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专题01 数与式及方程（组）中的计算问题（9大题型）
数与式及方程（组）计算是中考基础必考题，分值占比15%-20%，以基础、中档题为主，侧重考查运算准确度与答题规范性。高频易错点集中在符号失误、公式记错、运算顺序混乱，二轮复习需狠抓基础、规避易错点，守住基础分值。
题型一： 实数与根式的计算
1．（2025·山东济南·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，先计算零次幂，负整数次幂，绝对值，三角函数，化简二次根式，最后进行加减运算．
【详解】解：原式
．
2．（2025·广东深圳·中考真题）计算：．
【答案】7
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可.
【详解】原式
.
3．（2025·四川广安·中考真题）计算：．
【答案】；
【分析】先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，接着去绝对值后计算加减法即可得到答案；
【详解】解：原式
；
特殊幂运算规则：零指数幂 ，前提是底数；负整数指数幂 （，为正整数），切记底数不能为0，这是高频易错点。 绝对值化简核心：先判断绝对值内部式子的正负性，再去绝对值符号；，，简化记忆：大数减小数结果为正，直接去符号；小数减大数结果为负，去绝对值需添负号。 3. 根式化简要点：算术平方根，需结合绝对值规则进一步化简，不可直接写；立方根，无需考虑被开方数正负，可直接开方化简。 4. 特殊角三角函数值：牢记中考常考数值，，，，，避免记错数值导致整题出错。 5. 实数混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的内容，按照小括号→中括号→大括号的顺序依次计算，解题时不跳步、不漏项，重点把控符号变化。 6. 非负性应用：若几个非负数（二次根式、绝对值、偶次幂）的和为0，则每一个非负数都为0，可据此求出字母取值，进而完成后续计算。
1．（2025·江苏·一模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，包括绝对值的化简，有理数的乘方，特殊角的三角函数值及负整数指数幂的运算．熟练掌握各运算的规则是解题关键．
求先计算绝对值，乘方，特殊角三角函数值，负整数指数幂，再计算加减．
【详解】解：原式
．
2．（2026·湖北武汉·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题根据实数运算规则，分别计算绝对值、算术平方根、有理数平方、立方根、零指数幂，再合并计算得到最终结果．
【详解】解：原式
．
3．（2026·山东·一模）计算：．
【答案】3；
【分析】先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，接着去绝对值后计算加减法即可得到答案；
【详解】解：原式
＝3．
题型二： 代数式的混合计算
1．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算．先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可．熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
2．（2022·浙江衢州·中考真题）（1）因式分解：．
（2）化简：．
【答案】；
【分析】（1）根据平方差公式进行分解即可;
（2）先对第一个分式的分母进行因式分解，得到，再根据分式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）
=，
=，
=．
【点睛】本题考查因式分解和分式化解，解题的关键是熟练掌握平方差公式和分式的运算法则．
整式混合运算：先算乘方、乘法，再算加减；巧用乘法公式简化计算，去括号时遵循“正不变、负全变”，系数需乘括号内每一项，合并同类项时仅合并系数、字母及次数不变，杜绝漏项、错号问题。 幂的运算法则（基础核心）：同底数幂相乘am an＝am+n, 、幂的乘方（am）n＝am n、积的乘方（ab）n＝an bn、同底数幂相除am÷an＝am－n，（m、n为整数），逆用公式可快速简化复杂运算。 乘法公式（高频考点）：平方差公式、完全平方公式，牢记公式变形：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$、$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，避免完全平方漏交叉项、平方差错用等问题。 分式混合运算：遵循“先括号、再乘除、后加减”顺序，除法统一转化为乘法（乘以除式倒数），再因式分解、通分约分，最终化为最简分式或整式；全程紧盯分母，保证分母不为0，运算不跳步、不省略关键步骤。 因式分解衔接：运算中遇可分解多项式，先分解再计算，提升效率；遵循“一提、二套、三检查”原则，确保分解彻底，为后续化简扫清障碍。
1．（2025·山东东营·中考真题）因式分解____________．
【答案】
【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】解：
故答案为：
2．（2024·重庆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算∶
（1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．（2024·广东·模拟预测）（1）计算：
（2）化简：．
【答案】（1）（2）
【分析】本题主要考查整式乘法运算和分式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式根据完全平方公式和单项式乘多项式法则展开，再合并即可；
（2）原式先计算括号内的，再把除法转化为乘法，约分后即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
题型三：代数式的化简求值
1．（2025·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
2．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中．
【答案】
【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
1.先将代数式化为最简形式，再代入求值，减少计算量. 2.代入求值类型：①直接代入，选取使原式有意义的数值；②整体代入，利用已知等式变形后代入， 3.结合方程根求值：利用根的定义，若是方程的根，则；或利用韦达定理，整体代入. 4.分式求值注意：选取的数值需使所有分母不为0，且除式不为0.
