资源简介

第二讲 方程（组）与不等式（组）
专项一 一元一次方程及其应用
考点例析
例1 （2024·海南）若代数式x-3的值为5，则x等于（ ）
A．8 B．-8 C．2 D．-2
分析：由题意列出一元一次方程x-3=5，通过移项、合并同类项求解即可．
例2 （2024·扬州）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 分钟．
分析：本题考查了一元一次方程的应用，设需要t分钟追上，根据“速度快的人走的路程=速度慢的人走的路程”列方程求解即可．
跟踪训练
1. 已知x=-2是关于x的一元一次方程x-3a=1的解，则a的值是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2
2．（2024·贵州）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（ ）
A．x=y B．x=2y C．x=4y D．x=5y
第2题图
3．（2024·广西）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱，三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4 h；若爸爸单独完成，需2 h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了3 h，求这次小峰打扫了多长时间．
专项二 二元一次方程（组）及其应用
考点例析
例1 （2024·台湾）若二元一次方程联立方程组的解为则a+b的值为（　　）
A．-28 B．-14 C．-4 D．14
分析：将代入得到关于a，b的二元一次方程组，解该方程组求得a，b的值，进而可求得a+b的值．
归纳：解二元一次方程组时，当某个未知数的系数绝对值为1或一个方程的常数项为0时，用代入法较简便；当两个方程中，同一个未知数的系数绝对值相等或成整数倍时，用加减法较简便.
例2 （2024·宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（　　）
A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱
分析：设大箱可以装x箱，小箱可以装y箱，根据题意列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出满足条件的x，y的值，再将其代入x+y中，取最大值即可．
跟踪训练
1. （2023·衢州）下列各组数满足方程2x+3y=8的是（　　）
A． B． C． D．
2. （2024·泰安）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若……，……，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（　　）
A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
3. （2024·齐齐哈尔）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本（两种都要购买）作为奖品，则购买方案有（　　）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
4.（2024·宿迁）若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于x，y的方程组的解是 ．
5. （2024·安徽）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问：A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
专项三 分式方程及其应用
考点例析
例1 （2024·达州）若关于x的方程无解，则k的值为 ．
分析：分式方程无解包括两种情况：①由分式方程化为整式方程ax＝b，出现a＝0，b≠0；②由分式方程化为整式方程，整式方程的解使得分式方程的分母为零，据此求解即可．
例2 （2024·绥化）一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行1200 km所用时间，与以该航速沿江逆流航行800 km所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A．5 km/h B．6 km/h C．7 km/h D．8 km/h
分析：此题考查分式方程的应用，设江水的流速为x km/h，根据“顺流速度静水速度江水的流速，逆流速度静水速度江水的流速”，结合“时间=路程÷速度”，列出关于x的分式方程，解之并检验，即可得结果．
跟踪训练
1.（2024·德阳）分式方程的解是（ ）
A．x=3 B．x=2 C．x= D．x=
2.（2024·齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m<1且m≠0 B．m<1 C．m>1 D．m<1且m≠-1
3.（2024·牡丹江）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ．
4.（2024·威海）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16 000千瓦·时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦·时．已知一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时．求一盏A型节能灯每年的用电量．
专项四 一元二次方程及其应用
考点例析
例1 （2024·凉山州）若关于x的一元二次方程的一个根为x=0，则a的值为（ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．
分析：利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得a2-4=0且a+2≠0，解之即可．
例2 （2024·青岛）如图，某小区要在长为16 m，宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路的宽为 m.
分析：设小路的宽为x m，则花坛的长为（16-2x）m，宽为（12-2x）m，根据花坛所占面积为空地面积的一半列方程求解即可．
跟踪训练
1．（2024·贵州）一元二次方程x2-2x=0的解是（ ）
A．x1=3，x2=1 B．x1=2，x2=0 C．x1=3，x2=-2 D．x1=-2，x2=-1
2．（2024·上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．x2-6x=0 B．x2-9=0 C．x2-6x+6=0 D．x2-6x+9=0
3．（2024·深圳）已知一元二次方程x2-3x+m=0的一个根为x=1，则m= ．
4．（2024·连云港）关于x的一元二次方程x2-x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 ．
5．（2024·烟台）若一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m，n，则3m2-4m+n2的值为 ．
6.（2024·淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买这种健身器材的套数．
专项五 不等式（组）及其应用
考点例析
例1 （2024·滨州）若点P（1-2a，a）在第二象限，那么a的取值范围是（　　）
A．a> B．a< C．0分析：根据“第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0”列不等式组求解即可．
例2 （2024·南充）若关于x的不等式组的解集为x＜3，则m的取值范围是（ ）
A．m>2 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2
分析：先解不等式组，再根据不等式组的解集为x＜3，得到关于参数m的不等式，求解即可．
归纳：解决这类问题的方法是根据不等式（组）的解集情况列出关于字母的不等式，再由解集的特征（有解、无解、有具体解、整数解的个数等）来确定字母参数的值或取值范围，特别注意需要对能否取到临界值进行分析.
跟踪训练
1．（2024·河北）下列数中，能使不等式5x-1<6成立的x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2. （2024·包头）若2m-1，m，4-m这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m＜1 C．1＜m＜2 D．1＜m＜
3．（2024·广东）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．

第3题图
4．（2024·呼和浩特）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式2x-1≤x+m的解大，则m的取值范围是 ．
5.（2024·山西）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 第5题图
参考答案
专项一 一元一次方程及其应用
例1 A 例2 2.5
1. A 2. C 3. B
4．解：设小峰打扫了x h，则爸爸打扫了（3-x）h.
根据题意，得，解得x=2.
答：这次小峰打扫了2 h．
专项二 二元一次方程（组）及其应用
例1 C 例2 C
1. A 2. D 3. B
4. 解析：将方程组整理，得因为关于x，y的二元一次方程组的解是所以解得
5. 解：设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是y公顷.
根据题意，得解得
答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷．
专项三 分式方程及其应用
例1 -1或2 例2 D
1. D 2. A 3. -1
4. 解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时，则一盏A型节能灯每年的用电量为（2x-32）千瓦·时.
根据题意，得，解得x=96.
经检验，x=96是所列分式方程的解，且符合题意.
2x-32=160.
答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时.
专项四 一元二次方程及其应用
例1 A 例2 2
1. B 2. D 3. 2 4. 5. 6
6. 解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x.
根据题意，得32（1+x）2=50，解得x1=0.25=25%，x2=-2.25（不合题意，舍去）.
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%.
（2）设购买这种健身器材的套数为m套.
因为1600×100=160 000（元），160 000<240 000，所以m>100.
根据题意，得m=240 000，整理，得m2-500m+60000=0，解得m1=200，m2=300.
因为m=300时，=800<1000，所以m=300不合题意，应舍去.
答：购买这种健身器材的套数为200套．
专项五 不等式（组）及其应用
例1 A 例2 B
1. A 2. B 3. 4. x>8 m≤7
5. 解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器（50-x）个.
根据题意，得540x+380（50-x）≤21 000，解得x≤12.5.
因为x为整数，所以x最大可取12.
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．

展开更多......

收起↑