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2025-2026学年上海实验学校东校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知非零向量、、，下列条件中不一定能判定的是( )
A. B.
C. ， D. ，
3.下列命题一定正确的是（ ）
A. 两个等腰三角形一定相似 B. 两个等边三角形一定相似
C. 两个直角三角形一定相似 D. 两个含有角的三角形一定相似
4.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中随处可见.例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.若舞台长10米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，则x满足的方程是( )
A. B. C. D.
5.已知点D，E分别在边BA，CA的延长线上，下列条件中一定能判断的是( )
A. AD：：BC B. AD：：EC
C. AD：：AC D. AD：：AB
6.如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，点E、O、F在另一条直线上.以下结论：①∽；②；③；④其中正确结论的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.已知，则 .
8.计算： .
9.如图，小明沿着坡度：的坡面由B到A直行走了13米时，他上升的高度______米．
10.直角三角形的斜边为15，那么重心到直角顶点的距离为 .
11.在中，，，，那么边AC的长为______.
12.物理课上我们学习过凸透镜成像规律.如图，蜡烛AB的高为12cm，蜡烛AB与凸透镜的距离BE为28cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为7cm，则像CD的高为
13.如图，已知在梯形ABCD中，，MN分别交边AB、DC于点M、N，如果AM：：3，，，那么MN的长______.
14.两个相似三角形的一组对应边长分别为20cm、25cm，它们的周长差为63cm，则这两个三角形周长的和为
15.在三角形ABC中，，那么 结果保留根号
16.在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案.如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段AD的黄金分割点，以DE为边在正方形ABCD内作正方形按此方式继续构造正方形，得到如图所示的图案.若AB的长为10cm，则P，D两点之间的距离为
17.在矩形ABCD中，，点M、N分别在边BC、AD上.连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C、D分别落在点A、E处.则的值是 .
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，的顶点A在函数的图象上，顶点B在x轴正半轴上，边AO，AB分别交函数，的图象于点M，连接MN，若轴，则的面积为 .
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题10分
计算：
20.本小题10分
如图，在平行四边形ABCD中，点E为DC上的一点，，AC与BE相交于点F，如果，，
用向量、分别表示下列向量；______；______；
在图中求作分别在、方向上的分向量不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论
21.本小题10分
“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户.某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量.如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶OA的视角
已知，两角和的余弦公式为：，请利用公式计算；
求风叶OA的长度.
22.本小题10分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线所示.
在图1中，先在边AC上找一点D，使；
在图2中，作出的重心G；
在图3中，作出线段AB的中垂线MN；
在图4中，M是边AB上一点，先画的角平分线BF，再画点M关于直线BF对称的点
23.本小题12分
已知：如图，D为AB边上一点，，，与CD交于点G，
求证：；
连接EF，若AF平分，求证：
24.本小题12分
直线分别交x轴、y轴于A、B两点．
求出点A、B的坐标；
已知点G的坐标为，过点G和B作直线BG，连接AG，求的正切值；
在的条件下，在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25.本小题14分
数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中，，，，旋转角为
【初步感知】
如图1，将三角形纸片BDE绕点B旋转，连接AE，CD，求的值；
【深入探究】
如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线CF的延长线上时，延长ED交AC于点G，求AG的长；
【拓展延伸】
在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以AE为直角边的直角三角形.若能，求线段AD的长度；若不能，请说明理由.
参考答案
一、选择题
1.A
2.A
3.B
4.A
5.C
6.D
二、填空题
7.3
8.
9.5
10.5
11.
12.3
13.4
14.567
15.或
16.
17.2
18.6
三、解答题
19.解：原式

20.解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
；
，
∽，
，
，
，
；
故答案为：；；
如图，即为分别在、方向上的分向量．
21.解：由题意得：；
由题意得：，米，
米，，
，
又
，
米，
如图，过点A作于F，
在中，，米，
米，
米，
在中，，
，米，
米．
22.使的点D，如图1即为所求；
，
∽，
，
；
的重心G，如图2即为所求；
，
∽，
，
，
为的中线，
，
为的中线，
点G为的重心；
线段AB的中垂线MN，如图3即为所求；
连接MB，MA，AN，BN，
，
四边形AMBN为菱形，
垂直平分AB；
的角平分线BF，点M关于直线BF对称的点N，如图4即为所求；
理由如下：
取格点P，使得，取格点G，H，
，
∽，
，
，
是的角平分线，
连接MP交BF于点O，连接AO并延长交BP于点N，
垂直平分AP，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
点N是点M关于直线BF对称的点．
23.证明：，
：：AC，
，
∽，
，，
，，
，
∽，
，
，
，AF平分，
，，
，
∽，
，
由得，∽，
，
：：，
化简得，，
，

24.解：对于，令，则；令，即，解得，
故点A、B的坐标分别、；
由A、B、G的坐标，，
同理，，
故，
故为直角三角形，
则；
设直线BG的表达式为，则，解得，
故直线BG的表达式为，
设点，
当∽时，
则，即，
解得，
当∽时，
同理可得：，
故点P的坐标为或或或
25.解：，，，
，
由旋转得：，
，
∽，
；
如图2，延长CD交AE于H，连接BH交DE于M，
由知：∽，
，
是中线，，
，
，
，
，
≌，
，
四边形ACBH是平行四边形，
，
ACBH是矩形，
，，
，
，
设，
，，
∽，
，
，
，，，
≌，
，
由勾股定理得：，即，
解得，
；
分两种情况：①如图3，，过点B作于Q，过点D作于P，
，
四边形ADPQ是矩形，
，，
设，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，即 ，
，
中，，
，
解得：负值舍，
∽，
，即 ，
；
②如图4，，过点B作于Q，
，
四边形BDEQ是矩形，
，
，，
，
由勾股定理得：；
综上，AD的长是或

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