1．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
利用单项式乘多项式法则，平方差公式展开，然后去括号后合并同类项，最后代入已知数值计算即可．
【详解】解：原式
；
当时，
原式．
2．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，7
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键．
首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简．
【详解】解：
，
当时，原式．
题型四：数与式计算过程的辨析、找错与改错
1．（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解
(1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”）
(2)请写出你的解答过程．
【答案】(1)错误，错误
(2)，过程见解析
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．
（1）根据解分式方程的步骤进行判断即可；
（2）根据解分式方程的步骤进行求解即可．
【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误，
故答案为：错误，错误；
（2）解：
经检验，当时，，
∴是分式方程的解．
找错方法：逐行对照运算法则、公式、运算顺序，重点排查高频错误点； 高频错误点：①零指数/负指数：底数为0；②三角函数：记错特殊值；③去括号/移项：忘记变号；④去分母：常数项漏乘公分母；⑤分式运算：除法未变乘法（未取倒数）；⑥不等式：乘/除负数未变不等号方向；⑦乘法公式：完全平方漏乘交叉项；⑧因式分解：分解不彻底； 改错要求：①先文字说明错因；②再写出完整的正确解答过程；③步骤规范，不跳步，便于检查； 验证：改完后通过运算法则或代入法验证结果是否正确。
1．（2025·贵州毕节·一模）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：，…………第一步
，…………第二步
，…………第三步
．…………第四步
任务：以上解题过程中，从第________步开始出错，请写出正确的解题过程．
【答案】一；见解析
【分析】小明同学的错误在于去分母时，不等式左边的这一项没有乘以分母，正确的做法是先去分母，再移项、合并同类项，最后将系数化为来求解不等式．
【详解】解：任务：解题过程中，从第一步开始出错，
故答案为：一；
正确的解题过程如下：
解：，
，
，
．
2．（2025·广东深圳·模拟预测）老师所留的作业中有这样一个分式计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下．
甲同学： 第一步 第二步 ．第三步 乙同学： 第一步 第二步 ．第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误．
(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析从第几步开始出错，并写出错误的原因；
(2)请重新写出此题完整的正确解答过程．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断；
（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得．
本题考查了分式的异分母的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：选择甲同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是在通分时，第一个分式没有按分式的基本性质运算；
或选择乙同学的解答过程进行分析：
该同学的解答从第二步开始出现错误，错误的原因是在计算过程把分式的分母丢了．
（2）解：
．
3．（2025广东深圳模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同乘，得，第一步
整理，得第二步
当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
【答案】第三步错误，见解析
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到，分式方程无解有两种情况，第一种情况，第二种情况，则此时原方程有增根，据此求解即可．
【详解】解：
方程两边同乘，得，第一步，
整理，得，第二步，
当，即时，此时满足原方程无解，
当时，，
∵原方程无解，
∴原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或，
∴第三步出现错误．
题型五： 一元一次方程的求解
1．（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（ ）
A． B．1 C．7 D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的解以及同解方程，解题的关键是求出第一个方程的解并代入第二个方程求解．
先求解方程得到的值，再将其代入方程，进而求出的值．
【详解】解：解方程，两边同时除以2，得．
把代入中，得到，即．
两边同时减去4，得．
所以的值为，
故选：A．
2．（2026·广西钦州·模拟预测）解方程：解方程：．
【答案】
【分析】根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行求解即可．
【详解】解：
解得．
