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第 8 章 整式乘法与因式分解
8.4 课时3 运用分组分解法
1.能综合运用提公因式法与乘法公式进行因式分解；(重点)
2.知道将多项式进行分组，再进行因式分解.
学习目标
1.如何提取公因式？
(1)定系数
2.利用公式法把下列公式分解因式
回顾
(2)定字母
(3)定指数
因式分解：12ab2+8a2b = ；
4ab(3b+2a)
(2)4x2-25y2 = ；
(3)25m2+20mn+4n2 = .
(2x+5y)(2x-5y)
(5m+2n)2
新课导入
探究1 因式分解方法的综合运用1
问题提出：如何把3ax2+6axy+3ay2分解因式？
(x2+2xy+y2)
3a
问题解决：因式分解：3ax2+6axy+3ay2
= ；
= .
完全平方式
x+y
3a(x2+2xy+y2)
3a(x+y)2
问题探究：我们可以先利用提公因式法进行因式分解，它的公因式为 ，
于是可得：3ax2+6axy+3ay2=3a· .
x2+2xy+y2是一个 ，它可以转化为( )2.
合作探究
练一练
1.分解因式：8a3b+8a2b2+2ab3.
解：原式=2ab(4a2+4ab+b2)
=2ab(2a+b)2
探究2 因式分解方法的综合运用2
问题提出：如何把4a3-ac2分解因式？
问题探究：
(1)这是两个单项式相减的形式，能直接利用平方差公式分解因式吗？
不能，两个单项式都不是某个数平方的形式
(2)观察：这个式子有公因式吗？ ，它是 .
(3)我们第一步先要 ，式子变为 .
(4)这时就可以利用 括号内的部分分解因式.
a(4a2-c2)
提取公因式
a
有
平方差公式
问题解决：因式分解：4a3-ac2
= ；
= .
a(4a2-c2)
a(2a+c)(2a-c)
练一练
2.把下列各式分解因式.
(1) 2ax2-2a3 (2)4m3n2-9m
=2a(x+a)(x-a)
=m(2mn+3)(2mn-3)
解：
(1)原式=2a(x2 -a2)
(2)原式=m(4m2n2-9)
探究3 利用分组的方法分解因式
问题提出：把下列式子分解因式
(1)4x2+2ax-y2+ay
问题探究：
(1)找出式子中隐藏的平方差形式部分或完全平方形式部分.
交换第二、三项的位置变为4x2-y2+2ax+ay，此时第一、二项为平方差形式.
(2)既然找到式中的平方差形式，剩余部分2ax+ay有什么特点？
它们有公因式a，可以提取公因式.
(3)那么此时把式子4x2-y2+2ax+ay分解因式，你的思路是？
问题解决：按照你的思路写出步骤.
4x2+2ax-y2+ay=4x2-y2+2ax+ay
=(4x2-y2)+(2ax+ay)
=(2x+y)(2x-y)+a(2x+y)
=(2x+y)(2x-y+a).
分组
练一练
3.把式子：4x2-9y2+2x-3y分解因式
=(2x+3y)(2x-3y)+(2x-3y)
解：
(1)原式=(4x2-9y2)+(2x-3y)
=(2x-3y)(2x+3y+1) .
a2+4ab-4+4b2
=a2-4+4ab+4b2
=(a2-4)+(4ab+4b2)
=(a+2)(a-2)+4b(a+b)
小戴同学在学完分组法后，尝试这把a2+4ab-4+4b2分解因式，步骤如下：
问题1：他最后完成了分解因式吗？是不是哪一步算错了？
问题2：那么刚才所学的分组方法还适用于这个式子吗？
问题提出：如何把下列式子分解因式？
(2)a2+4ab-4+4b2
问题探究：(1)式子中某几个项交换位置，能不能找出完全平方形式部分？
问题解决：利用分组的方法把该式分解因式.
交换位置后变为a2+4ab+4b2-4，此时第 项为平方差形式.
一、二、三
a2+4ab-4+4b2=a2+4ab+4b2-4
=(a+2b)2-22
=(a2+4ab+4b2)-4
=(a+2b+2)(a+2b-2).
练一练
4.把式子：a2+2ab+b2-c2分解因式
解：
原式=(a2+2ab+b2)-c2
=(a+b)2-c2
=(a+b+c)(a+b-c).
1.把下列多项式分解因式：
（1）2x3-32x； （2）9a3b3-ab；
解：
(1)原式=2x(x2-16)
=2x(x+4)(x-4)；
(3)mx2-8mx+16m；
(2)原式=ab(9a2b2-1)
=ab(3ab+1)(3ab-1)；
原式=m(x2-8x+16)
=m(x-4)2 ；
当堂检测
（4）-x4+256； （5）-a+2a2-a3；
（6）27x2y2-18x2y+3x2 .
解：
原式=(16+x2)(16-x2)
=(16+x2)(16+x)(16-x)；
原式=-a(a2-2a+1)
=-a(a-1)2；
=3x2(9y2-6y+1)；
=3x2(3y-1)2 .
2.把下列各式分解因式：
(1)4a2-b2+4a-2b； (2)x2-2xy+y2-1；
解：
原式=(2a+b)(2a-b)+2(2a-b)
=(2a+b)(2a-b)+2(2a-b)
=(2a-b)(2a+b+2).
原式=(x2-2xy+y2)-1
=(x-y)2-12
=(x-y+1)(x-y-1)
(3)9x2+6x+2y-y2； (4)x2-y2 +a2-b2+2ax+2by.
解：
=(x2+2ax+a2)-(y2-2by+b2)
原式=(x2+2ax+a2)+(-y2+2by-b2)
=(x+a)2 -(y-b)2
=(x+a+y-b)(x+a-y+b).
原式=(9x2 -y2)+2(3x+y)
=(3x-y)(3x+y)+2(3x+y)
=(3x+y)(3x-y+2)；
将一些较复杂的式子进行因式分解常用的方法：
1.
2.
3.
提取公因式
用平方差公式
用完全平方公式
提取公因式
分组
提公因式或利用公式
关键：找出式子的公因式
关键：找出隐藏在式中的
完全平方式或平方差式
课堂总结

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