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第 8 章 整式乘法与因式分解
8.3 完全平方公式与平方差公式
课时2 平方差公式
1.能用多项式乘法推导平方差公式，会用图形的面积割补说明
平方差公式；
2.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行计算；(重点)
3.会用乘法公式简化运算，知道对复杂算式进行转化或应用整体
的思想.
学习目标
复习引入
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 乘另一个多项式
的 ，再把所得的积相加.
每一项
每一项
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(p+q)=
ap
aq
bp
bq
+
+
+
新课导入
知识点 平方差公式
自主探究
(x+1)(x-1) = .
(m+2)(m-2) = .
(2x+1)(2x-1) = .
x2-1
m2-4
4x2-1
计算：
猜想：
(a+b)(a-b)= .
a2-b2
自主学习
验证1：
(a+b)(a-b)
=a2-ab .
=a2- .
思考：你还能用图形面积的方式去验证这个公式吗？
(多项式乘多项式的法则)
(合并同类项)
+ab-b2
b2
验证2:
3
4
1
2
a
a
b
b
b
图形1+2组成长方形长为 ，宽为 ，它的面积是 .
图形2的面积与图形3的面积 ，图形4的面积是 .
图形1+3+4组成了一个 ，面积是 ；故图形1+3的面积是 .
图形1+2的面积与图形1+3的面积 .所以 .
相等
相等
(a+b)(a-b)=a2-b2
右图的图形由4个矩形组成，
各线段的长度如图.
(a+b)
(a-b)
(a+b)(a-b)
b2
正方形
a2
a2-b2
要点归纳
平方差公式
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
(a+b)(a-b)=a2-b2
公式变形
1.(a-b)(a+b)=a2-b2.
2.(b+a)(-b+a)=a2-b2.
如何用语言描述？
探究1 直接利用平方差公式进行计算
问题提出：如何利用平方差公式计算(-x-3)(3-x)？
问题探究：我们已经知道平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，在两个多项式相乘
(a+b)(a-b)中，a同号，b .
利用以上区分方法，在(-x-3)(3-x)中，对应a的是 ，对应b的是 .
故我们利用平方差公式将式子(-x-3)(3-x)转为( )2 - ( )2.
问题解决：
解：原式= = .
应用：一辆汽车以(3-x)km/h的速度行驶了(-x-3)小时，行驶路程为 km.
异号
-x
3
-x
3
(-x)2 - 32
x2 - 9
x2 -9
合作探究
总结：利用平方差公式计算时：
1.先把要计算的式子与公式对照;
2.分清哪个是a 哪个是b (a同号，b异号)；
3.套用公式计算.
练一练
1.计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) (2)(2a+b)(2a－b).
解：
原式=(3x)2－22
=9x2－4
原式=(2a+b)(2a－b)
=(2a)2－b2
=4a2－b2
(3) (y+2)(y-2)–(y-1)(y+5)
= y2-22-(y2+4y-5)
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1
注意：在(3)式中(y-1)(y+5)不是(a+b)(a-b)
的形式，所以不能利用平方差公式计算；
多组运算再相加减，结果要合并同类项.
探究2 巧用平方差公式简便计算
问题提出：如何利用平方差公式简便计算102×98？
问题探究：如果要利用平方差公式简便计算，那么一定要将102×98
转化为 的形式，并且a2和b2都要计算方便；
问题解决：
解：原式= = = .
应用：直接写出答案：103×97= .
(a+b)(a-b)
根据以上提示，102×98可转化为( + )( - )
100
100
2
2
(100+2)(100-2)
1002-22
9996
9991
练一练
1.用便捷的方式计算：49×51-4×252
解：原式=(50-1)(50+1)-22×252
=502-12-(2×25)2
=502-1-502
=-1
探究3 先变形再乘法公式计算
问题提出：对于式(1)(a+b+c)2，式(2)(a-b)3的计算，你还能利用到
乘法公式吗？
问题探究：
(1)这两个式子能否直接利用乘法公式计算？为什么？
不能，它们不是完全平方公式或平方差公式等号左边的形式.
(2)思考：如果要利用到乘法公式计算，我们该如何将这两个式子转化呢？
(1)(a+b+c)2=[( )+c]2 (2)(a-b)3=(a-b)· .
a+b
(a-b)2
(1)式中把 看作一个整体，这样就可以套用完全平方公式计算了.
a+b
总结：有些式子是不能直接用平方差公式计算的，比如(a+b+c)2；这里我们
可以把a+b或b+c看作一个整体，再套用公式计算.
问题解决：
(a+b+c)2 = [ (a+b) +c ]2
= (a+b)2 +2(a+b)c +c2
= a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2
= a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
(a-b)3 =(a-b)(a-b)2
=(a-b)(a2-2ab+b2)
=a3-2a2b+ab2-a2b+2ab2-b3
=a3-3a2b+3ab2-b3.
练一练
1.利用平方差公式计算：(x+2y-3)(x-2y+3).
原式=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
=x2-(2y-3)2
=x2-(4y2-12y+9)
=x2-4y2+12y-9.
1.利用平方差公式计算：
(1)(2a+5b)(2a-5b)
解：
(2)( x-3)( x+3);
(3)(y-2x)(-2x-y)；
(4)(xy+1)(xy-1)；
原式=(2a)2 -(5b)2
=4a2 -25b2
原式=( x)2 -32
= x2 -9
原式=(-2x)2 -y2
=4x2 -y2
原式=(xy)2 -1
=x2y2 -1
当堂检测
2.利用乘法公式计算：
(1)598×602
(2)9992
原式=(600-2)(600+2)
=6002-22
=360000-4
=359996.
原式=(1000-1)2
=10002-2×1000×1+12
=1000000-2000+1
=998001.
3.计算：
(1)(a+b)3；
(2)(x-5)3.
原式=(a+b)(a+b)2
=(a+b)(a2+2ab+b2)
=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3
=a3+3a2b+3ab2+b3.
原式=(x-5)(x-5)2
=(x-5)(x2-10x+25)
=x3-10x2+25x-5x2+50x-125
=x3-15x2+75x-125.
4.计算：
(a-b-c)2
原式= [ (a-b) -c ]2
= (a-b)2 -2(a-b)c +c2
= a2-2ab +b2 -2ac +2bc +c2
= a2+b2+c2 -2ab+2bc -2ac.
平方差公式
符号表示
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
(a+b)(a-b)=a2-b2
1.紧紧抓住 “一同一反”这一特征
2.对于不能直接应用公式的，可能要
经过变形才可以应用
注意
文字描述
课堂总结

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