基本步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1； 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，不含分母的项也要乘，分子是多项式时加括号； 移项：从等号一边移到另一边，必须变号； 去括号：遵循“去正不变，去负全变”，括号前有系数时，系数乘括号内每一项； 检验：解完后代入原方程验证，确保左右两边相等
1．（2025·湖北荆州·三模）一元一次方程的解为___________．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次方程，移项，合并，进行求解即可．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．
【详解】解：，
，
∴；
故答案为：．
2．（2025·湖北·模拟预测）当______时，代数式的值是．
【答案】/
【分析】本题主要考查了代数式的值为零的条件，掌握代数式的值为零的条件是解题的关键．
根据代数式的值为零的条件列方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
解得：．
故答案为：．
3．（2025·四川眉山·中考真题）解方程：
【答案】
【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键：去括号，移项，合并，系数化1，进行计算即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）去括号，得：，
移项，得：，
合并，得：．
题型六：二元一次方程组的求解
1．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：
得：，
解得，
把代入②得：，
∴方程的解为．
2．（2005·江苏苏州·中考真题）解方程组：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．先化简，再利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】解：原方程组可化为，
即，
得，，
解得：．
得，，
解得：．
所以原方程组的解为．
核心思想：消元，将二元一次方程组化为一元一次方程； 代入消元法：适用于有一个方程能直接表示出一个未知数的形式（如），将其代入另一个方程消元； 加减消元法：适用于同一未知数的系数相等或互为相反数；若不满足，先给方程乘适当系数，化为满足条件后再加减消元； 检验：解完后将结果代入两个方程验证，确保均成立
5）含分母的方程组：先去分母化为整数系数方程组，再用消元法求解
1．（2024·江苏常州·中考真题）解方程组：
【答案】
【分析】本题考查解方程组用减法解方程组即可；
【详解】解：
，得：，解得：；
把代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
2．（2026·安徽安庆·模拟预测）解方程组：．
【答案】
【分析】直接利用加减消元法进行求解．
【详解】解：，
得，，
解得，
将代入①，
得，
解得，
原方程组的解是．
3．（2025·辽宁·一模）解方程组：．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据代入消元法解答即可．
【详解】解：，
由得，
将代入得：，
解得，
将代入，解得，
这个方程的解为．
题型七：一元二次方程的求解与综合应用
1．（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程的一个解为，则______．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，由题意可得，解方程即可得解．
【详解】解：∵一元二次方程的一个解为，
∴，
解得：，
故答案为：．
2．（2025·山东菏泽·三模）如果关于的方程有负根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了根据一元一次方程的解求参数，解一元一次不等式，首先移项得到，然后根据题意得到，进而求解即可．
【详解】
移项得，
∵关于的方程有负根，
∴
∴．
故选：A．
解法选择：①因式分解法：最快最简便，适用于能化为的形式；②配方法：适用于二次项系数为1，一次项系数为偶数或题目要求；③公式法：通用解法，; 根的判别式：，有两个不相等实数根；有两个相等实数根；无实数根，注意一元二次方程二次项系数 韦达定理：对于，根为，则，，灵活用于代数式求值; 配方法步骤：移项→二次项系数化为1→配方（两边加一次项系数一半的平方）→化为完全平方式→开方求解; 根的定义：若是方程的根，则代入方程使左右两边相等，可用于求参数或代数式的值
1．（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
【详解】根据题意得，，
解得，
故答案为：．
2．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____．
【答案】
【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可．
【详解】解：由题意可知，，，
将两式相减得
，
，
，
，
，
将两式相加得，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
3．（2025·江苏无锡·中考真题）解方程：；
【答案】，；
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再进一步解方程即可．
【详解】解：，
方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
