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2025-2026学年江苏省盐城市建湖县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于x的方程是一元二次方程，则( )
A. B. C. D.
2.用配方法解一元二次方程配方正确的是( )
A. B. C. D.
3.一个不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，这些球除颜色外其余都相同，则从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为( )
A. B. C. D.
4.如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的值可以是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
5.关于二次函数的图象，下列结论正确的是( )
A. 开口向下 B. 对称轴是直线
C. 与y轴交于点 D. 当时，y随x的增大而减小
6.如图，在中，半径OA、OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若，则( )
A. B.
C. D.
7.如图，是四边形ABCD的内切圆，若该四边形的周长是12，面积是24，则的半径是( )
A. B. 3
C. 4 D. 6
8.如图，在中，，，，是的内切圆，连接OA，OB，则图中阴影部分的面积是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.外一点P到的最大距离是10cm，到的最小距离是2cm，则的半径是
10.学校规定，学生的学期体育成绩为100分，其中课间操占，期中考试占，期末考试占小超的课间操、期中考试、期末考试三项成绩分别是95分、96分、90分，则小超这学期体育成绩是 分.
11.如图，点O为正方形的中心，点E、F分别在正方形的边上，且，随机地往图中投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率是______.
12.已知是关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根是 .
13.已知、是抛物线上的两点，则 .
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为则能完全覆盖的最小圆的半径为 .
15.如图，正八边形的边长为6，对角线AB、CD相交于点则线段BE的长为 .
16.如图，中，，，，D是AC上一点，E是BC上一点，，若以DE为直径的圆交AB于M、N点，则MN的最大值为 .
三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
解下列方程：
用配方法解；
18.本小题6分
已知二次函数的图象经过点
求a的值；
点在该函数的图象上，求m的值.
19.本小题8分
如图，在的内接四边形ABCD中，是四边形ABCD的一个外角，且AD平分
求证：；
若点F在上，且，求的度数.
20.本小题8分
有一个不透明的布袋里有2个红球和若干个白球，它们除了颜色外其他都相同.
如果摸出一个球，摸到白球的概率是，那么白球有______个；
已知白球有3个，如果搅匀这个布袋中的球，从中任意摸出2个球恰好是一个红球、一个白球的概率是多少？请用列表法或画树状图写出分析过程
21.本小题8分
某学校组织八年级的学生进行篮球联赛.下面是甲、乙两名学生在10场比赛中的得分单位：分、篮板单位：个和助攻单位：个的数据.
甲、乙两名学生10场比赛的篮板数据：
甲 6 4 5 6 5 3 5 5 6 5
乙 2 8 7 5 3 5 7 6 4 3
甲、乙两名学生10场比赛的得分、篮板和助攻的平均数：
得分平均数 篮板平均数 助攻平均数
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
场比赛中，甲学生篮板的众数是______，乙学生篮板的中位数是______；
场比赛中，篮板更稳定的是______学生填“甲”或“乙”；
记某学生的得分为x分，篮板为y个，助攻为z个.若的值越大，则认为该名学生的综合表现越好.根据以上信息，学生______在这10场比赛中的综合表现更好填“甲”或“乙”
22.本小题8分
已知关于x的一元二次方程
求证：无论m为何值，方程总有实数根；
若方程有一个根大于3，求m的取值范围.
23.本小题10分
如图，中，，以AB为直径的交BC于点D，，垂足为
求证：DE是的切线；
若的半径为5，，求AD的长.
24.本小题10分
某网店销售原创设计的手绘图案T恤衫.已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件.
若降价10元，则每天销售T恤衫的利润为______元；
小超希望每天获得的利润达到1152元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小超每天能否获得1250元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由利润率
25.本小题10分
请用圆规和无刻度的直尺按要求作图保留作图痕迹，不写作法
如图①，过点P作的一条切线；
如图②，在l上作一点Q，使得直线PQ被截得的弦被点P平分；
如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦AB的长度相等.
26.本小题12分
已知平面直角坐标系xOy中，二次函数为常数的图象交y轴于点
若将点P向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则m的值为______；
在的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求n的取值范围；
若此函数图象经过点，，求证：
27.本小题14分
【发现问题】
爱好数学的小明在做作业时碰到这样一道题目：如图①，点O为坐标原点，点A为，的半径为1，动点B在上，连接AB，作等边三角形、B、C为顺时针顺序，求OC的最大值.
小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接
图中与OC相等的线段是______；
线段OC的最大值为______；
【灵活运用】
如图②，在平面直角坐标系xOy中，点A为，点B为，点P为线段AB外一动点，且，以P为旋转中心，把PB逆时针旋转得到PM，连接AM，求线段AM的最大值及此时点P的坐标；
【迁移拓展】
如图③，，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边三角形ABD，请直接写出AC的最值.
