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第 8 章 整式乘法与因式分解
8.3 完全平方公式与平方差公式
课时1 完全平方公式
2.能够运用完全平方公式进行整式乘法的运算.(重点)
1.通过探索完全平方公式的计算规律，理解并掌握完全平方公式；
学习目标
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块
实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积,
并进行比较.
直接求：总面积=（a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
b
b
a
a
新课导入
知识点一 完全平方公式
自主探究
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= .
p2-2p+1
（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .
m2-4m+4
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
猜想：
自主学习
验证：
(a+b)2
=a2+ab .
= .
(多项式乘多项式的法则)
(合并同类项)
+ab+b2
a2+2ab+b2
=(a+b)(a+b)
(a-b)2
= .
= .
(多项式乘多项式的法则)
(合并同类项)
a2-ab-ab+b2
a2-2ab+b2
=(a-b)(a-b)
要点归纳
完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，
加上（或减去）它们的积的2倍.
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
公式特征
简记为：
“首平方，尾平方，
积的2倍放中间”
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同；
知识点二 用几何拼图验证平方差公式
自主探究
你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图 1
图2
b
a
a
b
a2
面积：
ab
ab
b2
(a+b)2
+
+
+
=
和的完全平方公式：(a+b)2= .
a2+2ab+b2
b
a
a
b
面积：a2
-
-
-
b(a-b)
b2
=
(a-b)2
b
a
a
b
差的完全平方公式：(a-b)2= .
a2-2ab+b2
b(a-b)
a2-2b(a-b)-b2=a2-2ab+b2.
探究1 利用完全平方公式计算
问题提出：如何利用完全平方公式计算(2m+n)2和(-a-2)2.
问题探究：我们已经知道完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，
在(2m+n)2中对应a的是 ，对应b的是 .故原式=( )2+2·2m· +n2 ，
根据相反数的平方相等，可得(-a-2)2=( )2.
故(-a-2)2=(a+2)2=a2+ ×a+4.
问题解决：
(2m+n)2= = .
(-a-2)2= = = .
2m
n
2m
n
a+2
4
(2m)2+2·2m·n+n2
4m2+4mn+n2
(a+2)2
a2+2·a·2+22
a2+4a+4
合作探究
练一练
1.运用完全平方公式计算：
(1)(3x+y)2；
(2)(2a-0.5)2；
原式=(3x)2+2·(3x)·y+y2
解：
=9x2+6xy+y2
原式=(2a)2 -2·(2a)·0.5+0.52
=4a2 -2a+0.25
总结：利用完全平方公式计算时，先对照公式分清a和b，再套用公式写
出结果；这里要注意结果是有三项，不要遗漏； 公式结果的第二项+2ab
和-2ab正负号不要弄错以及系数2不要忘乘.
由于互为相反数的两个数平方相等，故(-a-b)2=(a+b)2，(b-a)2=(a-b)2.
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
探究2 利用完全平方公式简便运算
材料：公元前224年，秦王嬴政召集群臣，商议灭楚大计，王翦认为“非六
十万人不可”，而李信则认为“不过二十万人”便可打败楚国，秦王大喜，
认为王翦老不堪用，便派李信和蒙恬率军二十万，南下伐楚，结果落得惨败.所以秦王只能答应的王翦要求了.
由于60万可是当时秦国所有兵力的总和了，秦王又气又无奈，于是想刁难
一下王翦；他调集了全国的兵力，分为60个正方形方阵：
30个101×101阵,30个99×99方阵(如下图)；请王翦清点.
99人
99人
101人
101人
问题提出：你能帮王翦数下每种方阵的人数吗？你能判断出总人数有没有60万吗？
问题探究：一个99×99方阵的人数为( )2，一个101×101方阵的人数为( )2.
要利用完全平方公式简便计算992和1002，需要将它们转化成 的形式.
(a±b)2
992=( - )2； 1012=( + )2
99
1
100
101
1
100
接下来就可以利用完全平方公式计算：
992=(100-1)2=10000- +1= ；
1012=(100+1)2=10000+ +1= .
问题解决：一个99×99方阵人数为 ，一个101×101方阵人数为 ；
总人数 (填“超过”或“不超过”)60万.
60个方阵的总人数为：
200
200
9801
12001
30×9801+30×12001=30×(9801+12001)
=30×20002
=600 060
9801
12001
超过
练一练
1.运用完全平方公式简便运算：
(1)982 (2)1022-400
=(100-2)2
=10000-400+4
=9604
解：(1)原式
(2)原式
=(100+2)2-400
=10000+400+4-400
=10004
1.利用乘法公式计算：
(1)(3x+1)2 ；
(2)(a-3b)2 ；
(3)(2x+ )2 ；
(4)(-2x+3y)2 .
解：
(1)原式=(3x)2+2·(3x)+1
=9x2+6x+1.
(2)原式=a2+2a(-3b)+(-3b)2
=a2-6ab+9b2.
(3)原式=(2x)2+2·(2x) +( )2
=4x2 + 2xy + .
(4)原式=(-2x)2+2(-2x)(3y)+(3y)2
=4x2 - 12xy + 9y2.
当堂检测
2.如图，是一张正方形的纸片，如果把它沿着各边都剪去3cm宽的一条，那么
所得小正方形的面积比原正方形的面积减少84cm2，求原正方形的边长.
(单位：cm)
3
3
解：
设原正方形的边长为x cm.
由题意可得x2-(x-3)2=84
x2-[x2-6x+9]=84
6x-9=84
x=15.5
故原正方形的边长为15.5cm.
完全平方公式
语言描述
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
两个数的和(或差)的平方，等于
这两个数的平方和，加(或减)
这两个数乘积的2倍.
符号描述
课堂总结

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