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第九讲 圆
专项一 圆的相关概念及性质
考点例析
例1 （2024·赤峰）如图1，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC=42°，则∠OED的度数是（　　）
A. 61° B. 63° C. 65° D. 67°
分析：根据垂径定理，得，所以∠AOC=∠BOC，利用圆周角的定理得到∠D=∠AOC，再由OC=OD，得∠C=∠D，最后利用三角形内角和定理的推论得出结果.
例2 （2024·宜宾）如图2，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，则的值为（　　）
A. B. C. D.
分析：连接CD，BD，先证得BD=CD，∠ACD+∠ABD=180°.将△ADC绕点D逆时针旋转90°得到△A′DB，易得A，B，A'三点共线，如图2所示，由此可得△A'DA是等腰直角三角形，且AB+AC=AA'，进而求得结果.
跟踪训练
1.（2024·甘肃）如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D.若∠A=35°，则∠C的度数是（　　）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
第1题图 第2题图 第3题图
2.（2024·西藏）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则AD的长为（　　）
A. 2 B. C. D. 4
3.（2024·凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB=40 cm，CD=10 cm，则圆形工件的半径为（　　）
A. 50 cm B. 35 cm C. 25 cm D. 20 cm
4.（2024·滨州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D=　 　°.
第4题图 第5题图 第6题图
5.（2024·牡丹江）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD=6，BE=1，则弦AC的长为 　.
6.（2024·安徽）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA=FE.
（1）求证：CD⊥AB；
（2）设FM⊥AB，垂足为M，若OM=OE=1，求AC的长.
专项二 与圆有关的位置关系
考点例析
例1 （2024·青岛）如图1，在△ABC中，BA=BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N.若ON=10，cos∠ABC=，则半径OC的长为　 　.
分析：如图1，连接OE，由OE=OC，AB=BC，易得∠OEC=∠BAC，AB∥OE，进而得cos∠ABC==cos∠EOC.利用MN是⊙O的切线，得∠OEN=90°，所以，进而求得OE，则OC的值可得.
例2 （2024·威海）如图2，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且BC=CD，E是线段AB延长线上一点，连接EC并延长交射线AD于点F，∠FEG的平分线EH交射线AC于点H，∠H=45°.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BE=2，CE=4，求AF的长.
分析：（1）如图2，连接OC.由BC=CD，得∠BAC=∠DAC，又由OA=OC，得∠OAC=∠OCA，推得∠DAC=∠OCA，进而推出OC∥AF.再根据三角形内角和定理的推论以及角平分线的定义推得∠F=2∠H=90°，进而得到OC⊥EF，由切线的判定方法即可得出结论；（2）先设⊙O的半径为x，则OE=2+x，利用勾股定理求得OC，进而求得OE，AE.易证△EOC∽△EAF，得，进而求得结果.
解：
跟踪训练
1.（2024·广州）如图，在⊙O中，弦AB的长为，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°，⊙O所在的平面内有一点P.若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O内 C. 点P在⊙O外 D. 无法确定
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.（2024·甘南州）如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C.若∠ACE=18°，则∠D的度数是（　　）
A. 18° B. 36° C. 48° D. 72°
3.（2024·滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b.可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的内切圆直径d，下列表达式错误的是（　　）
A. d=a+b-c B. d= C. d= D. d=
4.（2024·哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB.若∠OBA=40°，则∠AOB=　 　°.
5.（2024·烟台）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE.
（1）若∠ABC=25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI=，DI=，求△ABC的周长.
第5题图 第6题图
6. （2024·甘南州）如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，交AB的延长线于点E，垂足为F.
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=18，sin A=，求BE的长.
专项三 弧长与扇形面积的计算
考点例析
例1 （2024·泰安）两个半径相等的半圆按图1方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆的圆心重合.若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
分析：如图1，连接OA，O′A，过点A作AB⊥OO′于点B，得△AOO′是等边三角形，易得AB=，进而求得△AOO′的面积.，由S弓形AO′= S扇形OO′A-S△AOO′，进而利用S阴影=S弓形AO′+S扇形O′AO求得结果.
例2 （2024·广安）如图2，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10，∠C=70°，以AB为直径作半圆O，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长为（ ）
A. B. C. D.
分析：如图2，连接，.利用等腰三角形的性质，求得∠A的度数，又OA=OD，求得∠ADO的度数，根据三角形内角和定理的推论求得∠DOB的度数.又OE=OB，得到∠OEB的度数，再由三角形的内角和求得∠EOB的度数，进而得到∠EOD的度数，利用弧长公式求得结果.
跟踪训练
1.（2024·绵阳）将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为2，弧长为，则扇形圆心角的度数为（ ）
A. B. C. D.
2.（2024·重庆）如图，在矩形中，分别以点和为圆心，长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 32-8π B. -4π C. 32-4π D. -8π
第2题图 第3题图
3.（2024·包头）如图，在扇形OAB中，∠AOB=80°，半径OA=3，C是上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD=DC，连接BD.若BD⊥OC，则的长为（ ）
A. B. C. D. π
4.（2024·山西）图①所示是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②所示是其几何示意图（阴影部分为花窗）.通过测量得到扇形OAB的圆心角度数为90°，OA=1 m，C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为
m2.