参考答案
一、选择题
1.C
2.A
3.B
4.D
5.D
6.B
7.C
8.D
二、填空题
9.4
10.
11.
12.4
13.4
14.
15.
16.
三、解答题
17.解：由题意，，
或
，
或
18.解：二次函数的图象经过点，
，
由得，二次函数解析式为
点在这个图象上，
，即，
解得或2，
故m的值为或
19.证明：平分，
，
由圆周角定理得：，
，
四边形ABCD是的内接四边形，
，
，
，
；
解：四边形BFCD为内接四边形，
，
，
，
20.解：设白球有x个，则共有个球，
摸出一个球，摸到白球的概率是，
，
解得
经检验，是原方程的解且符合题意，
白球有8个．
故答案为：
列表如下：
红 红 白 白 白
红 红，红 红，白 红，白 红，白
红 红，红 红，白 红，白 红，白
白 白红 白，红 白，白 白，白
白 白，红 白，红 白，白 白，白
白 白，红 白，红 白，白 白，白
共有20种等可能的结果，其中恰好是一个红球、一个白球的结果有12种，
恰好是一个红球、一个白球的概率为
21.解：样本中甲学生10场篮板的次数出现最多的是5次，共出现5次，因此甲学生篮板的众数是5次，
将乙学生10场篮板的次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为 次，即乙学生篮板的中位数是5次，
故答案为：5，5；
甲学生的平均数为，乙学生篮板的平均数为，
，
，
甲学生的比较稳定，
故答案为：甲；
甲的综合得分为，乙的综合得分为，
所以乙学生的综合表现更好，
故答案为：乙．
22.解：证明：，，，
，
无论m为何值，方程总有实数根．
原方程可化为：，
解得，，
方程有一个根大于3，且，
，
23.证明：如图，连接
为的直径，
，
又，
，
是的中位线．
，
又，
，
是半径，
是的切线；
如图，作于点F，
，，
四边形ODEF为矩形，
，，
中，，
，
中，
24.解：降价10元，
每天多卖20件，
每天的销售量为40件，
每天销售T恤衫的利润为元
故答案为：1200；
设每件T恤衫降价x元，
由题意可得：，
或，
又尽可能让利于顾客，优惠最大，
，
每件T恤衫的销售价应该定为：元
每件T恤衫的销售价应该定为78元；
根据题意得，当降价x元时，每天利润为，
由题意可得：，
化简得，
每件T恤衫的利润率不低于，
，
，符合题意．
每件T恤衫应降价15元，则定价为元
答：小超每天能获得1250元的利润，定价为85元．
25.解：如图1，直线PA即为所求；
主要作图步骤：作OP的垂直平分线得到OP的中点M，再以OP为直径作交于点A，连接PA，则直线PA为的切线；
如图2，点Q即为所求；
主要作图步骤：连接OP并延长至点N，使，过点P作OP的垂线，交直线l于点Q，交于点E和F，则直线PQ被截得的弦EF被点P平分；
如图3，直线PD即为所求；
26.解：由题意，二次函数为常数的图象交y轴于点P，
，
将点P向右平移4个单位得到
又此时在二次函数为常数上，
抛物线的对称轴为直线，
，
故答案为：
解：由可知二次函数为常数的图象开口向上，对称轴为直线，
点，均在该函数的图象上，且，
，
；
证明：二次函数为常数的图象的对称轴为直线，
此函数图象经过点，，
即，
，
，
，
27.解：如图中，结论：；理由如下：
，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
故答案为：AE；
的半径为1，点
，，
在中，，
当E、O、A共线，
的最大值为3，
的最大值为
故答案为：3；
如图，连接BM，
将绕着点P顺时针旋转得到，连接AN，则是等腰直角三角形，
，，
的坐标为，点B的坐标为，
，，
，
线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，
当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值如图2中，
最大值，
，
最大值为；
如图，过P作轴于E，
是等腰直角三角形，
，
，
；
如图，以BC为边作等边，连接CD，
，
，且，，
≌，
，
欲求AC的最小值，只要求出MD的最小值即可，
当M、D、O共线时，MD最小，
如图：
，O是BC中点，是等边三角形，
，
在中，，
，
的最小值为
如图，以BC为边作等边，
，
，
，，
≌，
，
欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
定值，，
点D在以BC为直径的半圆上运动，
由图可知，当点D在BC上方，时，DM的值最大，最大值为，
的最大值为
综上，AC的最小值为最大值为

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