资源简介

扬州市 2026 届高三第一次调研测试 数学
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案杯号法黑如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号, 回答非选择题时, 将答案写在答题上指定位置上, 在其他位置作答一律无效.
3. 本卷满分为 150 分, 考试时间为 120 分钟, 考试结束后, 将本试卷和答题卡 一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则集合 的子集个数为( )
A. 32 B. 16 C. 8 D. 4
2. 若复数 满足 ，则 的虚部为( )
A. B. C. D.
3. 展开式中的常数项为( )
A. 20 B. -20 C. -12 D. -8
4. 若 是夹角为 的两个单位向量,则 和 的夹角的余弦值是 ( )
A. B. C. D.
5. 用1,2,3,4,5,6组成六位数 (没有重复数字),在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1 和 2 相邻的概率是( )
A. B. C. D.
6. 已知数列 为等差数列， ， ，为函数 的两个极值点，则 ( )
A. 1 B. 3 C. D.
7. 已知函数 ，若 有两个零点 ， ，则 的值为( )
A. B. C. D.
8. 已知双曲线 的右焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 交双曲线于 、 两点，线段 的中垂线交 轴于点 . 若 ，则双曲线的离心率取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 一组数据 满足 ,若去掉 后组成一组新数据. 则新数据与原数据相比()
A. 极差变大 B. 平均数变大
C. 方差变小 D. 第 25 百分位数变小
10. 在正三棱柱 中，各棱长均为 为 的中点，则()
A.
B. 平面
C.
D. 三棱柱 外接球表面积为
11. 已知 ,若 ,且 (e 为自然对数的底数),则 ( )
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知圆柱 与圆锥 的高的比为 ,底面半径的比为 ,若圆锥 的体积为 1,则圆柱 的体积为_____，
13. 已知抛物线 上距离点 最近的点恰好是其顶点,则 的取值范围是_____.
14. 定义: 是不大于 的最大整数， 是不小于 的最小整数，设函数. 在定义域 上值域为 ,记 元素个数为 ,则 _____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 如图, 为圆锥的顶点, 为圆锥底面的圆心, 为底面直径,四边形 是梯形, 且 为圆 上一点.
(1)若点 在线段 上，且 ，求证: 平面 ；
(2)当直线 与平面 所成的角为 时，求二面角 的正弦值.
16. 近年来某App 用户保持连续增长,若李明收集了 2020~2024 年的年份代码 与该 在线用户数 (单位: 万) 的数据,具体如下表所示:
年份代码 1 2 3 4 5
App 在线用户数 (单位:万) 80 150 210 260 300
(1)求样本相关系数 ，并判断变量 与 之间的线性相关关系的强弱:
(2)从 2020~2024 年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据 ，记最小的数据为 ， 求 的分布列及数学期望 .
注: 样本相关系数 . 当 越接近 1 时,成对样本数据的线性相关程度越强; 当地接近 0 时, 成对样本数据的线性相关程度越弱.其中,
17. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 的值；
(2)若 的面积为 ，求 ；
(3)若 ，当角 最大时，求 的面积
18. 已知函数 的一个极值点是 .
(1)求 与 的关系式；
(2)求出 的单调区间；
(3) 设 ,若存在 ,使得 成立,求实数 的取值范围.
19. 过双曲线 上一点 作两渐近线的垂线,垂足为 ,且
(1)求双曲线方程；
(2)过点 的直线与双曲线右支交于 、 两点，连接 ,直线 与 分别交于 .
(i) 若 ，求 的值；
(ii) 求 的最小值.
1. C
由 ,则 ,元素个数为 3 个, 则集合 的子集个数为 个;
故选:
2. C
若复数 满足 ,
则 ,
故复数 的虚部为 .
3. B
因 ,
则 展开式的通项公式为 ,
由 解得 ,所以 展开式中的常数项为 .
故选: B
4. A
因为 是夹角为 的两个单位向量,
所以 ,
设 为 的夹角,
故选: A.
