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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.1 二次函数B
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　）
A．铅笔的单价不变，总价y与支数x
B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x
C．正方体的表面积y与它的棱长x
D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x
4．（本题3分）下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）若是关于的二次函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．或
6．（本题3分）下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系；
②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系．
A．① B．② C．③ D．①③
7．（本题3分）下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( )
A． B．
C． D．
8．（本题3分）已知二次函数可化为的形式，则的值是( )
A． B．3 C． D．5
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____．
10．（本题3分）若是y关于x的二次函数，则m的取值范围是______．
11．（本题3分）若是关于的二次函数，则_______．
12．（本题3分）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是______（写出自变量的取值范围）
13．（本题3分）已知．
（1）当的值为______时，它是关于的一次函数．
（2）当的值为______时，它是关于的二次函数．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知函数（m为常数），求当m为何值时：
(1)y是x的一次函数？
(2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标．
15．（本题8分）某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元．
(1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？
16．（本题8分）写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数．
(1)圆的面积与它的周长之间的关系式；
(2)菱形的两条对角线长的和为26cm，求菱形的面积与一对角线长之间的关系式．
17．（本题8分）已知函数．
(1)若这个函数是一次函数，求m的值．
(2)若这个函数是二次函数，求m的值．
18．（本题9分）【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点．
探究1（一次函数）
（1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）；
①是“倍动点函数”，倍动点为；
②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点；
③是“倍动点函数”，倍动点为．
探究2（二次函数）
（2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点．
19．（本题10分）(1)计算：．
(2)若是关于的二次函数，求的值．
20．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P．
(1)线段与有什么数量关系？ ．
①当点M坐标时，点P的坐标是 ；
②当点M坐标时，点P的坐标是 ．
(2)在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P，试着把得到的点P用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线． ．
(3)验证（2）的猜想：对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据与的关系求出x，y满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.1 二次函数B
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x，
∴8月份的销售量为个，
∴9月份的销售量．
故选：A．
2．（本题3分）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
解：∵ 每件利润为元，每天销售件，
∴ 每天利润 ．
故选：A．
3．（本题3分）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是（　　）
A．铅笔的单价不变，总价y与支数x
B．路程一定，列车运行的平均速度y与时间x
C．正方体的表面积y与它的棱长x
D．速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x
解：对选项A，∵设铅笔单价为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故A不符合题意；
对选项B，∵设路程为定值，可得，即，∴y是x的反比例函数，不是二次函数，故B不符合题意；
对选项C，∵正方体棱长为x，表面积为y，正方体有6个大小相等的正方形面，每个面面积为，∴，符合二次函数定义，故C符合题意；
对选项D，∵设速度为定值，可得，∴y是x的正比例函数(一次函数)，不是二次函数，故D不符合题意．
4．（本题3分）下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、是分式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义．
B、最高次项次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义．
C、符合（，，）的形式，是二次函数．
D、是根式函数，不是整式函数，不符合二次函数定义．
故选：C．
5．（本题3分）若是关于的二次函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．或
解：∵函数是关于的二次函数．
∴根据二次函数定义可得：
由，得，
即或
又∵，
∴
∴．
故选：C
6．（本题3分）下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系；
②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系．
A．① B．② C．③ D．①③
解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意；
② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意；
③∵利润（售价进价）销售量，
∴，
符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意；
综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③．
7．（本题3分）下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( )
A． B．
C． D．
解：选项A：，为一次函数，不是二次函数；
选项B：，当时不是二次函数，因此不一定为二次函数；
选项C：，是整式，，一定为二次函数；
选项D：，含有分式，不是整式，因此不是二次函数；
故选C．
8．（本题3分）已知二次函数可化为的形式，则的值是( )
A． B．3 C． D．5
解：
∴，，
∴．
故选：A．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）若函数是关于x的二次函数，则a的值为_____．
解：∵函数是关于x的二次函数，
∴且，
∴且，
即且，
∴或．
故答案为：0或．
10．（本题3分）若是y关于x的二次函数，则m的取值范围是______．
解：∵函数是关于的二次函数，
∴二次项系数，解得：．
故答案为：．
11．（本题3分）若是关于的二次函数，则_______．
解：由题意，函数是关于的二次函数，则的最高次数为 2，且二次项系数不为零．
令，得方程，
因式分解，得 ，
解得，或，
当时，二次项系数 ，不符合二次函数定义；
当时，二次项系数 ，符合要求．
故答案为：1．
12．（本题3分）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是______（写出自变量的取值范围）
解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为，
∴，
又由题意得，，
解得，
∴与的函数关系式为，
故答案为：．
13．（本题3分）已知．
（1）当的值为______时，它是关于的一次函数．
（2）当的值为______时，它是关于的二次函数．
解：（1）要使该函数为关于的一次函数，则化简后含的最高次项的次数为，原式中存在项，因此必须使二次项系数之和为，且不存在更高次项，
故需满足，解得，
当时，原函数为，是一次函数，
故答案为：．
（2）可分以下四种情况讨论：
①当时，解得；
②当时，解得；
③当时，解得；
④当时，解得．
综上所述，当的值为4或或或或0或1时，它是关于的二次函数．
故答案为：或或或或或．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知函数（m为常数），求当m为何值时：
(1)y是x的一次函数？
(2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标．
（1）解：（1）由题意，得
，且，
解得，
当时，y是x的一次函数；
（2）由题意，得
，且，
解得，
当时，y是x的二次函数，
当时，，
解得，
纵坐标为64的点的横坐标．
15．（本题8分）某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元．
(1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）；
(2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？
（1）解：由题意得
答∶关于的函数关系式为：．
（2）解：由（1）可得：．
令，即
解得，．
物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元，
定价不能高于（元）．
当时，定价为（元），
，
符合规定；
当时，定价为（元），
，
不符合规定，舍去．
答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元．
16．（本题8分）写出下列各函数关系式，并判断它们是什么类型的函数．
(1)圆的面积与它的周长之间的关系式；
(2)菱形的两条对角线长的和为26cm，求菱形的面积与一对角线长之间的关系式．
（1）解：∵，
∴圆的面积与它的周长之间的函数关系
，
所以，是的二次函数．
（2）解：菱形的另一条对角线的长是，
，
所以，是的二次函数．
17．（本题8分）已知函数．
(1)若这个函数是一次函数，求m的值．
(2)若这个函数是二次函数，求m的值．
（1）解：∵是一次函数，
∴当时，则，
解得，
∴
，不是一次函数，
当时，则，
∴
，
综上所述，m的值为；
（2）解：∵是二次函数，
∴
，
当时，
，是一次函数，不符合题意，
∴当时，
，
综上所述，m的值为1．
18．（本题9分）【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点．
探究1（一次函数）
（1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）；
①是“倍动点函数”，倍动点为；
②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点；
③是“倍动点函数”，倍动点为．
探究2（二次函数）
（2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点．
解：（1）对于①：设存在t使得，解得，此时，，
∴倍动点为，但结论中给出的倍动点为，故①错误；
对于②：，对于任意t，当时，，
∴有无数个倍动点，故②正确；
对于③：当时，，，
∴是倍动点，故③正确，
故答案为：②③．
（2）将代入，得，解得，
将代入，得，
令，则，
即，解得，
∴该函数没有其他倍动点．
19．（本题10分）(1)计算：．
(2)若是关于的二次函数，求的值．
（1）解：原式
（2）解：∵是关于的二次函数
∴，且，
由，解出或；
由，解得；综上，满足要求的的取值为．
20．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P．
(1)线段与有什么数量关系？ ．
①当点M坐标时，点P的坐标是 ；
②当点M坐标时，点P的坐标是 ．
(2)在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P，试着把得到的点P用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线． ．
(3)验证（2）的猜想：对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据与的关系求出x，y满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？
（1）解：由题意得，点P在线段的垂直平分线上，
∴，故答案为：；
①如图1所示，当点M坐标时，点P的坐标是；
故答案为：；
②如图2所示，当点M坐标时，设点P的坐标是，
∴，
∴，
即点P的坐标是，
故答案为：；
（2）解：观察画出的曲线L，可知曲线L是抛物线，如图3，
故答案为：抛物线；
（3）解：我得出的结论与先前我的猜想一样，理由如下：
∵点P的坐标是，轴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴得出的结论与猜想一致．
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