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第 8 章 整式乘法与因式分解
8.4.1 提公因式法
2.通过探究多项式因式分解的过程，能够确认多项式的公因式，
会运用提公因式法分解因式.(重点)
1.理解因式分解的定义及它与整式乘法的联系;
学习目标
说出下列数字或者代数式是哪个数或者式的平方
121
x4
(a2)3
±11
±x2
±a3
想必大家都是轻松答对，那么这个式子你还能回答出来吗？
1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3
要想知道这个复杂的式子是哪个式的平方，就要用到我们今天所学的知识.
新课导入
知识点一 因式分解的定义
自主探究
问题1：运用前面所学的知识填空：
（1）m(a+b+c)= ；
ma+mb+mc
（2）(x+1)(x-1)= ；
x2 -1
（3）(a+b)2 = .
a2+2ab+b2
问题2：根据上面的计算填空：
（1）ma+mb+mc= ；
（2）x2 -1= ；
（3）a2+2ab+b2 = .
m(a+b+c)
(x+1)(x-1)
(a+b)2
问题2中都是将多项式转化为两个整式的 .
乘积
自主学习
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做
把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
ma+mb+mc =m(a+b+c)
ma+mb+mc m(a+b+c)
因式分解
整式乘法
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
因式分解的定义：
知识点二 提公因式法
自主探究
观察下列这3个多项式，说出他们的共同特点.
(1)ma+mb+mc (2)4x+3x-5x (3)pa+pb+pc
这些多项式的各项都含有一个 的因式；
相同
例如ma+mb+mc中各项相同的因式为 .
m
我们把这种多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
要点归纳
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
四、合作探究
探究1 利用因式分解求值
问题提出：多项式x2+ax+8因式分解后有一个因式为x+2，求a的值.
问题探究：学习整式的乘法时，我们知道了一个公式，还记得吗？
(x+p)(x+q)=( )2 +( )x+( )，
多项式x2+ax+8一个因式为x+2，不难猜出另外一个因式为 .
故x2+ax+8=(x+2)(x+4)，要求a的值先要将(x+2)(x+4)展开.
应用：若x2+ax+8因式分解后有一个因式为x-1，则a的值为 .
反之:x2+(p+q)+pq=(x+p)(x+q).
x+4
问题解决：根据公式：(x+2)(x+4)= ；a的值为 .
x
p+q
pq
x2+6x+8
6
-9
练一练
1.多项式x2+mx-n因式分解后变为(x+5)(x-2)，求m+n的值.
因为(x+5)(x-2)=x2+3x-10，
解：
由题意得x2+mx-n=(x+5)(x-2)；
所以m=3，n=10，
所以m+n=13.
合作探究
探究2 利用提公因式法进行因式分解
问题提出：如何利用提公因式法把8a3b2+12ab3c分解因式.
4
公因式
a
b
1
2
4ab2
问题探究：利用提公因式法进行因式分解，首先要找出 ，
然后提取公因式，即多项式化为两个因式的乘积.
两项的系数分别是8与12，它们的最大公约数是 ；
两项字母部分都含有字母 和 ；
其中a的最低次数为 ，b的最低次数为 ；
因此我们选定 为要提出的公因式.
应用：多项式12x4y3+6x3y4的公因式为 .
问题解决：8a3b2+12ab3c=4ab2· +4ab2· = .
6x3y3
4ab2(2a2+3bc)
2a2
3bc
思考：你是否记住了找公因式的步骤？
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
注意：如果随意提取公因式，那么另一个因式可能还存在公因式.
练一练
2.把2ab3-4a2b2分解因式
分析：这两项的公因式为2ab2.
思考：如何检查这个因式分解是否正确.
将结果做整式的乘法运算
2ab2(b-2a)=2ab3-4a2b2，与原式一致，故正确.
解：2ab3-4a2b2
=2ab2·b-2ab2·2a
=2ab2(b-2a)
问题提出：如何利用提公因式法把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.
问题探究：这两个式子的公因式为 ，可以直接提出.
b+c
应用：分解因式：p(a2+b2)+q(a2+b2)= .
问题解决：2a(b+c)-3(b+c)=(b+c) .
2a-3
(p+q)(a2+b2)
总结：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式.
3.分解因式：1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3(导入中问题)
它是 的平方.
±(1+x)2
解：原式=(1+x)[1+x+x(1+x)+x(1+x)2],
=(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x)]
=(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)
=(1+x)4.
练一练
1.把下列各式分解因式：
(1)6x3-18x2= (x-3);
(2)-7a2+21a=-7a( ).
6x2
a-3
2.把下列各式分解因式：
(1)np-nq;
(2)-x3y-x2y2+xy.
解：原式=n(p-q)，
原式=xy(-x2)-xy·xy+xy·1，
=xy(-x2 -xy+1).
当堂检测
3.把下列各式分解因式.
(1)3(a+b)2+6(a+b)；
(2)m(a-b)-n(a-b)；
(3)6(x-y)3-3y(y-x)2；
(4)mn(m-n)-m(n-m)2.
解：原式=
3(a+b)·(a+b)+3(a+b)·2
=3(a+b)·(a+b+2).
原式=(m-n)(a-b).
原式=6(x-y)3-3y(x-y)2.
=3(x-y)2·2(x-y)-3(x-y)2·y
=3(x-y)2[2(x-y)-y]
=3(x-y)2(2x-3y).
原式=mn(m-n)-m(m-n)2
=m(m-n)-[n-(m-n)]
=m(m-n)(2n-m).
=9900
（2）992+99
= 99 ×(99+1)
解：原式= 99 × 99 + 99
4.计算：
（1）178× +178× +178×
解：原式=178×( + + )
=178×1
=178
因式分解
注意
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号.
定义
方法1
提公因式法
确定公因式的方法：
定系数；定字母；定指数
1.找公因式；2.提公因式
课堂总结

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