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第二十章勾股定理拔尖卷人教版2025—2026学年八年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列三组数中，是勾股数的是（　　）
A．3，9，7 B．2，3，4 C．12，16，20 D．4，5，6
2．如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（ ）米．
A．1 B．2 C．0.5 D．2.5
3．若三边满足，那么的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
4．如图，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是（ ）
A． B． C．-2．2 D．
5．如图，在中，，，，四边形是长方形，，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点在同一条直线上．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，直线为的垂直平分线，交于点D，连接，已知，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
8．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________．
10．如图，四边形的对角线，互相垂直，垂足为O，，，，若，则______．
11．如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ．
12．如图，将长方形纸片沿对折后展开，再沿折叠使点落在折痕上的点处，再将点折至点处，折痕为，点恰为的中点，已知，，则_________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．在中，平分交于点，在上取一点，使得．

(1)与的位置关系 ，与的位置关系 ；
(2)若，求的长．
14．如图，将长方形沿着对角线折叠，点的对应点为，交于点．若，求的长．
15．如图，是中边上的高，点E在边上．

(1)若是的角平分线，，，求的度数；
(2)若是的中线，，，，求的长．
16．如图，在中，，点为边上的一动点（不与点重合），，交于点，将沿折叠得，连接．
(1)求证；
(2)若为等腰三角形，求的长；
(3)过点作，交于点，连接，判断之间的数量关系并证明．
17．如图，在中，，边的垂直平分线交和于点，，且．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
18．已知，C点为射线上一动点，以为直角边在右侧构造等腰直角．
(1)如图1，连接，与相等吗？请说明理由；
(2)若，求；
(3)若，射线与射线交于点E，当 为等腰三角形时，求m与n的数量关系．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．D
4．A
5．C
6．D
7．C
8．A
二、填空题
9．
10．
11．
12．20
三、解答题
13．【详解】（1）解：∵平分，
，
，
，
，
，
，
∴，
则，
，
是直角三角形，
，
，
即：；；
（2）解：∵，
，
在中，，
答：的长为．
14．【详解】
解：由折叠可得，，
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴的长为．
15．【详解】（1）解：，，
，
是的角平分线，
，
是中边上的高，
，
，
；
（2）解：设，
是的中线，
，
，
，，
是中边上的高，
，
在中，，则，即，
在中，，则，，
，
解得，
则的长为．
16．【详解】（1）证明：连接，根据折叠的性质，得，
故直线是线段的垂直平分线，
故．
（2）解：，
，，
当时，过点E作于点H，过点D作于点Q，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
当时，
，
，，
，
当时， 点E与点B重合，点D与点C重合，不符合题意；
综上所述，的长为或2．
（3）解：之间的数量关系为．理由如下：
过点A作于点A，且，连接，
则，，
根据折叠的性质，得，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
．
17．【详解】（1）解：∵，，，
∴平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∵，
∴，
解得．
18．【详解】（1）解：，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：当点C在上时，
∵，
∴，
同理（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
当点C在的延长线上时，
∵，
∴，
同理（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
综上，为或；
（3）解：．
如图，连接，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，
∴只存在，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，即，
由（2）知，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．

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