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第七讲 相似形、图形变换
专项一 比例线段
考点例析
例1 （2024·哈尔滨）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，EF∥AD交CD于点F. 若AE∶BE＝1∶2，DF＝3，则CF的长为（　　）
A. 6 B. 3 C. 5 D. 9
图1
分析：根据平行线分线段成比例，得，代入数据计算即可.
例2 （2024·德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计. 已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
分析：如图2，要满足PB⊥PC，则点P在以BC为直径的圆上，根据黄金矩形宽与长的比，判断边AD与此圆的位置关系即可得出结论.
图2
跟踪训练
1.（2024·台湾）如图为阿成调整他计算机画面的分辨率时看到的选项，当他从建议选项1920×1080调整成1400×1050时，由于比例改变（1920∶1080≠1400∶1050），画面左右会出现黑色区域，当比例不变就不会有此问题. 判断阿成将他的计算机画面分辨率从1920×1080调整成下列哪一种时，画面左右不会出现黑色区域（　　）
A. 1680×1050 B. 1600×900 C. 1440×900 D. 1280×1024
第1题图 第3题图
2.（2023·甘孜州）若，则＝ .
3.（2024·山西）黄金分割是汉字结构最基本的规律. 借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观. 已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且. 若NP＝2 cm，则BC的长为 cm（结果保留根号）.
专项二 相似三角形
考点例析
例1 （2024·广州）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2. 求证：△ABE∽△ECF.
图1
分析：由BE＝3，EC＝6可得BC的长，即得AB的长，进而得两组边成比例，找其夹角相等，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”进行判定即可.
证明：
归纳：证明两个三角形相似的思路
已知一组等角 ①找另一组等角②找该角的两边成比例
已知两边成比例 ①找夹角相等②找第三边也成比例③找这两个三角形是直角三角形
例2 （2024·乐山）如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O. 若，则＝ .
图2
分析：先根据两平行线之间的距离和三角形的面积公式，得，由AD∥BC，得△AOD∽
△COB，然后根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”求解即可.
例3 （2024·德州）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E. 若AB∶BC＝3∶4，则BF∶FD为（　　）
A. 5∶3 B. 5∶4 C. 4∶3 D. 2∶1
图3
分析：设AB＝3x，BC＝4x，根据勾股定理得AC＝5x，易证得△ADB∽△ABC，则；由AE平分∠BAC，可推得BE＝BF和△ABE∽△ADF，进而得出相关比例式求解即可.
跟踪训练
1..（2024·湖南）如图，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点. 下列结论中，错误的是（　　）
A. DE∥BC B. △ADE∽△ABC
C. BC＝2DE D. S△ADE＝S△ABC
第1题图 第2题图
2.（2024·河南）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F. 若AB＝4，则EF的长为（　　）
A. B. 1 C. D. 2
3.（2024·青海）如图，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件 ，使得△AOB∽△COD.
第3题图 第4题图
4.（2024·扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法. 如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36 cm，A′B′＝24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到像A′B′的距离为 cm.
5.（2024·重庆）如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝AC，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F. 若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝ .
第5题图 第6题图
6.（2024·宜宾）如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长为 .
专项三 图形的变换
考点例析
例1 （2024·牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12 cm，CD＝10 cm，他进行了如下操作：
第一步，如图1-①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平；
第二步，如图1-②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD′N，AD′交折痕MN于点E，则线段EN的长为（　　）
A. 8 cm B. cm C. cm D. cm
图1
分析：根据矩形的性质和折叠的性质，得∠ANM＝∠D′AN，进而得EA＝EN，设EA＝EN＝x cm，则EM＝（12﹣x）cm，根据勾股定理得AM2+EM2＝AE2，列方程求解即可.
例2 （2024·东营）如图2，将△DEF沿FE方向平移3 cm得到△ABC，若△DEF的周长为24 cm，则四边形ABFD的周长为 cm.
图2
分析：根据平移的性质，得AD＝BE＝3 cm，AB＝DE，再根据四边形的周长公式计算即可.
例3 （2024·广元）如图3，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上. 若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（　　）
A. B. C. 2 D.
图3
分析：连接BD，根据旋转的性质，得∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，∠ACB＝∠E，进而得∠BCD＝90°，根据勾股定理求出BD的长，然后解等腰直角三角形求出AD的长.
例4 （2024·浙江）如图4，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O. 若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　）
A.（﹣4，8） B.（8，﹣4） C.（﹣8，4） D.（4，﹣8）
图4
分析：根据点A与点A′的坐标求出两个位似三角形的相似比，再根据位似变换的性质计算即可.
跟踪训练
1.（2024·广州）下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（　　）
A B C D
2.（2024·绥化）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是（　　）
A.（9，4） B.（4，9） C. D.
第2题图 第3题图 第4题图
3.（2024·天津）如图，在△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，则下列结论一定正确的是（　　）
A. ∠ACB＝∠ACD B. AC∥DE C. AB＝EF D. BF⊥CE
4.（2024·湖北）如图，点A的坐标是（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（　　）
A.（4，6） B.（6，4） C.（﹣6，﹣4） D.（﹣4，﹣6）
5.（2024·淄博）如图，已知A，B两点的坐标分别为A（﹣3，1），B（﹣1，3），将线段AB平移得到线段CD. 若点A的对应点是C（1，2），则点B的对应点D的坐标是 .
第5题图 第6题图
6.（2024·河南）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（﹣2，0），点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处. 若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为 .
专项四 投影与视图、立体图形的展开与折叠
考点例析
例1 （2024·宁夏）用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图1-②，现将其中4个小正方体按图1-①方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　）
A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置
图1
分析：根据主视图和左视图判断几何体，进而得到结论.
例2 （2024·德阳）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日. 在一次综合实践活动中，一同学用如图2所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字. 当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样，则在A，B，C处依次写上的字可以是（　　）
A. 吉 如 意 B. 意 吉 如
C. 吉 意 如 D. 意 如 吉
图2
分析：观察展开图可知这个几何体是四棱锥，A，B，C处依次写上的字可以是“吉、如、意”或“如、吉、意”.
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1.（2024·山西）斗拱是中国古典建筑上的重要部件. 如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A B C D 第1题图
2.（2024·包头）如图，正方形ABCD的边长为2，以AB所在直线为轴，将正方形ABCD旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（　　）
A. 8 B. 4 C. 8π D. 4π
第2题图 第3题图 第4题图
3.（2024·江西）如图是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（　　）
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
4.（2024·宜宾）如图是正方体表面展开图，将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（　　）
A. B点 B. C点 C. D点 D. E点
参考答案
专项一 比例线段
例1 A 例2 D
1. B 2. 1 3.
专项二 相似三角形
例1 因为BE＝3，EC＝6，所以BC＝BE+EC＝9.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°.
因为，，所以.
所以△ABE∽△ECF.
例2 例3 A
1. B 2. D 3. 答案不唯一，如∠B＝∠D，AB∥CD 4. 20 5. 3 6.
专项三 图形的变换
例1 B 例2 30 例3 A 例4 A
1. C 2. D 3. D 4. B
5.（3，4） 6.（3，10）
专项四 投影与视图、立体图形的展开与折叠
例1 B 例2 A
1. C 2. A 3. B 4. B

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