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2025-2026学年北京166中九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.大兴国际机场，成为北京建设国际化大都市的重要标志.全球唯一一座“双进双出“的航站楼，世界施工技术难度最高的航站楼，走进航站楼内部，室内色调主要以白色为主，为了让阳光洒满整个机场，航站楼一共使用了12800块玻璃，白天室内几乎不需要照明灯光.将12800用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
2.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是( )
A. a B. b C. c D. d
3.一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为( )
A. B. C. D.
4.剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为( )
A. B.
C. D.
5.如图，直线，，交于一点，直线，若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为，则M，C两点间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
7.下面是小彤设计的“作中BC边上的高”的尺规作图方法.
①如图，以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点
所以线段AD是中BC边上的高.
上述方法通过判定BC垂直平分线段AE，得到线段AD是中BC边上的高.其中，判定BC垂直平分线段AE的依据是( )
A. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
B. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线
C. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
D. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
8.在正方形ABCD中，点P在边BC上运动，连接AP，过点P作，，连接AQ，以下结论正确的是( )
A. 点P与点B重合时，线段CQ的长取得最大值
B. 点P与边BC的中点重合时，线段CQ的长取得最大值
C. 点P与点C重合时，线段CQ的长取得最大值
D. 点P运动的过程中，线段CQ的长不发生变化
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.函数中，自变量x的取值范围是 .
10.如图是某几何体的三视图，该几何体是___ ___.
11.分解因式：______.
12.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a、b的值： ， .
13.如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则______.
14.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．
《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为______.
15.如图，在 ABCD中，E为AB延长线上一点，F为AD上一点，，若，，则DF的长是 .
16.如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序 .
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题5分
计算：
18.本小题5分
解不等式组：
19.本小题5分
已知，求代数式的值.
20.本小题5分
如果，求代数式的值.
21.本小题5分
关于x的一元二次方程
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根小于1，求m的取值范围.
22.本小题6分
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作于点E，延长BC到点F，使，连接
求证：四边形AEFD是矩形；
连接OE，若，，求OE的长度．
23.本小题6分
在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的一个交点为，与x轴、y轴分别交于点A，
求m的值；
若，求k的值．
24.本小题6分
如图，AB是的直径，C是上的一点，连接AC，BC，D是AB上的一点，过点D作AB的垂线，与线段BC交于点E，点F在线段DE的延长线上，且满足
求直线CF与的公共点个数；
当点E恰为BC中点时，若的半径为5，，求线段CF的长.
25.本小题6分
为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会.其中男子立定跳远项目初赛成绩前10名的学生直接进入决赛.现将进入决赛的10名学生的立定跳远成绩单位：厘米，数据整理如下：
名学生立定跳远成绩：244，243，241，240，240，238，238，238，237，236
名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
m n
写出表中m，n的值；
现有甲、乙、丙三名未进入决赛的学生，要通过复活赛进入决赛.在复活赛中每人要进行5次测试，每人的5次测试成绩同时满足以下两个条件方可进入决赛：
平均成绩高于已进入决赛的10名学生中一半学生的成绩；
ⅱ成绩最稳定.
①若甲学生前4次复活赛测试成绩为236，238，240，237，要满足条件i，则第5次测试成绩至少为______结果取整数；
②若甲、乙、丙三名学生的5次复活赛测试成绩如表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 236 238 240 237 237
乙 237 239 240 244 235
丙 237 242 237 239 240
则可以进入决赛的学生为______填“甲”“乙”或“丙”
26.本小题6分
在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数的图象与x轴交于点A，在B的左侧，与y轴交于点
直接写出点C的坐标用含有a的代数式表示；
记的面积为S，判断说法：“当时，S与a满足正比例函数关系”的正误，并说明理由；
已知点，，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27.本小题6分
如图，在中，，，作射线CM，在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接
依题意补全图形；
判断AB与DF的数量关系并证明；
平面内一点G，使得，，求的值.
28.本小题7分
在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点的直线l，有如下定义：过图形G上任意一点Q作于点H，若有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作，此时点Q称为图形G关于直线l的最佳射影点．
如图1，已知，，写出线段AB关于x轴的最佳射影距离轴______；
已知点，的半径为，求关于x轴的最佳射影距离轴，并写出此时关于x轴的最佳射影点Q的坐标；
直接写出点关于直线l的最佳射影距离点D，的最大值．
參考答案
1.C
2.D
3.B
4.D
5.B
6.D
7.D
8.C
9.
10.圆柱
11.
12.4
2
13.
14.
15.3
16.丙、丁、甲、乙答案不唯一
17.
18.解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为
19.解：原式
，
，
，
原式
20.
解：
21.证明：，，，
，
此方程总有两个实数根．
解：，
，
此方程有一个根小于

