资源简介

2026 届名校联盟第一次调研
一、单选题(每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知全集 ，则 等于( )
A. B. C. D.
2. 复数 在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知数列 的前 项和为 ,则对 “ ”是“ ”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知函数 ,则它的部分图象大致是 ( )
A.
B.
C.
D.
5. 已知抛物线 ,过其焦点 的直线 与 在第一象限的交点为 ,且 ,则 的方程为( )
A. B.
C. D.
6. ( )
A. -7 B. C. D.
7. 等腰直角 中, ,点 在 外接圆上运动,若 ,则 的最大值为( )
A. B. 2 C. D. 3
8. 已知 ,则( )
A.
B.
C.
D. ，但 和 的大小关系无法确定
二、多选题 (每小题 6 分, 共 18 分)
9. 已知 的面积为 且 ， ，则 等于( )
A. B. C. D.
10. 函数 满足 ,则下列结论正确的是 ( )
A.
B. 的周期为 6
C.
D. 的图象关于直线 对称
11. 已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点,则 ( )
A. 越大,则双曲线的离心率越大
B. 过点 与双曲线仅有一个交点的直线只有一条
C. 点 到两渐近线的距离之积为定值
D. 过点 作双曲线的切线交渐近线于 两点,则 为 的中点
三、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
12. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中, 采用样本比例分配的分层随机抽样, 如果不知道样本数据, 只知道抽取了男生 20 人，其平均数和方差分别为 170 和 10，抽取了女生 30 人，其平均数和方差分别为 160 和 15. 则估计出总样本的平均数为_____.
13. 若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，则 _____.
14. 已知数列 满足 ,则数列 的通项公式为 _____.
四、解答题 (本题共 5 题, 第 15 题 13 分, 第 16-17 题每题 15 分, 第 18-19 题 每题 17 分, 共 77 分)
15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 . (1)求 ；
(2)求 的面积.
16. 已知函数 .
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性.
17. 在矩形 中， 为 的中点，将 沿 翻折至 ， 使得平面 平面 ,得到如图所示的四棱锥 .
(1)证明: ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 设 为数列 的前 项和,令 . (1)若 ，求数列 的前 项和 ；
(2)求证:对 ，方程 在 上有且仅有一个根；
(3)求证:对 ，由(2)中 构成的数列 满足 .
19. 有 个人需要通过血液检测某种酶是否存在. 假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的,且含有该酶的概率均为 ,若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在. 现采用以下分组检测方法: 将待检测人群分成 个小组,每组 人. 在每一组中, 取每人的血液混合成一个样本进行检测.
若某组的混合样本检测结果呈阴性(不含酶)，则该组内所有人员无需再进行后续检测.
若某组的混合样本检测结果呈阳性(含有酶)，则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次 (不用采集血样, 利用现有采集过的血样).
(1)若 ， ，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有 2 人”血液中含有该酶的概率；
(2) 用 表示该方法所需检测次数的期望值;
(3)设检测成本由两部分组成:采集处理血样成本为 元/人份，化验检测成本为 元/次. 若 ,每组人数 ,且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了 50% 以上，求 的取值范围. (参考数据: )
1. A
由题意 ,所以 .
故选: A
2. B
,
所以复数 在复平面内对应的点为 ,
故选: B
3. A
由 得: , 不等式左右两边分别相加, 得
消去两边相同的项得, ,
所以 ;
取数列 满足, ,且对 ,且 有 .
满足 ,但 . 不满足 .
即“ ”推不出“ ”.
所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