题型八：分式方程的求解
1．（2025江苏省连云港·中考真题）解方程．
【答案】x＝﹣3
【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：原方程去分母得：2x＝3（x+1），
整理得：2x＝3x+3，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x（x+1）＝6≠0，
则x＝﹣3是原方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
2．（2025·山西临汾·三模）解方程：．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：，
去分母得：，
解得，
经检验，当时，，
是分式方程的解．
1. 解题步骤：去分母（两边同乘最简公分母，化为整式方程）→解整式方程→检验（必写步骤）。 2. 去分母要点：找准各分母最简公分母，等式两边每一项都要乘，切勿漏乘常数项；分母互为相反数的，先变形统一符号。 3. 验根核心：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母≠0，为原分式方程的解；若公分母=0，为增根，原方程无解。 4. 易错警示：分式方程必须验根，无检验步骤中考会直接扣分；无解问题需结合增根分析参数取值。
1．（2025·山西吕梁·二模）解分式方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的运算步骤求解即可．
【详解】解：由题意可得最简公分母为，
去分母得：，
解得．
检验：把代入最简公分母，
得，
故原方程的解为：．
2．（2025 顺德区二模）解方程：．
【答案】x＝3．
【分析】将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可．
【详解】解：去分母得：3﹣x﹣1＝x﹣4，
移项、合并同类项得：﹣2x＝﹣6，
解得：x＝3．
检验：当x＝3时，x﹣4＝﹣1≠0，
∴分式方程的解为x＝3．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
3．（2025 茂名二模）解方程：
【分析】本题的最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），
得2（x﹣1）﹣3（x+1）＝6，
∴2x﹣2﹣3x﹣3＝6，
∴x＝﹣11．
经检验：x＝﹣11是原方程的根．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
题型九：一元一次不等式（组）的求解
1．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上．
【答案】，见解析
【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键．
将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可．
【详解】解：
去括号得：，
移项、合并同类项得：
系数化为1得：
原不等式的解集在数轴上表示如解图．
2．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示．
解：由不等式①得：__________，
由不等式②得：__________，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为__________．
【答案】；；；见解析
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集，
【详解】解：，
解不等式①，得：
解不等式②，得：
在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为：，
故答案为：；；
一元一次不等式解法：与一元一次方程类似，系数化为1时，若乘/除负数，不等号方向必须改变. 不等式组解集确定：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”; 数轴表示解集：空心圈表示不含端点，实心点表示含端点，从端点向对应方向画射线;3 .整数解问题：先求不等式组的解集，再根据整数解的个数确定字母的取值范围，注意边界的取舍. 解不等式组步骤：先分别解每个不等式，再找解集的公共部分
1．（2025·安徽淮南·二模）解不等式：，并在数轴上表示出其解集．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式，用数轴表示不等式的解集，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴不等式的解集为，
在数轴上表示出解集，如图所示：
2．（2025·江苏常州·中考真题）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，解集在数轴上表示见解析
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
在数轴上表示如图：
∴不等式组的解集为．
3．（2025·广东广州·中考真题）解不等式组，并在数轴上表示解集．
【答案】，画图见解析
【分析】本题考查解不等式组和用数轴表示不等式组的解集，需要注意用数轴表示解集的时候实心点和空心点的区别．分别求出每一个不等式的解集，根据数轴，确定不等式组的解集即可．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
则不等式组解集为．
1．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
【详解】解：.
