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淄博市 2025—2026 学年度高三模拟考试 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时, 选出每个小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一. 单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ,那么集合
A. B. C. D.
2.若复数 的共轭复数 满足 ,则复数
A. B. 1-i C. D.
3. 已知 ,则
A. B. C. D.
4. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 和 ,过 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点，则
A. B. C. D.
5. 过点 且与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
A. B. C. D.
6. 有 5 名同学 参加唱歌比赛,抽签决出出场顺序. 若 和 都不是第 1 个出场,且 不是最后一个出场,则这 5 人不同的出场顺序种数为
A. 42 B. 50 C. 54 D. 60
7. 在正方体 中， 为 的中点， ， ，若 ， ， 四点共面，则
A. B. C. D.
8. 已知函数 的定义域为 ,且 ,则 的最小值为
A. 9 B. 12 C. 16 D. 18
二. 多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知实数 满足 ,则下列说法正确的是
A. B.
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 已知函数 ,则下列说法正确的是
A. 若 ,且曲线 的对称中心为 ,则
B. 若 ,函数 在 上单调递增,则
C. 若 ,且 ,则存在实数 ,使得
D. 若 ,且函数 有两个极值点 ,则
11. 已知双曲线 的上、下焦点分别为 和 ,下顶点为 为第一象限内 上的动点,当 时, 的面积为 ,则下列说法正确的是
A. 双曲线 的离心率
B. 双曲线 的渐近线方程为
C.
D. 的内心 满足
三. 填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 平面向量 ，则 在 上的投影向量坐标为_____.
13. 若函数 的部分图象如图所示，则关于 的不等式 的解集为_____.
14. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和, 形成新的数列, 再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列,现将数列1,2进行构造,第 1 次得到数列1,3,2; 第 2 次得到数列 ; 第 次得到数列 ,记 ,则 _____.
四. 解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤.
15. 已知锐角 的三个内角 所对的边分别为 ，且满足
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围.
16. 已知抛物线 与双曲线 的渐近线在第一、四象限的交点分别为 ，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2) 为 上异于 的两动点，且以线段 为直径的圆恰好经过 ，证明: 直线 过定点.
17. 如图，四棱锥 中， 平面 ， ， .
(1)求证: ；
(2)若 为 的重心，
(i) 求 与平面 所成角的正弦值;
(ii) 若 交平面 于 ,求 的值.
18. 设 为实数,且 ,函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明: ；
(3)若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求 的取值范围.
19. 甲口袋中装有 3 个红球, 乙口袋中装有 2 个黄球和 1 个红球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复 次这样的操作,记乙口袋中黄球个数为 ,恰有 2 个黄球的概率为 ,恰有 1 个黄球的概率为 .
(1)求 和 ；
(2)求 的数学期望 (用 表示)；
(3) ，若 ，有
求 所有元素之和。
淄博市 2025—2026 学年度高三模拟考试 数学答案
一.
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D B A D A D
二.
9 10 11
BC ACD ACD
三.
12 13 14
四. 15. 解 (1) 法一: 由余弦定理 分
2 分
分
, 4 分
,所以 5 分
法二: 由正弦定理:
3 分
因为 ,所以 , 4 分
分
法三: 3 分
4 分
,所以 .
(2)由(1)知 ，
分
又因为 ,所以 , 11 分
所以
13 分
16. 解: (1) 的渐近线为
由 得 ,所以 ,
,同理 , 2 分
, 4 分
抛物线 的方程为
(2)法一:由(1)知 ，由题知直线 的斜率不为0， 设直线 的方程为
联立 得
即
7 分
因为以线段 为直径的圆恰好经过点 ，所以
9 分
即
所以 , 11 分
即
所以 或 13 分
所以 或
时,满足 ,直线 的方程为 ,过定点 , 时,直线 的方程为 ,过定点 (舍).
综上,直线 过定点
法二: 由(1)知 ，由题知直线 的斜率不为 0,
设直线 的方程为
联立 得
即
分
因为以线段 为直径的圆恰好经过点 ,所以
直线 的斜率存在且不为零, 分
即
所以
所以 ,
即 ,满足 ,
直线 的方程为 ,过定点 . 15 分
法三: 直线 的斜率存在且不为零, , 设直线 的方程为
联立 得 8 分
为方程的两根, 11 分
所以 , 13 分
满足
直线 的方程为
由 得定点
直线 过定点 .
法四: 由(1)知 ,
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为
联立 得
即
6 分
因为以线段 为直径的圆恰好经过点 ,所以
8 分
即
所以 , 10 分
即
所以 或
所以 或 ,
当 时,直线 的方程为 ,过定点 (舍),
当 时, ,直线 的方程为 ,过定点 .
