资源简介

2026 年春学期金坛区第一中学高三年级 3 月质量调研数学 试卷
一、单选题(本大题共 8 小题，共 40 分.)
1. 已知集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知 为虚数单位,则 ( )
A. 10i B. C. 11i D.
3. 已知 为正项等比数列 的前 项和,若 ,则 的公比 ( )
A. 3 B. 2 C. D.
4. 设平面向量 满足 ，则 ( )
A. 3 B. 2 C. D. 1
5. 在平面直角坐标系 中,第一象限内的动点 ,若点 在直线 上,则 的最小值为( )
A. B. C. 1 D.
6. 若 为奇函数,则 的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
7. 过点 作曲线 的切线 ,则 的斜率为( )
A. 1 B. C. D.
8. 在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑 中, 平面 ,且 为 的中点,则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共 4 小题，共 20 分.在每小题有多项符合题目要求)
9. 如图是一个古典概型的样本空间 和事件 和 ,其中 , ,下列结论正确的有( )
A. B. 事件 与 互斥
C. D. 事件 与 相互独立
10. 已知函数 是函数 的一个极值点,则下列说法正确的是 ( )
A. B. 函数 在区间 上单调递减
D. 函数 有 5 个零点
11. 已知函数 ,下列结论正确的有( ).
A. 是奇函数
B. 在 上单调递增
C. 无极大值
D. 的最小值为
三、填空题(本大题共 4 小题，共 20 分)
12. 已知直线 和圆 ,点 是直线 上的一动点,过点 作圆 的切线，切点为 ，则线段 长度的最小值为_____.
13. 有 1000 张从 1 开始依次编号的多米诺骨牌, 从小到大排成一行, 每次从中去掉处在奇数位置的牌, 则最后剩下的一张牌是_____号.
14. 已知函数 ,若 ，则函数 的最小值为_____；若 ， 都有 ，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题 (本大共 6 小题, 共 70 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步 骤)
15. 记 为等比数列 的前 项和,已知 .
(1)求 的通项公式；_____
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
16. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率为 ，且各自投篮互不影响.
(1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率；
(2)求甲获胜的概率.
17. 如图，在三棱台 中， ，平面 平面 ， .
(1)证明: 平面 ；
(2)若三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,离心率为 ,点 是 右支上一点, 的面积为 4 .
(1)求 的方程；
(2)点 是 在第一象限的渐近线上的一点， 轴，点 是 右支在第一象限上的一点， 且 在点 处的切线 与直线 相交于点 ,与直线 相交于点 . 试判断 的值是否为定值 若为定值, 求出它的值; 若不为定值, 请说明理由.
19. 已知函数 ,其中 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
( 2 )若 的最大值是 ，求 的值；
(3)设函数 ，若 有两个极值点 ，证明:
1. A
因为 ,
所以 .
故选: A.
2. B
.
故选: B
3. B
由题意知正项等比数列 的公比 ,
若 ,则 ,
故 ,
所以 ,解得 , 的负值舍去
故选: B
4. C
,
所以 .
故选: C
5. B
如图,过点 作点 关于线段 的对称点 ,则 .
设 ,则有 ,解得 ,所以 .
设第一象限内的点 ,则 ,所以 ,
而 ,所以点 到 轴的距离为 ,
所以 可视为线段 上的点 到 轴的距离和到 的距离之和.
过 作 轴,显然有 ,
当且仅当 三点共线时,和有最小值.
过点 作 轴,则 即为最小值, 与线段 的交点 ,
即为最小值时 的位置.
因为 ,所以 的最小值为 .
故选: B.
6. D
函数 为奇函数, 的定义域为 ,
由 ,
函数 的定义域为 ,
函数 在定义域内单调递增,
当 时, 的单调递增区间为 ,
所以 的单调递增区间为 .
故选: D.
7. C
设切点为 ,切线斜率为 ,曲线为 ,
由导数的几何意义得 ,
故切线方程为 ,将 代入方程,
得到 ,解得 ,则 ,故 正确.
故选: C.
8. C
取 的中点 ,连接 ,如图所示:
分别为 的中点,则 且 ,
异面直线 与 所成的角为 或其补角.