故选：C
2．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．25 C．26 D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可．
【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故选：C．
3．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______．
【答案】1
【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解．
【详解】解：
得，，
解得，
将代入得，，
解得，
该方程组的解为，
∴，，
，
故答案为：1．
4．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________．
【答案】5
【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键．
将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可．
【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ，
解得 ．
故答案为：5．
5．（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的，据此计算解答即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
6．（2025·青海西宁·中考真题）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）．
【分析】本题考查立方根，算术平方根，绝对值，二次根式的加减，完全平方公式，平方差公式，合并同类项，掌握知识点是解题的关键．
（1）先计算立方根，算术平方根，绝对值，再进行二次根式的加减即可；
（2）先计算完全平方公式，平方差公式，再进行合并同类项即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2）原式
．
7．（2025·辽宁·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别进行乘方、乘法运算，以及求立方根和绝对值，再进行加减计算；
（2）先将除法化为乘法，再进行分式的减法计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
8．（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．．
（2）先化简，再求值．，其中．
【答案】（1）4；（2）；
【分析】本题考查了有理数的乘方运算、特殊角的三角函数值（）、绝对值的性质、分式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练掌握乘方、三角函数、绝对值的基础计算规则，以及分式通分、因式分解、除法变乘法的化简方法，代入求值时准确计算．
（1） 先计算乘方；再代入特殊角三角函数值，计算；接着化简绝对值；最后将各项结果进行加减运算．
（2）先对括号内通分计算；再将除法转化为乘法（乘以倒数），对分子因式分解（完全平方公式）；然后约分简化分式；最后将代入化简后的式子计算．
【详解】（1）
（2）解：
当时，原式
∴化简结果为，代入求值结果为．
9．（2025北京·中考真题）解不等式组：．
【答案】﹣3＜x＜1．
【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①，得：x＞﹣3，
解不等式②，得：x＜1，
∴原不等式组的解集为﹣3＜x＜1．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．
10．（2025广东·中考真题）在解分式方程2时，小李的解法如下：
第一步： （x﹣2） （x﹣2）﹣2， 第二步：1﹣x＝﹣1﹣2， 第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1， 第四步：x＝4． 第五步：检验：当x＝4时，x﹣2≠0． 第六步：∴原分式方程的解为x＝4．
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
【分析】先判断去分母是那步，说明依据，再解分式方程得结论．
【解答】解：小李的解法中，第一步是去分母；
去分母的依据是：等式的基本性质；
小李的解答过程不正确；
正确的解答过程：
2，
去分母，得 （x﹣2） （x﹣2）﹣2（x﹣2），整理，得1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
移项并合并，得x＝2．
检验：当x＝2时，x﹣2＝0．
∴原分式方程无解．
【点评】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．
11．（2025·山西·中考真题）（1）计算：
（2）解方程组：
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，解二元一次方程组等知识，正确进行运算是解题的关键；
（1）依次计算绝对值、乘方与括号，最后计算加减即可；
（2）利用加减消元法，两式相加消去未知数y，求得未知数x的值，再求出y的值即可．
【详解】解：（1）原式

；
（2）解：①+②，得，
．
将代入②，得，
．
所以原方程组的解是．
12．（2025·江苏徐州·中考真题）（1）解方程；
（2）解不等式组
【答案】（1），；（2）
【分析】本题考查解一元二次方程，解一元一次不等式组．
（1）利用配方法求解；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1），
移项，得，
配方，得，即，
开平方，得，
解得，
即，
（2）
解不等式，得：，
解不等式，得：，
因此该不等式组的解集为：．
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专题01 数与式及方程（组）中的计算问题（9大题型）
数与式及方程（组）计算是中考基础必考题，分值占比15%-20%，以基础、中档题为主，侧重考查运算准确度与答题规范性。高频易错点集中在符号失误、公式记错、运算顺序混乱，二轮复习需狠抓基础、规避易错点，守住基础分值。
