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2025-2026学年福建省泉州市永春县侨中中学片区联考九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
3.下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
4.已知，，则的值是( )
A. B. C. D.
5.用配方法解方程，下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
7.某厂家2024年月份销售的电车数量如图所示.设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程( )
A. B.
C. D.
8.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示.若，，则这个三角尺与它在墙上的影子的周长比是( )
A. 4：25 B. 25：4
C. 5：2 D. 2：5
9.如图，已知点，，A与关于x轴对称，连结，现将线段以B点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
10.在欧几里得的《几何原本》中提到，形如的方程的图解法是：如图，以和b为直角边作，再在斜边上截取，则AD的长为所求方程的正根.若关于x的一元二次方程，CD：：9，那么m的值为( )
A. 10 B. 16 C. 18 D. 20
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若关于x的一元二次方程有一个根是0，则a的值为______.
12.方程的解是 .
13.若，那么值为 .
14.如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：：1，，那么CE等于 .
第14题图 第15题图 第16题图
15.如图，已知中，点M是BC边上的中点，AN平分，于点N，若，，则AC的长为______.
16.土圭之法是在平台中央竖立一根6尺长的杆子，观察杆子的日影长度.古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季.如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
解方程：
18.本小题8分
计算：
19.本小题8分
如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为12和
大正方形的边长是______，小正方形的边长是______.
求图中阴影部分的周长.
20.本小题8分
如图，在的正方形网格中，的顶点坐标分别为、、
以点为位似中心，按比例尺：：1在位似中心的同侧将放大为，放大后点A、B的对应点分别为、画出，并写出点、的坐标；
在中，若为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点的坐标．
21.本小题8分
如图，在中，，BD是的平分线，交AC于点
在斜边BC上求作点E，使∽；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，若，，求DE的长.
22.本小题10分
我国新能源汽车产业凭借技术创新和产品力的双重驱动，得到飞跃发展，已经成为全球新能源汽车领域的重要力量.请根据以下素材，解决问题.
素材1 小明代理一新款能源汽车销售，据了解1辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车的进价共计38万元；2辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计53万元.
素材2 在政府加大力度倡导和新能源消费补贴政策的引导下，新能源汽车成为热销产品.小明选择在销售A型新能源汽车的某4S店进行询价调查，调查发现：当A型新能源汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；每降低万元，平均每周多售出1辆.
素材3 4S店每周销售A型新能源汽车，为了能实现利润为96万元的营业额，决定下调售价，让利客户.
问题解决
任务1 试求出A型新能源汽车、B型新能源汽车每辆的进价.
任务2 请根据以上素材，给4S店建议A型新能源汽车每辆的售价.
23.本小题10分
有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.
请你完成下面两个问题：
已知实数m、n满足、，求的值.
已知实数a、b、c满足，且，求c的最大值.
24.本小题12分
综合与实践
黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值，它能给人许多美感和科学性，我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系.例如我们熟悉的顶角是的等腰三角形，其底与腰之比就为黄金分割比，底角平分线与腰的交点为黄金分割点.
如图1，在中，，，的角平分线CD交腰AB于点D，我们可以利用相似证明，所以点D是腰AB的黄金分割点；这个图中，有三条相等的线段是：______=______请写另外两条线段；
如图2，在中，，若，则请你求出的度数；
如图3，如果在中，，CD为AB上的高，、、的对边分别为a，b，若点D是AB的黄金分割点，那么该直角三角形的三边a，b，c之间是什么数量关系？并证明你的结论.
25.本小题14分
已知，矩形ABCD中，E为边AB上一点．F为CE上一点，
如图1，E为AB中点，，求的值；
如图2，直线AF交BC于G，且，求的值；
如图3，若，，，直接写出CF的值．
参考答案
一、选择题
1.A
2.C
3.D
4.D
5.A
6.D
7.B
8.D
9.A
10.B
二、填空题
11.2
12.，
13.
14.
15.12
16.24
三、解答题
17.解：，
，
，或，
，
18.解：原式
19.解：由条件可知大正方形的边长为，小正方形的边长为，
故答案为：5，；
根据题意，得阴影的周长为：
20.解：如图，，；

21.解：如图，点E即为所求；
，
，
，
，
平分，
，
∽；
由知∽，
，
，
负值已舍去，

22.解：任务1：设A型新能源汽车每辆的进价是x万元，B型新能源汽车每辆的进价是y万元，
根据题意得：，
解得：，
答：A型新能源汽车每辆的进价是15万元，B型新能源汽车每辆的进价是23万元；
任务2：设建议A型新能源汽车每辆的售价为m万元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：建议A型新能源汽车每辆的售价为21万元．
23.解：实数m、n满足、，
，n是方程的两个不相等的实数根，
，，
；
，，
，
，
，b是关于x的方程的两个根，且，，
，
，
，
，
，
，
的最大值是
24.解：在中，，，
，
又是的角平分线，
，
，，
，
故答案为：AD，CD；
在底边BC上截取，连接AD，
，，
，
，
，
，
又，
∽，
设，
，
，
，
；
，理由如下：
在中，，CD为AB上的高，
∽∽，
，，
，，
点D是AB的黄金分割点，
，
，
该直角三角形的三边a，b，c之间应满足
25.解：，
，
四边形ABCD为矩形，
，
又，
∽，
，
，
为AB中点，且，
，
；
如图1，过G作交AB于H，
则∽，∽，
，
，
，
设，则，，
∽，
，
；
如图2，延长CD，BF交于点G，过D作于H，过F作于K，
设，
，
，
，
又，
，
，
又，
设，则，
，
或，
，
，
，，
又，
，
，，

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