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山东烟台市2026届高三第一次诊断考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数为纯虚数，则实数a的值为( )
A. B. C. D.
2.已知，则的最小值为
A. B. C. D. 3
3.已知向量，且，则
A. 4 B. C. 9 D.
4.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示：
零件数个 10 20 30 40 50
加工时间 40 50 60 70 90
由上表的数据求得y关于x的经验回归方程为，则
A. B. C. D.
5.已知菱形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD的中点，，则( )
A. B. C. D.
6.已知数列的前n项和记为，若，则
A. 15 B. 31 C. 63 D. 127
7.已知函数的最小值为，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在R上的函数的导函数为，，，且对任意的，有，则实数m的取值范围为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.函数的部分图象如图所示，则
A. 为的周期
B. 是图象的对称中心
C. 当时，的值域是
D. 的单调递增区间是
10.已知函数，则
A. 函数在上单调递减
B. 曲线在点处的切线方程为
C. 恒成立
D. 恒成立
11.如图，已知点P是棱长为的正方体表面上一动点，则下列结论正确的有
A. 当点P在线段上时，
B. 当点P在线段上时，平面
C. 当点P在面上时，三棱锥外接球的表面积的最大值为
D. 当点P在面上时，若，则点P的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若某圆锥侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为 .
13.已知双曲线的左焦点为，P是C右支上的一个动点，记点P到双曲线过第一象限的渐近线的距离为d，则的最小值为 .
14.若数列满足，当且仅当n为奇数时取“=”，则称为“T数列”.设数列为“T数列”，，，，则的最小值为 ;若，则正整数k的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
中，角A，B，C所对的边分别为
若，求；
若，求的面积.
16.本小题15分
如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，，，E，F分别为PA，PC的中点．
证明：平面PAD；
在线段EF上是否存在点G，使得平面PBC，若存在，求EG的长；若不存在，请说明理由．
17.本小题15分
已知点，，，，均在抛物线上，，，以点为圆心的圆与x轴相切，且圆与圆外切，
求数列的通项公式;
设圆的面积为，，求证：
18.本小题17分
已知椭圆的右焦点为，离心率为过点且与x轴不重合的直线交C于两点.
求C的方程；
若的平分线垂直于x轴.
求实数的值；
以为半径的圆的面积分别记为的面积为S，求的取值范围.
19.本小题17分
已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率存在的直线与C交于两点，点E是以线段AB为直径的圆的圆心，点D在圆E上在E的右边，且轴，直线AD与C交于另一点N，直线BD与C交于另一点
证明：圆E与C的准线相切；
证明：；
求
答案和解析
1.A
2.C
3.A
4.B
5.B
6.C
7.C
8.A
9.BD
10.BCD
11.ABD
12.
13.
14. ； 86
解：根据“T数列”定义：
当时，，代入，，得；
当时，，即，因，故最小值为12；
当时，，代入，，得，
将数列按奇偶项拆分：设奇数项，偶数项，
由定义得：奇数项满足，且相邻差为严格递增的偶数，
故；
偶数项满足，代入得增长最慢的数列表达式：
奇数项：；
偶数项：，
要使且k最大，需找增长最慢数列中最大的k使得：
偶数项：，解得最大整数，对应，
此时；
调整至100，得，
则，满足所有条件，即正整数k的最大值为
15.
解：因为，，
由余弦定理可得，
由正弦定理得，即，
解得；
因为，所以，
即，
因为，所以，
可得，可得，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理得，
即，解得，
所以
16.解：证明：如图，取PD中点H，连接FH，
因为F是PC的中点，所以，
又因为，，，所以，
所以四边形AHFB是平行四边形，所以，
又因为平面PAD，平面PAD，
所以平面
由平面ABCD，DA，平面ABCD，得，，
又，，则
则DA，DC，DP两两垂直，
以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则
因为E，F分别为PA，PC的中点，所以，，
则，，
假设线段EF上存在一点G，使得平面PBC，
记，则，
记平面PBC的一个法向量为，
则即
取，则
因为平面PBC，所以，
所以，所以，
所以
故存在，且EG的长为
17.解：因为点在抛物线上，所以且，
因为圆和圆外切且圆均与x轴相切，
所以，
所以，
整理得，
因为，所以，
即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以
证明：由知，，
因为，
所以，
即，原题得证.
18.解：由已知，右焦点为，故，
离心率，解得，
由，
得椭圆C 的方程为
设直线AB 的方程为，
代入椭圆方程得，
设，，则
的平分线垂直于x 轴，等价于，
且直线与椭圆有两个交点，
由 得，
将韦达定理代入：，
化简得：，
解得：
因此，实数 的值为4；
由知，直线方程为，
联立椭圆方程得
则
由直线与椭圆有两个交点得：
，
三角形OAB 的面积，
，
又，
所以，
于是，
，
故，
令，则：
考虑函数，，
由，得，
故在上单调递增，
当时，，
所以的值域为，
因此，的取值范围是。

19.解：如图，作出符合题意的图形，
当AB的斜率为0时，直线AB与抛物线只有一个交点，不符合题意，排除，
当AB的斜率不为0时，设方程为，，
联立，消x得，，
则，得到，
由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为，
则到准线的距离为，
由焦半径公式得，
则，即圆E与C的准线相切.
设，而点D在圆E上，
且轴，可得，设，
因为在抛物线上，所以，，
则，
设AD的方程为，BD的方程为，
联立方程组，得到，
由韦达定理得，即，
联立方程组，得到，
由韦达定理得，即，
则，
而，
，
得到，，
而
，
则，即，
可得，且不重合，故
由已知得，，，
由弦长公式得
，
因为，，
所以
，而，则，
由题意得，
因为，所以，
由题意得，
可得
，即，
得到，可得，，
则，
而，，
可得，
，
则
，
可得
故

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