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第六讲 三角形（二）
专项一 直角三角形
考点例析
例1 （2024·海南）设直角三角形中一个锐角的度数为x°（0＜x＜90），另一个锐角的度数为y°，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y=180+x B．y=180-x C．y=90+x D．y=90-x
分析：根据“直角三角形的两锐角互余”即可求得结果．
例2 （2024·淮安）如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的
图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周
长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
分析：根据勾股定理分别求出第一个、第二个三角形的斜边长……进而求得第九个三角形的斜边长，然后根据估算无理数的大小的方法求解即可．
跟踪训练
1.（2024·青海）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC=60°，AC=6，则BC的长是（ ）
A．3 B．6 C． D．
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.（2024·巴中）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题，即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=（　　）
A．8 B．10 C．12 D．13
3.（2024·南充）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，AD平分∠CAB交BC于点D，E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．3
4.（2024·安徽）如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则BD的长是（　　）
A． B． C． D．
专项二 锐角三角函数
考点例析
例1 （2024·临夏州）如图1，在△ABC中，AB=AC=5，sin B=，则BC的
长是（　　）
A．3 B．6 C．8 D．9 图1
分析：如图1，过点A作AM⊥BC于点M，构造出直角三角形，结合正弦的定义及等腰三角形的性质求解即可．
例2 （2024·江西）将图2所示的七巧板，拼成图3所示的四边形ABCD，连接AC，则
tan∠CAB= .
图2 图3
分析：根据所给拼图，得出四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质及正切的定义求解即可．
跟踪训练
1.（2024·天津）的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
2.（2024·云南）如图，在△ABC中，若∠B=90°，AB=3，BC=4，则tan A=（　　）
A． B． C． D．
第2题图 第3题图 第4题图
3.（2024·资阳）第14届国际数学教育大会（ICME-14）会标如图①所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF∶AH=1∶3，则sin∠ABE=（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·内江）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC= ．
专项三 解直角三角形
考点例析
例 （2024·哈尔滨）△ABC是直角三角形，AB=，∠ABC=30°，则AC的长为 ．
分析：本题没有确定哪个角为直角，所以分∠A=90°和∠C=90°两种情况，分别解直角三角形求解即可．
跟踪训练
（2023·南充）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC=α，则A，C两处相距（　　）
A. 米 B. 米 C. x·sin α米 D. x·cos α米
第1题图 第2题图 第3题图
2.（2024·新疆）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8．若点D在直线AB上（不与点A，B重合），且∠BCD=30°，则AD的长为 ．
3.（2024·浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1．
（1）求BC的长；
（2）求sin∠DAE的值．
专项四 锐角三角函数的实际应用
考点例析
例1 （2024·广安）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图1，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC＝30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．（结果精确到个位；参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，≈1.73）
图1 图2
分析：如图2，过点D作DF⊥AB于点F，DH⊥BE于点H，则由题意可得四边形DFBH为矩形.在
Rt△DCH中，通过解直角三角形求得CH，DH的长，进而求出BH的长，在Rt△ADF中，通过解直角三角形求得AF的长，最后由AB=AF+BF即可求得结果.
解：
例2 （2023 眉山）如图3，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向.若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是_________海里．
图3
分析：如图3，过点C作CH⊥AB于点H．先在Rt△BCH中证得BH=CH，然后在Rt△ACH中，设CH=x，则AH=12+x，通过∠CAH的正切值列出关于x的方程求解即可.
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1.（2024·武汉）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度．具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度约为 m.（参考数据：tan 63°≈2）
第1题图 第2题图
2.（2024·重庆）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港．
（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B，D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．
专项五 锐角三角函数中的建模思想
考点例析
例 （2024·福建）无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400 N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD＝　 　．（单位：N，参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77）
分析：先在Rt△ABD中，求得∠BAD的度数，通过解直角三角形求得F2；然后在Rt△BCD中，求得∠BDC的度数，通过解直角三角形即可求得f2.
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1.（2024·湖南）如图，图①为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图②为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为　 　分米.（结果用含根号的式子表示）
① ② ① ②
第1题图 第2题图
2.（2024·江西）图①是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”．如图②，“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上．经测量ME＝FN＝20.0 m，EF＝40.0 m，BE＝2.4 m，∠ABE＝152°．
（1）求“大碗”的口径AD的长；
（2）求“大碗”的高度AM的长．
（结果精确到0.1 m，参考数据：sin 62°≈0.88，cos 62°≈0.47，tan 62°≈1.88）
参考答案
专项一 直角三角形
例1 D 例2 B 1. A 2. C 3. C 4. B
专项二 锐角三角函数
例1 B 例2 1. A 2. C 3. C 4.
专项三 解直角三角形
例 2或
1. B 2. 6或12
3. 解：（1）因为AD⊥BC，AB＝10，AD＝6，所以BD==8.
因为tan∠ACB＝1，所以CD＝AD＝6.所以BC＝BD+CD＝8+6＝14.
（2）因为AE是BC边上的中线，所以CE=BC=7.所以DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1.
因为AD⊥BC，所以AE==.所以sin∠DAE==.
专项四 锐角三角函数的实际应用
例1 该风力发电机塔杆AB的高度约为32米．
例2
1. 51
2. 解：（1）过点B作BE⊥AC于点E.
在Rt△ABE中，∠BAE=90°-45°=45°，AB=40海里，所以AE=AB cos∠BAE =40×=20（海里），BE=AE=20海里.
在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BE= 20海里，所以CE=BE tan∠CBE =20×=20（海里）.
所以AC=AE+CE=20+20≈77.2（海里）.
所以A，C两港之间的距离约为77.2海里.
（2）甲货轮先到达C港.说明如下：
由题意可知∠ADC=60°+30°=90°.
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，所以CD=AC=（10+10）海里，AD=CD=（10+30）海里.
在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BE=20海里，所以BC==40（海里）.
所以甲货轮航行的路程为AB+BC=40+40≈96.4（海里），乙货轮航行的路程为AD+CD=
10+30+10+10=20+40≈105.4（海里）.
因为96.4＜105.4，所以甲货轮先到达C港．
专项五 锐角三角函数中的建模思想
例 128
2. 解：（1）因为AM⊥MN，DN⊥MN，所以∠AMN＝∠DNM＝90°.
因为AD∥MN，所以∠DAM＝180°﹣∠AMN＝90°.所以四边形AMND是矩形.
所以AD＝MN＝ME+EF+FN＝20.0+40.0+20.0＝80.0（m）.
所以“大碗”的口径AD的长为80.0 m.
（2）延长CB交AM于点G.
由题意，得GM＝BE＝2.4 m，BG＝ME＝20.0 m，BG⊥AM，∠EBG＝90°.
因为∠ABE＝152°，所以∠ABG＝∠ABE﹣∠EBG＝62°.
在Rt△ABG中，AG＝BG tan∠ABG≈20.0×1.88＝37.6（m）.
所以AM＝AG+GM＝37.6+2.4＝40.0（m）.
所以“大碗”的高度AM的长约为40.0 m．
图1
① ②

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