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第 8 章 整式乘法与因式分解
8.4.2 公式法
2.能够熟练地运用公式法分解因式.(重点)
1.进一步熟悉平方差公式和完全平方公式，知道公式法的概念；
学习目标
复习引入
1.什么叫多项式的因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.
2.下列式子从左到右哪个是因式分解 哪个整式乘法？
它们有什么关系？
(1)a(x+y)=ax+ay
(2)ax+ay=a(x+y)
整式乘法
因式分解
它们是互为方向相反的变形
新课导入
知识点 公式法
自主探究1
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
它是a,b两数 的形式
平方差
平方差公式：
=a2-b2
(a+b)(a-b)
左右两式调换位置后得：
a2-b2= .
(a+b)(a-b)
所以由a2-b2到(a+b)(a-b)的变形是 .
因式分解
自主学习
自主探究2
思考：多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的 ，
它们恰好是两个数 的平方.
我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式.
和或差
积的2倍
思考：如何将完全平方式分解因式？
我们知道完全平方公式;
把整式乘法的完全平方公式等号两边互换位置就得到：
(a+b)2=a2+2ab+b2；
(a-b)2=a2-2ab+b2.
a2-2ab+b2=(a-b)2.
a2+2ab+b2=(a+b)2；
公式法：
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式
分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
a2-b2=(a+b)(a-b)； a2+2ab+b2=(a+b)2； a2-2ab+b2=(a-b)2.
探究1 利用平方差公式分解因式
问题提出：如何利用平方差公式把x4-y4分解因式.
问题探究： x4=( )2 ，y4=( )2；
相一想：(x2-y2)还能进行因式分解吗？如果可以x2-y2= .
那么最后得出x4-y4= .
(x+y)(x-y)
问题解决：利用平方差公式：x4-y4=( )2+( )2= =
.
我们取 x4=(x2)2 ， y4=(y2)2；
利用平方差公式：故x4-y4=(x2)2-(y2)2= ；
±x2
±y2
(x2+y2)(x2-y2)
(x2+y2)(x+y)(x-y)
(x2+y2)(x2-y2)
(x2+y2)(x+y)(x-y)
x2
y2
合作探究
练一练
1.分解因式
(1)4x2-y2 (2)a4-16
=(2x+y)(2x-y)
解：
(1)原式=(2x)2-y2
(2)原式=(a2+4)(a2-4)
=(a2+4)(a+4)(a-4)
注意：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
探究2 利用完全平方公式分解因式
问题提出：如何把(1)16x2+24x+9 (2)-x2+4xy-4y2分解因式？
问题探究： (1)16x2=( )2 ，9=( )2,24x=2×( )×( )；
(2)式子添括号原式=-( );
4y2=( )2,4xy=2x·( )；
问题解决：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2= ；
(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]= .
根据完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2即可将(1)式分解因式；
4x
根据完全平方公式a2-2ab+b2=(a-b)2即可将(2)式分解因式.
3
4x
3
x2-4xy+4y2
2y
2y
(4x+3)2
-(x-2y)2
总结：利用完全平方公式分解因式.先要将完全平方式的中两个平方项找出，
写成两个数或式平方的形式；然后剩下的项写成这两个数积的两倍的形式；
最后将整个式子写成完全平方形式(a±b)2便完成了因式分解.
练一练
1.分解因式
(1)4a2-2a+0.25 (2)(a+b)2-12(a+b)+36
=(2a-0.5)2，
解：
(1)原式=(2a)2-2·2a·0.5+0.52
(2)原式=(a+b)2-2(a+b)·6+62
=(a+b-6)2
分析：(1)式中4a2=(2a)2,0.25=0.52，(2)式中将(a+b)看作一个整体.
1.把下列各式写成完全平方的形式；
(1)0.81x2=( )2；
(3)y2-8y+16=( )2；
(4)x2-x+ =( )2；
(2) m2n4=( )2；
0.9x
y-4
x-
mn2
当堂检测
2.把下列各式分解因式：
(1)x2+2x+1； (2)y2-4； (3)1-6y+9y2；
(4)1-36n2； (5)9n2+64m2-48mn； (6)-16+a2b2.
解：(1)原式=(x+1)2；
(2)原式=(y+2)(y-2)；
(3)原式=(3y-1)2；
(4)原式=1-(6n)2
=(1+6n)(1-6n);
(5)原式=(3n)2-2×3n·8m+(8m)2
=(3n-8m)2;
(6)原式=(ab)2-42
=(ab+4)(ab-4).
平方差公式分解因式
步骤
a2-b2=(a+b)(a-b)
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
公式
课堂总结
完全平方公式
分解因式
特点
a2±2ab+b2=(a±b)2
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
公式

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