当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为 ,由 得 ,不妨设 ,
,
此时直线 过定点
综上,直线 过定点
17. 解: (1) 在 ACD 中, 分
又PA⊥面ABCD，AC 面ABCD，∴AC⊥PA……2 分
又 面 面 分 分
(2)(i)法一:以 为正交基底建立如图空间直角坐标系 A-xyz,
分因为 为 的重心, 分
所以
设平面 PBD 的法向量为
则 ,令 ,解得 分
设 GC 与面 PBD 所成角为 ,则 分
法二: 由(1)知，PD
中， ，所以由余弦定理 所以 分
在 中，
所以 ， 8 分
设点 到平面 的距离为 ，所以
解得 分
延长CG交PD与点M，因为G为 PCD的重心，所以CM为中线，且 所以
CG 与平面 PBD 所成角,即 CM 与平面 PBD 所成角,设为 ,即 分
(ii)设 分
法一:
因为 四点共面,所以存在唯一确定的实数 ,
使得 ,且 分
所以 ,解得 ,所以 分
法二: ,
因为 四点共面,所以存在唯一确定的实数 ,
使得 13 分所以 ,解得 ,所以 分
法三: ,由 (2) 知,平面 的法向量为 ,
所以 分
解得 ，所以
18. 解: (1) 时,
分
分
曲线 在点 处的切线方程为 即
(2)法 1:令 5 分
得
时, 时, 即 在 上单调递减,在 上单调递增 8 分
即 分
法 2: 要证原不等式,等价于证明 ,令
只需证
6 分
所以,
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增 分
所以 分
法 3: 要证原不等式,等价于证明 ,即 ,
令 , 5 分
6 分
所以,
所以 在 上单调递增, 在 上单调递减……8 分
所以 ,所以 .
即 分
(3) 法
曲线 与直线 有两个不同的交点 有两个不同的零点 11 分
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增，至多一个零点，舍去； ......12 分
②若 ，
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增.
在 单调递减,在 上单调递增
时, 时,
所以只需 即可....14 分
令 上式等价于 分
记
所以, .
所以, 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以
即 的取值范围是
法 2:
曲线 与直线 有两个不同的交点 有 2 个不同解 有 2 个不同的解
当 时, 11 分
当 时,令 ,则
只需保证 与 有两个不同的交点
记
当 即 时,
在 上单调递减,且 分
当 即 时,
又 ,所以 时, 时, ,
则 在 单调递减， 单调递增， 分 即 的取值范围是 分
法 3: .
先求 过点 的切线方程
设切点为
所以切线方程为
又因为切线过点
所以 ,
即 分
令 则 ,
记 分
所以, .
所以, 在 上单减,在 上单增,...15 分
且
所以 分
所以切线的斜率为
若要曲线 与直线 有且仅有两个交点,则需要
即 分
19. 解: (1)
1 分
分
3 分
分
(2)法 1: 6 分
8 分
因此 , ,
从而 ,
即 分
又 的分布列为
0 1 2
...11 分
故 分
法 2: 记第 次操作后,乙口袋中黄球个数为 ,则甲口袋中黄球个数为 , 则第 次操作时,
从甲口袋中取出黄球的个数服从超几何分布,则取出黄球个数的期望为 从乙口袋中取出黄球的个数服从超几何分布,则取出黄球个数的期望为
则第 次操作后,乙口袋中黄球个数 满足
10 分
则
所以 12 分
(2)法 3:记第 次操作后，乙袋中黄球个数为 ， 红球个数为 ，则甲袋中黄球个数为 ,红球个数为 ,
则第 次操作中,
情况 ①:甲袋取红球，乙袋取黄球，则第 次操作后，乙袋中黄球个数为 ；
情况 ②:甲袋取黄球，乙袋取红球，则第 次操作后，乙袋中黄球个数为 ；
情况③:甲袋取红球，乙袋取红球，或者甲袋取黄球，乙袋取黄球，则第 次操作后,乙袋中黄球个数为 ;
所以 . 10 分
所以 ,由 (1) 知, ,所以
所以 是以 为公比的等比数列,首项为 ,
所以
所以 .
(3)令 ，
由题意知 或 0
当 时,设
,
所以 ,
所以
所以 分
法一: 由题意可得 中的所有元素由以下系列中所有元素组成:
当 均为 1 时: 此时该系列元素只有 即 个;
当 中只有一个为 0,其余均为 1 时:
此时该系列的元素有 共有 个,
则这 个元素的和为 ;
当 中只有 2 个为 0,其余均为 1 时:
此时该系列的元素为 共有 个,
则这 个元素的和为 ;
当 中有 3 个为 0,其余均为 1 时: 此时该系列的元素为
共有 个,
则这 个元素的和为 ;
...
当 中有 个为 0,1 个为 1 时: 此时该系列的元素为 共有 个,
则这 个元素的和为 ;
当 均为 0 时: 此时该系列的元素为 16 分
综上所述, 中的所有元素之和为
法二: 由题意可得
,
所以 的所有的元素的和中各项 出现的次数均为
次,...16 分
所以 中的所有元素之和为
分

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