① ②
第4题图
专项四 正多边形与圆
考点例析
例 （2024·呼和浩特）如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O，AD与EF相交于点M，则∠AMF的度数为（　　）
A. 26° B. 27° C. 28° D. 30°
分析：如图，连接OF，OD，OE，DF，AC.由正五边形的性质，可得∠COE=∠EOF=72 ，进而求得∠AOF的度数.由正四边形的性质，可得∠AOD的度数，进而求得∠DOE的度数.根据圆周角的性质得到∠ADF=∠AOF，∠DFE=∠DOE，最后利用三角形内角和定理的推论求得∠AMF的度数.
跟踪训练
1.（2024·甘孜州）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA=1，则AB的长为（　　）
A. 2 B. C. 1 D.
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.（2024·镇江）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点在⊙O上，，则　 　.
3.（2024·宿迁）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，以点E为圆心，EF的长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的的长为　 　.
4.（2024·东营）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416，如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为.若用圆内接正八边形近似估计⊙O的面积，可得π的估计值为　 　.
参考答案
专项一 圆的相关概念及性质
例1 B 例2 A
1. A 2. C 3. C 4. 60 5.
6. （1）证明：因为FA=FE，所以∠FAE=∠AEF.因为∠FAE=∠BCE，∠AEF=∠CEB，所以∠CEB=∠BCE.
因为CE平分∠ACD，所以∠ACE=∠DCE.因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°.
所以∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°.所以∠CDE=90°.所以CD⊥AB.
（2）解：由（1）知，∠BEC=∠BCE，所以BE=BC.因为AF=EF，FM⊥AB，OM=OE=1，所以MA=ME=2.
所以AE=4.所以OA=OB=AE-OE=3.所以BC=BE=OB-OE=2.
在△ABC中，AB=6，BC=2，∠ACB=90°，由勾股定理，得AC===.
专项二 与圆有关的位置关系
例1 6
例2 （1）证明：连接OC.
因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA.因为BC=CD，所以∠BAC=∠DAC.所以∠OCA=∠DAC.所以OC∥AF.
因为EH平分∠FEG，所以∠FEH=∠GEH.因为∠GEH=∠H+∠BAC，∠FEG=∠F+∠BAF，所以2∠H+2∠BAC=∠F+∠BAF.又∠BAF=2∠BAC，所以∠F=2∠H=90°.所以∠OCE=∠F=90°，即OC⊥EF.
因为OC是⊙O的半径，所以EF是⊙O的切线.
（2）.
1. C 2. B 3. D 4. 50
5. 解：（1）115°.
（2）DI=AD=BD.证明：连接AI.因为点I为△ABC的内心，所以∠CAI=∠BAI，∠ACI=∠BCI=∠ACB=45°.所以.所以∠DAB=∠DCB=∠ACI，AD=BD.因为∠DAI=∠DAB+∠BAI，∠DIA=∠ACI+∠CAI，所以∠DAI=∠DIA.所以DI=AD=BD.
（3）过点I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q，F，P.
因为点I为△ABC的内心，所以AQ=AF，CF=CP，BQ=BP.
因为CI=，∠IFC=90°，由（2）知∠ACI=45°，所以CF=CI·cos 45°=2=CP.
由（2）知DI=AD=BD，DI=，∠ADB=90°，所以AB=BD =×=13.
所以△ABC的周长为AB+AC+BC=AB+AF+CF+CP+BP=AB+AQ+BQ+2CF=2AB+2CF=2×13+2×2=30.
6. 解：（1）DE与⊙O相切.理由：连接OD，BD.因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB=90°.所以BD⊥AC.
因为AB=CB，所以D为AC的中点.因为O为AB的中点，所以OD为△ABC的中位线.所以OD∥BC.所以∠ODE=∠DFC.因为DE⊥BC，所以∠DFC=90°.所以∠ODE=90°.所以DE⊥OD.
因为OD是⊙O的半径，所以DE与⊙O相切.
（2）因为OD=OB，所以∠ODB=∠OBD.因为∠A+∠OBD=90°，∠BDE+∠ODB=90°，所以∠A=∠BDE，即sin A=sin∠BDE=.在Rt△ABD中，∠ADB=90°，sin A=，AB=18，所以BD=AB·sin A=18×=6.
在Rt△BDF中，sin∠BDE=，BD=6，所以BF=BD·sin∠BDE=6×=2.
因为BF∥OD，所以△BEF∽△OED.所以，即.所以，解得BE=.
专项三 弧长与扇形面积的计算
例1 A 例2 C
1. D 2. D 3. B 4.
专项四 正多边形与圆
例 B
1. C 2. 10 3. 4.

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