题型一： 实数与根式的计算
（2025·山东济南·中考真题）计算：．
2．（2025·广东深圳·中考真题）计算：．
3．（2025·四川广安·中考真题）计算：．
特殊幂运算规则：零指数幂 ，前提是底数；负整数指数幂 （，为正整数），切记底数不能为0，这是高频易错点。 绝对值化简核心：先判断绝对值内部式子的正负性，再去绝对值符号；，，简化记忆：大数减小数结果为正，直接去符号；小数减大数结果为负，去绝对值需添负号。 3. 根式化简要点：算术平方根，需结合绝对值规则进一步化简，不可直接写；立方根，无需考虑被开方数正负，可直接开方化简。 4. 特殊角三角函数值：牢记中考常考数值，，，，，避免记错数值导致整题出错。 5. 实数混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的内容，按照小括号→中括号→大括号的顺序依次计算，解题时不跳步、不漏项，重点把控符号变化。 6. 非负性应用：若几个非负数（二次根式、绝对值、偶次幂）的和为0，则每一个非负数都为0，可据此求出字母取值，进而完成后续计算。
1．（2025·江苏·一模）计算：．
2．（2026·湖北武汉·模拟预测）计算：．
3．（2026·山东·一模）计算：．
题型二： 代数式的混合计算
1．（2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ．
2．（2022·浙江衢州·中考真题）（1）因式分解：．
（2）化简：．
整式混合运算：先算乘方、乘法，再算加减；巧用乘法公式简化计算，去括号时遵循“正不变、负全变”，系数需乘括号内每一项，合并同类项时仅合并系数、字母及次数不变，杜绝漏项、错号问题。 幂的运算法则（基础核心）：同底数幂相乘am an＝am+n, 、幂的乘方（am）n＝am n、积的乘方（ab）n＝an bn、同底数幂相除am÷an＝am－n，（m、n为整数），逆用公式可快速简化复杂运算。 乘法公式（高频考点）：平方差公式、完全平方公式，牢记公式变形：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$、$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$，避免完全平方漏交叉项、平方差错用等问题。 分式混合运算：遵循“先括号、再乘除、后加减”顺序，除法统一转化为乘法（乘以除式倒数），再因式分解、通分约分，最终化为最简分式或整式；全程紧盯分母，保证分母不为0，运算不跳步、不省略关键步骤。 因式分解衔接：运算中遇可分解多项式，先分解再计算，提升效率；遵循“一提、二套、三检查”原则，确保分解彻底，为后续化简扫清障碍。
1．（2025·山东东营·中考真题）因式分解____________．
2．（2024·重庆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
3．（2024·广东·模拟预测）（1）计算：
（2）化简：．
题型三：代数式的化简求值
1．（2025·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中．
2．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中．
1.先将代数式化为最简形式，再代入求值，减少计算量. 2.代入求值类型：①直接代入，选取使原式有意义的数值；②整体代入，利用已知等式变形后代入， 3.结合方程根求值：利用根的定义，若是方程的根，则；或利用韦达定理，整体代入. 4.分式求值注意：选取的数值需使所有分母不为0，且除式不为0.
1．（2025·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中．
2．（2025·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中．
3．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：，其中．
题型四：数与式计算过程的辨析、找错与改错
1．（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解
(1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”）
(2)请写出你的解答过程．
找错方法：逐行对照运算法则、公式、运算顺序，重点排查高频错误点； 高频错误点：①零指数/负指数：底数为0；②三角函数：记错特殊值；③去括号/移项：忘记变号；④去分母：常数项漏乘公分母；⑤分式运算：除法未变乘法（未取倒数）；⑥不等式：乘/除负数未变不等号方向；⑦乘法公式：完全平方漏乘交叉项；⑧因式分解：分解不彻底； 改错要求：①先文字说明错因；②再写出完整的正确解答过程；③步骤规范，不跳步，便于检查； 验证：改完后通过运算法则或代入法验证结果是否正确。
1．（2025·贵州毕节·一模）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：，…………第一步
，…………第二步
，…………第三步
．…………第四步
任务：以上解题过程中，从第________步开始出错，请写出正确的解题过程．
2．（2025·广东深圳·模拟预测）老师所留的作业中有这样一个分式计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下．
甲同学： 第一步 第二步 ．第三步 乙同学： 第一步 第二步 ．第三步
老师发现这两位同学的解答都有错误．
(1)请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析从第几步开始出错，并写出错误的原因；
(2)请重新写出此题完整的正确解答过程．
3．（2025广东深圳模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同乘，得，第一步
整理，得第二步
当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
题型五： 一元一次方程的求解
1．（2024·广东清远·二模）关于x的一元一次方程与的解相同，则a的值为（ ）
A． B．1 C．7 D．
2．（2026·广西钦州·模拟预测）解方程：解方程：．