故选: A.
4. A
由题设,函数的定义域为 ,且 ,
所以 为奇函数,排除 ,
当 时, ,故 ,排除 .
故选: A
5. B
由题意如图所示:
抛物线 的焦点为 ,准线方程为: ,
设 到准线的距离为
由抛物线的定义得: ,又 ,
所以 ,解得: 代入 中得: ,
所以 ,则直线 的斜率为: ,
所以直线 的方程为: 即 ,
故选: B.
6. D
.
故选: D.
7. B
以直角顶点 为原点, 为 轴, 为 轴,建立平面直角坐标系,
则: ,
外接圆圆心为斜边 的中点 ,坐标为 ,半径为 , 故外接圆方程为: .
又因为 ,其中 ,
则 .
将 代入圆的方程得 ,
即 ,
,
解得 ,当且仅当 时取得 的最大值 2 .
故选: B.
8. B
由于 ,所以 ,因此 , 又因为 ,因此 ,即 , 所以 .
故选: B.
9. CD
,
因为 ,所以 或 .
故选: CD
10. BC
由 得 ,代入 得 , A 错误;
令 得 ,
用 换 得 ,
两式相加得 ,即 , 用 换 得 ,即 ,
用 换 得 ,所以 周期为 正确;
令 得 ,即 ,
由于 ,所以 ,因此 ,故 正确;
已知 ,对 赋值得:
令 得 ,
令 得 ,
令 ,若 关于 对称,则 ,
但 ,不相等,故 错误.
故选: BC
11. ACD
,因为双曲线的离心率公式: ,所以 越大,则双曲线的离心率越大, 故 A 正确;
B,过点 与双曲线仅有一个交点的直线应该有三条,一条是过 点的切线,另两条是与渐近线平行的直线, 故 B 错误;
,设 为双曲线上一点,代入方程得 ,去分母得 ,又因为渐近线为 ,所以点 到两条渐近线的距离分别是 , 所以距离之积 ,显然是定值,故 正确;
,设 ,所以过 点的切线方程是 ,联立切线与渐近线方程可得交点 ,所以 的中点坐标 ,故 D 正确;
故选: ACD
12. 164
总样本的平均数为 ; 故答案为: 164 .
13. 1
由函数 ,可得 ,所以 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,
又由函数 ,可得 ,
设曲线 的切点为 ,
则 ,解得 .
故答案为: 1 .
14.
由 ,
当 时, ,
当 时, ,
两式相减,得 ,即 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
由于 时,不满足上式,
所以 .
故答案为: .
15.
(2)
(1)由 ，
得 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,则 ,
因为 ,所以 ,
由正弦定理, ,因为 ,
则 ;
( 2 )因为 ，
所以
,
则 .
16.(1) 若 ,则 ,所以 , 故 在 处的切线方程为 ,即 .
(2)因为 ，且 ，
当 时, 时 时 ,
所以, 在 上单调递减, 在 上单调递增;
当 时, 时 时 时 ,
所以, 在 上分别单调递增, 在 上单调递减;
当 时, 时 恒成立,故 在 上单调递增;
当 时, 时 时 时 ,
所以, 在 上分别单调递增, 在 上单调递减.
综上,当 时, 在 上单调递减, 在 上单调递增;
当 时, 在 上分别单调递增, 在 上单调递减; 当 时， 在 上单调递增；
当 时, 在 上分别单调递增, 在 上单调递减.
17. (1)
在矩形 中, 为 的中点,
所以 ，所以 ，所以 ，
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 .
又 平面 ,所以 .
(2)取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，则 ，所以 平面 ， 由题可得 ,所以 ,所以 两两垂直,
以 为原点, 所在直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
所以 .
设平面 的一个法向量为 , 则 ,取 ,得 ,
所以 . 设直线 与平面 所成角为 ,
所以 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18.(1) 若 ,则 ,
则 ,
,
,
;
(2) , 故函数 在 上是增函数.
由于 ,当 时, ,即 .
又 ,
,
根据函数的零点的判定定理,可得存在唯一的 ,满足 .
(3)对于任意 ，由 (1) 中 构成数列 ，当 时，
.
由 在 上单调递增,可得 ,即 ,
故数列 为减数列,即对任意的 .
由于 ,①,
,②,
用 ① 减去 ② 并移项，利用 ，可得
综上可得,对于任意 ,由 (1) 中 构成数列 满足 .
19.
(2)
(3)
(1) 设小组中有酶的人数为 ,则 .
已知混合样本阳性,即 ,则恰有 2 人有酶的概率为
(2)设每组检测次数 ，则 的分布列为
1
期望为 则总检测次数的期望 ;
(3)若分组检测，检测次数的期望为 .
总成本期望为 ,
若逐一检测,则总成本为 . 由节省 50%以上得 .
代入 ,得 ,
整理得 ,因此, ,故 的取值范围是 .

展开更多......

收起↑