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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.2 y=ax2+k图象与性质
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵抛物线的图象不经过第三、四象限，
∴抛物线开口向上，且顶点在轴非负半轴上，即，，
故选：D．
2．（本题3分）下列关于抛物线y=-x2+1的说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为
C．顶点坐标为 D．由抛物线向上平移一个单位得到
解：∵ 抛物线的二次项系数，
抛物线开口向下，故A错误；
对称轴为直线，故B错误；
当时，，
顶点坐标为，故C错误；
抛物线 向上平移一个单位得到，与给定抛物线一致，故D正确；
故选：D．
3．（本题3分）二次函数的图象不经过的象限为（ ）
A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限
C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限
解：∵二次函数，顶点坐标为，在轴上，且开口向上，
∴抛物线不经过第三象限和第四象限，
故选：A．
4．（本题3分）下列抛物线的顶点坐标为的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、，顶点坐标为，本选项不符合题意；
B、，顶点坐标为，本选项不符合题意；
C、，顶点坐标为，本选项符合题意；
D、，顶点坐标为，本选项不符合题意；
故选：C．
5．（本题3分）对于抛物线y=-2x2+2，下列判断正确的是（ ）
A．开口向下 B．有最小值
C．与轴无交点 D．顶点坐标为
解：∵y=-x2+2，且
∴ 抛物线开口向下，
故A选项正确；
∵开口向下，
∴函数有最大值，无最小值，
故B选项错误；
令，则-x2+2=0,
解得x=，
∴抛物线与轴有两个交点，
故C选项错误；
∵顶点坐标公式为(0,2)，
故D选项错误；
故选：A．
6．（本题3分）已知点在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
解：∵点在抛物线上，
∴，，
∴．
故选：A
7．（本题3分）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：过点作轴于点，过点作轴于点，
，
四边形为正方形，
，
，
，
，
顶点，在抛物线上，且，两点的横坐标分别为，，
，
，
整理得，
．
8．（本题3分）对于抛物线，下列结论不正确的是（ ）
A．对称轴是轴
B．与轴没有交点
C．有最小值
D．当时，随增大而增大
解∵ 抛物线，，
∴ 对称轴，即y轴，A正确，不符合题意；
令，得，解得，故与x轴有两个交点，B错误，符合题意；
∵，对称轴，且时，，
抛物线的顶点为，故抛物线有最小值，C正确，不符合题意；
∵，对称轴，
∴ 当时，y随x增大而增大，
故当时，随增大而增大，故D正确，不符合题意．
故选：B．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）二次函数的最小值是_________．
解：∵二次函数的二次项系数为，
∴抛物线开口向上，函数有最小值，
∵抛物线的对称轴为直线，将代入函数解析式，得，
∴二次函数的最小值为．
故答案为：．
10．（本题3分）若抛物线的开口向上，则的取值范围是___________．
解：∵抛物线的开口向上，
∴ ，
∴.
故答案为：.
11．（本题3分）如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______．
解：如图，连接，
∴C、B关于y轴对称，
∵四边形是正方形，
∴，与相互平分，
令时，则有，
∴点，
∴，
∴点，
把点C代入得：，解得：或，
∵，
∴．
12．（本题3分）若点、在抛物线上，则______（填“>”或“<”）
解:抛物线 的二次项系数为负，故开口向下，对称轴为 ，
点 的横坐标与对称轴的距离为 ，
点 的横坐标与对称轴的距离为 ，
由于点距离对称轴更远，且抛物线开口向下，
故 ，
故答案为：．
13．（本题3分）在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点，正方形边长的整点称为边整点，如图，第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边整点，第三个正方形有12个边整点，…，按此规律继续作下去，若从内向外共作了5个这样的正方形，那么其边整点的个数共有______个，这些边整点落在函数的图象上的概率是______．
解：第一个正方形有个边整点， 第二个正方形有个边整点， 第三个正方形有个边整点， 第四个正方形有个边整点， 第五个正方形有个边整点， 所以其边整点的个数共有（个），
这些边整点落在函数的图象上的有、、，共3个，
所以些边整点落在函数的图象上的概率
故答案为：60，．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知二次函数．
(1)在下列坐标系中画出它的图象；
(2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴．
（1）解：作图如下：
；
（2）二次函数的解析式为，
抛物线的开口向上，顶点坐标是，对称轴是直线．
15．（本题8分）已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3．
(1)求的值；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，
∴，
则抛物线为，
∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上
∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且
∴；
（2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上，
解析式为
把代入，得
即顶点坐标．
16．（本题8分）已知是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点：求出这个最低点（写坐标），这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（1）解：根据题意，得，且，
解得：．
所以满足条件的m的值为2或；
（2）解：当，即时，抛物线有最低点，
当时，此时抛物线的关系式为，
该抛物线的最低点即顶点坐标为，
当时，函数值y随着x的增大而增大．
17．（本题8分）如图所示，抛物线与直线相交于点，．
(1)直接写出实数，的值，并求出点A，的坐标；
(2)若，请直接写出的取值范围．
（1）解：结合图象，得出抛物线的顶点坐标为，直线与轴交于点，
∴，，
即，；
∵抛物线与直线相交于点，．
∴
∴
整理得
∴
则
结合图象，得；
（2）解：∵，且，
∴由图得．
18．（本题9分）如图所示，已知抛物线．
(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）；
(2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到；
(3)当时，的取值范围是___________．
（1）解：∵抛物线线解析式为，该抛物线的顶点坐标为，开口向下，
令，则，即该抛物线经过点和点，
令，则，即该抛物线经过点和，
∴此抛物线的大致图象如下图所示：
（2）解：抛物线可由抛物线向上平移4个单位可得到．
故答案为：上，4．
（3）解：∵抛物解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵，∴当，且时，函数有最小值，最小值为，
又∵顶点坐标为，即当时，函数有最大值，最大值为4，
∴当时，．
19．（本题10分）如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”．
(1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号）
①；②；③
(2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值；