5. C
将 3 个偶数排成一排有 种,再将 3 个奇数分两种情况插空有 种,
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的 6 位数有 种,
任意相邻两个数字的奇偶性不同且 1 和 2 相邻, 分两种情况讨论:
当个位是偶数: 2 在个位,则 1 在十位,此时有 种;
2 不在个位: 将 4 或 6 放在个位, 百位或万位上放 2 , 在 2 的两侧选一个位置放 1 , 最后剩余的 2 个位置放其它两个奇数,此时有 种;
所以个位是偶数共有 20 种;
同理, 个位是奇数也有 20 种, 则任意相邻两个数字的奇偶性不同且 1 和 2 相邻数有 40 种, 所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下,1 和 2 相邻的概率是 .
故选: C
由 得, ,
令 ,得 ,且 不是该方程的根. 易知判别式大于 0,
因为 为函数 的两个极值点,
是方程 的两正根,由韦达定理可得,
,因为 为等差数列,所以 .
故选: B.
7.
易知 ,
令 ,则 ,所以 或 ;
可得 或 ,
因此 或 ,
又因为 ,所以 ;
所以
故选: B.
8. A
设双曲线的右焦点为 ,则直线 ,
联立方程 ,消去 得: ,
则可得 ,
则 ,
设线段 的中点 ,则
即 ,
且 ,线段 的中垂线的斜率为 ,
则线段 的中垂线所在直线方程为 ,
令 ,则 ,解得 ,
即 ,则 ,
由题意可得: ,即 ,
整理得 ,则 ,
注意到双曲线的离心率 ,
双曲线的离心率取值范围是 .
故选: A.
9. C
由于 ,
故 ,
A 选项,原来的极差为 ,去掉 后,极差为 ,极差变小,故 A 错误;
B 选项，原来的平均数为 ，
去掉 后的平均数为 ,平均数不变,故 B 错误;
选项,原来的方差为 , 去掉 后的方差为 , 方差变小, 故 C 正确;
D 选项, ,从小到大排列,选第 3 个数作为第 25 百分位数,即 , ,故从小到大排列,选择第 2 个和第 3 个数作为第 25 百分位数,即 , 由于 ,去掉 后第 25 百分位数变大,故 错误.
故选: C
10. AD
对于 ,因为多面体 为正三棱柱,则 平面 ,
因 平面 ,故 ,
又因正三棱柱 的各棱长均为 为 的中点，则 ,
因 平面 ,故 平面 ,
又 平面 ,故 ,故 A 正确;
对于 ,假设 平面 平面 ,则 ,
又 平面 ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,
这与 为等边三角形矛盾，故 B 错误；
对于 ,因为 的面积与 的面积相等,且两三角形同在平面 中,
故三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积,
即 ,
又 错误;
对于 ,设 为 的外心, 为 的外心, 为 的中点,
则 与两底面垂直,因 ,
故 ，即 为三棱柱 外接球的球心，
又 ,故 ,
即外接球的半径 ,故 外接球表面积 , D 正确.
故选: AD.
11. ACD
由 ,可知 或 ,
又 ，因 同正，两边同除以 可得 ，
令 ,则 ,
所以当 时， ， 在 上单调递减，
当 时, 在 上单调递增,
当 且 ,此时 与题意不符合;
当 且 时, ,故 .
令 ,则 ,
当 时, 在 上单调递减,
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ,故 A 正确;
令 ,则 ,
所以当 时, 在 上单调递增,
当 时, 在 上单调递减,
因为 ,所以当 时, ,
即 ,即 ,故 B 错误;
令 ,则 ,
记 ,则 ,
所以 ,则 ,所以 在 上单调递增,
所以 ,即 ,即 ,
所以 ,即 ,故 正确;
令 ,
则 ,
令 ,则 ,即 在 上单调递增,
所以 在 上单调递增,
所以 ,即 ,故 正确.
故选: ACD.
12.
设圆柱 的高为 ,底面半径为 ,则其体积 ,设圆锥 的高为 ,底面半径为 ,
则其体积 ,所以 ,
所以 .
答案为:
13.
设 为抛物线 上任意一点,
则 ,
因为 ,
所以对称轴 ,
又由于 ,且 最小时, ,
所以 ,
所以 . 故答案为: .
