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第 8 章 整式乘法与因式分解
8.2 整式乘法
8.2.3 多项式与多项式相乘
1.通过图形，探究探究多项式与多项式的乘法；
2.通过单项式与多项式乘法法则，探究多项式与多项式的乘法；
3.能熟练地进行多项式与多项式的乘法运算.(重点)
学习目标
复习引入
1.如何进行单项式与多项式乘法的运算？
② 再把所得的积相加.
① 将单项式分别乘以多项式的各项，
2.进行单项式与多项式乘法运算时，要注意什么
① 不能漏乘；
② 去括号时注意符号的确定.
新课导入
探究一 多项式与多项式乘法法则
自主探究
问题1： (a+b)X= .
那当X=(m+n)，(a+b)X=(a+b)× = a× +b× .
(m+n)
(m+n)
(m+n)
aX+bX
计算过程中你运用了 与 的乘法法则.
单项式
多项式
想一想： 通过上面的解答过程，你是否已经对多项式乘多项式的运算
有了初步的思路了呢？
合作探究
问题2：某地区在退耕还林期间，有一块原长m米，宽为a米的长方形
林区增长了n米，加宽了b米，请你表示这块林区现在的面积.
a
m
b
n
a
m
b
n
现在这块地的长为 ，宽为 .它的面积为 .
如果将它看作四块，每块的面积分别是：
它的面积可表示为：
(a+b)
(m+n)
(m+n)(a+b)
ma、mb、na、nb
ma+mb+na+nb
由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块地的面积，故有：
(m+n)(a+b)=
ma
+ mb
+ na
+ nb
实际上，把(m+n)看成一个整体，有：
ma+mb+na+nb
(m+n)(a+b)=
(m+n)a+(m+n)b
这是单项式乘多项式的形式，我们可以运用其法则进行计算.
=
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式
的每一项相乘，再把所得的积相加.
注意：
要点归纳
多项式乘多项式的法则
（1）多项式的各项之间都要进行一次相乘；(同一多项式的各项之间不能相乘)
（2）各项相乘后结果要相加.
(m+n)(a+b)=
ma
mb
na
nb
+
+
+
练一练
计算:（1）（3x+1)(x+2)； (2)(x-8)(x-y)；
=x2-xy-8x+8y；
解：
(1)原式=3x·x+2×3x+1·x+1×2
=3x2+6x+x+2
=3x2+7x+2；
(3) (x+y)(x2-xy+y2).
(2) 原式=x·x-xy-8x+8y
(3)原式 =x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2
=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
= x3+y3.
探究二 多项式乘多项式的应用
活动：如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的居住环境，小区准
备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽
为b米的通道．
(1)用字母a和b表示剩余草坪的面积
4a+3b
2a+3b
b
b
+b2
(4a+3b)(2a+3b)-b(2a+3b)-b(4a+3b)
=8a2+6ab+12ab+9b2-6ab-5b2
=8a2+12ab+4b2（平方米），
4a+3b
2a+3b
b
b
想一想：有没有别方法计算更简单呢？
4a+3b
2a+3b
b
b
(4a+3b-b)(2a+3b-b)
(2)当a=2，b=1时，剩余草坪的面积是多少？
当a=2，b=1；8a2+12ab+4b2=
=(4a+2b)(2a+2b)
=8a2+12ab+4b2（平方米）
8×4+12×2×1+4×1
=60（平方米）
练一练
2.如图，哈市新城小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a-3b）米的长方形地
块，角上有四个边长为（a-b）米的小正方形空地，计划将阴影部分进行绿化．
（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；
（2）若a=20，b=10，求出当时绿化的总面积；
（1）（2a+3b）（2a-3b）-4（a-b）2=-13b2+8ab；
（2）把a=20，b=10代入-13b2+8ab得，
-13×102+8×20×10=300平方米，
答：绿化的总面积为300平方米.
1.判断下面计算过程是否正确.如果错误，请给出正确答案.
(1)(x-1)2=x2-12=x2-1 ( )
×
(2)(2x-3)(x-2）=2x2-4x+6 ( )
×
(1)(x-1)2=(x-1)(x-1)=x2-x-x+1=x2-2x+1.
(2)(2x-3)(x-2）=2x2-4x-3x+6=2x2-7x+6.
注意：1.(a-b)2也是多项式的相乘，不能用幂的乘方法则去进行运算.
2.进行多项式与多项式相乘运算时不要漏乘.
当堂检测
2.计算：(1)(x 3y)(x+7y)； (2)(2x + 5y)(3x 2y).
解:
=x2 +4xy-21y2；
（2） (2x + 5y)(3x-2y)
=x2+7xy 3yx-21y2
=2x 3x-2x 2y+5y 3x-5y 2y
=6x2 +11xy 10y2.
(1) (x-3y)(x+7y),
=6x2-4xy+15xy-10y2
3.若多项式x2+px与x2-3x+q的积不含x2项，也不含x3项，求p和q的值．
解:
(x2+px)(x2-3x+q)
=x4-3x3+qx2+px3-3px2+pqx
=x4+(p-3)x3+(q-3p)x2+pqx，
所以p-3=0，q-3p=0，
解得：p=3，q=9．
多项式乘多项式
运算法则
注意事项
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(1)不要漏乘；
(2)确认各部分的符号；
(3)结果需要化为最简形式.
实质上是转化为单项式乘单项式
课堂总结

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