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广东深圳市2026届高三年级第一次调研考试数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.样本数据4，6，10，16的平均数为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2.复数，则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.已知抛物线上的一点M的横坐标为1，则点M到焦点的距离为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.函数的最小正周期为，其图象的对称中心可以为
A. B. C. D.
5.设是定义在R上的奇函数，，，则
A. B. 0 C. 1 D. 2
6.已知，，则
A. B. C. D.
7.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为
A. B. C. D.
8.若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在正三棱台中，D为BC的中点，则
A. B. 平面
C. D. 平面
10.设双曲线：的左、右焦点分别为，过的直线l与的两条渐近线的交点分别为A、B，A为的中点，O为坐标原点．则
A. 是直角三角形 B. 是等腰直角三角形
C. D. 直线 l的斜率为
11.将一枚质地均匀的硬币连续投掷n次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数．若始终未出现正面，规定例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为1和2，故则
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，已知，，，则 .
13.已知等差数列的前n项和为，且，，则 .
14.已知，，…，是8个正整数，记，其中，，…，，若，则这8个正整数中的最大数与最小数的和为 .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题12分
已知数列是等比数列，，，数列满足：
求，的通项公式； 求数列的前n项和
16.本小题12分
某智能系统用于处理判断题答案只有“对”和“错”，系统内设有两个独立的预测模型，分别记为模型甲和模型乙.系统的答案输出规则如下：系统首先同时向模型甲与模型乙提问，若两者答案一致，则直接输出该答案;若两者答案不一致，系统将重新向模型甲提问一次，并以模型甲此次给出的答案作为最终输出答案.已知模型甲回答正确的概率为，模型乙回答正确的概率为，假设各模型每次回答相互独立.
当时，求系统第一次同时向两个模型提问时，两个模型答案不同的概率;
若系统最终输出正确答案的概率不低于，求 p的最小值.
17.本小题12分
已知球O的半径为1，在球O的内接八面体PABCDQ中，顶点P，Q分别在平面ABCD两侧，且四棱锥与都是正四棱锥.
如图1，若点O在平面ABCD上，求证：平面
如图2，若二面角的正切值为，求该内接八面体的体积.
18.本小题12分
已知函数
当时，求的单调区间;
若有两个零点.
ⅰ求a的取值范围;
ⅱ证明：
19.本小题12分
已知，为椭圆的左，右顶点，M为上的一点，N为双曲线上的一点两点不同于，两点，设直线，，，的斜率分别为，，，，且
设O为坐标原点，证明：O，M，N三点共线;
设、的右焦点分别为、，M、N均在第一象限，直线与直线相交于点P，
ⅰ证明：
ⅱ证明：
答案和解析
1.D
2.A
3.B
4.A
5.A
6.B
7.D
8.C
9.BD
10.ABD
11.ABD
12.
13.14
14.23
15.解：设等比数列 的公比为 q ，则 ，所以 ， ，
因为 ，
当 时， ，两式相减得 ，
则 时， ；当 时， 符合该式；所以 ， ．
由于 所以 ．
16.解：不妨设事件“模型甲回答正确”，事件“模型乙回答正确”，
则“模型甲回答错误”，“模型乙回答错误”，
由于A与B相互独立，A与，与B，与都相互独立，
由题意可得，，，，，
分析可得，“在第一次提问中两个模型答案不同”的概率为，且与互斥，
根据概率的加法公式和事件的独立性定义，
得，
故在第一次提问中两个模型答案不同的概率为
系统最终输出正确答案可分为第一次输出正确答案和第二次输出正确答案，
系统第一次输出正确答案的概率为：，
由可知，在第一次提问中两个模型答案不同的概率为：
，
系统第二次输出正确答案的概率为：，
设系统最终输出正确答案的概率为，则，
于是，解得，又由，于是，
则p的最小值为
17.解：如图，连接 AC ，则 AC 必过点 O ，
在四边形 PAQC 中，由于对角线 AC ， PQ 互相平分，
则四边形 PAQC 为平行四边形，故 ，
由于 平面 QBC 且 平面 QBC ，
所以 平面 QBC .
如图，记正方形 ABCD 的中心为 N ，取 AB 中点 M ，
连接 PM ， QM ， NA ， NB ，
由于 ，则 ，同理可证 ，则
为二面角 的平面角，
又 ，则 ，
则 为二面角 的平面角，
为二面角 的平面角，
不妨设点 O 在 N 的下方，
设 ，
则 ，
于是 ，
于是 ，
，
由于 ，则 ，解得 ，
则 ，则 ，
即内接八面体的体积为 .
18.解：由于，
令，则，
令，，在上单调递增；
令，，在上单调递减；
于是的单调递增区间为，单调递减区间为；
由于，
若，，，于是在上单调递增，至多与x轴只有一个交点，矛盾；
于是，令，则等价于，
易得，因为，则，
令，则在上单调递增，在上单调递减，
则，
因为即，，
所以，
显然不符合题意，故，即，
令，，
则在上单调递增，且，
由于，所以，
由于，令，在上单调递增，则，
于是，，
由零点存在定理，存在使得，
当时，易证，则即，
由于，
取，且，则，
由零点存在定理，存在使得，
所以当时，在上有两个零点.
根据可知，，
其中，则，
下证：即证：
设 ，
令，，于是在上单调递增，在上单调递减，
则，即证.
19.证明：由题意得：椭圆的左、右顶点为、，
双曲线与椭圆共实轴.
设，，
则，，故，
由椭圆方程得，代入得，
，，故，
由双曲线方程得，代入得
因为 ，
则，
即M、N均在直线上过原点，
故O、M、N三点共线；
ⅰ由题意得椭圆的右焦点记，
双曲线的右焦点记，
由，结合、，
利用得，
代入、，化简得
M在第一象限，代入到椭圆方程，得；
N在第一象限，代入到双曲线方程，得
则，
故，
故
ⅱ 由题意得，直线过、，
斜率，方程为
直线过、，斜率，方程为
联立两直线方程，可解得交点
则 ，，
则
又
由，代入得，
故
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