14.
15.(1)解法一:取线段 的中点 ,连接 .
因为 ，所以 且 ，
因此四边形 是平行四边形,所以 .
又 平面 平面 ,所以 平面 .
因为 ,所以 .
又 平面 平面 ,所以 平面 .
而 平面 ,
所以平面 平面 ,
又 平面 ,所以 平面 .
解法二:在线段 上取点 ,使得 ,连接 ,
又 ,所以 ,且 ,
又 ，且 ，所以 ，且 .
所以四边形 是平行四边形,所以 ,
又 平面 平面 ,所以 平面 .
(2)由圆锥的对称性不妨取点 为如图所示位置，在圆锥底面内过点 作 于点 ,连接 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 ,
所以 就是直线 与平面 所成的角,所以 ,
因为 ，
所以 .
连接 ,则 ,即点 为 的中点.
以 为坐标原点, 所在直线为 轴, 所在直线为 轴,建立空间直角坐标系,
则 ,
于是 .
设平面 的法向量为 ,则 ,得 ,
取 ,可得 .
设平面 的法向量为 ,则 ,得 ,
取 ,可得 .
所以 ,
故二面角 的正弦值为 .
16.(1) ,
则
由
同理 ,
则 ,
则
由 接近 1 且为正,故变量 与 之间有很强的线性正相关关系;
(2) 的可能取值为 80、150、210，
故 的分布列为:
80 150 210
3 5
则
17. (1)
(2)
(3)
(1) ,由正弦定理可得: , , 两边同时除以 ,可得: .
(2)方法 1: ，则 ，
结合正弦定理得, ,
即 ,
则 ,
所以 ,即 ,
解得 ,又 ,
所以 .
方法 2: 同方法 1 可得 ,
由(1)可得 ,所以 ,
即 ,又 ,
所以 ,解得, ,
所以 .
(3)方法 1: ，
,
,
当且仅当 时等号成立,此时 取到最大值 ,
当 最大时, .
方法 2: 由 (1) 知 ,则 ,
所以
,当且仅当 ,即 时,取 “=”,
此时 ,则 .
18.(1) 因为 , 所以 ,
因为函数 的一个极值点是 ,
所以 ,即 ;
(不写 不扣分)
(2) ,
① 当 时， ，所以函数 在 上单调递减，此时函数没有极值点, 不符合题意;
② 当 时,令 得 或 ,列表如下:
2 (2,-a)
- 0 + 0 -
满足 是函数 的极值点;
③ 当 时,令 得 或 ,列表如下:
(-a,2) 2
- 0 + 0 -
1 1
满足 是函数 的极值点
所以 ;
所以当 时,函数 的单调递增区间为 , 单调递减区间为 和 ;
当 时,函数 的单调递增区间为 ,
单调递减区间为 和 .
(3)由(1)(2)知， ，
且 时, 在 单调递增,在 单调递减,
又因为 ,
所以 在 上的最大值为 ,最小值为
又当 时,函数 在 单调递增,
所以 在 上的最大值为 ,最小值为 .
因为存在 ,使得 成立,
即存在 ,使得 成立,
即 ,又因为 ,所以解得 ,
所以实数 的取值范围为 .
19. (1)
(2) (i) ; (ii)
(1) 解: 双曲线 的渐近线方程为 , 由已知得 ，
双曲线上一点 到渐近线距离之积 ,
即 ,又 ,
所以双曲线方程为 .
(2)解:(i) 设直线 方程 ，则 ，设点 、 ，
联列方程组 ,可得 ,
由题意可得 且 恒成立,
又 ,
直线 的方程为 ,令 ,有 ,
即 ,同理 ,
直角三角形 中,设直线 交 轴于点 ,
因为 ，则 ，
所以, ,所以, ,
则
即 ,
当 时,因为 ,可得 ;
(ii) 由 (i) 知: ,从而 ,
令 ,则 ,
则
,则 ,
当 时, ; 当 时, ,
所以 在 上递增,在 上递减,故 ,所以 最小值为 .

展开更多......

收起↑