22.证明：四边形ABCD是菱形，
且，
，
，
，
，
四边形AEFD是平行四边形，
，
，
四边形AEFD是矩形；
解：四边形ABCD是菱形，，
，
，
，
在中，，
在中，，
四边形ABCD是菱形，
，

23.解：经过，
，
解得：；
点在上，
，
，
直线与x轴、y轴分别交于点A，B，
，，
作轴于点C，分两种情况讨论：
如图1，点A在x轴负半轴，点B在y轴正半轴时，
，
，则，
，
解得；
如图2，当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴时，
，
，
，
解得
综上，或
24.解：连接OC，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
直线CF与的公共点个数有1个；
是的直径，
，
的半径为5，
，
，
设，，
，
，
，，
点E为BC中点，
，
，，
∽，
，
，
，
过F作于H，
，
，
，，
∽，
，
，
，

25.解：将10名学生立定跳远成绩从大到小排列为244，243，241，240，240，238，238，238，237，236，
其中，第5个数据为240，第6个数据为238，所以这组数据的中位数为，即；
从这组数据可以看出，238出现的次数最多，所以这组数据的众数为238，即；
①244；②丙．
见答案；
①根据条件可知，甲的跳远成绩平均数应大于等于239，
故设第五成绩为x厘米，
，
，
所以第5次测试成绩至少为244厘米；
②甲：厘米，
乙：厘米，
丙：厘米，
所以，乙和丙的成绩较高，
据此进一步比较两者的数据稳定性，
其中乙的数据大约分布在，丙的数据大约分布在，
可以看出，丙的数据比乙的数据波动较小，具有更好的稳定性，
所以，可以进入决赛的学生为丙．
故答案为：①244；②丙．
26.解：抛物线与y轴交于点C，
的坐标为；
当时．即，
解得：，，
抛物线与x轴的交点坐标为，，
，
，
当时，，
当时，S与a满足正比例函数关系，故正确；
当时，抛物线过点时，，
，
此时，抛物线与线段PQ有一个公共点．
当时，抛物线过点时，或不合题意舍去，
此时，，抛物线与线段PQ有一个公共点；
综上所述，当或时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．
27.解：如图所示：
，理由如下：
是AD的中点，
，
关于点E的对称点为F，
，
又，
≌，
，
，
；
如图2，连接AF，
，，
四边形ACDF是平行四边形，
，，，
，
，
，
点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，
，
点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，
两圆的交点为G，
，，，
≌，
，
，
同理可证≌，
，
，
综上所述：或
28.解：如图1中，在AB上任意取一点Q，过点Q作于点H，
，，，
，
，
，
，
四边形QTPH是矩形，
，，
，
轴，
故答案为：3；
如图2中，连接QC，过点Q作轴于点
设，
，，
，
，
设轴，
则有，
两边平方整理得，，
，
，
解得，
轴，此时或；
如图3中，过点D作直线l于点H，设，
，，
，
，
，
的值最大时，的值最大，
即的面积最大时，是等腰直角三角形，
，
的最大值为，
点D，的最大值为
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