基本步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1； 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数，不含分母的项也要乘，分子是多项式时加括号； 移项：从等号一边移到另一边，必须变号； 去括号：遵循“去正不变，去负全变”，括号前有系数时，系数乘括号内每一项； 检验：解完后代入原方程验证，确保左右两边相等
1．（2025·湖北荆州·三模）一元一次方程的解为___________．
2．（2025·湖北·模拟预测）当______时，代数式的值是．
3．（2025·四川眉山·中考真题）解方程：
题型六：二元一次方程组的求解
1．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：
2．（2005·江苏苏州·中考真题）解方程组：．
核心思想：消元，将二元一次方程组化为一元一次方程； 代入消元法：适用于有一个方程能直接表示出一个未知数的形式（如），将其代入另一个方程消元； 加减消元法：适用于同一未知数的系数相等或互为相反数；若不满足，先给方程乘适当系数，化为满足条件后再加减消元； 检验：解完后将结果代入两个方程验证，确保均成立
5）含分母的方程组：先去分母化为整数系数方程组，再用消元法求解
1．（2024·江苏常州·中考真题）解方程组：
2．（2026·安徽安庆·模拟预测）解方程组：．
（2025·辽宁·一模）解方程组：．
题型七：一元二次方程的求解与综合应用
1．（2024·广东深圳·中考真题）一元二次方程的一个解为，则______．
2．（2025·山东菏泽·三模）如果关于的方程有负根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解法选择：①因式分解法：最快最简便，适用于能化为的形式；②配方法：适用于二次项系数为1，一次项系数为偶数或题目要求；③公式法：通用解法，; 根的判别式：，有两个不相等实数根；有两个相等实数根；无实数根，注意一元二次方程二次项系数 韦达定理：对于，根为，则，，灵活用于代数式求值; 配方法步骤：移项→二次项系数化为1→配方（两边加一次项系数一半的平方）→化为完全平方式→开方求解; 根的定义：若是方程的根，则代入方程使左右两边相等，可用于求参数或代数式的值
1．（2025·四川·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______．
2．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____．
3．（2025·江苏无锡·中考真题）解方程：；
题型八：分式方程的求解
1．（2025江苏省连云港·中考真题）解方程．
2．（2025·山西临汾·三模）解方程：．
1. 解题步骤：去分母（两边同乘最简公分母，化为整式方程）→解整式方程→检验（必写步骤）。 2. 去分母要点：找准各分母最简公分母，等式两边每一项都要乘，切勿漏乘常数项；分母互为相反数的，先变形统一符号。 3. 验根核心：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母≠0，为原分式方程的解；若公分母=0，为增根，原方程无解。 4. 易错警示：分式方程必须验根，无检验步骤中考会直接扣分；无解问题需结合增根分析参数取值。
1．（2025·山西吕梁·二模）解分式方程：．
2．（2025 顺德区二模）解方程：．
3．（2025 茂名二模）解方程：
题型九：一元一次不等式（组）的求解
1．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上．
2．（2025·广东深圳·中考真题）解一元一次不等式组，并在数轴上表示．
解：由不等式①得：__________，
由不等式②得：__________，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为__________．
一元一次不等式解法：与一元一次方程类似，系数化为1时，若乘/除负数，不等号方向必须改变. 不等式组解集确定：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”; 数轴表示解集：空心圈表示不含端点，实心点表示含端点，从端点向对应方向画射线;3 .整数解问题：先求不等式组的解集，再根据整数解的个数确定字母的取值范围，注意边界的取舍. 解不等式组步骤：先分别解每个不等式，再找解集的公共部分
1．（2025·安徽淮南·二模）解不等式：，并在数轴上表示出其解集．
2．（2025·江苏常州·中考真题）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
（2025·广东广州·中考真题）解不等式组，并在数轴上表示解集．
1．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．25 C．26 D．
3．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为_______．
4．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为__________．
5．（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____．
6．（2025·青海西宁·中考真题）（1）计算：．
（2）化简：．
7．（2025·辽宁·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
8．（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．．
（2）先化简，再求值．，其中．
9．（2025北京·中考真题）解不等式组：．
10．（2025广东·中考真题）在解分式方程2时，小李的解法如下：
第一步： （x﹣2） （x﹣2）﹣2， 第二步：1﹣x＝﹣1﹣2， 第三步：﹣x＝﹣1﹣2﹣1， 第四步：x＝4． 第五步：检验：当x＝4时，x﹣2≠0． 第六步：∴原分式方程的解为x＝4．
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程．
11．（2025·山西·中考真题）（1）计算：
（2）解方程组：
12．（2025·江苏徐州·中考真题）（1）解方程；
（2）解不等式组
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