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第 8 章 整式乘法与因式分解
8.1 幂的运算
8.1.3 课时2 零次幂与负整数次幂
1.通过同底数幂相除的运算性质，探究零次幂、负整数次幂的
意义；(重点)
2.知道零次幂有意义的条件，能把负整数次幂转化为正整数次幂；
3.能熟练地进行同底数幂相除am÷an(m≤n)的相关运算.
学习目标
我们发现公式am÷an=am-n时，有一个附加条件：m>n,
即被除式的指数大于除式的指数.当被除式的指数
不大于除式的指数，即m≤n时，情况会怎样呢？
回顾
幂的运算性质4：
am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)
即同底数幂相除，底数 ，指数 .
不变
相减
新课导入
先来看看被除数的指数等于除数的指数的情况．例如下列算式：
知识点一：零次幂
52÷52，103÷103，a5÷a5.
如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得：
52÷52=5( )-( )=5( )，
103÷103=10( )-( )=10( )，
a5÷a5=a( )-( )=a( ).
2
2
0
3
3
0
5
5
0
自主学习
由此，我们约定：
a0=1(a≠0)
即任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.
另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，
所得的商都等于 .
1
再来看看被除数的指数小于除数的指数的情况．
（1）根据分式的约分，当 a≠0 时，计算a3÷a5.
a3÷a5= = = .
（2）仿照同底数幂的除法性质，计算a3÷a5.
a3÷a5=a3-5=a-2.
于是得到：a-2= .
知识点二：负整数次幂
再换几组数试试，
你发现了什么？
我们约定：
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数.
想一想：你现在能说出m分别是正整数，0，负整数时，am各表示什么意思吗？
当m是正整数，am表示m个a相乘，当m=0，am表示a的0次幂，值为1；
当m是负整数，am表示∣m∣个a相乘结果的倒数或∣m∣个 相乘.
a-p =
(a≠0，p是正整数).
即任何一个不等于零的数的-p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数.
也就说同底数幂相除的运算性质也推广到整数指数幂.
探究一 零次幂与负整数次幂的意义
问题提出：如何计算(1)106÷106，(2)44÷45？它们结果又如何表示呢？
问题探究：同底数幂相除的运算性质推广到整数次幂，所以上面两式均可
运用幂的运算性质4进行计算.
(1)106÷106= =10( ).
任何一个不等于零的数的零次幂都等于 .
故(1)结果为1.
(2)44÷45= =4( ).
任何一个不等于零的数的-p次幂(p是整数)都等于这个数p次幂的 .
故(2)结果为 .
倒数
1
106-6
0
44-5
-1
合作探究
问题解决：
(1)106÷106
=106-6
=100
=1；
(2)44÷45
=44-5
=4-1
= .
练一练
1.计算
(1)a3÷a3 (2)4-3÷4-1 (3)( )5÷( )6
解：
(1)原式=a3-3
=1；
(2)原式=4-3-(-1)
=4-2
= ；
(3)原式=( )5-6
=( )-1
= .
=a0
总结：遇到计算am÷an时，无论m，n谁大谁小，都可以利用幂的运算性质4
计算，即同底数相除，底数不变，指数相减.另外计算的结果如果出现零次
幂和负整数次幂，都可以根据零次幂与负整数次幂的意义进行相应转化.
1.计算：
(1)39÷37； (2)( )4÷( )3； (3)( )5÷( )6；
解：
(1)原式=39-7
=32=9；
(2)原式=( )4-3
= ；
(3)原式=( )5-6
=( )-1
= .
当堂检测
2.计算：
(1)(-x)10÷(-x)7； (2)(-m)5÷(-m)9； (3)4m+2÷4m-2；
(4)(xy)5÷(-xy)2； (5)(-2xy)5÷(-2xy)5.
解：
(1)原式=(-x)10-7
=(-x)3=-x3；
(2)原式=(-m)5-9
=(-m)-4
(3)原式=4m+2-(m-2)
=4m+2-m+2
=44；
(4)原式=（xy)5÷（xy)2
=(xy)5-2
=(xy)3
(5)原式=(-2xy)5÷(-2xy)5
=(-2xy)0
=1.
= ；
=x3y3；
3.用分数或小数表示下列各数：
(1)5-3； (2)2.1×10-4； (3)( )-2； (4)(-4)-3
解：
(2)2.1×10-4=0.00021；
(3)( )-2 =( )-2 =( )2 = .
(4)(-4)-3 = = .
(1)5-3= = ；
1.零次幂
任何不等于0的数的零次幂都等于0，即a0＝1(a≠0)．
注意：a0＝1的前提是a≠0，如(x－2)0＝1成立的条件是x≠2.
2.负整数次幂
任何不等于0的数的-p(p是整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数.
注意：成立的条件是a≠0，p为正整数，而0－p没有意义.
即a-p＝ (a≠0，p是正整数)．
课堂总结

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