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2026 届高三一模数学试题
一、单选题(每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知 为坐标原点， ， ， 两点在单位圆 上，满足 ，以线段 为邻边作平行四边形 ,则 的最大值为 ( )
A. B. C. D.
3. 如图所示，在 中， ， ， ， 是 的中点，点 在 上,且 . 则 ( )
A. B. C. D.
4. 棱长为 1 的正方体 中，点 在线段 上(不与 重合)， 于 于 ，以下结论错误的是( )
A. 平面 ;
B. 线段 与线段 的长度之和为定值;
C. 线段 长度的最小值为 ;
D. 面积的最大值为 ；
5. 已知奇函数 的定义域为 ,当 时, ,则( )
A. B.
C. D.
6. 在 中， ， 为 边上的中点，且 ，则 的面积为 ( )
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ,椭圆 的离心率为 ,双曲线 的离心率为 ,点 为椭圆 与双曲线 的交点, 且 ,则当 取最大值时, ( )
A. B. C. D.
8. 如图,在平面直角坐标系 上,有一系列点 , 每个点 均在函数 的图象上. 已知以点 为圆心的 均与 轴相切, 与 外切,且 ,则( )
A. 是等比数列,且公比为
B. 是等比数列,且公比为
C. 是等差数列,且公差为 2
D. 是等差数列,且公差为 4
二、多选题(每小题 6 分，共 18 分)
9. 上饶市某学校从高一的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高, 被测学生身高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组 [155,160)，第二组 ,第八组 . 下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分, 已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为 4 人.以下说法正确的是( )
A. 第二组的频率为 0.016
B. 第七组的频率为 0.06
C. 估计该校高一 800 名男生的身高的中位数约为 174.5cm
D. 估计该校高一 800 名男生的身高的平均数约为 174.1cm
10. 定义在 上的函数 对任意实数 均满足 ,且当 时, . 则下列结论正确的是 ( )
A.
B. 函数 为偶函数
C. 在 上单调递减,在 上单调递增
D. 不等式 的解集为
11. 双曲线具有丰富的光学性质. 例如,从双曲线的一个焦点 处发出的光线,经过双曲线在点 处反射后,反射光线所在直线经过另一个焦点 ,且双曲线在点 处的切线平分 . 如图,已知等轴双曲线 经过点 ,其左、右焦点分别为 . 若从 发出的光线经双曲线右支上一点 反射后的光线为 ,双曲线 在点 处的切线交 轴于点 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 双曲线 的方程为
B. 过点 且垂直于 的直线平分
C. 若 ,则
D. 若 ，则 的面积为
三、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
12. 二项式 的展开式中 的系数为_____.
13. 已知直线 与函数 的图象相切,则实数 _____.
14. 一个不均匀的骰子,掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列. 独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为 . 若事件 “ ” 发生的概率为 ，则事件 “ ”. 发生的概率为_____.
四、解答题(本题共 5 题，第 15 题 13 分，第 16-17 题每题 15 分，第 18-19 题 每题 17 分, 共 77 分)
15. 已知数列 满足 .
(1)证明:数列 是等比数列；
(2)求 的通项公式，并求 的前 项和 .
16. 已知集合 含有 个元素，其中 ，先后两次随机、独立地选取集合 的两个子集， 记为 与 . 设 为集合 中元素的个数,
(1)若 ，且 ，请列举所有满足条件的 和 ；
(2)求随机变量 的数学期望 ；
(3)设 在 处取得最大值,试建立 与 的关系.
17. 如图,在直三棱柱 中， . 若 分别为棱 上的动点,且 ，点 在平面 上的射影为点 .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
18. 已知函数 .
(1)求 的定义域；
( 2 )当 ，证明: ；
(i) 若 ,证明: ;
(ii) 若 存在三个极值点,求实数 的取值范围.
19. 已知椭圆 的焦距为 2,且过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为 的左焦点，点 为直线 上任意一点，过点 作 的垂线交 于两点， ，
①证明: 平分线段 (其中 为坐标原点)；
②当 取最小值时,求点 的坐标.
1. C
依题意, 且 , 所以 .
故选: C
2. D
由题可知以线段 为邻边所作的平行四边形 是边长为 1 的菱形, ,
所以 ,
所以点 在以 为圆心,半径为 的圆上,
所以 的最大值为 .
故选: D
3. B
由 ,得 .
由 是 的中点知, ,且 ,得
所以 .
则
.
故选: B.
4. D
对于 : 如图,在正方体 中, 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 ,
又平面 平面 平面 且 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,
又 平面 ,所以 平面 ,故 A 正确;
对于 : 因为 平面 平面 ,
所以 ，所以 ，所以 ，即得 ；
又由 ,所以 ,所以 ,所以 ,
即得 ,
所以 ,即 为定值1,故 B 正确;
对于 ,由 知 平面 ,因 平面 ,则有 ,
所以 的面积 ，当且仅当 时等号成立,
即当 时， 面积的最大值为 ，故 D 错误；
对于 ,由 知 ,则 ,当且仅当 时等号成立,
即当 时，线段 长度的最小值为 ，故 正确.
故选: D.
5. C
令 ,因为当 时, ,
所以 ,所以 在 单调递增,
定义域为 ,对 ,
且 ,所以 是偶函数,
对于 : 因为 ,即 ,所以 错误;
对于 : 因为 ,即 ,所以 正确;
对于 : 因为 ,即 ,所以 错误.
故选: C.
6. D
在 中,由余弦定理得
,
而 ,则 ,
两式联立解得 ，所以 的面积为 .
故选: D
7. C
设 为第一象限内的交点, ,焦距为 .
