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2025-2026学年广东省广州市海珠区景中实验学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若是方程的一个根，则m的值是( )
A. B. 5 C. 10 D.
2.下列函数中，y关于x的二次函数的是( )
A. B. C. D.
3.如图，将绕点A顺时针旋转得到，此时点B的对应点D恰好落在BC边上，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.下列一元二次方程无实数根的是( )
A. B. C. D.
5.抛物线的对称轴是( )
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
6.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则常数k的值可以是( )
A. 2 B. 1 C. 0 D.
7.用配方法解方程时，配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
8.某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型.若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
9.抛物线为常数，且上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表.小聪观察下表，得出下面结论：①抛物线与x轴的一个交点为；②在对称轴左侧，y随x的增大而减小；③抛物线的对称轴是直线；④当时，x的取值范围是其中，正确的结论有( )
x … 0 1 …
y … 4 0 0 …
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
10.二次函数的部分图象如图，图象过点，下列结论：①；②；③，④，⑤若顶点坐标为，则方程没有实数根.其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.将二次函数的图象向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么平移后图象的函数解析式为______.
12.方程的解是 .
13.在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则 .
14.在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针方向旋转到点，则点的坐标是 .
15.如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转度后到的位置，此时，则 .
16.已知经过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设的面积为S，则用m表示______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
解方程：
；
18.本小题5分
某餐饮店开拓线上团购业务，于今年五月底上线团购券，六月份销售了256张，七、八月份该团购券十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，八月份的销售量达到400张，求七、八月份该团购券销售量的月平均增长率.
19.本小题5分
已知抛物线经过点，，求抛物线的解析式.
20.本小题6分
一农户用24米长的篱笆围成一面靠墙墙长为12米，大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，如图鸡场的面积能够达到32米吗？若能，给出你的方案；若不能，请说明理由．
21.本小题8分
某超市销售一种成本为每台20元的台灯，规定销售单价不低于成本价，又不高于每台32元．销售中平均每月销售量台与销售单价元的关系可以近似地看做一次函数，如下表所示：
x 22 24 26 28
y 90 80 70 60
请直接写出y与x之间的函数关系式；
为了实现平均每月375元的台灯销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时每月应购进台灯多少个？
设超市每月台灯销售利润为元，求与x之间的函数关系式，当x取何值时，的值最大？最大值是多少？
22.本小题8分
根据下列提示列方程，并将其化为一元二次方程的一般形式.
已知两个数的和为7，积为6，求这两个数；
如图，在一块正方形纸板的四个角上截去四个相同的边长为2厘米的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为32立方厘米.所用的正方形纸板的边长应是多少厘米？
23.本小题8分
如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，车棚支柱AO的高度为，如图2，棚顶的竖直高度单位：与距离停车棚支柱AO的水平距离单位：近似满足函数关系，点在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，通过计算判定货车是否能够完全停到车棚内.
24.本小题12分
如图，抛物线与x轴相交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴相交于点为抛物线上一点且在y轴的右侧，横坐标为
求此抛物线的解析式；
当点P在第四象限时，求面积的最大值；
设此抛物线在点C与点P之间部分含点C和点最高点与最低点的纵坐标之差为求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围.
25.本小题12分
如图，在中，，，点D，E分别在AB，AC上，且，连接BE，CD，点M是BE的中点，连接
观察猜想
图中，线段AM，CD的数量关系是______，位置关系是______.
探究证明
将绕点A顺时针旋转，试判断线段AM，CD的数量关系和位置关系，并就图的情形说明理由.
问题解决
将绕点A在平面内自由旋转，连接DM，若，，当时，请直接写出线段DM的长.
参考答案
一、选择题
1.D
2.C
3.C
4.C
5.C
6.D
7.A
8.D
9.B
10.B
二、填空题
11.
12.，
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解：，
移项得，，
合并同类项得，，
，
或，
，；
，
，
，
，
或，
，
18.解：设七、八月份该团购券销售量的月平均增长率为
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：七、八月份该团购券销售量的月平均增长率为
19.解：将，代入得：
，解得：，
抛物线的解析式为：
20.解：能，
理由：设垂直于墙的一边长x，则：
，
整理得，
解得，舍，
故垂直于墙的一边长为4m，平行于墙的一边长为
21.解：设y与x之间的函数关系式是，
，得，
即y与x之间的函数关系式是；
由题意可得，
，
解得，，舍去，
，
答：这种台灯的售价应定25元，这时每月应购进台灯75个；
由题意可得，
，
，
当时，取得最大值，最大值是
22.解：设其中一个数为x，则另一个数为，
；
设正方形纸板的边长为x厘米，

23.解：车棚支柱AO的高度为，
，
把，点代入得，，
解得，
抛物线的解析式为，
，，
，
在中，
当时，，
，
货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
24.解：点在抛物线上，
，
解得，
此抛物线的解析式为；
令，则，
解得，，
，，
，
，
抛物线顶点为，
当P位于抛物线顶点时，的面积有最大值，此时，
即面积的最大值是8；
为抛物线上一点且在y轴的右侧，横坐标为
，
当时，；
当时，；
当时，
25.解：如图1中，
，，，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：，
如图2中，结论：，
理由：延长AM到H，使得，连接BH，EH，延长CD交AH于J，交AB于
，，
四边形ABHE是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
如图3中，
，，，
，
，，
，D，M共线，
，
如图4中，当点D在AC的右侧时，同法可得，
综上所述，DM的值为或

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