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2025~2026学年上学期学科素养测评
九年级数学
注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上．
1. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（ ）
A B. 1 C. 0 D.
3. 二次函数的图象的顶点在第（ ）象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
4. 下列选项中，两个变量m和n成反比例关系的是（ ）
A. 长为m，宽为n，周长为1的矩形 B. 底面半径为m，高为n，体积为1的圆柱
C. 对角线长分别为m、n，面积为1的菱形 D. 长为m，宽和高均为n，体积为1的长方体
5. 如图，在中，，若，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，为直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B. C. D.
8. 某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
A. 从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃
B. 掷一枚一元的硬币，正面朝上
C. 三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数
D. 掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“”
9. 如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是（ ）
A C点 B. F点 C. E点 D. G点
10. 已知抛物线（a，b都是常数，且）经过点，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将答案填入答题卡相应的位置上．
11. 平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则________．
12. 将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线的解析式为________．
13. 如图，，，，于D，，的长是________．
14. 如图，半径为3的扇形中，，C是上一点，于D，于E，连接，若，图中阴影部分的面积为________．
15. 如图，，，D是AC边上一点，，，连接，点E在上，连接，以所在的直线为轴将翻折，翻折后点B的对应点F恰好落在边上，当时，________．
三、解答题：本大题共8小题，满分共75分．将解答过程写在答题卡的相应位置上，作图或添辅助线先用铅笔画完，再用水性笔描黑．
16. （1）解方程：；
（2）计算：．
17. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
（2）连接，请直接写出四边形的面积．
18. 有五张相同的小纸条，分别写有语句：①函数表达式为；②函数表达式为；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象关于y轴对称；⑤函数值y随自变量x增大而增大．将这五张小纸条做成五支签，①②放在不透明的盒子A中搅匀，③④⑤放在不透明的盒子B中搅匀．
（1）从盒子A中任意抽出1支签，抽到①的概率是________；
（2）先从盒子A中任意抽出1支签，再从盒子B中任意抽出1支签．求抽到的两支签上的语句对函数的描述相符合的概率．
19. 如图，是直径，点在上，平分交于点，是的切线，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20. 如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座．
（1）若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）；
（2）在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）．
21. 玲玲文化工作室借助线上平台推广特色文化产品．已知该文化产品的成本价格为20元／件，每天的销量（单位：件）与销售单价（单位：元/件）满足关系式，销售单价不低于成本且不高于40元/件，设销售该文创产品的日获利为元．
（1）当销售单价定为多少元时，日获利最大？最大利润为多少元？
（2）若线上平台将向该工作室收取元/件的相关费用，若此时把销售单价定为31元/件，日获利最大，求的值．
22. 已知点和都在二次函数的图象上，且A、B两点位于该二次函数图象对称轴的异侧．
（1）如图，若该二次函数的图象经过点．
①求这个二次函数的表达式；
②当时，求的面积；
（2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，直接写出a的取值范围．
23 综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P．
数学思考：（1）试判断与的数量关系，并说明理由．
深入探究：（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题．
①“勤学小组”提出问题：如图2，当时，求线段的长．
②“善思小组”提出问题：如图3，当时，直接写出线段的长．

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