椭圆的定义: ,
双曲线的定义: (因 在第一象限, ),
解得: .
在 中, ,由余弦定理,得 ,
得 ,即 ,
交叉相乘并整理:
,
两边除以 ,结合 ,得 .
当且仅当 ,即
因 ,故 ,则 时等号成立,即 取最大值 .
因此, .
综上所述,当 取最大值时, .
故选: C
8. C
因为 与 相外切,所以 ,
即 ,
所以 ,
因为每个点 均在函数 的图像上,可得 ,
所以 ,即 ,所以 ,
所以数列 是等差数列,且公差为 2,
所以 ,则 ,
此时数列 不是等比数列.
故选: C.
9.
对于 ,第二组的频率为 ,故 错误;
对于 ,由题意得第六组人数为4人,则有第六组的频率为 ,纵坐标为 0.016,
所以第七组的满足 ,故 正确;
对于 ,由直方图得,身高在第一组 的频率为 ,
身高在第二组 的频率为 ,
身高在第三组 的频率为 ,
身高在第四组 的频率为 ,
由于 ,
设这所学校高一 800 名男生的身高中位数为 ，则 ，
则有 ，解得 ，故 正确；
对于 ,设这所学校高一800 名男生的身高平均数为 ,
身高在第五组 的频率为 ,
身高在第六组 的频率为 ,
身高在第七组 的频率为 ,
身高在第八组 的频率为 ,
则有
,
故 D 正确.
故选: BCD.
10. AB
令 ,得 ,即 ,故 正确;
令 ,
则 ,
即 是偶函数,故 正确;
当 时,因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
则 在 上单调递增,故 错误;
由题意知 ,且 ,
因此不等式 可化为 ,
因为 在 上单调递增,
所以 ,解不等式得 ,故 错误.
故选: AB
11. BCD
对于 ,因为双曲线为等轴双曲线,设双曲线方程为 , 所以 ,解得 ,得到双曲线的方程为 , A 错误;
对于 ,如图,由题知 ,所以 ,
若 ,所以 正确;
对于 ,记 ,
所以 ,
又 ,得到 ,又 ,
所以 ,又 ,
由 ,得 正确;
对于 ,因为 ,
由 ,得 ,
所以 , D 正确.
故选: BCD.
12. 70
由题意知二项式 的展开式的通项为 ,
令 ,
则 的系数为 .
故答案为: 70
13.
设函数 在点 处的切线为 ,
函数 的定义域为 .
由 ,得 ,所以 ,
所以 ,解得 (舍去) 或 .
又 ，所以切点为 ，
又切点在直线 上,所以 ,解得 .
故答案为: .
14.
设掷出 点的概率分别为 ;
由于 成等差数列,且 ,故 ;
事件“ ”发生的概率为 ;
事件“ ” 发生的概率为 ;
于是 ;
由于 ,所以 . 故答案为:
15.
(1)证明: ,
两式相减得 ,
,
又 ,
数列 是首项为 2,公比为 2 的等比数列.
(2)数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
,
,
两式相加得 ,
,
当 时， 满足上式，
数列 是首项为 4,公差为 4 的等差数列,即 , ,解得 ,
.
16. (1)由题意， ;
(2)根据集合 的子集个数，可知集合 的可能情况有 种；同理，集合 也可能有 种.
因此,两集合的所有可能情况数为 .
的所有取值为 .
当 时,先从 个元素中选出 个元素,记为 ,有 种可能情况;
对于这 个元素中的每个元素 ,满足 时,
只可能满足 这三种情况之一,有 种可能情况.
因此,事件“ ” 的所有可能情况数为 ,则
由 ,可知 ,则 .
(3)若 ，由 ， ，则 ，矛盾.
若 ,由 可知,当 时,满足
当 时,满足 .
若 ,由 ,即 ,
即 ,解得 ,
从而, ,其中 为自然数.
17. (1) ,
由余弦定理得 ,
故 ,故 ,
直三棱柱 中， ，
又 平面 ,
故 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 ;
(2)以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
点 在平面 上的射影为点 ,
设 ,
故 ,
,故 ,整理得 ,
又 ,故 ,又 ,解得 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,
解得 ,令 得 ,故 ,
设直线 与平面 所成角大小为 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是
18.(1)由 ，解得 ， 所以 的定义域为
(2)当 时,
(i) 证明如下: 若 ,则 ,
所以 ,
令 ,
则 ,
因为 ,
而 ,且 ,
则 ,所以函数 在区间 上单调递减,
又 ,则当 时, ,
当 时, ,
故函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
于是 .
(ii) 由题意可知 ,
若 ,当 时,由 (i) 可知 ,
再由 为奇函数可知,
当 时, .
于是函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
此时 存在唯一的极大值点 .
若 ,令 ,
则 ,
令 ,函数 ,
则 ,故 在 上单调递增.
因为 ,故存在 使得 .
当 时， ；
当 时， .
记 且 ,则当 或 时, 单调递减;
当 时, 单调递增.
又因为 ,
当 时, ,当 时, ,
再由 为奇函数可知,
存在 ,使得 .
当 或 时, 单调递增;
当 或 时, 单调递减,
此时 存在两个极大值点 和 和一个极小值点 ,共三个极值点. 综上所述,实数 的取值范围为 .
19.(1)依题意， ， 在椭圆 上，
则 ，解得 ，所以椭圆方程为 .
(2)设 ， ， ， 的中点为 ， ,则 ,
①，直线 的方程为 ，
由 消去 并化简得 ,
所以 ,所以 ,
所以 ,所以 平分线段 .
②， ，
所以 ,
设 ,函数 在 上单调递增,
所以当 时, 取得最小值为 ,
此时 .

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