(3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系．
（1）解：∵抛物线①；③的形状与抛物线相同，
∴抛物线和与的“完美三角形”的斜边长相等；
故答案为：①③；
（2）解：设交轴于，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
设点坐标为，代入抛物线，
得，
∴，（舍去），
∴，
∴，
∵抛物线与抛物线的形状相同，
∴抛物线与抛物线的“完美三角形”全等，
∵抛物线的“完美三角形”斜边的长为8，
∴抛物线的“完美三角形”斜边的长为8，
∴，∴；
（3）解：由（2）知抛物线的“完美三角形”的斜边长为，
抛物线的“完美三角形”的斜边长为，
∵，
∴，
整理得．
20．（本题12分）定义：若一个函数上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”，例如，点是函数的图象的“2倍点”
(1)一次函数的图象的“2倍点”的坐标是_____，二次函数的图象的“2倍点”是_____；
(2)若关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”，求的取值范围；
(3)设关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”为，关于的函数（为常数）的图象上有两个“2倍点”为，，求，两点的坐标．
(1）解：设一次函数的图象的“2倍点”的坐标是，
将点代入得：，解得，
∴一次函数的图象的“2倍点”的坐标是；
二次函数的图象的“2倍点”的坐标是，
将点代入得：，解得或，
当时，；当时，，
∴二次函数的图象的“2倍点”的坐标是和，
故答案为：；和．
（2）解：设关于的二次函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是，
将点代入得：，即，
∵关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴这个方程根的判别式，
解得．
（3）解：设关于的函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是，
将点代入得：，即，
∵关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”，
∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴这个方程根的判别式，
解得，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
将点代入函数得：，解得，
∴这个函数的解析式为，
设点的坐标为，
将点代入函数得：，
解得或（即为点的横坐标），
∴点的坐标为．
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【北师大版九年级数学（下）课时练习】
§2.2.2 y=ax2+k图象与性质
一、单选题（共24分）
1．（本题3分）若抛物线的图象不经过三四象限，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）下列关于抛物线y=-x2+1的说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为
C．顶点坐标为 D．由抛物线向上平移一个单位得到
3．（本题3分）二次函数的图象不经过的象限为（ ）
A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限
C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限
4．（本题3分）下列抛物线的顶点坐标为的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）对于抛物线y=-2x2+2，下列判断正确的是（ ）
A．开口向下 B．有最小值
C．与轴无交点 D．顶点坐标为
6．（本题3分）已知点在抛物线上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
7．（本题3分）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）对于抛物线，下列结论不正确的是（ ）
A．对称轴是轴
B．与轴没有交点
C．有最小值
D．当时，随增大而增大
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）二次函数的最小值是_________．
10．（本题3分）若抛物线的开口向上，则的取值范围是___________．
11．（本题3分）如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______．
12．（本题3分）若点、在抛物线上，则______（填“>”或“<”）
13．（本题3分）在平面直角坐标系中，横坐标，纵坐标都为整数的点称为整点，正方形边长的整点称为边整点，如图，第一个正方形有4个边整点，第二个正方形有8个边整点，第三个正方形有12个边整点，…，按此规律继续作下去，若从内向外共作了5个这样的正方形，那么其边整点的个数共有______个，这些边整点落在函数的图象上的概率是______．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）已知二次函数．
(1)在下列坐标系中画出它的图象；
(2)并指出它的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴．
15．（本题8分）已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3．
(1)求的值；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
16．（本题8分）已知是关于x的二次函数．
(1)求满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线有最低点：求出这个最低点（写坐标），这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
17．（本题8分）如图所示，抛物线与直线相交于点，．
(1)直接写出实数，的值，并求出点A，的坐标；
(2)若，请直接写出的取值范围．
18．（本题9分）如图所示，已知抛物线．
(1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）；
(2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到；
(3)当时，的取值范围是___________．
19．（本题10分）如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），根据对称性可知，为等腰三角形．我们规定：当为等腰直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”．
(1)与的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号）
①；②；③
(2)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为8，求的值；
(3)若抛物线的“完美三角形”的斜边长为，抛物线的“完美三角形”的斜边长为，且，求与的数量关系．
20．（本题12分）定义：若一个函数上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”，例如，点是函数的图象的“2倍点”
(1)一次函数的图象的“2倍点”的坐标是_____，二次函数的图象的“2倍点”是_____；
(2)若关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”，求的取值范围；
(3)设关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”为，关于的函数（为常数）的图象上有两个“2倍点”为，，求，两点的坐标．
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