平面 平面 ,
,同理可得 ,
,则 ,
故选:C.
9. ACD
，A 对；
与 不互斥, 错;
对;
又 ,
事件 与 相互独立 对.
故选: ACD
10. AD
对于 中,由函数 ,可得 ,
因为 是函数 的一个极值点,可得 ,
解得 ,经检验适合题意,所以 正确;
对于 中,由 ,令 ,解得 或 ,
当 时, ; 当 时, ; 当 时, ,
故 在区间 上递增,在区间 上递减,在区间 上递增,所以 错误; 对于 中,设过点 且与函数 相切的切点为 ,
则该切线方程为 ,
由于切点 满足直线方程,则 ,
整理得 ,解得 ,所以只能作一条切线,所以 错误;
对于 中,令 ,则 的根有三个,如图所示, ,
所以方程 有 3 个不同根,方程 和 均有 1 个根,
故 有 5 个零点,所以 正确.
故选: AD.
11. BC
对于
,
A 错误;
对于 ,
当 时, ,
且 为增函数,所以在 上, 单调递减;
在 上, 单调递增;
且 ,故 正确;
对于 ,由 单调区间可知, 无极大值, 正确;
对于 ,由单调区间可知, , 故 D 错误;
故选: BC.
12. 2
根据圆的切线性质可知, ,在 Rt 中,由勾股定理可得
已知圆 的方程为 ,则半径 ,所以 ,
要使 最小,则需 最小,所以 的最小值为圆心 到直线 的距离 ,
根据点到直线的距离公式可得: ,
将 代入 ,可得 ,
因此,线段 长度的最小值为 2 .
故答案为: 2 .
13. 512
第一次: 余下编号 ,编号为 ,共 500 项;
第二次: 余下编号 ,编号为 ,共 250 项;
第三次: 余下编号 ,编号为 ,共 125 项;
第四次: 余下编号 ,编号为 ,共 62 项;
第五次: 余下编号 ,编号为 ,共 31 项;
第六次: 余下编号 ,编号为 ,共 15 项;
第七次: 余下编号128,256,384,512,640,768,896,编号为 ,共 7 项;
第八次: 余下编号256,512,768,编号为 ,共 3 项;
第九次: 余下编号512,编号为 ,共 1 项;
综上, 最后剩下 512.
故答案为: 512
14.
若 ,则 ,
,
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增.
.
若 ,都有 ,
则 ,
在 单调递增,
在 恒成立,
即 ,
又 ,
当且仅当 时,等号成立;
.
故答案为: .
15. (1)
(2)
(1) 由 ,
当 时, ,
两式相减得, ,即 ,
因为数列 为等比数列,所以数列 的公比为 -2,
当 时, ,而 ,解得 ,
所以 .
(2)由(1)知， ，则 ，
所以 ,
则 ,
两式相减得, ,
则 .
16.
(2)
(1)设事件 “甲在第 次投篮投中”，事件 “乙在第 次投篮投中”， ， 则 ,
记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件 ,则 ,
可得 ,
所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为
(2)记“甲获胜”为事件 ，则 ， 可得 , 所以甲获胜的概率为 .
17.(1)如图，在等腰梯形 中，连接 ，
又 ,可以解得 ,
在三角形 中， ，
又 平面 平面 ,且平面 平面 ,
,且 平面 ,
平面 .
又 ,且 平面 ,
平面 .
(2)由(1)可知， ， .
以 为原点，以 为 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系 .
可得: .
易知平面 的一个法向量为 ,
设平面 的法向量为 ,又 ,
由
令 ，解得平面 的一个法向量为 ，
.
平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
18.
(2)是定值 .
( 1 ) 的面积为 4，则 ，得 . 由离心率为 ,得 ,解得 ,所以 ,所以 的方程为 .
(2)为定值.
设 ,由题意可知,直线 的斜率存在,设直线 的方程为 .
由 ,可得 ,所以在第一象限内 .
所以 ,故 .
因为 ,所以 ,
代入直线 的方程，得 .
即 . 由 ,可得 ,所以直线 的方程为
,即
因为直线 的方程为 ,所以直线 与直线 的交点 的坐标为 .
直线 与直线 的交点 的坐标为 .
所以 .
所以 ,即 的值为定值 .
19. (1) 当 时,则 .
可得 ,
即切点坐标为 ,切线斜率 ,
所以切线方程为 ,即 .
( 2 )函数 的定义域为 ，又 .
当 时, ,即 在 上单调递增,
当 时, ,即 在 上单调递减,
所以 的最大值为 ,
故 ,整理得到 ,其中 ,
设 ,则 ,
故 为 上的减函数,而 ,
故 的唯一解为 ,故 的解为 .
综上所述, .
(3)由题意得，函数 的定义域为 ，且 ，
又 ,令 ,
因为函数 有两个极值点 ,则 是方程 的两个根,
所以 ,即 ,且 ,
所以
令 ,则 ,
当 时， ，则 在区间 上单调递减，
从而 ,
故 .

展开更多......

收起↑