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7.2.3平行线的性质课后培优提升同步训练人教版2025—2025学年七年级数学下册
一、选择题
1．如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，平分，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：
（1）；（2）；（3）；（4），
其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，直线，将含的直角三角板按照如图位置放置，，则等于（ ）
A．56° B．54° C．66° D．65°
6．如图，，，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（　　）；
①；
②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则．
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题
9．一条公路两次转弯后，和原来的方向平行．如果第一次的拐角是36°，那么第二次的拐角为______．
10．如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则 ______ ．
11．如图，已知，则___________．
12．如图，平分，则________．
三、解答题
13．如图，，点F在上，点C，G在上，．
(1)与平行吗？说明理由；
(2)若，平分，求的度数．
14．如图，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
15．已知，直线与，分别交于点E，F，平分与直线交于点G．
(1)如图1，若，则的度数是 ．
(2)作平分，交于点M．
如图2，过点G作，交直线于点N，求证：．
如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，请写出与存在的数量关系，并说明理由．
16．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，三角形是直角三角形，点C在直线n上，，，．
操作发现：
（1）如图1，若，则=_______；
实践探究：
（2）如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值．在说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化．”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）；
拓展延伸：
（3）如图3，缜密小组在图2的基础上作射线、，相交于点G，且，，求的度数．
17．直线，点在直线上，点B在直线之间，，点在直线上，记（）．
(1)如图1，求的度数；（用含的代数式表示）
(2)过点作交直线于点（在的右侧）使得．点为平面内一点且满足，直线与直线交于点．
（i）如图2，若点在直线上方，求与的数量关系；
（ii）如图3，若点在直线下方，是线段延长线的动点，是线段上的动点，且满足，连接，试说明三角形中必有某两个三角形的面积相等．
18．综合与探究
如图，，点P，Q为直线，上两定点，．
(1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ；
(2)若平分，平分，．
①如图2，点N在左侧时，求的角度；
②如图3，点N在右侧，求的角度；
(3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果）
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．C
4．C
5．A
6．B
7．A
8．C
二、填空题
9．或
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：；
理由如下：
，
，
，
，
；
（2）解： ，，
，
平分，
，
，
．
14．【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．【详解】（1）解：，
，．
平分，
，
．
故答案为：．
（2）解：①∵平分，
．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
② ，理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
，
．
16．【详解】解：（1）如图，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
证明：如图，过点作，则直线，
，，
，
，
，
；
（3）如图，作，，
，
，，，，
．
17．【详解】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）（i）法一：∵且，
∴，，
过点作，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
过B作，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴；
法二：∵且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
；
∴，
（ii）法一：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
设三角形的面积为，三角形BFG的面积为，三角形的面积为，
三角形的面积为，
，
点到的距离相等，则，
∴，（或，∴），
即三角形的面积与三角形的面积相等．
法二：∵，，
∴，，
∵，
∴设，则，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设三角形的面积为，三角形的面积为，三角形的面积为，
三角形的面积为，
，
点到的距离相等，则，
∴，（或，∴）
即三角形的面积与三角形的面积相等．
18．【详解】（1）解：如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，，
平分，平分，
，，
，
；
②如图，点在右侧时，过点作，则，
，，
，
，
，
平分，平分，
，，
；
（3）解：依题意由（2）②可知，，，
，
由（2）①可知，
；
同理可得，
……，
∴，
故答案为：．

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