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第 8 章 整式乘法与因式分解
8.2 整式乘法
8.2.2 单项式与多项式相乘
1.根据几何图形的面积以及乘法分配律，探究单项式乘以多项式
的乘法法则；
2.能熟练地进行单项式与多项式相乘的相关运算.(重点)
学习目标
环境污染问题日益严重；城市里一般大面积栽种植物以改善环境，
也就是我们所说的绿化.
观察对比这两幅图，你的感受是什么.
新课导入
知识点 单项式乘多项式
自主探究
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长p，宽b的长方形绿地，向
两边分别加宽a和c，如图所示.
c
b
a
p
自主学习
（1）如果把它看成三个小长方形，
那么它们的面积可分别表示
为_____、_____、_____.
c
b
a
p
想一想：
(2)如果把它看成一个大长方形，那么它的面积可表示为 .
(3)大长方形面积与三个小长方形面积的和相等，
所以p(a+b+c) pa+pb+pc.
实际上，我们由乘法的 ，也可以推出p(a+b+c)=pa+pb+pc.
pa
pb
pc
p(a+b+c)
=
分配律
根据乘法的分配律完成下列计算步骤.
试一试：
ab(a2 +b3 +ac)= + + .
=a3b+ab4+a2bc
ab·a2
ab·ac
ab·b3
思考：ab·ac、ab·b3、ab·a2属于哪种相乘的形式？
单项式乘单项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.
注意：
要点归纳
单项式乘多项式的法则
（1）依据是乘法分配律；
（2）积的项数与多项式的项数相同.
探究一 运用单项式乘多项式进行计算
问题探究：(1)根据上图，用式子表示纸板的面积.
ab2
a
(2ab)2
2ab+4
情景：小戴手里有一张纸板如图所示，他想
知道纸板的面积，于是尺子测量出一些长度，
你能帮帮他完成如下填空吗？
先 ，再 ，最后加减.
(2)式子(2ab)2·(2ab+4)-a·ab2涉及到了好几种运算，我们运算顺序是：
(2ab)2·(2ab+4)-a·ab2
乘方
乘除
合作探究
(3)逐步计算(2ab)2= ，a·ab2= .
(2ab)2·(2ab+4)-a·ab2
式子变为：4a2b2·(2ab+4)-a2b2
4a2b2
a2b2
利用单项式乘多项式的法则：4a2b2·(2ab+4)= + =
.
4a2b2·2ab
4a2b2×4
8a3b3+16a2b2
合并同类项:8a3b3+16a2b2-a2b2= .
式子变为：8a3b3+16a2b2-a2b2
8a3b3+15a2b2
问题解决：(2ab)2·(2ab+4)-a·ab2
ab2
a
(2ab)2
2ab+4
=8a3b3+15a2b2.
=4a2b2·(2ab+4)-a2b2
=8a3b3+16a2b2-a2b2
故纸板的面积为8a3b3+15a2b2.
练一练
1.计算：(1)(-4x)·(2x2+3x-1) (2)(a3)2·(ac2+bc)
原式=(-4x)·(2x2) + (-4x)·3x + (-4x)·(-1)
=-8x3-12x2+4x
解:(1)
总结：单项式与多项式相乘本质就是通过乘法的分配律，
转化为单项式与单项式相乘
解:(2)
原式=a6·(ac2+bc)=a6·ac2+a6·bc
=a7c2 + a6bc
探究二 单项式乘多项式的应用
活动：下图是浙江台州天台县龙溪乡的彩色稻田，红色区域是一个矩形.请你表示区域1+区域2+区域4的面积.
区域1
区域2
区域3
区域4
1.5a
4a
2a
2b
3c
4a（2a+2b+3c)-1.5a·2b
区域1+2+4的面积为：
=8a2+8ab+12ac-3ab
=8a2+5ab+12ac
练一练
2.如图，一块长方形地用来建造住宅、广场、商厦，求这块地的面积.
住宅用地
人民广场
商业用地
3a
3a+2b
2a-b
4a
解：
答：这块地的面积为20a2+4ab.
4a[(3a+2b)+(2a-b)]
＝4a(5a+b)
＝4a·5a+4a·b
=20a2+4ab
1.计算:
(1)5x·(3x+4)； (2)(5a2- a+1)(-3a).
解：
(1)原式=5x·3x+5x·4
=15x2+20x；
(2)原式=5a2·(-3a)- a(-3a)+(-3a)
=-15a3+4a2-3a.
当堂检测
2.化简:
(1)x(x2+3)+x2(x-3)-3x(x2-x-1);
(2)(-a)·(-2ab)+3a·(ab- b-1).
解：
(1)原式=x3+3x+x3-3x2-3x3+3x2+3x
=-x3+6x；
(2)原式=2a2b+3a·ab-3a·( b)-3a
=2a2b+3a2b-ab-3a
=5a2b-ab-3a.
3.某长方体的长为a+1，宽为a，高为3，问这个长方体的体积是多少？
a+1
a
3
解：
3a·(a+1)
=3a2+3a
这个长方体的体积是3a2+3a.
整式乘法
单项式乘
单项式
注意事项
实质上是转化为有理数的乘法与
同底数幂的乘法
(1)计算时,要注意符号问题；
(2)不要出现漏乘现象
(3)注意运算顺序
(4)注意结果合并同类项
单项式乘
多项式
实质上是转化为单项式乘单项式
课堂总结

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