ,解得: .
14. 13122
由于 ,可以先将1,2,3任意排列,
再将 4 插入该数列，但不能在 1 的左边且与 1 相邻，共有 种，
再将 5 插入该数列，同样 5 不能在 1 和 2 的左边且与 1,2 相邻，共有 种，
再将 6 插入该数列，同样 6 不能在 1,2 和 3 的左边且与 1,2,3 相邻，共有 种，
以此类推,将 10 插入该数列,共有 种.
故答案为: 13122 .
15.
(2)
(1) 因为 ,
所以由余弦定理: ,
所以由正弦定理 ,
又因为 ,
所以 ,因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
由余弦定理 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 的面积 .
(2)因为角 为钝角，所以 ，所以 ，
因为 ,所以 ,
代入 得 ,
因为 ，所以 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
16.(1) 过点 作 于 ,
由平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
平面 平面 ,故 ,又 为直径,易知 ,
且 平面 ,所以 平面 平面 ,
,且 平面 ,
平面 平面 ,故 .
(2)由(1)知， ， 当 时， 取到最大值，过点 作 于 ， 建立以 为原点， 为 轴， 为 轴,过 点垂直于平面 的方向为 轴, 设平面 与平面 的法向量分别为 .
则 ,
所以 ,则 ,
令 ,可得 ,
所以 ,因为平面 的法向量为 ,
则平面 与平面 夹角的余弦值 .
17. (1)设事件 为“小明投掷一次骰子后,点数之和为 4 的倍数”,
则基本事件为:
总数为 36 ,
事件 包含的基本事件有: , 共 9 个基本事件,所以 .
(2)由(1)知小芳投掷一次后，出现点数之和是 4 的倍数的概率也为 ，
由题意知 可取值为0,1,2,3,则:
所以 的分布列为:
0 1 2 3
6 21 64 39 64
数学期望为: .
(3)若第一次从小芳开始，则第 次由小芳投掷骰子有两种情况:
第一种情况: 第 次由小芳投掷,第 次继续由小芳投掷,其概率为 ,
第二种情况: 第 次由小明投掷,第 次由小芳投掷,其概率为
由于这两种情况彼此互斥,所以 ,
所以 ,且 ,
所以 是以 为首项, 为公比的等比数列,
所以 ,即 .
18.
(2) (i) ; (ii)
(1) 由题意得 ,
故 .
故椭圆 的标准方程为 .
(2)如图:
(i) 设 的倾斜角为 的倾斜角为 ,则 , 所以 ,
又 ,
所以 .
由题意 的斜率不为零,设
联立 得 ,
恒成立.
设 ,则
,
又 ,所以 ,
即 ,所以 ,
因为 ，所以 ，所以 的方程为
(ii) 设 ,
联立 ,化简得 ,故 恒成立.
由韦达定理得: ,
因为 ,所以
同理
所以 ,当且仅当 ,即 时,取等号.
所以,当 时,四边形 面积的最小值为 .
19.(1) ,则 ,
若 是增函数,则 ,
且 ,可得 ,
故原题意等价于 对 恒成立,
构建 ,则 ,
令 ,解得 ; 令 ,解得 ;
则 在 上递增,在 递减,故 , 的取值范围为 .
(2)(i)由(1)可知:当 时， 单调递增，
,则 ,即 ,
整理得 ,
构建 ,则 ,
令 ,解得 ; 令 ,解得 ;
则 在 上递减,在 递增,
故 ,即 ,当且仅当 时等号成立,
令 ,可得 ,
故 ;
(ii) ,则 ,
可知 有两个不同实数根 ,由 (1) 知 ,
可得 ,
同理可得 ,
构建 ,则 ,
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
且 ,故 对 恒成立,
故 在 上单调递减,
,则 ,即 ,
且 ,则 ,故 ,
可得 ;
又 ,由 (i) 可得 ,即 ,
则 ,
且 ,则 ,
可得 ;
综上所述: .
可得 ,则
故 .

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