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江苏南通市通州区2026届高三下学期期初测试数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数，则
A. 1 B. C. 2 D.
2.已知集合，，则集合
A. B. C. D.
3.设直线，的倾斜角分别为，，斜率分别为，，则“”是“”的
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量，满足，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为
A. B. C. D.
5.已知，则
A. B. C. D.
6.已知是定义域为R的偶函数，且是奇函数，，则
A. B. 2 C. D. 4
7.已知三棱柱的棱长均为2，在底面ABC内的射影为的中心，则到平面的距离为
A. 1 B. C. D. 2
8.已知，，，成等比数列，且，，则
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点为P，且，则
A.
B. C的离心率为
C. C的渐近线方程为
D. 分别以，为直径的圆的公共弦长为
10.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则
A. A，B是相互独立事件 B. 事件A，B互斥
C. D.
11.已知函数，则
A. B.
C. 的值域为 D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的方差为4，则的方差为 .
13.已知的面积为1，，，则 .
14.已知斜率为的直线与曲线，分别相交于，两点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温单位：有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶;如果最高气温位于区间，需求量为300瓶;如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
求六月份这种酸奶一天的需求量单位：瓶的分布列.
设六月份一天销售这种酸奶的利润为单位：元，当六月份这种酸奶一天的进货量单位：瓶为多少时，Y的数学期望达到最大值
16.本小题15分
如图1，在正三角形ABC中，，D，E分别是AC，AB上的点，，O为BC的中点．将沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥，使得
证明：平面BCDE；
求二面角的正弦值．
17.本小题15分
已知点A，B，C，D都在抛物线E：上，且，线段AB，CD的中点分别为M，
证明：直线MN垂直于x轴；
直线AB经过曲线E的焦点F，直线AD与BC相交于点P，求面积的最小值．
18.本小题17分
设函数
讨论的单调性；
若有两个零点，，且
①求实数a的取值范围；
②证明：
19.本小题17分
设无穷数列的前n项和为，若，，R，则称数列为“k型”数列．
若数列为“k型”数列，且，求，，的值；
若数列为“k型”数列，且，求数列的通项公式；
若“k型”数列中可以存在无穷多项为0，求k的取值集合．
答案和解析
1.A
2.B
3.D
4.B
5.C
6.B
7.B
8.D
9.ABD
10.AC
11.BC
12.16
13.
14.
解：由直线斜率为，得，即。
代入曲线方程：
，
，
故。
设因，则。
由，得，故。
目标函数转化为单变量函数：
设，
，
设
则，
当时，，则函数在上单调递增，
所以在上有唯一解，
所以当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增。
故在处取得最小值。
。
15.解：由题意知，X的可能取值为200，300，500，
，
，
，
的分布列为：
X 200 300 500
P
当时，，，
当时，
若，则，
若，则，
，
，
当时，若，则，
若，则，
若，则，
，
当时，，
当时，，
，
综上，当时，最大值为520元．
16.证明：正三角形ABC中，，，O为BC的中点，
所以，在图1中，，
所以，在中，，即，
同理，
因为，在图1中，，
所以，在图2中，，
因为，
所以，，
所以，，
因为，平面BCDE
所以平面
解：如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
设平面PCD的一个法向量为，
所以，即，令，则，
因为平面PBC的一个法向量为，
设二面角为，，
所以，
所以
所以二面角的正弦值为

17.证明：因为，所以，
设，，
联立，得，则
因为M为线段AB的中点，所以，，
同理，联立与曲线E，可知，，
故，
即得证直线MN垂直于x轴.
解：因为直线AB经过曲线E的焦点F，所以，
联立与曲线E，得，则，，
则，
同理，，
因为，
所以，得，
所以，
又因为，所以AB为的中位线，则P到的距离，
即为N到的距离d，，
而，
当时，取得最小值为
18.函数的定义域为R，求导得：
①当时，因且，故的符号由x决定：
时，，单调递减；
时，，单调递增。
②当时，令，得或：
若，则，故：
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增。
若，则，，在上单调递增。
若，则，故：
时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增。
①由的单调性分析零点个数：
当时，在递减、递增，最小值。
时，因，故有一个零点；
时，，且，故有一个零点；
因此时有两个零点。
当时，，仅一个零点，不符合。
当时：
若，极大值因括号内为负，故仅一个零点；
若，单调或极大值，仅一个零点。
综上，a的取值范围为。
②由①知，需证，即证。因，故等价于证即。
利用零点条件化简由得：，即。
计算：
构造函数证明符号令因，则，代入上式得：
设，求导：
因时，故，在单调递减，因此。
利用单调性推导结论由得：，故。
因时在单调递增由知，且，故，即。
结合，得，即，故结论成立。
19.解：因为为“0型”数列，所以，
当时，，又，所以，
当时，，所以，
当时，，所以
因为为“k型”数列，其中所以，
当时，，两式相减，得
因为，所以，
因为，所以
所以，，
以此类推，，所以，
所以数列的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列，
所以
①当时，，由可知，数列中没有0项.
②当时，且k不是整数时，，
则，，
以此类推，恒成立.
当时，且k是整数时，假设是数列中第一个为0的项，
则当时，
所以，因为，，
所以可取任意数.
令，同理，可取任意数.
令，以此类推，之后的项都可以取
当时，
所以当时，数列中可以存在从开始的项都为
所以k的取值集合为正整数集
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